材料力学第14章 动载荷
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材料力学
出版社 理工分社
冲击物势能对的动荷系数kd的贡献就可得到水平冲击时动载荷系数式（14.6
图14.8 例14.4两梁材料、尺寸相同，一为铰支承，一为弹簧支承(见图14.8（a）、 （b）)。已知l=3 m，梁的Iz=3 400 cm4，Wz=309 cm3，重为P=1 kN的物块 由h=0.05 m处无初速度自由落体。材料弹性E=200 GPa，弹簧柔度常数 c=0.001 cm／N。试比较两梁内的冲击应力。 解(1)计算两梁动荷系数 首先求出图14.8（a）、（b）两梁的静变形。对于(a)梁，由表7.1查得静挠
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由此可以看出，在材料处于线弹性范围内，构件的变形、内力和应力的动载 荷系数是一致的。 ①如将冲击物质量G突然加载到被冲击物上，即初速度v=0且冲击物自由下落 的高度h=0。代入式（14.5(a)）可计算得Kd = 2。相当于此时被冲击物的应 力、变形和所受的冲击力是静载荷下的两倍。 ②自由落体冲击时，冲击物初速度v=0，故代入式（14.5a）可得
如将 引入
代入式(14.6) 可得 ，则
结合式（14.5(a)）和式（14.6）以及之前的讨论可以看出，式（14.5(a)） 右端第一项代表了自重静荷载对动荷系数kd的贡献， 根号内的第一项代表 突然加载对动荷系数kd的贡献， 代表了冲击物初始动能对动荷系数kd的 贡献，代表冲击物相对冲击面所具有的势能对动荷系数kd 的贡献。所以在 垂直冲击的动载荷系数式（14.5a）中减去自重静荷载作用、突然加载以及
，求得刹车时抱闸处的摩擦力
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14.3构件受冲击时的应力和变形 在材料服从胡克定律的情况下，冲击力与被冲击构件变形成正比，如图 14.5(d)所示。在冲击过程中Fd和Δd都是从零开始增加到最大值，所以Fd在 Δd上所做的功即为图中三角形AOB的面积。故冲击结束后被冲击构件具有的 应变能为 冲击初始时刻，系统的能量包括重物的初始动能和初始势能。重物的初始动 能为 取冲击结束时的位置为零势能点，则初始时刻重物具有的势能为
故工字钢的最大动应力为
14.2.2构件作匀速或匀变速转动时的动应力 构件在匀速转动过程中，由于构建上每个点都存在向心加速度，因此每个点 都有动应力的作用。如图14.3(a)所示的圆环，以匀角速度ω绕通过圆心且 垂直于纸面的轴旋转。
图14.3
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A表示圆环横截面面积，γ表示单位体积的质量。若圆环的厚度t1远小直径D
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③当自由落体时自由落体高度远远大于被冲击物静变形量时，即 时（一
般认为当
时），据式（14.5a）
，则式（14.5）可近似表达为
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图14.7 水平冲击时，冲击物只有动能的变化，势能不变，即
冲击过程中杆的变形能为
根据能量守恒原理，初始时刻的动能将全部转换为碰撞结束时刻水平杆的应
，便可近似地认为环内各点的向心加速度大小相等，都为
。沿轴线均
匀分布的惯性力集度为
方向则背离圆心，如图14.3（b）所示。根据动静法(见图14.2（c）)，由半
个圆环的平衡方程
，得
由此求得圆环横截面上的应力为
由于 是圆环轴线上的点的线速度，于是强度条件可表达为
式（14.4）表明，为了保证飞轮具有足够的强度，对飞轮轮缘点的速度必须
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碳钢材料的αk值与温度的关系曲线，其转变温度约为-40 ℃。试件冲断后 ，断面部分面积呈晶粒状的脆性断口，另一部分呈纤维状的塑性断口。
图14.10
图14.11
并不是所有金属都有冷脆现象。有些金属材料，如铝、铜以及某些高强度合
金钢，它们的αk值在很大的温度范围内变化很小，无明显的冷脆现象。
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加以限制，使之满足上式。工程上将这一速度称为极限速度；对应的转动速 度称为极限转速。上述结果还表明，圆环内的应力与横截面面积无关，因此 ，增加飞轮轮缘部分的横截面积，无助于降低飞轮轮缘横截面上的总应力， 对于提高飞轮强度没有任何意义。 例14.2直径为d，长度为2l，比重为γ，截面面积为A的直杆AB的中点与直角 折杆的CDE固连。且与CDE所在平面垂直。杆CDE以n r/min匀速转动，如图 14.4（a）所示，若不考虑由自重引起的应力，求AB中的最大正应力。 解由结构对称性可知，可取AB的一半进行受力分析。由于AB跟随CDE一同旋 转，故AB上各界面均有向心加速度。距离E点x处单位长度杆的惯性力为（见 图14.4（b））： 可分解为两个分量，分别为
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度Δst为
因为
，所以据式14.5（b），有
对于(b)梁，静挠度为
所以据式14.5（a），有
(2)计算静应力和动应力 梁内最大静应力为
由
，求得两梁的最大动应力为
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(a)梁 (b)梁 例14.5如图14.9所示，速度为v，重为W的重物，沿水平方向冲击梁的顶端截 面，试求梁的最大动应力（设已知梁的E、IZ和WZ）。 解首先计算动载荷系数。由表7.1查得
αk的单位为焦耳/毫米2（J/mm2）。αk越大，材料抗冲击的能力就越强。 试验结果表明，αk的值随着温度的降低而减小，在某一温度范围下，材料 将变得很脆，其αk值突然变小，这就是冷脆现象，这一温度范围称为转变 温度。各种材料的αk值与温度的关系及其转变温度都不相同，图14.11为低
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第14章 动载荷
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14.1概述 实验表明，在动载荷作用下，只要构件的动应力不超过比例极限，胡克定律 仍然成立，且材料的弹性模量与静载荷作用下的弹性模量数值相同。 材料力学仅讨论其中最常见的动载荷问题，主要可以划分为3类：匀加速直 线运动和匀速旋转运动、冲击、交变荷载等。本章主要讨论构件在匀加速直 线运动、匀速旋转运动及冲击下的动应力，交变荷载及交变应力将在下一章 讨论。
变能即
类似于垂直冲击，仍然采用以静载荷作用下的应力等作为基数再乘以动载荷
系数的方法计算动应力。可假想将大小等于重物重力P的力加载在水平杆件
端面，此时
，故式（c）可写成
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式（d）中，Δst为大小等于P的静载荷沿水平方向施加到杆件上时，杆件的 静变形量。由此可得水平冲击时的动荷因数为
这样钢梁匀减速下降时钢索的拉力Fd与均布力系qd组成形式上的静平衡力系
。钢梁为匀速下降，
，由式(14.1)可计算下降时动载荷系数为
钢索匀减速下降时，槽钢所受到的动载荷集度为
由平衡条件可得，钢索匀加速上升时所受拉力为
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据前述弯曲内力分析，工字钢的最大弯矩在其中间截面上，其值为
图 14.5 解(1)计算角加速度α。飞轮与轴的转动角速度
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刹车时的角加速度
式中，负号表示角加速度α与角速度w0反向。 (2)确定惯性力偶矩Md。 由角加速度引起的惯性力偶矩的数值为
其方向与α方向相反，如图14.5所示。 (3)计算动应力。 由静力学平衡条件 矩Mf为 在Mf与Md作用下，轴内的扭矩为 因而该轴的最大剪应力为
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由此可判断杆AB为承受拉弯组合变形，且E截面为危险界面。E截面的最大轴 力和最大弯矩分别为
因而最大正应力为
图14.4
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当构件作匀角加速转动时，同样可以用上述动静法计算构件的动应力，只是 此时需要考虑由于构件旋转时的角加速度而具有的惯性力偶。 例14．3圆轴AB的质量忽略不计，在其A端装有抱闸，B端装有飞轮(见图 14.5)。飞轮的转速n=100 r/min，转动惯量Ix=0.5 kNm·s2，轴的直径 d=100 mm。刹车时，使轴在5 s内按匀减速停止转动。试求轴内最大动应力
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长度质量为ρ=23.09 kg/m。 钢梁受力如图14.2（b）所示，其中qd为槽钢梁所受到的动载荷集度，其中 包含了槽钢自重引起的均布荷载集度和由于槽钢减速度所引起的均布惯性力 系的集度，其大小为
依据冲击过程能量守恒的假设可得
在线弹性范围内，载荷、变形与应力成正比，故有
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图14.6
式(e) 中的P，Δst及σst为静载时的静载荷、静变形与静应力。将式（d） 两端同时除以P，得 再由式（e），得 整理上式，得 求解上式，得 则动荷系数为
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这样式（h）和式（e）就可以写为
14.2惯性力问题 惯性力问题通常用达朗伯原理（动静法）求解，杆件作等加速直线运动和作 等速转动的应力问题等是常见的惯性力问题。达朗伯原理指出，对作加速运 动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力FI=ma，则质点系上的原力 系与惯性力系组成平衡力系。这样，就可把动力学问题在形式上作为静力学
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代入公式（14.6）得
而后计算动载荷。在物块自重W的作用下，静应力的 最大值为 乘以动载荷系数得
图14.9
Baidu Nhomakorabea
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14.4冲击韧性 在工程中，通常用冲击韧性作为衡量材料抗冲击能力的性能指标，以αk表 示，它是通过冲击试验测定的。试验时，将带有切槽的标准弯曲试件放置于 冲击试验机的支架上，并使切槽位于弯曲试件受拉的一侧，如图14.10所示 。当试验机的摆锤从一定高度下落并将试件冲断时，试件所吸收的能量等于 摆锤所做的功W。用摆锤所做的功除以试件在切槽处的最小横截面面积A，就 得到材料的冲击韧性αk，即
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问题来处理，这就是动静法。于是，对于有加速度的构件在添加了惯性力之 后，仍然可以沿用之前求解静应力和静变形的计算方法。 14.2.1杆件作等加速直线运动的动应力 根据动静法，对于作等加速直线运动的构件图14.1，只要加速度已知，就可 以计算惯性力，然后依据达朗伯原理施加惯性力，采用动静法求解构件的动 约束力。 例如图14.1中，一钢索起吊重物，以等加速度 a提升。 重物 M的重力为P，钢索的横截面积为A ，钢索的质量 与P相比甚小而可略去不计。钢索除受重力 P 作用外， 还受动载荷（钢索拉力）作用。根据动静法，将与加速 度方向相反的惯性力 Pga 加在重物上，这样，可按静载 荷问题求解钢索横截面上的轴力Nd。由静力平衡方程，得 图14.1
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冲击物势能对的动荷系数kd的贡献就可得到水平冲击时动载荷系数式（14.6
图14.8 例14.4两梁材料、尺寸相同，一为铰支承，一为弹簧支承(见图14.8（a）、 （b）)。已知l=3 m，梁的Iz=3 400 cm4，Wz=309 cm3，重为P=1 kN的物块 由h=0.05 m处无初速度自由落体。材料弹性E=200 GPa，弹簧柔度常数 c=0.001 cm／N。试比较两梁内的冲击应力。 解(1)计算两梁动荷系数 首先求出图14.8（a）、（b）两梁的静变形。对于(a)梁，由表7.1查得静挠
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由此可以看出，在材料处于线弹性范围内，构件的变形、内力和应力的动载 荷系数是一致的。 ①如将冲击物质量G突然加载到被冲击物上，即初速度v=0且冲击物自由下落 的高度h=0。代入式（14.5(a)）可计算得Kd = 2。相当于此时被冲击物的应 力、变形和所受的冲击力是静载荷下的两倍。 ②自由落体冲击时，冲击物初速度v=0，故代入式（14.5a）可得
如将 引入
代入式(14.6) 可得 ，则
结合式（14.5(a)）和式（14.6）以及之前的讨论可以看出，式（14.5(a)） 右端第一项代表了自重静荷载对动荷系数kd的贡献， 根号内的第一项代表 突然加载对动荷系数kd的贡献， 代表了冲击物初始动能对动荷系数kd的 贡献，代表冲击物相对冲击面所具有的势能对动荷系数kd 的贡献。所以在 垂直冲击的动载荷系数式（14.5a）中减去自重静荷载作用、突然加载以及
，求得刹车时抱闸处的摩擦力
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14.3构件受冲击时的应力和变形 在材料服从胡克定律的情况下，冲击力与被冲击构件变形成正比，如图 14.5(d)所示。在冲击过程中Fd和Δd都是从零开始增加到最大值，所以Fd在 Δd上所做的功即为图中三角形AOB的面积。故冲击结束后被冲击构件具有的 应变能为 冲击初始时刻，系统的能量包括重物的初始动能和初始势能。重物的初始动 能为 取冲击结束时的位置为零势能点，则初始时刻重物具有的势能为
故工字钢的最大动应力为
14.2.2构件作匀速或匀变速转动时的动应力 构件在匀速转动过程中，由于构建上每个点都存在向心加速度，因此每个点 都有动应力的作用。如图14.3(a)所示的圆环，以匀角速度ω绕通过圆心且 垂直于纸面的轴旋转。
图14.3
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A表示圆环横截面面积，γ表示单位体积的质量。若圆环的厚度t1远小直径D
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③当自由落体时自由落体高度远远大于被冲击物静变形量时，即 时（一
般认为当
时），据式（14.5a）
，则式（14.5）可近似表达为
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图14.7 水平冲击时，冲击物只有动能的变化，势能不变，即
冲击过程中杆的变形能为
根据能量守恒原理，初始时刻的动能将全部转换为碰撞结束时刻水平杆的应
，便可近似地认为环内各点的向心加速度大小相等，都为
。沿轴线均
匀分布的惯性力集度为
方向则背离圆心，如图14.3（b）所示。根据动静法(见图14.2（c）)，由半
个圆环的平衡方程
，得
由此求得圆环横截面上的应力为
由于 是圆环轴线上的点的线速度，于是强度条件可表达为
式（14.4）表明，为了保证飞轮具有足够的强度，对飞轮轮缘点的速度必须
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碳钢材料的αk值与温度的关系曲线，其转变温度约为-40 ℃。试件冲断后 ，断面部分面积呈晶粒状的脆性断口，另一部分呈纤维状的塑性断口。
图14.10
图14.11
并不是所有金属都有冷脆现象。有些金属材料，如铝、铜以及某些高强度合
金钢，它们的αk值在很大的温度范围内变化很小，无明显的冷脆现象。
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加以限制，使之满足上式。工程上将这一速度称为极限速度；对应的转动速 度称为极限转速。上述结果还表明，圆环内的应力与横截面面积无关，因此 ，增加飞轮轮缘部分的横截面积，无助于降低飞轮轮缘横截面上的总应力， 对于提高飞轮强度没有任何意义。 例14.2直径为d，长度为2l，比重为γ，截面面积为A的直杆AB的中点与直角 折杆的CDE固连。且与CDE所在平面垂直。杆CDE以n r/min匀速转动，如图 14.4（a）所示，若不考虑由自重引起的应力，求AB中的最大正应力。 解由结构对称性可知，可取AB的一半进行受力分析。由于AB跟随CDE一同旋 转，故AB上各界面均有向心加速度。距离E点x处单位长度杆的惯性力为（见 图14.4（b））： 可分解为两个分量，分别为
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材料力学
度Δst为
因为
，所以据式14.5（b），有
对于(b)梁，静挠度为
所以据式14.5（a），有
(2)计算静应力和动应力 梁内最大静应力为
由
，求得两梁的最大动应力为
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(a)梁 (b)梁 例14.5如图14.9所示，速度为v，重为W的重物，沿水平方向冲击梁的顶端截 面，试求梁的最大动应力（设已知梁的E、IZ和WZ）。 解首先计算动载荷系数。由表7.1查得
αk的单位为焦耳/毫米2（J/mm2）。αk越大，材料抗冲击的能力就越强。 试验结果表明，αk的值随着温度的降低而减小，在某一温度范围下，材料 将变得很脆，其αk值突然变小，这就是冷脆现象，这一温度范围称为转变 温度。各种材料的αk值与温度的关系及其转变温度都不相同，图14.11为低
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14.1概述 实验表明，在动载荷作用下，只要构件的动应力不超过比例极限，胡克定律 仍然成立，且材料的弹性模量与静载荷作用下的弹性模量数值相同。 材料力学仅讨论其中最常见的动载荷问题，主要可以划分为3类：匀加速直 线运动和匀速旋转运动、冲击、交变荷载等。本章主要讨论构件在匀加速直 线运动、匀速旋转运动及冲击下的动应力，交变荷载及交变应力将在下一章 讨论。
变能即
类似于垂直冲击，仍然采用以静载荷作用下的应力等作为基数再乘以动载荷
系数的方法计算动应力。可假想将大小等于重物重力P的力加载在水平杆件
端面，此时
，故式（c）可写成
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式（d）中，Δst为大小等于P的静载荷沿水平方向施加到杆件上时，杆件的 静变形量。由此可得水平冲击时的动荷因数为
这样钢梁匀减速下降时钢索的拉力Fd与均布力系qd组成形式上的静平衡力系
。钢梁为匀速下降，
，由式(14.1)可计算下降时动载荷系数为
钢索匀减速下降时，槽钢所受到的动载荷集度为
由平衡条件可得，钢索匀加速上升时所受拉力为
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据前述弯曲内力分析，工字钢的最大弯矩在其中间截面上，其值为
图 14.5 解(1)计算角加速度α。飞轮与轴的转动角速度
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刹车时的角加速度
式中，负号表示角加速度α与角速度w0反向。 (2)确定惯性力偶矩Md。 由角加速度引起的惯性力偶矩的数值为
其方向与α方向相反，如图14.5所示。 (3)计算动应力。 由静力学平衡条件 矩Mf为 在Mf与Md作用下，轴内的扭矩为 因而该轴的最大剪应力为
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由此可判断杆AB为承受拉弯组合变形，且E截面为危险界面。E截面的最大轴 力和最大弯矩分别为
因而最大正应力为
图14.4
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当构件作匀角加速转动时，同样可以用上述动静法计算构件的动应力，只是 此时需要考虑由于构件旋转时的角加速度而具有的惯性力偶。 例14．3圆轴AB的质量忽略不计，在其A端装有抱闸，B端装有飞轮(见图 14.5)。飞轮的转速n=100 r/min，转动惯量Ix=0.5 kNm·s2，轴的直径 d=100 mm。刹车时，使轴在5 s内按匀减速停止转动。试求轴内最大动应力
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长度质量为ρ=23.09 kg/m。 钢梁受力如图14.2（b）所示，其中qd为槽钢梁所受到的动载荷集度，其中 包含了槽钢自重引起的均布荷载集度和由于槽钢减速度所引起的均布惯性力 系的集度，其大小为
依据冲击过程能量守恒的假设可得
在线弹性范围内，载荷、变形与应力成正比，故有
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式(e) 中的P，Δst及σst为静载时的静载荷、静变形与静应力。将式（d） 两端同时除以P，得 再由式（e），得 整理上式，得 求解上式，得 则动荷系数为
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这样式（h）和式（e）就可以写为
14.2惯性力问题 惯性力问题通常用达朗伯原理（动静法）求解，杆件作等加速直线运动和作 等速转动的应力问题等是常见的惯性力问题。达朗伯原理指出，对作加速运 动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力FI=ma，则质点系上的原力 系与惯性力系组成平衡力系。这样，就可把动力学问题在形式上作为静力学
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代入公式（14.6）得
而后计算动载荷。在物块自重W的作用下，静应力的 最大值为 乘以动载荷系数得
图14.9
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14.4冲击韧性 在工程中，通常用冲击韧性作为衡量材料抗冲击能力的性能指标，以αk表 示，它是通过冲击试验测定的。试验时，将带有切槽的标准弯曲试件放置于 冲击试验机的支架上，并使切槽位于弯曲试件受拉的一侧，如图14.10所示 。当试验机的摆锤从一定高度下落并将试件冲断时，试件所吸收的能量等于 摆锤所做的功W。用摆锤所做的功除以试件在切槽处的最小横截面面积A，就 得到材料的冲击韧性αk，即
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问题来处理，这就是动静法。于是，对于有加速度的构件在添加了惯性力之 后，仍然可以沿用之前求解静应力和静变形的计算方法。 14.2.1杆件作等加速直线运动的动应力 根据动静法，对于作等加速直线运动的构件图14.1，只要加速度已知，就可 以计算惯性力，然后依据达朗伯原理施加惯性力，采用动静法求解构件的动 约束力。 例如图14.1中，一钢索起吊重物，以等加速度 a提升。 重物 M的重力为P，钢索的横截面积为A ，钢索的质量 与P相比甚小而可略去不计。钢索除受重力 P 作用外， 还受动载荷（钢索拉力）作用。根据动静法，将与加速 度方向相反的惯性力 Pga 加在重物上，这样，可按静载 荷问题求解钢索横截面上的轴力Nd。由静力平衡方程，得 图14.1