年数学高中学业水平测试课件：专题十二第41讲不等关系与不等式

特别提醒
a>b⇔b<a
⇔
a>b，b>c⇒a>c
⇒
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
同向可 加性
同向同正 可乘性
⇒ ac＞bc ⇒ ac＜bc
注意 c 的符号
⇒ a＋c>b＋d ⇒
⇒ ⇒ ac>bd
a>b>0⇒an>bn 可乘方性
(n∈N，n≥1)
nn
可开方性 a>b>0⇒ a> b (n∈N，n≥2)
②若a＋b＞2c；则C＜ 3 π
③若a3＋b3＝c3；则C＜ 2 π
④若(a＋b)c＜2ab；则C＜ 2 π
⑤若(a2＋b2)c2＜2a2b2；则C＞ 3
解析：对于①若ab＞c2，所以－ab＜－c2，所以
a2＋2ba2b－c2≥2a2ba－b c2＞2aabb＞12；则C＜π3 ，故成立；
对于②若a＋b＞2c，所以
a，b 同 为正数
3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒1a<1b. ②a<0<b⇒1a<1b. ③a>b>0，0<c<d⇒ac>bd. ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 ①ba<ab＋＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0)． ②ab>ba＋＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0)．
2．不等式的性质 【例2】 对于实数a，b，c，下列结论中正确的是 () A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则1a＞1b C．若a＜b＜0，则ba＞ab D．若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0
解析：选项是不等式，可以利用不等式性质，结合
特例逐项判断，得出正确结果．对于A，当c＝0时，有
1．比较两个数(式)的大小
【例1】
(1)设a＝
2 2 (sin
17°＋cos
17°)，b＝
2cos213°－1，c＝ 23，则a，b，c的大小关系为(
)
A．b＜a＜c
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜a＜b
(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为
________．
解析：(1)a＝
解析：由题设得 0<2α<α，0≤β3≤α6，∴－α6≤－β3≤0，
∴－α6<2α－β3<α.
答案：D
6．已知 a1，a2∈(0，1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1， 则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1
2 2
(sin
17°＋cos
17°)＝sin
17°cos
45°＋cos 17°sin 45°＝sin 62°，
b＝2cos213°－1＝cos 26°＝sin 64°，c＝ 23＝sin 60°，故c＜a＜b.选D.
(2)ab＝11861168＝1186161162＝9816 1216＝8 9 216，因为 8 9 2∈(0，1)，所以8 9 216<1.因为1816>0，1618>0，
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0，1)，a2
∈(0，1)，∴a1－1<0，a2－1<0，
∴(a1－1)(a2－1)>0，即 M－N>0.∴M>N. 答案：B
7．设 a>b>c>0，x＝ a2＋（b＋c）2，y＝ b2＋（c＋a）2，z＝ c2＋（a＋b）2，则 x，y，z 的大小 关系是________(用“>”连接)．
解析：法一 y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，
∴z>y>x. 法二 令 a＝3，b＝2，c＝1，则 x＝ 18，y＝ 20，
z＝ 26，故 z>y>x.
答案：z>y>x
8．△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则 下列命题正确的是________．
①若ab＞c2；则C＜π3 π
∵x<y<0， ∴xy>0，x－y<0， ∴－2xy(x－y)>0，
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行， 一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两 人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？
解：设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2， t甲＝2sv1＋2sv2＝s（v21v＋1vv2 2），s＝t2乙·v1＋t2乙·v2⇒t乙＝
3．不等式性质的应用
【例3】 (1)若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等
式一定成立的是( )
A.1a＜1b
B．a|c|＞b|c|
C．|a|＞b
D.ab＞1
(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①ac>bc；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
③ab＋ba＞2；④a2＜b2中，正确的有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：取a＝－2，b＝－1，可以验证①②③都是正确
的，所以正确的有3个．
答案：C
5．设α∈(0，π2)，β∈0，π2，那么2α－β3的取值范围 是( )
A．(0，56π)
B．(－π6，56π)
C．(0，π)
D.－π6，π
所以1816<1618，即a<b.
答案：(1)D (2)a<b
剖析：比较大小的常用方法： (1)作差法： 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中 关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差 式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有 时也可以先平方再作差．
(2)作商法： 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小； ④结论． (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函 数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．
π ⑤若(a2＋b2)c2＜2a2b2；则C＞ 3 ，结合均值不等式 可知，不成立，故填写①②③. 答案：①②③
9．设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y) 的大小．
解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2) －(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
1．已知 a>b，c>d，且 c，d 不为 0，那么下列不等
式成立的是( )
A．ad>bc
B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
解析：由不等式的同向可加性得 a＋c>b＋d.
答案：D
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．－2≤a≤4 B．－1≤a≤3 C．－2≤a＜4 D．－1＜a≤3 解析：由于|1－a|≤|x－a|＋|x－1|，则|1－a|≤3，解 得－2≤a≤4.故选 A. 答案：A
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
解析：(1)根据题意，只有a，b同号的时候，选项A 成立；对于B，只有c不为零时成立；对于C，由于|a|≥ a，则根据不等式的传递性可知成立；对于D，当a＝0 时，不成立，故选C.
(2)由不等式性质及a>b>1知1a<1b，又c<0，所以ac>bc， ①正确；构造函数y＝xc，因为c<0，所以y＝xc在(0，＋ ∞)上是减函数，又a>b>1，
3．若1a<1b<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2<b2
B．ab<b2
C．a＋b<0
D．|a|＋|b|>|a＋b|Hale Waihona Puke Baidu
解析：∵1a<1b<0，∴b<a<0.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|
＋|b|＝|a＋b|.
答案：D
4．若a＜b＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②1a＞1b；
a2＋b2－c2 2ab
＝
（a＋b）22a－b 2ab－c2＞（a＋b）2－2a2bab－a＋2 b2＞
12；则C＜π3 成立；
对于③若a3＋b3＝c3所以(a＋b)(a2＋b2－ab)＝c3；则 C＜π2 ，根据指数函数性质可知成立．
π ④若(a＋b)c＜2ab；则C＜ 2 ，同理结合均值不等式 证明不成立．
专题 十二 不等式
第41讲 不等关系与不等式
1．两个实数比较大小的方法
a－b>0⇔a>b (1)作差法a－b＝0⇔a＝b (a，b∈R)；
a－b<0⇔a<b
ab>1⇔a>b (2)作商法ab＝1⇔a＝b (a∈R，b>0)．
ab<1⇔a<b
2．不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性
性质内容
所以ac<bc，知②正确；因为a>b>1，c<0，所以a－ c>b－c>1，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，知③ 正确．
答案：(1)C (2)D
剖析：(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判 断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判 断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的 性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用 到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．
2s ，
v1＋v2
∴tt甲 乙＝（v41＋v1vv22）2≥（24vv11vv22）2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当 v1＝v2 时“＝”成立． 由实际情况知 v1>v2， ∴t 甲>t 乙． ∴乙先到教室．
ac2＝bc2，故错；对于B，若a＞b＞0，则
1 a
＜
1 b
，故错
误；对于c，若a＜b＜0，取a＝－2，b＝－1，可知
b a
＜
a b
，故错误；对于D，若a＞b，
1 a
＞
1 b
，则a＞0，b＜0成
立，故选D.
答案：D
剖析：解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不 等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答 案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意 前提条件．