材料力学第14章 动载荷
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材料力学 第十四章动荷载及交变应力
2.5m
FNd
2.5m
σ d m ax
M d m ax = = 13 5.4 M P a < [σ ] Wz
梁的强度足够. 梁的强度足够.
二,构件作匀速转动时的应力
轮缘
ω
D
δ
轮幅
y
ω
qd d
D
O
O
m m FNd
O n n FNd x
an=ω2D/2
FNd Aρω 2 D 2 = 4
D Aρω 2 D qd = 1. A.ρω 2 = 2 2 FNd ρω 2 D 2 σd = = = ρ v 2 ≤ [σ ] A 4
di = kd sti Fd = kd P
σ d = kdσ st
动荷因数kd中的st计算:是将冲击物的重量P 动荷因数 中的 计算:是将冲击物的重量 作为静荷载沿冲击方向作用在被冲击构件的冲 击点,引起该点沿冲击方向的位移. 击点,引起该点沿冲击方向的位移.
P
st
l
EA
P h P l
Pd
Δd
如:轮船靠泊时的冲击力 起吊重物时的惯性力
t
构件由动荷载引起的应力和变形称为动应力和动变形. 构件由动荷载引起的应力和变形称为动应力和动变形. 构件在动荷载作用下,同样有强度,刚度和稳定性问题. 构件在动荷载作用下,同样有强度,刚度和稳定性问题. 构件内的应力随时间作交替变化,则称为交变应力. 构件内的应力随时间作交替变化,则称为交变应力.
动荷载作用下构件的材料仍服从虎克定律. 动荷载作用下构件的材料仍服从虎克定律. 构件的材料仍服从虎克定律
§14-2 构件作匀加速直线运动 14和匀速转动时的应力
构件作匀加速直线运动时,内部各质点具有相同的 构件作匀加速直线运动时, 加速度;构件作匀速转动时, 加速度;构件作匀速转动时,内部各质点均具有向 心加速度. 心加速度.
材料力学十四动载荷
第19页/共27页
解出：
d st 1
1
2h st
kd
d st
1
1
2h st
Pd kd P
d kd st
d kd st
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思考：
1 P(h d ) 2 Pd d
由于d h,
Ph
1 2
Pd
d
继续推导，会得 到什么结果？
P
E, A
h
Pd
d
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kd
加速提升
测量方案
千分表
移动静载荷，不 是动载荷
•旋转的圆盘 •冲击 共同特点：加速度
第4页/共27页
§14-1 直线运动的动载和转动动载
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车 ，现在问5个问题
1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂
2. 物体匀速地向上提升
3. 物体以加速度a向上提升
4. 物体匀速地向上提升中改为以加速 度a匀减速
h
▪冲击物为刚体
▪忽略被冲击物质量
d
▪冲击过程中，冲击物的能量 完全转变为杆的变形位能。
第18页/共27页
重物P的势能完全转化为杆 的变形位能
Ud P(h d )
P
Ud
W
1 2
Pd d
1 P(h d ) 2 Pd d
Pd P
d st
d st
kd
E, A
h
Pd
d
P(h
d
)
1 2
P
2d st
理解：
贤人从一个方面的细微处推究，细微处也有真诚 境界，真诚就能显形道理，显形到致显著，显著导致 鲜明，鲜明导致变动，变动导致运化，天下唯有至诚 才能运化事物。
材料力学第十四章 动载荷
> sigma[dmin]:=sigma[st]*(1-beta*Fd/P): #梁危险点的最小动应力。
> beta:=1/sqrt((1-(omega/omega0)^2)^2
>
+4*(delta/omega0)^2*(omega/omega0)^2): #放大因子
> beta:=subs(delta=0,beta):
已知：
l 3m 0
E 200GPa I 2 2500cm4
P 12kN
Fd 2.5kN
W 2 250cm3
n 1500 r min
求：（1）
dmax ?
（2）
d min ?
解： ●建模 ① 跨度中点截面的上、下边缘处的各点为危险点。求在电动机重量P 以静载方
式作用下的最大静应力； ② 求在 P 作用下跨度中点的静挠度st ； ③ 求系统的固有频率； ④求干扰力的频率； ⑤求放大因子 ； ⑥求梁危险点的最大动应力； ⑦求梁危险点的最小动应力。
● Maple程序
> restart:
#清零。
> sigma[dmax]:=sigma[st]*(1+beta*Fd/P): #梁危险点的最大动应力。
dFd
tbds
g
D2 2
单位环向长度上的惯性力
qd
tD 2 2g
根据达朗贝尔原理，将均布的惯性力
qd
tD 2 2g
加到圆环上，此惯性力的作用与薄壁圆筒内压的作用相同，故圆环上的环向应力为
d
qd D 2t
v 2
式中 v D 2 为圆环轴线上各点的线速度。
材料力学第十四章动载荷
1 提供挑战
动载荷模拟现实环境中的力学行为，为材料的设计和优化提供了挑战。
2 引发研究
动载荷引发了许多重要的研究领域，如疲劳寿命和冲击响
动载荷的幅值大小对材 料的破坏性有直接影响。
高频载荷可能导致材料 的疲劳破坏，而低频载 荷可能导致材料弹性变 形。
3 应变速率
材料力学第十四章动载荷
欢迎来到材料力学第十四章动载荷的精彩旅程！在本章中，我们将深入探讨 动载荷的定义、分类以及其在材料工程中的作用。
动载荷定义和分类
1 定义
2 分类
动载荷是指在工程或实验过程中，对材料 施加的瞬时或频繁变化的荷载。
动载荷可以分为冲击载荷、振动载荷和循 环载荷等不同类型。
动载荷的作用
2 冲击破坏
突然的冲击载荷可能导致材料的瞬时破坏和变形。
动载荷的应用领域
航空航天
动载荷在航空航天工程中 的重要性不言而喻，如航 天器的起飞和着陆过程。
交通运输
道路、铁路和桥梁等交通 基础设施都要承受动载荷 的影响。
建筑工程
建筑结构需要抵抗风荷载、 地震等动态荷载的作用。
总结和展望
本章中，我们深入了解了动载荷的定义、分类、作用以及影响因素。动载荷 的研究对于材料工程的发展和设计至关重要，未来仍然有许多挑战和机会等 待我们探索。
快速应变速率下，材料 的应变率和应力值可能 会急剧增加。
动载荷的检测方法
1 传感器测量
2 数值模拟
使用应变传感器、加速度计等设备来监测 动载荷的大小和变化。
通过数值模拟方法，可以预测材料在特定 动载荷下的响应和破坏。
动载荷下的材料破坏
1 疲劳破坏
在长期循环载荷下，材料可能会发生疲劳破坏，导致损伤和断裂。
动载荷模拟现实环境中的力学行为，为材料的设计和优化提供了挑战。
2 引发研究
动载荷引发了许多重要的研究领域，如疲劳寿命和冲击响
动载荷的幅值大小对材 料的破坏性有直接影响。
高频载荷可能导致材料 的疲劳破坏，而低频载 荷可能导致材料弹性变 形。
3 应变速率
材料力学第十四章动载荷
欢迎来到材料力学第十四章动载荷的精彩旅程！在本章中，我们将深入探讨 动载荷的定义、分类以及其在材料工程中的作用。
动载荷定义和分类
1 定义
2 分类
动载荷是指在工程或实验过程中，对材料 施加的瞬时或频繁变化的荷载。
动载荷可以分为冲击载荷、振动载荷和循 环载荷等不同类型。
动载荷的作用
2 冲击破坏
突然的冲击载荷可能导致材料的瞬时破坏和变形。
动载荷的应用领域
航空航天
动载荷在航空航天工程中 的重要性不言而喻，如航 天器的起飞和着陆过程。
交通运输
道路、铁路和桥梁等交通 基础设施都要承受动载荷 的影响。
建筑工程
建筑结构需要抵抗风荷载、 地震等动态荷载的作用。
总结和展望
本章中，我们深入了解了动载荷的定义、分类、作用以及影响因素。动载荷 的研究对于材料工程的发展和设计至关重要，未来仍然有许多挑战和机会等 待我们探索。
快速应变速率下，材料 的应变率和应力值可能 会急剧增加。
动载荷的检测方法
1 传感器测量
2 数值模拟
使用应变传感器、加速度计等设备来监测 动载荷的大小和变化。
通过数值模拟方法，可以预测材料在特定 动载荷下的响应和破坏。
动载荷下的材料破坏
1 疲劳破坏
在长期循环载荷下，材料可能会发生疲劳破坏，导致损伤和断裂。
材料力学——第14章(动荷载)
21
思考题
22
§14-1 动荷载的概念 §14-2 构件受冲击荷载时的应力和变形计算
1
§14-1 动荷载的概念
静荷载 数值从零平缓增加至最终值后不再变化的荷载。 在静荷载作用下，构件各质点的加速度很小，可以 忽略不计。 动荷载
作加速运动或转动的系统中构件的惯性力，以及 随时间作明显变化的荷载。
动荷载作用下构件的应力和变形分别称为动应力和 动变形。
W v2 d K d st 1 1 3 A Wa Wl g EA 3 EI
14
[例14-2] 悬臂梁，在自由端B上方有一重物自由落下， 撞击到梁上。已知梁材料为木材，弹性模量E=10Gpa,梁长 l=1m，截面为120mm×120mm的矩形 ;重物高度h=40mm， 重量G=1kG ，求梁所受的冲击荷载Fd 和最大冲击力σd。
∴梁的抗冲击能力不够。
18
⑵安装橡胶垫，求重物的许可落下高度 梁C截面的静位移
3.6 st 2.6 5 0.5 st 8.23mm 2.4
2
根据强度条件
max K d st max d
110 3.4 32.4
st max
I z 1660cm 4
Wz 185cm 3
M max 6 103 32.4 MPa 6 Wz 185 10
②梁C 截面的静位移
Ga 2 ( a l ) 5 103 1.22 ( 2.4 1.2 ) st 3 EI 3 200 109 1660 10 8
17 2.6 103 2.6mm
③动荷系数
2 15 Kd 1 1 1 1 4.54 st 2.6 2h
思考题
22
§14-1 动荷载的概念 §14-2 构件受冲击荷载时的应力和变形计算
1
§14-1 动荷载的概念
静荷载 数值从零平缓增加至最终值后不再变化的荷载。 在静荷载作用下，构件各质点的加速度很小，可以 忽略不计。 动荷载
作加速运动或转动的系统中构件的惯性力，以及 随时间作明显变化的荷载。
动荷载作用下构件的应力和变形分别称为动应力和 动变形。
W v2 d K d st 1 1 3 A Wa Wl g EA 3 EI
14
[例14-2] 悬臂梁，在自由端B上方有一重物自由落下， 撞击到梁上。已知梁材料为木材，弹性模量E=10Gpa,梁长 l=1m，截面为120mm×120mm的矩形 ;重物高度h=40mm， 重量G=1kG ，求梁所受的冲击荷载Fd 和最大冲击力σd。
∴梁的抗冲击能力不够。
18
⑵安装橡胶垫，求重物的许可落下高度 梁C截面的静位移
3.6 st 2.6 5 0.5 st 8.23mm 2.4
2
根据强度条件
max K d st max d
110 3.4 32.4
st max
I z 1660cm 4
Wz 185cm 3
M max 6 103 32.4 MPa 6 Wz 185 10
②梁C 截面的静位移
Ga 2 ( a l ) 5 103 1.22 ( 2.4 1.2 ) st 3 EI 3 200 109 1660 10 8
17 2.6 103 2.6mm
③动荷系数
2 15 Kd 1 1 1 1 4.54 st 2.6 2h
材料力学(动载荷)
材料力学
第十四章 动荷载
前面章节中讨论的构件，都是在静止状态下承受荷载作 用的构件。所谓静荷载，是指荷载由零逐渐增长至最终值， 以后就保持不变或变动不明显的荷载。 如果构件本身处于加速度运动状态或静止的构件承受处 于运动状态的物体作用时，那么构件受到的荷载就是动荷载。 本章主要研究构件作等加速运动时，或受到作等加速运 动的物体作用时的应力和变形计算、构件受到冲击荷载作用 时的应力和变形计算。
圆环内的正应力为：
ND 2 D 14 3 A g
强度条件为：
D 2 14 4
g
从强度条件可知，若要旋转圆环不能因强度不足而破坏， 则应限制圆环的速度。从式（14-4）可得到容许的最大线速 度为： g 14 5
2 KD 1 1 14 9 g C
（二）水平冲击时的动荷系数
冲击物的动能为：
2 1 Q T m 2 2 2g
被冲击构件的变形能为：
2 1 Q D U D PD D 2 2 C
图14-4
根据 T=UD 得：
2 Q 2 Q D 2g 2 C
C
12 EIH Ql 3
图a
MA Ql 最大静应力为： C Wz 2Wz
（二）图b的动荷系数和最大静应力
Ql 3 Q 2Ql 3 B 点的静位移为： C 3 EI k 3 EI
动荷系数为： K D
2H 3 EIH C Ql 3
图b
M A Ql 最大静应力为： C Wz Wz
根据能量守恒，冲击物的全部动能完全转变为弹性体 （构件）的变形能，即
T U D 14 6
第十四章 动荷载
前面章节中讨论的构件，都是在静止状态下承受荷载作 用的构件。所谓静荷载，是指荷载由零逐渐增长至最终值， 以后就保持不变或变动不明显的荷载。 如果构件本身处于加速度运动状态或静止的构件承受处 于运动状态的物体作用时，那么构件受到的荷载就是动荷载。 本章主要研究构件作等加速运动时，或受到作等加速运 动的物体作用时的应力和变形计算、构件受到冲击荷载作用 时的应力和变形计算。
圆环内的正应力为：
ND 2 D 14 3 A g
强度条件为：
D 2 14 4
g
从强度条件可知，若要旋转圆环不能因强度不足而破坏， 则应限制圆环的速度。从式（14-4）可得到容许的最大线速 度为： g 14 5
2 KD 1 1 14 9 g C
（二）水平冲击时的动荷系数
冲击物的动能为：
2 1 Q T m 2 2 2g
被冲击构件的变形能为：
2 1 Q D U D PD D 2 2 C
图14-4
根据 T=UD 得：
2 Q 2 Q D 2g 2 C
C
12 EIH Ql 3
图a
MA Ql 最大静应力为： C Wz 2Wz
（二）图b的动荷系数和最大静应力
Ql 3 Q 2Ql 3 B 点的静位移为： C 3 EI k 3 EI
动荷系数为： K D
2H 3 EIH C Ql 3
图b
M A Ql 最大静应力为： C Wz Wz
根据能量守恒，冲击物的全部动能完全转变为弹性体 （构件）的变形能，即
T U D 14 6
材料力学动载荷的概念及分类
第14章动载荷14.1 动载荷的概念及分类在以前各章中，我们主要研究了杆件在静载荷作用下的强度、刚度和稳定性的计算问题。
所谓静载荷就是指加载过程缓慢，认为载荷从零开始平缓地增加，以致在加载过程中，杆件各点的加速度很小，可以忽略不计，并且载荷加到最终值后不再随时间而改变。
在工程实际中，有些高速旋转的部件或加速提升的构件等，其质点的加速度是明显的。
如涡轮机的长叶片，由于旋转时的惯性力所引起的拉应力可以达到相当大的数值；高速旋转的砂轮，由于离心惯性力的作用而有可能炸裂；又如锻压汽锤的锤杆、紧急制动的转轴等构件，在非常短暂的时间内速度发生急剧的变化等等。
这些部属于动载荷研究的实际工作问题。
实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。
动载荷可依其作用方式的不同，分为以下三类：1．构件作加速运动。
这时构件的各个质点将受到与其加速度有关的惯性力作用，故此类问题习惯上又称为惯性力问题。
2．载荷以一定的速度施加于构件上，或者构件的运动突然受阻，这类问题称为冲击问题。
3．构件受到的载荷或由载荷引起的应力的大小或方向，是随着时间而呈周期性变化的，这类问题称为交变应力问题。
实践表明：构件受到前两类动载荷作用时，材料的抗力与静载时的表现并无明显的差异，只是动载荷的作用效果一般都比静载荷大。
因而，只要能够找出这两种作用效果之间的关系，即可将动载荷问题转化为静载荷问问题处理。
而当构件受到第三类动载荷作用时，材料的表现则与静载荷下截然不同，故将在第15章中进行专门研究。
下面，就依次讨论构件受前两类动载荷作用时的强度计算问题。
14.2 构件作加速运动时的应力计算本节只讨论构件内各质点的加速度为常数的情形，即匀加速运动构件的应力计算。
14.2.1 构件作匀加速直线运动设吊车以匀加速度a吊起一根匀质等直杆，如图14-1(a)所示。
杆件长度为l，横截面面积为A，杆件单位体积的重量为 ，现在来分析杆内的应力。
材料力学：第14章 动荷载
等加速运动状况—惯性力是个定值
变加速运动状况—惯性力是时间的函数 (是变荷载)
这里讨论等加速运动状态
2.等加速直线运动构件的应力计算
等加速直线运动：
a
FD
FD
a
W
W g
a
1
a g
W
D
W A
W Ag
a
1
a g
st
惯性力
W 静荷载
W a 动荷载
g
D kD st
k D
1
a g
动荷系数
2.等加速直线运动构件的应力计算
max j
M max j Wy
36.7MPa
dk d max j 59.1MPa
第十四章 动荷载/二、等加速运动构件的应力计算
3 圆环等角度转动时构件的应力与变形计算：
(1)圆环横截面上的应力
图示匀质等截面圆环,绕着通过环中心且
an
t
Do
垂直于圆环平面的轴以等角速度旋转, 已知横截面面积为A,材料的容重为γ,壁厚 为t,求圆环横截面上的应力。
b＝1m。
q
F 运动方向
o
qL qb 2 qb 2 2
qL qb 2 qb 2
2
b
L
b a vt v0 6 m s2
＋
t
q 22.639.8 222kN m
qd
qst
a g
qL2 qb2 g2
Wy 24.2106 m3
qst 22.63kg m
kd
1
a g
1.61
q
qst qst g
转动惯量为 Ix 0.5KNMS2 。轴的直径 d 100mm
刹车时使轴在10秒内均匀减速停止。求轴内最大动应力。
变加速运动状况—惯性力是时间的函数 (是变荷载)
这里讨论等加速运动状态
2.等加速直线运动构件的应力计算
等加速直线运动：
a
FD
FD
a
W
W g
a
1
a g
W
D
W A
W Ag
a
1
a g
st
惯性力
W 静荷载
W a 动荷载
g
D kD st
k D
1
a g
动荷系数
2.等加速直线运动构件的应力计算
max j
M max j Wy
36.7MPa
dk d max j 59.1MPa
第十四章 动荷载/二、等加速运动构件的应力计算
3 圆环等角度转动时构件的应力与变形计算：
(1)圆环横截面上的应力
图示匀质等截面圆环,绕着通过环中心且
an
t
Do
垂直于圆环平面的轴以等角速度旋转, 已知横截面面积为A,材料的容重为γ,壁厚 为t,求圆环横截面上的应力。
b＝1m。
q
F 运动方向
o
qL qb 2 qb 2 2
qL qb 2 qb 2
2
b
L
b a vt v0 6 m s2
＋
t
q 22.639.8 222kN m
qd
qst
a g
qL2 qb2 g2
Wy 24.2106 m3
qst 22.63kg m
kd
1
a g
1.61
q
qst qst g
转动惯量为 Ix 0.5KNMS2 。轴的直径 d 100mm
刹车时使轴在10秒内均匀减速停止。求轴内最大动应力。
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解得
从而可求得钢索横截面上的动应力为
设
，静平衡状态下（没有加速度），静载荷P作用时钢索横截面上的
静应力，则式(c)可表示为
其中
kd称为动载荷系数。对于有动载荷作用的构件，常用动载荷系数 kd 来反映 动载荷的效应。
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表明动应力就等于静应力乘以动荷因数。此时钢索的强度条件可写为
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长度质量为ρ=23.09 kg/m。 钢梁受力如图14.2（b）所示，其中qd为槽钢梁所受到的动载荷集度，其中 包含了槽钢自重引起的均布荷载集度和由于槽钢减速度所引起的均布惯性力 系的集度，其大小为
这样钢梁匀减速下降时钢索的拉力Fd与均布力系qd组成形式上的静平衡力系
。钢梁为匀速下降，
，由式(14.1)可计算下降时动载荷系数为
钢索匀减速下降时，槽钢所受到的动载荷集度为
由平衡条件可得，钢索匀加速上升时所受拉力为
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据前述弯曲内力分析，工字钢的最大弯矩在其中间截面上，其值为
故工字钢的最大动应力为
14.2.2构件作匀速或匀变速转动时的动应力 构件在匀速转动过程中，由于构建上每个点都存在向心加速度，因此每个点 都有动应力的作用。如图14.3(a)所示的圆环，以匀角速度ω绕通过圆心且 垂直于纸面的轴旋转。
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第14章 动载荷
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14.1概述 实验表明，在动载荷作用下，只要构件的动应力不超过比例极限，胡克定律 仍然成立，且材料的弹性模量与静载荷作用下的弹性模量数值相同。 材料力学仅讨论其中最常见的动载荷问题，主要可以划分为3类：匀加速直 线运动和匀速旋转运动、冲击、交变荷载等。本章主要讨论构件在匀加速直 线运动、匀速旋转运动及冲击下的动应力，交变荷载及交变应力将在下一章 讨论。
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这样钢梁匀减速下降时钢索的拉力Fd与均布力系qd组成形式上的静平衡力系
。钢梁为匀速下降，
，由式(14.1)可计算下降时动载荷系数为
钢索匀减速下降时，槽钢所受到的动载荷集度为
由平衡条件可得，钢索匀加速上升时所受拉力为
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据前述弯曲内力分析，工字钢的最大弯矩在其中间截面上，其值为
14.2惯性力问题 惯性力问题通常用达朗伯原理（动静法）求解，杆件作等加速直线运动和作 等速转动的应力问题等是常见的惯性力问题。达朗伯原理指出，对作加速运 动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力FI=ma，则质点系上的原力 系与惯性力系组成平衡力系。这样，就可把动力学问题在形式上作为静力学
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第14章 动载荷
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14.1概述 实验表明，在动载荷作用下，只要构件的动应力不超过比例极限，胡克定律 仍然成立，且材料的弹性模量与静载荷作用下的弹性模量数值相同。 材料力学仅讨论其中最常见的动载荷问题，主要可以划分为3类：匀加速直 线运动和匀速旋转运动、冲击、交变荷载等。本章主要讨论构件在匀加速直 线运动、匀速旋转运动及冲击下的动应力，交变荷载及交变应力将在下一章 讨论。
αk的单位为焦耳/毫米2（J/mm2）。αk越大，材料抗冲击的能力就越强。 试验结果表明，αk的值随着温度的降低而减小，在某一温度范围下，材料 将变得很脆，其αk值突然变小，这就是冷脆现象，这一温度范围称为转变 温度。各种材料的αk值与温度的关系及其转变温度都不相同，图14.11为低
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如将 引入
代入式(14.6) 可得 ，则
结合式（14.5(a)）和式（14.6）以及之前的讨论可以看出，式（14.5(a)） 右端第一项代表了自重静荷载对动荷系数kd的贡献， 根号内的第一项代表 突然加载对动荷系数kd的贡献， 代表了冲击物初始动能对动荷系数kd的 贡献，代表冲击物相对冲击面所具有的势能对动荷系数kd 的贡献。所以在 垂直冲击的动载荷系数式（14.5a）中减去自重静荷载作用、突然加载以及
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依据冲击过程能量守恒的假设可得
在线弹性范围内，载荷、变形与应力成正比，故有
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图14.6
式(e) 中的P，Δst及σst为静载时的静载荷、静变形与静应力。将式（d） 两端同时除以P，得 再由式（e），得 整理上式，得 求解上式，得 则动荷系数为
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这样式（h）和式（e）就可以写为
故工字钢的最大动应力为
14.2.2构件作匀速或匀变速转动时的动应力 构件在匀速转动过程中，由于构建上每个点都存在向心加速度，因此每个点 都有动应力的作用。如图14.3(a)所示的圆环，以匀角速度ω绕通过圆心且 垂直于纸面的轴旋转。
图14.3
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A表示圆环横截面面积，γ表示单位体积的质量。若圆环的厚度t1远小直径D
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度Δst为
因为
，所以据式14.5（b），有
对于(b)梁，静挠度为
所以据式14.5（a），有
(2)计算静应力和动应力 梁内最大静应力为
由
，求得两梁的最大动应力为
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(a)梁 (b)梁 例14.5如图14.9所示，速度为v，重为W的重物，沿水平方向冲击梁的顶端截 面，试求梁的最大动应力（设已知梁的E、IZ和WZ）。 解首先计算动载荷系数。由表7.1查得
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碳钢材料的αk值与温度的关系曲线，其转变温度约为-40 ℃。试件冲断后 ，断面部分面积呈晶粒状的脆性断口，另一部分呈纤维状的塑性断口。
图14.10
图14.11
并不是所有金属都有冷脆现象。有些金属材料，如铝、铜以及某些高强度合
金钢，它们的αk值在很大的温度范围内变化很小，无明显的冷脆现象。
代入公式（14.6）得
而后计算动载荷。在物块自重W的作用下，静应力的 最大值为 乘以动载荷系数得
图14.9
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14.4冲击韧性 在工程中，通常用冲击韧性作为衡量材料抗冲击能力的性能指标，以αk表 示，它是通过冲击试验测定的。试验时，将带有切槽的标准弯曲试件放置于 冲击试验机的支架上，并使切槽位于弯曲试件受拉的一侧，如图14.10所示 。当试验机的摆锤从一定高度下落并将试件冲断时，试件所吸收的能量等于 摆锤所做的功W。用摆锤所做的功除以试件在切槽处的最小横截面面积A，就 得到材料的冲击韧性αk，即
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加以限制，使之满足上式。工程上将这一速度称为极限速度；对应的转动速 度称为极限转速。上述结果还表明，圆环内的应力与横截面面积无关，因此 ，增加飞轮轮缘部分的横截面积，无助于降低飞轮轮缘横截面上的总应力， 对于提高飞轮强度没有任何意义。 例14.2直径为d，长度为2l，比重为γ，截面面积为A的直杆AB的中点与直角 折杆的CDE固连。且与CDE所在平面垂直。杆CDE以n r/min匀速转动，如图 14.4（a）所示，若不考虑由自重引起的应力，求AB中的最大正应力。 解由结构对称性可知，可取AB的一半进行受力分析。由于AB跟随CDE一同旋 转，故AB上各界面均有向心加速度。距离E点x处单位长度杆的惯性力为（见 图14.4（b））： 可分解为两个分量，分别为
变能即
类似于垂直冲击，仍然采用以静载荷作用下的应力等作为基数再乘以动载荷
系数的方法计算动应力。可假想将大小等于重物重力P的力加载在水平杆件
端面，此时
，故式（c）可写成
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式（d）中，Δst为大小等于P的静载荷沿水平方向施加到杆件上时，杆件的 静变形量。由此可得水平冲击时的动荷因数为
，求得刹车时抱闸处的摩擦力
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14.3构件受冲击时的应力和变形 在材料服从胡克定律的情况下，冲击力与被冲击构件变形成正比，如图 14.5(d)所示。在冲击过程中Fd和Δd都是从零开始增加到最大值，所以Fd在 Δd上所做的功即为图中三角形AOB的面积。故冲击结束后被冲击构件具有的 应变能为 冲击初始时刻，系统的能量包括重物的初始动能和初始势能。重物的初始动 能为 取冲击结束时的位置为零势能点，则初始时刻重物具有的势能为
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长度质量为ρ=23.09 kg/m。 钢梁受力如图14.2（b）所示，其中qd为槽钢梁所受到的动载荷集度，其中 包含了槽钢自重引起的均布荷载集度和由于槽钢减速度所引起的均布惯性力 系的集度，其大小为
图 14.5 解(1)计算角加速度α。飞轮与轴的转动角速度
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刹车时的角加速度
式中，负号表示角加速度α与角速度w0反向。 (2)确定惯性力偶矩Md。 由角加速度引起的惯性力偶矩的数值为
其方向与α方向相反，如图14.5所示。 (3)计算动应力。 由静力学平衡条件 矩Mf为 在Mf与Md作用下，轴内的扭矩为 因而该轴的最大剪应力为
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由此可判断杆AB为承受拉弯组合变形，且E截面为危险界面。E截面的最大轴 力和最大弯矩分别为
因而最大正应力为
图14.4
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当构件作匀角加速转动时，同样可以用上述动静法计算构件的动应力，只是 此时需要考虑由于构件旋转时的角加速度而具有的惯性力偶。 例14．3圆轴AB的质量忽略不计，在其A端装有抱闸，B端装有飞轮(见图 14.5)。飞轮的转速n=100 r/min，转动惯量Ix=0.5 kNm·s2，轴的直径 d=100 mm。刹车时，使轴在5 s内按匀减速停止转动。试求轴内最大动应力
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问题来处理，这就是动静法。于是，对于有加速度的构件在添加了惯性力之 后，仍然可以沿用之前求解静应力和静变形的计算方法。 14.2.1杆件作等加速直线运动的动应力 根据动静法，对于作等加速直线运动的构件图14.1，只要加速度已知，就可 以计算惯性力，然后依据达朗伯原理施加惯性力，采用动静法求解构件的动 约束力。 例如图14.1中，一钢索起吊重物，以等加速度 a提升。 重物 M的重力为P，钢索的横截面积为A ，钢索的质量 与P相比甚小而可略去不计。钢索除受重力 P 作用外， 还受动载荷（钢索拉力）作用。根据动静法，将与加速 度方向相反的惯性力 Pga 加在重物上，这样，可按静载 荷问题求解钢索横截面上的轴力Nd。由静力平衡方程，得 图14.1
③当自由落体时自由落体高度远远大于被冲击物静变形量时，即 时（一
般认为当
时），据式（14.5a）
，则式（14.5）可近似表达为
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图14.7 水平冲击时，冲击物只有动能的变化，势能不变，即
冲击过程中杆的变形能为
根据能量守恒原理，初始时刻的动能将全部转换为碰撞结束时刻水平杆的应
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冲击物势能对的动荷系数kd的贡献就可得到水平冲击时动载荷系数式（14.6
图14.8 例14.4两梁材料、尺寸相同，一为铰支承，一为弹簧支承(见图14.8（a）、 （b）)。已知l=3 m，梁的Iz=3 400 cm4，Wz=309 cm3，重为P=1 kN的物块 由h=0.05 m处无初速度自由落体。材料弹性E=200 GPa，弹簧柔度常数 c=0.001 cm／N。试比较两梁内的冲击应力。 解(1)计算两梁动荷系数 首先求出图14.8（a）、（b）两梁的静变形。对于(a)梁，由表7.1查得静挠