N维向量的外积

若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则

1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直

2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直

对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?)

Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？

其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题：

Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？

自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有

Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？

类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题

Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...)

假定你学过线性代数，不然没法讲……

向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。

为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。

也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。

那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？

考虑三维空间里的一组基，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为

。这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。

为了方便，我们还可以增加一些约定。由一个向量和它自己张成的“平行四边形”（可以看成是退化的平行四边形）面积为0，于是可以约定

、、。另一方面，在考虑物理等实际问题的时候定向是很重要的，从正面看过去的“面积”和从反面看过来的“面积”可以看成是相反的，所以可以约定：、、。这样一来，我们已经定义好了对于三个基底这个

该怎么算。于是，很容易把这个双线性地延拓成一个的运算。

比如说，对于

和，就等于

有没有发现这有结果看起来点熟悉？

如果把最后的

换成，换成，换成，这就是我们熟悉的“向量积”了。但我们不换。

对于面积，我们有了。于是很自然地想到，对于体积，我们也应该有个。而且，它的一组基是。也就是说，是一个一维的向量空间。然后约定，对于，如果调换其中两项，得到的就是原来的乘以-1，比如说

。这样，如果中有两项是一样的，比

如说，那么调换这两项的次序，就有，于是它只能等于0。

这样，和前面类似，我们就可以定义三个向量的外积了。经过验算（具体过程我就不写了）就会发现：三个向量的外积就是我们熟悉的混合积，当然还要乘上一个。

再看一遍前面的过程，就会发现“三”这个维数在这里并没有起到什么特别的作用，顶多是使得的维数和恰好一样。于是，我们可以把这些东西推广到任意一个有限维的向量空间。也就是说，对一个维的向量空间，取它的一组基。这样，对，就可以取为由

张成的向量空间（这个空间是维的）。然后约定，对（这里不要求

），如果调换其中两项，得到的东西等于原来的乘以-1。然后就可以像前面那样那样定义个维向量的外积。然后，这个外积（在这个维空间中）的模就是你所问的那个“体积”了。特别地，在的时候，是个一维空间，个

维向量正好可以排成一个的方阵，这些向量外积正好相当于这个矩阵的行列式（具体的我也不算了）。

到目前为止已经回答了你的全部问题。

不过，中两个向量取了一下外积就到了里，中的东西再和中的东西取外积又到了里……这样总有点不方便。于是我们可以把它们统一一下。我们把实数域

当作一维的向量空间，就记作，约定它和其他东西的外积就等于数乘。然后把自己记作。然后取所有这些直和，得到

，记作。它也是个向量空间。除了向量空间的结构，这个东西上面还有一个外积运算。我们把这个东西叫做外代数。

前面都是先选了上的一组基，然后才定义出这么一堆东西。其实它们的定义也可以不依赖于基的选取，不过要先讲张量什么的，我这里就不介绍了。

外代数还有个叫“泛性质”的性质（这段看不懂就算了）：对任一个结合代数（这里说的“结合代数”指的是有某种形式的“乘法”运算，而且这个运算满足结合律的向量空间，下面就把这

个“乘法”记作）和任何一个线性映射，如果对中任一个元素都有

，那么就有唯一的一个代数同态，使得，这里是到的嵌入，也就是把等同于中的那个。

当然，向量积还有别的一些推广，不过我不是很了解，就不说了。可以参考维基百科的Cross Product词条。我这里只举一个跟你的问题关系不是很大的小例子：

考虑三阶反对称矩阵（也就是满足的矩阵）的全体。这种矩阵一定长成

的形式，因此是一个三维的线性空间。然后在上定义一种叫“李括号”的运算

。算算看，这样会得到什么东西？

就说这么多。不说了。