牛顿莱布尼茨公式

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教学过程
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1、复习旧知识，引入课题
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（1）复习：定积分的概念及几何意义
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原函数的概念
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导数的定义
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（2）课题引入：从上节的例题和习题中可以看到利用定
装 …
积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时
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甚至无法计算。下面将通过对定积分与原函数关系的讨
…
论，到出一种计算定积分的简便有效的方法—牛顿-莱布
（4）
sin xdx
0
…
（5）
2
x
4 x2 dx
0
… …
解：其中（1）—（3）即为上节的例题和习题，现在用牛
…
顿-莱布尼茨公式来计算就十分方便了。
…
… …
（1）
b xndx
x n1
b
1
b n1 a n1
a
n1 n1
…
a
… …
（2） b e x dx e x b eb ea
a
…
…
…
…
…
…
…
…
…
装
…
…
…
…
…
…
…
…
…
订
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
x
… …
J 2 1 dx 3 1 dx ln 2
1x
2 x 1
装
注意：这类问题的解题思想，是要把所求的极限转化为某
…
…
个函数 f x 在某一区间 a,b上的积分和的极限，然后利
…
… …
用牛顿-莱布尼茨公式计算
J
b
a
f
xdx 的值。
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3、课堂小结
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微积分基本公式：
…
订
若 函 数 f (x) 在 a,b 上 连 续 ， 且 存 在 原 函 数 Fx , 即
…
即 F ' (x) f (x) ， x a,b，则 f (x) 在 a,b上可积，且
…
… …
b
a
f
( x)dx
Fb
F a
（1）
…
则上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式，
…
…
它也常写成
… … …
b f (x)d(x) F(x) b
a
a
…
证明：由定积分定义，任给 0 ，要证明存在 0，当
装 …
T 时，有
…
… … …
n
f i xi Fb Fa
i1
…
下面证明满足如此要求的 确实是存在的。事实上，对于
…
…
a,b的任一分割T a x0 , x1,, xn b，在每个小区间
…
订 …
xi1, xi 上对 Fx 使用拉格朗日中值定理，则分别存在
… …
i xi1, xi ,i 1,2,, n ，使得
… … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … …
… … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … …… 线… …… …… …… …… …… …… …… …… …装 ……
… …
公式使用说明：
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（1）在应用公式求
b
a
f
xdx
时，
f
(x)
的原函数必须是初
… …
等函数，否则使用公式求
b
a
f
xdx
失效。即
f
(x)
的原函
…
…
数 Fx可由 f xdx求出。
订
…
（2）定理的条件还可以适当减弱，如：
… …
1） 对 Fx的要求可减弱为：在 a,b上连续，在 a,b
…
…
内可导，且 F ' (x) f (x) ，不影响定理的证明。
…
…
2）对 f (x) 的要求可减弱为：在 a,b上可积（不一定连
…
…
续），这时公式（2）仍成立。
线
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2.3 例题讲解
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例 1 利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分
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（1） b x ndx （ n 为正整数） a
… …
（2） b e x dx a
… … …
（3） b dx 0 a b a x2
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尼茨公式。
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2、讲解新课
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2.1 定积分与不定积分的联系
订
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若质点以速度 v v(t) 作变速直线运动，由定积分的定义，
…
… …
质点从时刻 a 到 b 所经过的路程为 s b v(t)dt 。 a
…
另一方面，质点从某时刻 a 到时刻 b 经过的路程记为
…
…
s(b) s(a) ，则 s' (t) v(t) ，于是
… …
于 是 ， 当 xi T 时 ， 任 取 i xi1, xi 便 有
…
…
i i ，这就证得
…
… …
n
f i xi Fb Fa
i 1
…
n
…
f i f i xi
…
i1
…
… …
n
f i f i xi i 1
…
… … …
ba
n
xi
i 1
装 …
所以 f (x) 在 a,b上可积，且有公式（1）成立。
n i1 1 i n
n
…
… …
不难看出，其中的和式是函数 f x 1 在区间 0,1上的
x 1
…
一个积分和（这里所取得是等分分割，
… …
xi
1 n
,
i
i n
i
1, n
i n
,
i
1,2,, n ），所以
… … …
1
J
1
1
dx ln1 x ln 2
01 x
0
… …
当然，也可把 J 看作 f x 1 在 1,2上定积分，同样有
…
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…
…
…
订
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线
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装
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订
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线
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山西水利职业技术学院教案纸
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装
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订
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线
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山西水利职业技术学院教案纸
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装
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订
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线
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山西水利职业技术学院教案纸
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装
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订
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线
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山西水利职业技术学院教案纸
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…
装
…
…
…
2
3
… … …
2 x
4 x2 dx 1
4 x2 3 2 8
0
3
03
… …
例 2 利用定积分求极限：
… … …
lim 1 1 1 J
n n 1 n 2
2n
线 …
解：把极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定
…
积分。为此作如下变形：
…
… … …
n
J lim
1 1
…
…
F ' (x) f (x) ， x a,b，则 f (x) 在 a,b上可积，且
…
… …
b
a
f
( x)dx
F b
F a
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4、课后作业
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习题 4-3
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线
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
… … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … 线 … … … … …
…
… 线
b
s a v(t)dt s(b) s(a)
… …
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的原函数，因此把定
… …
积分与不定积分联系起来了，这就是下面要介绍的牛顿-
…
莱布尼茨公式。
…
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2.2 牛顿-莱布尼茨公式
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定理：若函数 f (x) 在 a,b 上连续，且存在原函数 Fx ,
… … …
n
n
Fb F a F xi F xi1 F ' i xi （2）
i 1
i 1
…
…
因为 f (x) 在 a,b 上连续，从而一致连续，所以对上述
…
线
0 ，存在 0，当 x' , x'' a,b且 x' x'' 时有
…
… …
f (x' ) f x'' ba
a
装 … …
（3） b dx 1 b 1 1
a x2
xa a b
… … …
（4） sin xdx cos x 2
0
0
…
（5）先用不定积分法求出 f x x 4 x2 的任一原函数，
…
…
然后完成定积分计算：
… 订 …
x 4 x2 dx 1 4 x2 d 4 x2 1 4 x2 3 C