线性赋范空间和度量空间

1 1
(x x ) x x
定义度量空间中的柯西点列.
{ 定义1 设X = ( X , d )是度量空间，x n} 是 X 中的点列,如果对任何事先给定的整数 ε > 0, , m < ε ,则称 { x n} 是 X 中的柯西点列或基 存在正整数 N = N ( ε ) , 是当 n, m > N 时，必有 d n 本点列.如果度量空间( X , d ) 中每个柯西点列都在( X , d )中收敛，那么称 ( X , d ) 是完备的度 量空间.
< ε 3. ξ 时，成立 ( ) ( ξ −ξ ≤ ξ −ξ + ξ
j
ξ
j
(N )
−
(N )
k
N
N)
k
j
j
(ξ ,ξ
1
j
−ξ
(N )
k
+
ξ
(N )
k
∞ , ⋯ ∈ C , 所以 C 是 l 中的闭 2
)
−ξ
k
< ε.
C [ a, b ] 是完备的度量空间. 例3 设 x m , m = 1, 2, ⋯是C [ a, b ] 中的柯西点列.于是对任何正数 ε > 0, 存在正整数 N , 使对 一切 n, m > N , 有 (4) max x m ( t ) − x n ( t ) = d ( x m, x n ) < ε .
a ≤t ≤ b
因此对任何 t ∈ [ a, b ] , 有 x m ( t ) − x n ( t ) < ε . 这说明当 t 固定时， n ( t ) , n = 1, 2, ⋯ 是柯西数列，所以存在 x ( t ) , 使 x m ( t ) → x ( t ) . x 下面证明 x ( t ) 是 [ a , b ] 上连续函数，且 x m → x (m → ∞ ). 事实上，在（4）中令 n → ∞, 那么可以得到当 m > N 时，成立 m a x x m (t ) − x (t ) ≤ ε . (5) a ≤ t≤ b ( t ) 在[ a , b ] 上一致收敛于x ( t ) ，由数学分析知， ( t ) 是[ a , b ] 上连续函数，因此 x 这说明 x m x ∈ C [ a, b ] , 且由（5）知，当 m > N 时， d ( x m, x ) = m a x x m ( t ) − x ( t ) ≤ ε . a ≤ t≤ b 即 x m → x ( m → ∞ ) . 这说明了 C [ a, b ]是完备度量空间.证毕. 下面举一个不完备空间的例子. 设 X 表示闭空间 [ 0,1] 上连续函数全体，对任何 x, y ∈ X , 令 1 d (x, y ) = ∫ x t − y d t, t 0 那么( X , d ) 成为度量空间. 上面定义的度量空间 ( X , d ) 不完备. 证明 令 1,1 2 + 1 m ≤ t ≤ 1 例4
t→1 2−0
t →1 2 + 0
lim x ( t ) = 1,
这与x ( t ) 在 [ 0 , 1 ] 连续矛盾，因此 ( X , d )不完备.
证毕.
C 是完备的度量空间.
(
(n )
)
j
j
x
n
特别取 n = N , 那么对所有 j , 有 ξ j − ξ j < ε 3. (N ) 但因 x N ∈ C , 即 ξ j 当 j → ∞ 时收敛，因此存在 N 1, 使对当 j , k ≥ N 1 时，有
(N )
{ }
1
于是当 j , k ≥
N
这说明ξ j, j = 1, 2,⋯ 是柯西数列，因而收敛，即 x = 子空间.证毕.
m
j j
∞
m
m
j
m
m
m
j
j
j
j
m
这就证明了
x ∈l .
∞
由(3)式，可知对一切 m > N , 成立
d
(x
m
∞
, x ) = sup
j
ξ
(m )
j
−
ξ
j
≤ ε.
所以 x m → x ( m → ∞ ) . 因此 l 是完备度量空间.证毕.
令 C 表示所有收敛的实（或复）数列全体，对 中任意两点 x = (ξ 1,ξ 2,⋯) , y = (η 1,η 2,⋯) , C d (x, y ) = su p ξ −η . 令 j j j ∞ 易证C 是一度量空间，实际上它是 l 的一个子空间. 定理1 完备度量空间X的子空间M 是完备空间的充要条件为M 中的闭子空间. 定理1 完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间. ,使 xn → x ( n →∞) , 证明 设M是完备子空间，对每个 x ∈ M , 存在M中的点列 { x n} 由前述，{ x n}是M中柯西点列，所以在M中收敛，由极限的唯一性可知 x ∈ M ,即 M ⊂ M , 所以M = M ,因此M是闭子空间. 反之，如果 { x n}是M中柯西点列，因X是完备度量空间，所以存在 x ∈ X ,使 xn →x( n →∞) , C 由于M是X中闭子空间，所以 x ∈ M { x n}在M中收敛.这就证明了M是完备度量空间.证毕. ,即 有定理1，只要证 C 是 l ∞中的闭子空间即可.对任何 x = (ξ 1, ξ 2 , ⋯ ) ∈ C , 存在 x n = ξ 1 , ξ 2 , ⋯ ∈ C , n = 1, 2, ⋯ , x n → x ( n → ∞ ) , 因此对任何正数 ε > 0, 存在正整数 N , 当 (n) n ≥ N , 时，对所有自然数 j ,成立 ξ − ξ ≤ d ( , x ) < ε 3, 例2 证明 (n )
∞
l ,且 x m → x ()m → ∞ ) . 在(2)式中,令 n → ∞ , 我们得到， ( − ξ ≤ ε , (3) ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ K . 又因 x = (ξ , ξ , ⋯ , ξ , ⋯ ) ∈ l , 因此存在实数 K ,使得对所有 j , 成立 ξ ( ) ( ) ξ ≤ ξ −ξ + ξ ≤ ε + K . 因此，
第七章 度量空间和线性赋范空间
7.4 柯西（Cauchy)点列和完备度量空间
教学目标： 教学目标： 1、掌握柯西点列及完备度量空间的定义； 、掌握柯西点列及完备度量空间的定义； 2、会利用定义证明几类典型空间的完备性，培养知识 、会利用定义证明几类典型空间的完备性， 迁移能力； 迁移能力； 3、掌握并不是所有度量空间都完备，并会证明空间的 、掌握并不是所有度量空间都完备， 不完备性． 不完备性．
教学重点：完备度量空间的定义，定理 教学重点：完备度量空间的定义，定理1. 的应用， 教学难点：定理1的应用 空间完备性的证明． 教学难点：定理 的应用，空间完备性的证明．
首先回忆一下 R 中柯西点列的定义.设 { x n} 是 R 中的点列，如果对任意给定的整数 ε > 0, , 存在正整数 N = N ( ε ) 当 n, m > N时有 d n, m = n − m <ε, 则称是中的柯西点列.类似地可以
1 x ( t ) = {线性， 2 < t < 1 2 + 1 m
m
0, 0 ≤ t ≤ 1 2
{ 那么， x i} 是( X , d ) 中的柯西点列.事实上，对任何正数 ε > 0,当 1 d ( x n, x m ) = ∫ x n (t ) − x m (t ) d t 0
=∫
1 2 +1 m 12
例1 证明
l 是完备度量空间.
设 { x m}是
∞
于是对于任意 ε > 0,存在正整数
d
m
l
∞
中的柯西点列，其中 x m
m
=
(ξ
n
(m )
1
,ξ
(m )
2
,⋯ ,
)
N , 当 n, m > N 时， ( ) ( (x , x ) = sup ξ − ξ
n j j
)
j
< ε.
(1)
因此，对每一个固定的 j , 当 n, m > N 时，成立
1
1 2 +1 m
1 − x ( t ) dt.
如果
d
(x
m
, x ) → 0 (m → ∞ ),
必有
∫
lim x (t ) = 0 ,
1 2 0
x (t ) d t = 0 ,
∫
1 1 2
1 − x (t ) d t = 0 ,
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但由于 x ( t )在[ 0,1] 上连续，所以 x ( t )在[ 0,1 2]上恒为0，在 (1 2,1]上恒为1，所以
(x x )
注意：这里要求在 X 中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点. 由度量空间的定义，立即可知有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但 n 维欧氏 n 空间 R 则是完备的度量空间.在一般的度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中 的每一个收敛点列都是柯西点列.实际上，如果 x n → x ( n → ∞ ) , 那么对任何正数 ε > 0, 存在N = N ( ε ) , 使当n > N 时，有 d ( x n, x ) < ε 2 . 因此，当 n, m > N 时，由三点不等式，得到 d ( x n , x m ) ≤ d ( x n , x ) + d ( x m, x ) < ε 2 + ε 2 = ε , 即{ x n} 是柯西点列.
n > m > 1 ε 时,
x ( t ) − x ( t ) dt ≤ 1 m < ε ,
n m
但对每一个 x ∈ X ,
d ( x m, x ) = ∫ =∫
1 0
x ( t ) − x dt
m t
12
0
x ( t ) dt + ∫
1 2 +1 m
12
x ( t ) − x ( t ) dt
m
+∫
ξ
(m )
j
−
ξ
(n )
j
< ε .
(2)
. 令 x = (ξ 1, ξ 2,⋯ )下面证明 x ∈ 对一切 m > N , 成立
m m m m 1 2 j
这就是说，数列
ξ
(k )
j
(n) , k = 1, 2 , ⋯ 是柯西点列，因此，存在数 ξ j, 使得 ξ → ξ ( n → ∞ ) , j j