一元二次方程应用题归纳分类及经典例题复习课程

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一元二次方程应用题总结归类及典型例题

一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从xx 解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对xx有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着xx与xx的难易；(3)“列”是xx，这是非常重要的步骤，xx就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系xx是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所xx的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的xx不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、xx解应用题的关键(1)审题是设未知数、xx的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、xx解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

专题7 一元二次方程及其应用(课件+练习)

知识回顾教学目
标
3. 一元二次方程根的判别式： b²-4ac 关于x的一元二次方程的根的判别式为__________.
b2 4ac 0
方程有两个不相等的实
数根
判别式与根的关系
b 4ac 0 方程有两个相等的实数根
2
b 4ac 0 方程没有实数根
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解题指导教学目
标
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售
量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时
的销售单价即可确定几折．
n a (1 m ) b . ___________
（下降）率问题 __________; a(1 m)n b 当m为平均下降率时，
利润=售价-成本营销问题一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额
面积问题
解题指导教学目
标
一元二次方程的有关概念 1.下列方程中，不是一元二次方程的是（ B ） A．x²-4=0 C．x²+2x+1=0 B ．x ² + D．3x²+
标
知识回顾教学目
标
（3）公式法：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)
2 b b 4ac 2 的求根公式是( x1,2 (b 4ac 0) ). 2a
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.21·cn·jy·com

一元二次方程知识点总结和例题——复习

一元二次方程知识点总结和例题——复习的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆6.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

7.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

8.分式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

（参考教材：初中数学九年级人教版）知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

例题：1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由.(1)2x 2-x-3=0.(2)4y-y 2=0.(3) t 2=0.(4) x 3-x 2=1.(5) x 2-2y-1=0. (6)21x -3=0.(7)x x 32- =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x 2-x4+6=0.(10)3x 2=4x-3. 1、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（）（A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于22、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x nx m ，当时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a 。

3、已知关于x 的方程()2220m m xx m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程；（2） m 为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c是常数项。

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总列一元二次方程解应用题中遇到的常见的典型题目，举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额到达了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，那么根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1〔舍去〕.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，假设经过两次相等下降后，那么有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，假设每件商品售价a元，那么可卖出〔350－10a〕件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店方案要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a 2=31不合题意，舍去.所以350－10a ＝350－10×25＝100〔件〕.答需100件，每件商品应定价25元. 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也点. 三、储蓄问题例3王红梅同学将100元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“行〞，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程〞，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.〔假设不计〕解设第一次存款时的年利率为x. 那么根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x 2+145x －3＝0. 解这个方程，得x 1≈0.0204＝2.04%，x 2≈－1.63所以将x 2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计. 四、趣味问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，城门高2米，二人没方法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.1那么根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)x＝·1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.2解这个方程，得x1＝－1.8〔舍去〕，x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解此题开场时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.例5读诗词解题：〔通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄〕.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，那么十位数字为x－3.那么根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x ＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明此题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总1局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显2然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44〔舍去〕.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于此题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去XX湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去XX湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去XX湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去XX湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.那么根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去XX湾风景区旅游.说明求解此题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.如果人数超过25人，每增加1如果人数不超过25人，人，人均旅游费用降低20元，人均旅游费用为1000元.但人均旅游费用不得低于700图1八、等积变形例8长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园〔阴影局部〕所占的面积为原来荒地面积的二.〔准确到0.1m 〕〔1〕设计方案1〔如图2〕花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. 〔2〕设计方案2〔如图3〕花园中每个角的扇形都一样. 以上两种方案是否都能符合条件?假设能，2中的小路图3中扇形的半径；假设不能符合条件，请由. 解都能.〔1＝0，解这个方程，得x ＝〔2〕设扇形说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，积不变；或形变积也变，不变，等等. BQ 图2 图3 A PC 图4九、动态几何问题例9如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点 A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.〔1〕如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？〔2〕点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.假设存在，求出运动的时间；假设不存在，说明理由.解因为∠C ＝90°，所以AB ＝22 ACBC ＝ 2268＝10〔cm 〕.〔1〕设xs 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2，所以AP ＝xcm ，PC ＝(6－x)cm ， CQ ＝2xcm.那么根据题意，得 1 2·(6－x)·2x ＝8.整理，得x 2－6x+8＝0，解这个方程，得x 1＝ 2，x2＝4.所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2.〔2〕设点P 出发x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半.那么根据题意，得 1 2 (6－x)·2x ＝ 1 2 ×1 2 ×6×整8.理，得x 2－6x+12＝0. 由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻.说明此题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.十、题例10为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端6m.〔1〕假设梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？〔2〕假设梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动多少米？〔3〕如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角 22 106＝8〔m 〕.〔1〕假设梯子顶端下滑1m ，那么顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm. 那么根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x 2+12x －15＝0，解这个方程，得x 1≈1.14，x 2≈－13.14〔舍去〕，所以梯子顶端下滑1m ，底端水平滑动约1.14m.〔2〕当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动xm.那么根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x 2－16x+13＝0. 解这个方程，得x 1≈0.86，x2≈15.14〔舍去〕.所以假设梯子底端水平向外滑动〔3〕设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm. 那么根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x 2－4x ＝0，解这个方程，得x1＝0〔舍去〕，x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南A方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海D 里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补FBE图5C给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.〔1〕小岛D和小岛F相距多少海里？〔2〕军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？〔准确到0.1海里〕解〔1〕F位于D的正南方向，那么DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝12AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.〔2〕设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200－10063 ≈118.4，x2＝200+10063〔不合题意，舍去〕.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解此题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n〔n为整数，且2≤n≤11〕的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一Xn×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二X纸片盖住第一X纸片的局部恰好为(n－1)×n(－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后答复以下问题：〔1〕由于正方形纸片边长n的取值不同，?完成摆放时所使用正方形纸片的X 数也不同，请填写下表：纸长n23456使用的纸片X数〔2〕设正方形ABCD被纸片盖住的面积〔重合局部只计一次〕为S1，未被盖住的面积为S2.①当n＝2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？假设存在，请求出来；假设不存在，请说明理由.解〔1〕依题意可依次：11、10、9、8、7. 〔2〕S 1＝n 2+(12－n)[n 2－(n －1)2]＝－n 2+25n －12. 图6①当n ＝2时，S 1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S 1∶S2＝34∶110＝17∶55.②假设S 1＝S 2，那么有－n 2+25n －12＝ 1 2 ×122，即n 2－25n+84＝0，解这个方程，得n 1＝4，n2＝21〔舍去〕.所以当n ＝4时，S 1＝S 2.所以这样的n 值是存在的.说明求解此题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第〔3〕小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13将一2c m的铁丝剪成两段，并以每一一个正方形. 〔1〕要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分少? 〔2〕两个正方形的面积之和可假设不能，请说明理由. 解〔1〕设剪成两段后其中一段为x cm ，那么另一段为〔20－x 〕cm.x 4 2 + 20 4x 2 那么根据题意，得＝17，解得x 1＝16，x2＝4，当x ＝16时，20－x ＝4，当x ＝4时，20－x ＝16，答这段铁丝剪成两段后是4cm 和16cm. 〔2〕不能.理由是：不妨设剪成两段后其中yc m ，那么另〔20－y 〕 y 4 2 + 20 4 y 2 cm.那么由题意得＝12，整理，得y 2－20y+104＝0，移项并配方，得(y －10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面12cm 2. 说明此〔2〕小问也可以运用求根公式中的b 2－4ac 来判定.假设b 2－4ac ≥0，方程有两个实数根，假设b 2－4ac ＜0，方程没有实数根，此题中的b 2－4ac ＝－ 16＜0即无解. 十四、平分几何图形的面积问题例14如图7，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10.点E?在下 BC 上，点F 在腰AB 上. 〔1〕假设E F平分等腰梯形A B CD的周长，设B x，x 的代数式表示△BEF 的面积；〔2〕是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？假设存在，求出此时BE 的长；假设不存在，请说明理由；〔3〕是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？假设存在，求此时BE 的长；假设不存在，请说明理由.解〔1〕由条件得，梯形12，高4，28.AD F F 作F G ⊥B C 于G A 作AK ⊥BC 于K.那么可得，FG ＝ 12x 5 ×4， B C E GK 图7 所以S △BEF ＝ 1 2 BE ·FG ＝－ 2 5 x 2+ 24 5 x 〔7≤x ≤10〕. 〔2〕存在.由〔1〕得－2 5 x 2+ 24 5 x ＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5〔不合题意，舍去〕，所以存在线段E F 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7.〔3〕不存在.假设存在，显然有S △BEF ∶S 多边形AFECD ＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.那么有－ 2 5 x 2+ 16 5 x ＝ 28 3，整理，得3x 2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b 2－4ac ＝576－840＜0，所以不存在这数x .即不存EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两局部.求解此题时应注意：一是要x 的取值X 围；二是在求得x 2＝ 5时，并不属于7≤x ≤10，应及时地舍用一元二次方程来探索问题的. 十五、利用图形律例15在如图8中，每个正方形有图8〔1〕观察图形，请填写正长1357⋯n 〔奇数〕黑色小正方形个数⋯ 正长2468⋯n 〔偶数〕黑色小正方形个数⋯〔2n 〔n ≥1〕的正方形中，设黑色小正方形的个数为P 1，白色小正方形的个数为P 2，问是否在偶数．n ，使P 2＝5P 1？假设存在，n 的值；假设不存在，请由. 解〔1〕观察分析图案可知正方1、3、5、7、⋯、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1〔奇数〕；正方2、4、6、8、⋯、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n 〔偶数〕. 〔2〕由〔1〕可知n 为偶数时P 1＝2n ，所以P 2＝n 2－2n.根据题意，得n 2－2n ＝5×2n ，即n 2－12n ＝0，解得n 1＝12，n2＝0〔不合题意，舍去〕.所以存在偶数 n ＝12，使得P2＝5P1.说明此题的第〔2〕小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和开展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少〞等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。

一元二次方程应用题总结分类及经典例题(初二数学 1份)

一元二次方程应用题总结分类及经典例题（一）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？3.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。

为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。

经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。

要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为多少？2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？3.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？4. 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）（三）面积问题判断清楚要设什么是关键1.如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程应用题总结分类及经典例题

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程应用题总结分类及经典例题一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

一元二次方程应用题归纳分类和经典例题

一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展.从列方程解应用题的方法来讲.列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的.由于一元一次方程未知数是一次.因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次.用算术方法就很困难了.正由于未知数是二次的.所以可以用一元二次方程解决有关面积问题.经过两次增长的平均增长率问题.数学问题中涉及积的一些问题.经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样.列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意.明确已知和未知.以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元.设元分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么.间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的.但由于对列方程有利.因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程.这是非常重要的步骤.列方程就是找出题目中的等量关系.再根据这个相等关系列出含有未知数的等式.即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案.应注意的是一元二次方程的解.有可能不符合题意.如线段的长度不能为负数.降低率不能大于100%等等．因此.解出方程的根后.一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍.翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长.且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率.则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意； (2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数.并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础.所谓审题.就是要善于理解题意.弄清题中的已知量和未知数.分清它们之间的数量关系.寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数.这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件.善于分析题中隐含的条件.挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根.为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符.并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题.决定下调药品的价格。

2后核心归类专训一元二次方程解实际问题的十种常见应用PPT课件(人教版)

2．(中考•遵义)在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．设y＝kx＋b
将表中数据代入y＝kx＋b，求出k和b，得到关系式
(1)若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，写出实数k的值，并解这个一元二次方程；
解：由题意可得k＝－1k5＝，－则（原2n方－程1）为＝x2－－1155，x＋56＝0， ∴(x－7)(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.
(2)请写出第n个方程和它的根．
解：第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，它的根为 x1＝n－1，x2＝n.
a＝(60－3x)÷2
(1)a＝_3_0_－__32_x__(用含x的代数式表示)；三个矩形的和
(2)若塑胶运动场地总占地面积为2430 m2，则通道的宽
度为多少米？
解：(50－2x)
30－
3 2
x
＋(50－3x)
30－
3 2
x
＝2
430，
解得x1＝2，x2＝38(舍去)．
答：通道的宽度为2 m.
第一轮感染 1＋x台第二轮新增感染 (1＋x) x台
6．某种电1脑＋病x＋毒(传1＋播x非) x常＝8快1 ，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后，就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几x台台电脑？若
病毒未得到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不
会超过700台？
答：该天水果的售价为25元/千克．
第1年的本金和利息1000(1＋x)

专题08一元二次方程及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

中考数学专题 08 一元二次方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一元二次方程有关概念：1.一元二次方程定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程；2.一般形式：ax2+bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a≠0)（1）其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项；（2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数；（3）二次项系数：a≠0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程）3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程（等号两边都是整式）；（2）必须只含有 1 个未知数；（3）所含未知数的最高次数是 2；4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题1】（2020 秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）A．1 + 1 −2 = 0 B．ax2+bx+c＝0x2 xC．（x﹣2）2＝2（x﹣2）D．x2+2y＝3【答案】C【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当 a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；= D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式练习 1】（2020 秋•丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则（）A ．m≠±1B ．m ＝1C ．m≠1D ．m≠﹣1【答案】D【解析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案．解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1；故选：D ．【例题 2】（2020 秋•郫都区期末）若 x ＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，则 m 2+m+2020 的值为（）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018【答案】B【解析】把 x ＝m 代入已知方程，可以求得 m 2+m ＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．解：∵x＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，∴m 2+m ﹣1＝0，∴m 2+m ＝1，∴m 2+m+2020＝1+2020＝2021．故选：B ．【变式练习 2】设 m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，则m 4+m 2+18 ． m 2【答案】8【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 2﹣3m+1＝0，两边除以 m 得到 m + 1=3，m再把原式变形得到原式＝m 2+1+ 1m 2=（m + 1 ）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算． m解：∵m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，∴m 2﹣3m+1＝0，∴m + 1 =3，∴原式＝m 2+1+ 1 ＝（m + 1）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8．mm 2mq b 4ac ≥0 二、一元二次方程的解法：1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解；2.常用方法：（1）直接开平方法：适用形式：x 2=p(p≥0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；（2）配方法：套用公式 a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解；配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为 1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式：如果 q≥0，方程的根是 x=-p± ；如果 q ＜0，方程无实根；（3）公式法：利用求根公式 x = -b ±∆ = 2 -)解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)； 2a（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式；进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.方法选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。

一元二次方程应用(二)(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第6讲一元二次方程应用（二）1. 懂得运用一元二次方程解决有关销售利润问题；2. 懂得运用一元二次方程解决有关几何面积问题；3. 懂得运用一元二次方程解决几何中的动点问题。

知识点 1：销售利润问题：（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；（2）每每问题中，单价每涨a 元，少买y 件。

若涨价y 元，则少买的数量为知识点2：几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a ，BC 的长为b,则知识点3 ：动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.件y ab【题型 1销售利润问题】【典例1】（2022秋•信宜市校级期中）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）y与x之间的函数关系式为；（2）当每千克干果降价1元时，超市获利多少元？（3）若超市要想获利2210元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？【变式1-1】（2021秋•天府新区期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？【变式1-2】（2022秋•顺德区期中）佛山市加快建设制造业创新高地，全球每生产两台微波炉就有一台出自顺德．一商场从顺德以每台430元的价格进货一批微波炉，计划以每台500元销售．在销售过程中发现：每月微波炉的销售量y（台）与每台微波炉上涨价格x（元）之间满足一次函数关系，如图是y与x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）若该商场要求微波炉的月销售量不少于750台，并且每月销售微波炉的利润率不低于20%，当该商场每月微波炉的销售利润为71250元时，微波炉的销售单价应定为多少？【变式1-3】（2023•临川区校级一模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：40455560销售单价x（元/千克）80705040销售量y（千克）（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？【典例2】（2022•南海区一模）某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？【变式2-1】（2023春•西湖区校级期中）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）当销售量为30件时，产品售价为元/件；（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【变式2-2】（2023春•余姚市校级期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？【变式2-3】（2022秋•宁德期末）随着正定旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的288个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率；（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，288张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利14880元，同时又减轻游客的经济负担每张床位应定价多少元？【题型2 几何面积问题】【典例3】（2022春•长兴县月考）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为400m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【变式3-1】（2023•大连一模）如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，若矩形绿地的面积为36m2，求矩形垂直于墙的一边，即AB的长．【变式3-2】（2023春•苍南县期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米．（1）求长方形ABCD花圃的长和宽；（2）求出网红打卡点的面积．【变式3-3】（2021秋•萍乡期末）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？【题型3 动点与几何问题】【典例4】（2022•霍林）如图所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．【变式4-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB ＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q 均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（）A．1秒B．4秒C．1秒或4秒D．1秒或秒【变式4-2】（2022秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q 从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P 停止运动．（1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；（2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？【变式4-3】（2022•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？1．（2022•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（）A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50 2．（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×303.（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．4．（2020•西藏）列方程（组）解应用题某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．5.（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？6.（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．7.（2022•南岸区自主招生）北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个（售价不得低于进价）．第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完．注：销售利润＝销售量×（售价﹣进价）（1）若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量．1．（2022秋•大渡口区校级期末）某网店以每件100元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为120元，则平均每天可销售30件，为了尽快减少库存，网店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出5件，每件商品售价为多少元时，该网店日盈利可达到800元？设每件商品售价为x元时，该网店日盈利可达到800元，则可列方程为（）A．（20﹣x）（30+5x）＝800B．（20﹣x）（30+x）＝800C．（x﹣100）（630﹣5x）＝800D．（x﹣100）（630﹣x）＝800 2．（2022秋•河北区期末）某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（）A．50B．60C．50或60D．100 3．（2022秋•江岸区校级月考）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则x的值为（）A．10B．8C．7D．54．（2022秋•甘井子区校级月考）如图，把一块长为40cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求剪去小正方形的边长．5．（2021秋•平定县期末）如图所示，某景区计划在一个长为36m，宽为20m 的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为336m2，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？6．（2021秋•昌图县期末）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．7．（2021秋•平山区校级月考）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润为320元？8．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？9．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）（1）EF =cm，GH=cm；（用含x的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长10．（2022秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？（2）如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，点P，Q相距6cm？11．（2022秋•江都区期中）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？12．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C 出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（3）当t为多少秒时，？。

一元二次方程的应用题分类题型汇总

一元二次方程的应用题分类题型汇总一元二次方程作为高中数学中的重要知识点，是数学中的重要内容之一。

在学习一元二次方程的过程中，掌握其应用题的解题方法和技巧是非常重要的。

一元二次方程的应用题主要分为以下几类：一、开平方型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的开方运算来解题，常见的题目包括：物体自由下落问题、两船相遇问题、地平线问题等。

例如：一个物体从100米高的地方自由下落，求它落地时的速度是多少？解：根据自由落体运动公式，可以列出方程h=gt^2，再可得方程100=4.9t^2，解出t=2s，代入vt=gt，解得v=9.8m/s。

二、三角形型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的几何意义来解题，常见的题目包括：三角形的边长问题、三角形的面积问题、三角形的高问题等。

例如：一个三角形的面积为24平方厘米，底长为6厘米，求其高是多少？解：设三角形的高为h，则可得方程24=6h/2，解得h=8。

三、投影型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的投影意义来解题，常见的题目包括：物体投射问题、光的反射问题、图像放大缩小问题等。

例如：一枚炮弹以初速度20m/s与水平面夹角30°的角度射出，求炮弹落地的水平距离是多少？解：设炮弹飞行的时间为t，则可得方程h=20t*sin30°-4.9t^2，代入可得t=40/39s，再代入可得落地的水平距离为20*40/39*cos30°=38.84m。

四、应用文型应用题这类题型主要是通过一元二次方程的应用文意义来解题，常见的题目包括：距离、速度、时间问题、消费问题、利润问题等。

例如：甲乙两地相距240公里，分别以60公里/小时和80公里/小时的速度开车同时出发相向而行，几小时后相遇？解：设相遇的时间为t，则可得方程60t+80t=240，解得t=2小时。

以上是一元二次方程的应用题的主要分类和题型汇总，掌握这些题型的解题方法和技巧，将对学生在解题过程中起到很大的帮助。

一元二次方程应用题总结分类及经典例题（二）

一元二次方程应用题总结分类及经典例题（二）一、课前练习1、一元二次方程的解法分别有___________,____________,____________，____________。

2、一元二次方程的一般形式_______________,其解为_______________。

3、总结：（1）直接开方法求解步骤）直接开方法求解步骤用直接开平方法解形如(x-m)2=n =n (n≥0)(n≥0)的方程，其解为nm ±=x（2）配方法求解步骤）配方法求解步骤①把一元二次方程化成___________； ②先将常数______移到方程右边：___________； ③将二次项系数化为______：； ④方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：； ⑤方程左边成为一个完全平方式：2224ac4-)2ab a bx =+（ ⑥当b 2-4ac≥0时，a2ac 4-22b ab x ±=+可得：可得：. 总结：方程有根的条件总结：方程有根的条件。

（3）公式法求解步骤：）公式法求解步骤：把一元二次方程化成___________，然后计算___________的值，当b 2-4ac_____0时，把各项系各项系数a, b, c 的值代入求根公式的值代入求根公式 , (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根，当___________时，方程无实数根。

时，方程无实数根。

（4）因式分解法求解步骤）因式分解法求解步骤把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个___________因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，得到两个一元一次方程，得到两个一元一次方程，解这两个方程所得到的根，解这两个方程所得到的根，解这两个方程所得到的根，就是原方就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

专题02 一元二次方程实际应用的四种考法(解析版)(人教版)

专题02一元二次方程实际应用的四种考法【知识点精讲】应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b ＝a (1±x )n ，a 表示基数，x 表示平均增长率（降低率），n 表示变化的次数，b 表示变化n 次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.类型一、增长率问题例．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（）A ．3(1)10x +=B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=【答案】D【分析】设平均每天票房的增长率为x ，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设平均每天票房的增长率为x ，根据题意得：233(1)3(1)10x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练1】在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为m 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了80%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（）A ．2(1)80%m x m-=B ．2(1)80%m x m +=C ．2(1)20%m x m-=D ．220%(1)x m m+=【答案】C 【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x,根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了80%，列方程即可得到结论．【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，可列方程为()()21180%m x m -=-，即2(1)20%m x m-=故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练2】某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x ，则根据题意可列出方程为（）A ．()250011820x +=B ．()()2500500150011820x x ++++=C ．()500121820x +=D ．()()5005001500121820x x ++++=【答案】B【分析】根据题意列出方程即可作答．【详解】解：根据题意得：()()2500500150011820x x ++++=，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练3】某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加44%，这两年平均每年绿化面积的增长率为（）A ．20%B ．10%C ．22%D ．30%【答案】A【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x ，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有()21144%x +=+，解这个方程即可求出答案．【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x ，根据题意得，()21144%x +=+，解得1 2.2x =-（舍去），20.2x =．所以，这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长的百分率是正值．类型二、利润问题例1.某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元．(1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？【答案】(1)每次下降的百分率为20%；(2)每千克水果应涨价5元，盈利6000元．【分析】（1）设每次降价的百分率为m ，列出方程求解即可；（2）设每千克涨价x 元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：设每次下降百分率为m ，根据题意，得250132()m -=，解得：10.220%m ==，2 1.8m =(不合题意，舍去)．答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克涨价x 元，由题意得：(10)(50020)6000x x +-=解得：5x =或10x =，∵商场规定每千克涨价不能超过8元，且要尽快减少库存，∴5x =，答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．例2.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A 、B 两种优质农产品礼包．(1)已知今年7月份销售A 种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x ，求x 的值；(2)若B 种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B 种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B 种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B 种农产品礼包在10月份可获利2860元?【答案】(1)x 的值为25%(2)当B 种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B 种农产品礼包在10月份可获利2860元【分析】（1）利用9月份的销售量=7月份的销售量(1⨯+月平均增长率2)，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出x 的值；（2）设B 种农产品礼包每包降价m 元，则每包的销售利润为()3016m --元，月销售量为()20020m +包，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）依题意得：()22561400x +=，解得：10.2525%x ==，2 2.25x =-（不合题意，舍去）．答：x 的值为25%．（2）设B 种农产品礼包每包降价m 元，则每包的销售利润为()3016m --元，月销售量为()20020m +包，依题意得：()()3016200202860m m --+=，整理得：2430m m -+=，解得：13m =，21m =.∵为了尽快减少库存，∴3m =．答：当B 种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B 种农产品礼包在10月份可获利2860元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练1】第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？【答案】(1)1350元(2)50元【分析】（1）根据()()453010024540-⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦，计算求解即可；（2）设该纪念品的售价单价应定为每件x 元，则销售量为()100240x --⎡⎤⎣⎦件，由题意得，()()301002401600x x -⨯-⨯-=⎡⎤⎣⎦，计算求解，然后判断即可．【详解】（1）解：由题意知，()()4530100245401350-⨯-⨯-=⎡⎤⎣⎦（元），∴当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为1350元；（2）解：设该纪念品的售价单价应定为每件x 元，则销售量为()100240x --⎡⎤⎣⎦件，由题意得，()()301002401600x x -⨯-⨯-=⎡⎤⎣⎦，解得150x =，270x =，∵5070<，∴该纪念品的售价单价应定为每件50元．【点睛】本题考查了实数运算的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练2】服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T 恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.例．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．(2)2022年老旧小区改造的平均费用约为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加10%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；(2)该市在2023年最多可以改造19个老旧小区【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ,利用2022年投入资金金额=2020年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设该市在2023年可以改造y 个老旧小区，根据2023年改造老旧小区所需资金不多于2023年投入资金金额，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ,依题意得：()2100011440x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）解：设该市在2023年可以改造y 个老旧小区，依题意得：()()80110%1440120%y ⨯+≤⨯+，解得：19.64y ≤，又∵y 为整数，∴y 的最大值为19．答：该市在2023年最多可以改造19个老旧小区．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式训练1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据题意列出一元二次方程进行求解；（2）设增加x 条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x ．依题意，得：()2225013240x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）解：设增加x 条生产线．()()9003013900x x -+=，解得14x =，225x =（不符合题意，舍去），答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．【变式训练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工x 袋、y 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题．（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程．【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工x 袋、y 袋粽子由题意得：108320032300x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：200150x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a 袋粽子由题意得：2(200150)(200100)(8)150(6)3200500a a a ⨯+++-+-=+整理得：229100a a -+=解得：12a =，2 2.5a =，又∵甲、乙两组加工的天数均为整数∴2a =∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．例．在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 及点()0,2A 、()6,0C 作矩形OABC ，AOC ∠的平分线交AB 于点(1)填空：=OP _______，OQ =_______(2)设OPQ 的面积为1S ，BQC 的面积为(3)求当t 为何值时，PQB △为直角三角形．【答案】(1)2OP t =；2OQ t=(2)371t =-②Q 在C 右侧时，3t >时，2CQ OQ CO t =-=-1（3）连接PB ，PQ ，BQ由（2）得2PQ t =，62QC t=-【点睛】本题考查动点问题，直角三角形和一元二次方程的知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾股定理和解一元二次方程的解法．(1)求当PBQ 为直角三角形时的时间(2)PBQ 的面积能否为43【答案】(1)65或者3(2)存在，2【分析】（1）根据题意有PC ∵等边ABC 中，60ABC ∠=∴30QPB ∠=︒，∴12QB PB =，∴()1262t t =-，∵等边ABC 中，60ABC ∠=∴30PQB ∠=︒，∴12QB PB =，∴1262t t ´=-，∵60ABC ∠=︒，90QMB ∠=∴30MQB Ð=°，∴12MB BQ t ==，∴223QM BQ BM =-=∵6BP t =-，【答案】163t=或72t=【详解】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．如图2，当PQ BQ =时，过点同理可证四边形DEQC 是矩形，∴DE QC t ==，QE CD =∴PE t =，如图3，当BP BQ =时，过点同理可证明四边形CDPE ∴2CE PD t PE CD ===，∴162BE t =-，CQ t =【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键．【变式训练3】如图，在的速度移动，与此同时，点(1)填空：BQ=______(2)当t为几秒时，PQ的长度等于【答案】3+3【分析】分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点当点E在BC上，且点F在CD上时．图2中的最高点是当点遇时，即到达点C时，用时6秒．由此可求出AB∴11322m AF EM =⋅⋅=⨯当x n =时，点F 在CD 上，点此时，(6)cm,FC n CE =-∴11(64)222y n =⋅-+⨯-解得33n =+，或3n =(2)30元或34元【分析】（1）设购进A 款钥匙扣x 件，购进B 款钥匙扣(30)x -件，根据等量关系：两款钥匙扣共花费850元，建立一元一次方程即可求解；（2）设将B 款钥匙扣销售价定为每件y 元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90元；由题意列出关于y 的一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设购进A 款钥匙扣x 件，购进B 款钥匙扣(30)x -件，由题意得：30(30)25850x x +-⨯=，解得：20x =，则30302010x -=-=（件）；答：购进A 款钥匙扣20件，购进B 款钥匙扣10件．（2）解：设将B 款钥匙扣销售价定为每件y 元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90元，由题意得：[](25)4(37)290y y -+-⨯=，整理得：26410200y y -+=，解得：130y =，234y =，答：将B 款钥匙扣销售价定为每件30元或34元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90元．【点睛】本题是方程的综合，考查了一元一次方程与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是钥匙的关键．3．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．(1)求樱桃的进价是每千克多少元？(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？【答案】(1)樱桃的进价是每千克10元(2)第二天樱桃的售价是每千克15元或19元【分析】（1）设樱桃的进价是每千克x 元，根据“第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元”，再列方程求解即可；（2）设第二天的售价为每千克y 元，则第二天的销量为()40+2010y -⨯⎡⎤⎣⎦千克，再根据总利润为850元列方程解答即可．【详解】（1）解：设樱桃的进价是每千克x 元，依题意得：()168018608060960x ⨯+⨯-+=，解得：10x =，(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m 元（10)m ≤），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵【分析】（1）设原计划购买小叶榕x 棵，则购买香樟50x -棵，根据题意列出方程()68010005038800x x +-=即可得出答案．（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为(68010)m -元每棵，(100010)m -元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到(68010)(352)(100010)(15)m m m m -⨯++-⨯+42400=方程式求出满足条件m 的值，即可得出答案．【详解】（1）设原计划购买小叶榕x 棵，则购买香樟50x -棵，根据题意，可得()68010005038800x x +-=，解得，35x =．答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．（2）根据题意，可得(68010)(352)(100010)(15)m m m m -⨯++-⨯+42400=，整理得，230186036000m m -+=，解得：12m =，260m =，∵≤10m ，∴2m =，∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键．。