Lecture Eight_习题

习题讲解之四
东南大学物理系
题1: a) 给定一个体积为1 m3的正方体空腔，其内所含介质的 折射率为n 1,试确定最低频率和次最低频率的场模【用数对 ,并指出最低频率和次最低频率分别为多少。 n , n , n 表示】
x y z
b)初始时，此空腔仅含有一个受激发原子，不含有光子。 现设psp1表示该原子自发辐射光子到场模 2， 1， 1中的几率密度
。
于是，总光子数nt的速率方程为 dnt N2 1 n 1 N2 Wi N1 Wi N 2 N 2 N1 . dt tsp p tsp p tsp dnt dn 而 M 0 ，因此模平均光子数n的速率方程为 dt dt n dn 1 1 N2 N 2 N1 dt M 0 p tsp tsp
对于总光子数nt 而言，由于被能级1上的原子吸收，其数目会减 小，速率等于Wi N1；另一方面，由于受激辐射，能级2上的原子 会辐射光子，导致光子数增加，其速率为Wi N 2。
N2 另外，能级2上的原子会向所有场模自发辐射光子，速率为 。 tsp 最后，由于反射壁的不完美，导致光子流失速率为 1
p
2 x 2 y 2 z

d
260THz.
次最低频率的场模有 2,1,1， 1, 2,1， 1,1, 2 , 其频率均为 2 2 2 2 nx ny nz 6 367THz. c d d
b)由于初始时，此空腔仅含有一个受激发原子，不含有 光子，因此该原子会发生自发辐射，不存在受激辐射或 吸收。
现已知psp1为该原子自发辐射光子到场模 2， 1， 1中 的几率密度，psp 2表示该原子自发辐射光子频率为367THz 的几率密度，而频率367THz对应的场模有3个，分别为 1， 1， 2 1， 1， 2 。因此，psp 2应是psp1的三倍大，即 2， 1，， 1， psp 2 psp1 3.
解 : 在黑体空腔内能级2上单位体积原子数N 2的速率方程为 dN 2 N2 nN 2 nN1 自发 受激 吸收 。 dt tsp tsp tsp 式中，模平均光子数为n exp h k T 1 1 .
当自发辐射速率和受激辐射速率相等时，即有 N 2 nN 2 n 1 exp h 0 k T 2 tsp tsp h 0 hc T . ln 2 k ln 2 0k 代入0 1 m，空腔温度为 6.626 1034 3 108 T 20781 K . 6 23 ln 2 110 1.38 10
解: 如图所示，由于存在宽带辐射光，因此能级2上的原子会 n 遭受到受激辐射，原子数会减小，速率为Wi N2 , 这里Wi ; tsp
另一方面，能级1上的原子会吸收光子，跃迁到能级2上去，因 此，能级2上的原子会增加，其速率为Wi N1。
最后，不管有无辐射场，能级2上的原子会发生自发辐射，导 致原子数减小，速率为 N 2 tsp 注：这里不考虑非辐射跃迁 。
2 3） 2 z
高斯解汇总
ik 2 z w0 2 E E0 exp 2 i arctan ikz exp w z z0 w z 2R z
2 w0
2 z0 z0 k
另外，波数k与频率 的关系为注意k k ： 2 2 2 2 2 k kx k y kz . c c
2
2
c0 在本问中，可知 d 1 m, 介质中的光速c c0 3 108 m/s。 n 由 2 式知，最低频率的场模为1,1,1，其频率为 2 2 2 2 kx k y kz c d n n n 3
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祝元旦快乐！
题4 : 现有一假想的一维黑体辐射腔，长度为L,处于热 平衡温度T 下。 a) 试计算该一维辐射腔的模密度M (即单位长度单位 带宽所含的模数)。 b)已知频率 处所在场模的平均能量为E，试计算该黑体 辐射的谱能量密度 (即单位长度单位带宽所含的能 量)，并绘制 的曲线。
题5: 现有一Nd : YAG激光器, 能发出波长为1.06 m的高斯 光束，已知该光束的功率为1W, 光束发散角为0 0.5 mrad。 试确定该光束的腰束半径、最大峰强度、以及距离束腰 100cm处的束轴上的强度。
解: 1 ）如下图所示，我们有 w0 1.06 106 3 0 w0 0.675 10 m 3 z0 w0 0 0.5 10 w0 0.675mm, 此即腰束半径的大小。
解 a)在正方体空腔中，电场u r , t Re U r exp it 必须满
1
x y z
式中 k x nx
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d
, k y ny

d
, k z nz

d
,
n , n , n
1。
2
1, 2,3,
.
因此，对应每一组 nx , ny , nz ，都有确定的波数矢量k k x , k y , k z , 最终有确定的一个本征解或场模U r
题2: 有一个单位体积的谐振腔，内有许多二能级原子(用2和1 分别表示高低能级，对应跃迁谐振频率 0，线宽 )，此高低 能级占有的原子个数分别为N 2和N1。已知在包含 0的宽频带中 每个光场模的平均光子数为n 光子简并度。若该谐振腔墙壁 n的速率方程(不考虑原子能级间的非辐射跃迁) 。 反射不完美，导致光子同时以1 p 的速率泄漏掉，试写出N 2和
因此，N2的速率方程可以写为： dN 2 Wi N 2 Wi N1 N 2 tsp dt N2 n N1 N 2 . tsp tsp
2
h
N2
Wi 1
1
tsp
h
Atoms
N1
已知单位体积 即V 1 谐振腔内含有宽带光 其频宽远大于 ， 8 2 中心频率为 0 . 由于三维谐振腔的模密度为M 3 ,因此在 c 包含 0的频宽内，该宽带光的有效模数为M 0 V , 而每个场 模均含有n 个光子数, 因此单位体积内,有效宽带光的总光子数为 nt M 0 n .

T 300 K

高斯光束例题补充
知识要点回顾
1 ）2 E+ k 2 E 0
Helmholtz方程
2 ）E x, y, z ψ x, y, z exp ikz
k k 2 慢变包络近似 z 2 4） 2ik 0 z 2 2 2 5） t 2 z 2 6）t 2ik 0 旁轴Helmholtz方程 z 2 1 7） 2ik 0 圆柱坐标系 2 z
确定，

L
.
因此单位长度单位带宽的模数 即模密度 为
L
k 2 c
k
0
b)已知频率 处所在场模的平均能量为 E nh exp h k T 1 h ，
4 且频率 处的模密度为 M , c
则该一维黑体辐射腔的谱能量密度为 4h 1 M E . c exp h k T 1 其随频率 的变化如下图所示。
2）由于高斯光束的功率与距离z无关，且与最大峰强度的 2 P0 关系为 I 0 ，因此最大峰强度为 2 w0 2 P0 2 1 6 2 2 I0 1.4 10 W/m 140W/cm . 2 2 w0 0.675 103
3）根据束轴上的强度I 0, z 公式
解: a)对于一维黑体辐射腔，其场模由波数k n

L 这里L为辐射腔长度, n 1, 2,3 。在一维k空间内，每个特 定点n均表示一个特定的场模, 点与点之间的距离为k
因此，在长度为k的线段内含有的总模数为 2 L 4 L nt 2 k k 2 . c c 对频率 进行微分，得 dnt 4 L . d c 4 M . c
单位：s ，p
-1
sp 2
表示该原子自发辐射频率367THz的光子的几
率密度，试求 psp 2 psp1 的大小。
足Maxwell方程，或要求其复振幅U r 满足Helmholtz方程 2U k 2U 0。
在边界条件U 0 U d 0下，该方程的解为 U r A sin k x x sin k y y sin k z z .
2 2 P0 I0 w0 w0 I 0, z , 和瑞利长度z0 , 2 2 2 w z 1 z z0 0
可知100cm处的束轴强度为 I0 1.4 106 6 2 I 0,1 0.9 10 W/m . 2 2 2 2 12 z 1 1.06 10 1 2 4 1 2 3 4 w0 0.675 10
n 1 N2 N 2 N1 . 2 8 0 p tsp tsp c3
题3: 现有一处于热平衡的黑体空腔(其壁面由原子组成)， 辐射的谱能量密度为 。试确定：若原子的自发辐射 和受激辐射速率在谐振波长0 1 m处刚好相等时，此 时的空腔温度T 为几何。
2 0 2
腰束半径 ,
2 w z w0 1 z 2 z0 光束宽度 ,
R z z 1 z
2 P0 z 曲率半径 , I 0 最大峰强度与功率关系 , 2 w0
0
w0 2 P0 I0 发 散角 , I 0, z 束轴强度 , 2 2 2 z0 w0 w z 1 z z0