高一数学 《共线向量与共面向量》

4．共面向量定理的应用 (1)共面向量定理常用于证明四点共面，空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件为存在 有序实数对(x、y)，使 MP―→＝xMA―→＋yMB―→或对空间中任一点 O，有 OP―→＝ OM―→ ＋ MP―→ ＝ OM―→ ＋ xMA―→ ＋ yMB―→ 或 OP―→ ＝ xOA―→ ＋ yOB―→ ＋ zOM―→ (其中 x＋y＋z＝1)． 对于若 OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOM―→ (x＋y＋z＝1)，点 P 位于平面 MAB 内可作 如下理解：
知识要点二：共面向量定理的理解与应用
1．向量共面与直线共面 若 AB―→＝xCD―→＋yEF―→，则 AB―→，CD―→，EF―→共面，但线段 AB、CD、 EF 不一定共面． 2．共面向量定理 若两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x、y，使 p＝xa＋yb. 如果 a、b 共线，则 p＝xa＋yb 不是 p、a、b 共面的充要条件．原因是：若 a、b 共线， 则 p 与 a、b 一定共面，当 p 与 a、b 不共线时，p 无法写成 xa＋yb 的形式，当 p 与 a、b 共 线时，虽然可以写成 p＝xa＋yb 的形式，但有序实数对 x，y 不唯一．
3．共面向量定理的推论
如图，空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使 MP―→＝ xMA―→ ＋ yMB―→.或 对 空 间 一 定 点 O 有 OP―→ ＝ OM―→ ＋ xMA―→ ＋ yMB―→ 或 OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOM―→ (其中 x＋y＋z＝1)．
解析：由共线向量、相等向量定义知，应选 A.
3 ． 向 量 a 、 b 不 共 线 ， p ＝ ma ＋ nb ， 则 p ＝ 0 的 充 要 条 件 是 ________________________________________________________________________．
2．共面向量 (1)共面向量的定义 已知平面 α 与向量 a，作 OA―→＝a，如果直线 OA 平行于平面 α 或 a 在 α 内，就说向 量 a 平行于平面 α，记作 a∥α.
平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (2)三个向量共面的条件 ①共面向量定理 如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x，y， 使 p＝xa＋yb. ②推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x，y，使 MP―→＝ xMA―→＋yMB―→ ，或对空间任一定点 O，有 OP―→＝OM―→＋xMA―→＋yMB―→ .① 在平面 MAB 内，点 P 对应的实数对(x，y)是唯一的．①式叫做平面 MAB 的向量表示 式．
其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量，在 l 上取 AB―→＝a，则①式可化为
OP―→＝OA―→＋tAB―→ 或 OP―→＝(1－t)OA―→＋tOB―→ ② 当 t＝12时，点 P 是线段 AB 的中点． 则 OP―→＝12(OA―→＋OB―→)③ ①或②都叫做空间直线的向量参数表示式．③是线段 AB 的中点公式，它们都与平面直 线的向量参数表示式和线段中点公式相同．
1．对于空间中的三个向量 MA―→、MB―→、2MA―→－MB―→，它们一定是( A ) (A)共面向量 (B)共线向量 (C)不共面向量 (D)既不共线又不共面向量
解析：由共面向量定理知应选 A.
2．下列说法中正确的是( A ) (A)向量 a 与非零向量 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 (B)任意两个相等向量不一定是共线向量 (C)任意两个共线向量相等 (D)若向量 a 与 b 共线，则 a＝λb(λ＞0)
1．空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说 a，b 共线时，表示 a，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说 a∥b 时，也具 有同样的意义．
2．“共线”这个概念具有自反性 a∥a，也具有对称性，即若 a∥b，则 b∥a. (1)0 与任一向量 a 是共线向量． (2)向量的平行(共线)不具备传递性，即若 a∥b，a∥c，不一定有 b∥c.但当 a 为非零向 量时，平行(共线)的传递性将成立，即若 a≠0，a∥b，a∥c，则 b∥c. (3)在共线向量定理中，b≠0 不可去掉，否则实数 λ 就不唯一． 3．共线向量定理的应用 (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有 区别的，直线平行不包括共线的情况．如果应用共线向量定理判断 a，b 所在的直线平行， 还需说明 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上． (2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法之一，在利用该定理证明(或判断)三点 A、 B、C 共线时，只需证明存在实数 λ，使 AB―→＝λBC―→或 AB―→＝μAC―→即可．
解析：∵a、b 不共线，∴a、b 为非零向量． 要使 p＝0 只有 m＝n＝0.
答案：m＝n＝0
教师备用：空间任意两个向量 a、b ຫໍສະໝຸດ Baidu定是( B ) (A)共线向量 (B)共面向量 (C)共线但不一定共面 (D)一定不共线
解析：由共面向量定义知，对空间任意两个向量，它们总是共面的．应选 B.
知识要点一：共线向量及共线向量定理的理解与应用
第二课时 共线向量与共面向量
想一想：
1．共线向量 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量 或平行向量，a 平行于 b 记作 a∥b. (2)共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb. (3)推论 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，满足等式 OP―→＝OA―→＋ta.①
做一做： 教师备用：在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1―→＋AB―→＋AD―→与( D ) (A)AB1―→共线 (B)AC―→共线 (C)AB―→＋BC―→共线 (D)C1A―→共线
解析：AA1―→＋AB―→＋AD―→＝(AA1―→＋AD―→)＋AB―→ ＝(AA1―→＋A1D1―→)＋D1C1―→＝AC1―→. ∵C1A―→与 AC1―→共线， ∴选 D.