由开环频率特性估计闭环频率特性

由开环频率特性估计闭环频率特性

对于如图4-42所示的系统，所谓开环频率特性，是指将闭环回路的环打开，其开环频率特性为G （j ω）H （j ω）。

图4-42 典型闭环系统

而该系统闭环频率特性为 )

()(1)()()(ωωωωωj H j G j G j X j X i o += (4.20) 据此，可以画出系统闭环频率特性图。尤其是计算机的应用日益普及，其冗繁的计算工作量可以很容易地由计算机完成。同时，已知开环幅频特性，也可定性地估计闭环频率特性。 设系统为单位反馈，则 )

(1)()()(ωωωωj G j G j X j X i o += (4.21) 一般实用系统的开环频率特性具有低通滤波的性质，低频时，1)(>>ωj G ，则 1)

(1)()()(≈+=ωωωωj G j G j X j X i o 高频时，1)(<<ωj G ，则 )()

(1)()()(ωωωωωj G j G j G j X j X i o ≈+= 系统开环及闭环幅频特性对照如图4-43所示。因此，对于一般单位反馈的最小相位系统，低频输入时输出信号的幅值和相位均与输入基本相等，这正是闭环反馈控制系统所需要的工作频段及结果；而高频输入时输出信号的幅值和相位均与开环特性基本相同。

图4-43 系统开环及闭环幅频特性对照

另外，我们可以利用等M 圆和等N 圆由开环频率特性求出闭环频率特性。对于单位反馈系统，设前向通道传递函数为G(s), 则其闭环传递函数为

()()()()

s G s G s X s X i o +=1 (4.22) 在图4-44所示的乃奎斯特图上，向量OA 表示()A j G ω，其中A ω为A 点频率。向量OA 的幅值为()A j G ω，向量OA 的相角为()A j G ω∠。由点P （-1，j0）到A 点的向量PA 可表示为[1十()A j G ω]。向量OA 与PA 之比正好表示了闭环频率特性，即

()()()()

A o A i A A j X j X j G j G PA OA ωωωω=+=1 (4.23) 在A ωω=处，闭环频率特性的幅值就是向量OA 与PA 的幅值之比，相位角就是两向量的相角之差，即夹角θϕ-，如图4-44所示。当系统的开环频率特性确定后，根据图4-44就可求出闭环频率特性。

图4-44 由开环频率特性求闭环频率特性

设闭环频率特性的幅值为M （ω），相位角为φ（ω）, 闭环频率响应可表示为

()()

()()ωφωωωj o i e M j X j X = （4.24）） 类似于地图上等高线的思路，我们可求出闭环频率特性的等幅值轨迹和等相角轨迹，在由乃奎斯特图确定闭环频率特性及系统校正时，这将带来方便。

（1）等幅值轨迹（M 圆）

设()jY X j G +=ω，式中X 和Y 均为实数，则

()222

211Y X Y X jY X jY

X M +++=+++= （4.25）

式（4.25）两边平方，可得

()222

221Y X Y X M +++= （4.26）

如果M=1，由式（4.26）可求得X=-1/2，即为通过点（-1/2，0）且平行虚轴的直线。 如果M ≠1，式（4.26）可化成

()

222

222211-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+M M Y M M X (4.27) 该式就是一个圆的方程，其圆心为]0,1

[22j M M --，半径为12-M M 。如图4-45所示。

图4-45 M 圆

在复平面上，等M 轨迹是一族圆，对于给定的M 值，可计算出它的圆心坐标和半径。图4-46表示的一族等M 圆。由图上可以看出，当M>1时，随着M 的增大M 圆的半径减小，最后收敛于点（-1,j0）。当M ＜1时，随着M 的减小M 圆的半径亦减小，最后收敛于点（0,j0）。M=1时，其轨迹是过点（-1/2,j0）且平行于虚轴的直线。

图4-46 等M 圆族

(2）等相角轨迹（N 圆）

()()ωωj X j X o i ∠相角为 jY

X jY X +++∠=1φ 即 X

Y X Y +-=1a r c t a n

a r c t a n φ 设tan φ=N ，则 2

21111a r c t a n a r c t a n t a n Y X X Y X

Y X Y X

Y X Y X Y X Y N ++=+⋅++-

=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-= 则 022=-

++N

Y Y X X 配方整理，可得 222

21412121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+N N Y X （4.28）

由式（4.28）可看出，等相角轨迹是一个圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛-N j 21,21，半径为2

2141⎪⎭⎫ ⎝⎛+N 的圆。图4-47表示的是一族等N 圆。

应当指出，对于给定的φ的值的N 圆，实际上并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧。同时，由于φ与φ±180°的正切值是相同的, N 圆对应的φ具有多值性，例如φ=-35°与φ=145°对应的圆弧是相同的。

图4-47 等N 圆族

（3）应用乃奎斯特图求闭环频率特性

应用相同的比例尺，将等M 圆和等N 圆绘制在透明片上，然后再把它覆盖在以相同比例尺绘制的系统开环传递函数乃奎斯特图上，乃奎斯特图与等M 圆和等N 圆的交点所对应的幅值与相角由M 圆和N 圆的参数决定，对应的频率由开环乃奎斯特图决定，这样即可求出闭环频率特性。图4-48（a ）和（b ）分别表示一单位反馈系统G （j ω）轨迹与M 圆和N 圆的相交情况。可以看出，在频率1ωω=处，G （j ω）轨迹与M ＝1．1的圆相交，这意味着在该频率处，闭环频率响应幅值为1．1。从（b ）图上可以看出其相角应为-10°。在频率4ωω=时，G （j ω）与M=2的圆相切，这意味着该切点对应的幅值就是最大幅值（谐振峰值），其相角为-120°。找出G （j ω）与M 圆和N 圆的交点，就可绘出闭环频率特性曲线，