平面与圆柱面,圆锥面的截面

【探究学习】
对射影与垂直关系的探究 【例6】如果椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，求椭圆的面积．
解：如图所示，设椭圆是由半径为 r 的圆柱面的斜截面截得的， 且斜截面与母线所成角为 α， r 则 b＝r，a＝ . sin α 取圆柱面一直截面，则其面积 S 圆＝πr2， π 直截面与斜截面的夹角为 －α，由面积射 2 影定理有 S圆 πr2 r S 椭圆＝ ＝πab. ＝sin α＝π·r· sin α π － α cos 2 即为椭圆的面积．
解析：在 Rt△POA 中，PO＝5，OA＝3，OA⊥PA. 则 OA2＋PA2＝PO2.∴PA＝ PO2－OA2＝4.
答案：4
知识点三
定理
在空间给定一个圆锥面S，轴线与母线 的夹角为 α ，任取一个不通过 S 的顶点 的平面 δ ，设其与轴线的夹角为 β(β 与
轴线平行时，规定β＝0)，则
(1)当β>α时，平面σ与圆锥面的交线为 椭圆； (2) 当 β ＝ α 时，平面 σ 与圆锥面的交线 为抛物线；
（二）平面与圆柱面的截线
知识点二
圆柱面的平面截线
1．一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得的截线为一个圆.
2.一个平面与圆柱的轴线所成的角为锐角，截曲线所得的曲线
为椭圆．
【推敲引申】 1．圆柱面的直截面截圆柱面所得截线是圆．
2．圆柱面的斜截面截圆柱面所得截线是椭圆．
3．圆柱面Dandelin双球与斜截面的切点，是椭圆的焦点．
解：由题意知α＝60° ，β＝45° ，满足β<α，这时截面截圆锥得 cos 45° 的交线是双曲线，其离心率为e＝ ＝ 2. cos 60°
又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，
故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线．
知识点四
圆锥曲线的统一定义
定理：除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F 和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹．
其中点F叫做圆锥曲线的焦点，直线叫做圆锥曲线的准线．
【推敲引申】 作一圆锥面的内切球，与平面α相切于点F，切点圆所在的平面 为δ. 设α、β分别是平面δ与圆锥面的轴线及平面σ所成的角．令e＝ cos β ，e为圆锥曲线的离心率． cos α 当β>α时，cos β<cos α，0<e<1，截出的圆锥曲线为椭圆． 当α＝β时，cos α＝ cos β，e＝1，截出的圆锥曲线为抛物线． 当β<α时，cos β>cos α，e>1，截出的圆锥曲线为双曲线．
(3)当β<α时，平面σ与圆锥面的交线为
双曲线．
【例3】 如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为 2π，AB、C
D是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB
的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并 说明截线是什么圆锥曲线？
解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，则侧面展开图的中心角为 2πR ＝ 2π， l π ∴圆锥的半顶角α＝4. 连结OE，∵O、E分别是AB、VB的中点，∴OE∥VA， π ∴∠VOE＝∠AVO＝ . 4 又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD⊥平面 VAB，∴平面CDE⊥平 面VAB， 即平面VAB为截面CDE的轴面， π ∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为 . 4
【例1】P 是△ ABC 所在平面 α 外一点， O 是点 P 在平面 α 内的正射 影．
(1) 若P点到△ABC的三个顶点等距离，那么 O点是△ ABC的什 么心？ (2) 若P点到△ABC的三边距离相等，且 O 点在△ ABC 的内部， 那么O点是△ABC的什么心？ (3)若PA、PB、PC两两互相垂直，O点是△ABC的什么心？
【反思感悟】 注意图形面积和其射影面积关系的应用．
【推敲引申】
1 ．过球外一定点 P 作该球的切线，切线有无数条，所有切点
构成的图形是一个圆． 2．过球O外一点P作球的切线，切点为A.则△PAO为直角三角 形．
已知球O半径为3，球外一点P到球心O的距离为5，过P作 【例1】
球的切线，切点为A，则切线长PA等于________．
【例5】已知一平面垂直于轴线截一圆柱面所得的截线为一个半径 为3的圆，另一截面与圆柱轴线所成角为 60°，求椭圆截线的 两个焦点之间的距离．
解：由斜截面与圆柱轴线成 60° ， 即与圆柱母线成 60° 角，故椭圆 r 3 的长半轴 a＝ ＝ ＝2 3， sin φ sin 60° 又椭圆的短半轴 b＝r＝3. 故椭圆的焦距 2c＝2 a2－b2＝2 3. 即为截线的两个焦点间的距离．
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【点击考点】 平面与圆锥面的截线主要要求学生体会探究过程，提高空间想 象能力，应以中低档题目考查思想方法为主． 【剖析考题】
【例5】 设圆锥的顶角 ( 圆锥轴截面上两条母线的夹角 ) 为 120°， 当圆锥的截面与轴成45°角时，求截得二次曲线的形状及离心
率． 分析：和定理2相结合，考虑题中两个已知角的含义．
Hale Waihona Puke Baidu
解：如图所示
(1)若PA＝PB＝PC，O为P在平面ABC上的正射影．
故有OA＝OB＝OC， ∴O为△ABC的外心． (2) 由P到△ ABC的三边距离相等，故有 O 到△ABC的三边距离 相等， ∴O为△ABC的内心．
(3)PO⊥平面ABC、PA⊥PB，PA⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC， ∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB， ∴O为△ABC的垂心． 【反思感悟】 根据射影的性质，可以确定点在一个平面内射 影的位置．
(3)当β<α时，平面σ与圆锥面的交线为
双曲线．
知识点三
定理
在空间给定一个圆锥面S，轴线与母线 的夹角为 α ，任取一个不通过 S 的顶点 的平面 δ ，设其与轴线的夹角为 β(β 与
轴线平行时，规定β＝0)，则
(1)当β>α时，平面σ与圆锥面的交线为 椭圆； (2) 当 β ＝ α 时，平面 σ 与圆锥面的交线 为抛物线；