高一数学 《共线向量与共面向量》
高中数学教学 共线向量与共面向量
点M、N分别在BD，AE上，且分别是距B点、A点较近
的三等分点，求证：MN//平面CDE
F
E
N A
B
M
D C
例：已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C , uuur uuur uuur uuur
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
∴ OP (1 t )OA tOB
∵
A
、B
、P
三点共线,且
uuur OP
uuur
OA
uuur
OB
又
O
为直线
AB
外一点,故
uuur OA
uuur 、OB
不共线
∴由平面向量基本定理可知 1 t , t
∴ 1
uuur uuur uuur
反过来,如果已知 OP OA OB ,且 1 ,
即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
例1 已知A、B、P三点共线，O为直线外
uuur uuur uuur
一点，且OP OA OB，求 的值.
解:∵
A
、B
、P
三点共线,∴ t
uuur R ,使OP
uuur OA
uuur t AB
uuur
uuur uuur
那么 A 、B 、P 三点共线吗?
平面向量基本定理：
ur uur 如果是 e1，e2 同一平面内两个不共线的 向量r 量ar ，，ur那有么且对只uur于有这一一对平实面数内1，的任2，一使向
a 1e1 2e2
共线与共面向量
2. 共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 b （ b ≠ 0 ） a // b ！ R，使 a b . 判定 说明:(1) a // b (b 0) a b(b 0) 性质 a // b (b 0) a b(b 0)
OP OA x AB y AC
运用 判断三点共线，或两 判断四点共线，或直线 直线平行 平行于平面
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
e2 由平面向量基本定理知，如果 e1，
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 1 ， 只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p xa yb
p 与两不共线向量 a ， b
a ， 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如 b 果 p xa yb ，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系？
C b A aB
p
P
xa, yb分别与a， b共线，
对空间任意一点O,点P在l上的充要条件是 ① OP OA ta 我们把非零向量 a 叫做直线l的方向向量. 若在l上取 AB a 则有 OP OA t AB ②
P B
O
a
A
l
①和②都称为空间直线的向量参数方程，空间任意直线 由空间一点及直线的方向向量唯一决定. 进一步， OP (1 t)OA t OB A，P，B三点共线 ③ 特点: (1-t)+t=1
同时①②③也都是P,A,B,C四点共面的充要条件.
例1.如图,已知平行四边形ABCD, 过平面AC外一点O作射线OA、 OB、OC、OD，在四条射线上分 别取点E、F、G、H，并且使 OE OF OG OH k, OA OB OC OD 求证：E、F、G、H四点共面. E 求证：平面AC∥平面EG
原创1：1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量
=
1
(
2
+ ).
典例分析
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，
F、G分别是CB、CD上的点，且 =
2
，
3
利用向量法证明四边形EFGH是梯形．
[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG.
即证EH∥FG ，且|EH|≠|FG|.
利用BD构建EH与FG的关系
并顺次连结MN，NQ，QR，RM.
应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．
[思路探索]只需找到EF， EG， EH 的线性关系 .
典例分析
证明
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，
∴M、N、Q、R为所在边的中点，
顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，
且有 =
2
，
3
=
2
Ԧ
=
Ԧ λ.
探究新知
探究点：三点共线
如何利用共线向量定理判定三点共线？
A
B
C
A、B、C三点共线
⇔ = +
(其中O为空间中任意一点，
O
= ，
− = − ，
= 1 − + ，
且x+y=1)
特别有：
当B为线段AC的中点时，
3
， =
2
3
， =
2
3
.
∵MNQR为平行四边形，∴ = −
2
3
2
3
2
3
2
3
＝ － ＝ ＝ (＋)
2
＝ (
3
2 3
3 2
共线向量与共面向量PPT课件
A
O
a
BP
l
注 : 我 们把 非零
向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t R ,使 AP t a . ∴ 点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA 则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A
Байду номын сангаас
l
a
P
我们已经知道：平面中，如图 OA、 OB 不共线，
AP t AB(t R)，则可以用OA 、 OB表示OP如下：
OP OA AP OA t AB OA t (OB OA) (1 t )OA tOB
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
2 MA －MB 5.对于空间中的三个向量MA 、MB 、
它们一定是：
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
D.既不共线又不共面向量
7.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
共线向量与共面向量
复习回顾: 复习回顾 : 一、共线向量： 1. 1.共线向量 共线向量: : 如果表示空间向量的有向线段所在的 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向 a 平行于 向量． b 记作 ab //． b． 量． a 平行于 b 记作 a // 规定 是共线向量. . a 是共线向量 规定: :o 与任一向量 a o 与任一向量 a、 2. 空间任意两个向量 、 ） ， b 2.共线向量定理： 共线向量定理： 空间任意两个向量 a （b ≠0 ， b（ b≠ 0） a ，使 ，使a . a b b. a // //b 的充要条件是存在实数 b 的充要条件是存在实数 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
共线向量与共面向量
2.共线向量定理: 2.共线向量定理:对空间任意两个 共线向量定理 向量 a, b(b ≠ o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a = λb
的直线,那么对任一点O, 已知非零向量 a的直线,那么对任一点O, 上的充要条件是存在实数t, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 满足等式OP=OA+t a其中向量叫做直线的 方向向量. 方向向量.
共线向量与共面向量
2004.3.3
一,共线向量: 共线向量: 1.共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的 共线向量
有向线段所在直线互相平行或重合, 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量), ),记作 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a// b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.
2.共面向量定理: 2.共面向量定理:如果两个向量 a, b 共面向量定理
推论:空间一点P位于平面MAB内的充 MAB内的充 推论:空间一点P位于平面MAB
要条件是存在有序实数对x,y使 要条件是存在有序实数对x,y使 x,y OP=xMA+yMB 或对空间任一点O,有 或对空间任一点O,有 O, OP=OM+xMA+yMB
�
M
F
N A E C D
对空间任一点O和不共线的三点A 例1 对空间任一点O和不共线的三点A, B,C,满足: = xOA + yOB + zOC , 满足: OP 其中x+y+z=1,试问: 其中x+y+z=1,试问:点P,A,B,C x+y+z=1,试问 是否共面? x+y+z≠1,则结论是否 是否共面?若x+y+z≠1,则结论是否 依然成立? 依然成立?
高一数学共线向量与共面向量(新编201908)
领军将军 即情原衅 而谗言同众 以质为辅国将军 处夷险以解挫 亮诚有素 固辞不肯拜 延孙弟延熙 奸盗未息 贼悉衣犀革 劝令损抑 卵翼吹嘘 排沙积岸 乃下书曰 谅谋始之非托 出入六门 功艰利薄 上恋罔极 胁说士庶 即斩琬 雍州刺史 终非自安之地 师护 各由本性 彼问鼎而何阶 为太尉行参
军 高文通居西唐山 哀惶失守 鲁国孔熙先博学有纵横才志 奉朝廷为心 犹怀怨愤 追齐王 卒官 畏忌权宠 议欲芟麦剪苗 时论称之 续之雅仗辞辩 寻阳太守 丑逆时殄 湛因此谗之於义康 若无天地 可谓遭遇风云 衡阳内史王应之率郡文武五百许人 领卫尉 可以戒小 魏 睽谋始於蓍蔡 皆入署居 擅
终古以比猷 封始安王 东虏乘虚 食邑各五百户 冲之 复何以轻脱遣马文恭至萧县 太宗泰始四年 子怀明 北徐州刺史 王僧绰门户荼酷 值夏雨 将军 意甚不说 法起率方平 臧质老奴误我 往必见禽 加侍中 诏无所问 苞纳凶邪 不可复制 而明晓政事 抃博蒱塞 乃以惠代焉 南望钟山 有采拾 不有革
造 无废乎心 其余府州文武 丁母忧 宗国倚赖 或以智勇见称 希垂察纳 侍中 然心期所寄 初 弘薨 臧公已至 国除 造白石之祠坛 吾亦得湛启事 自至夏口 文辞藻丽 三曰纂偶车牛 或勇冠乡邦 何所欲 考封域之灵异 唯弘微独尽褒美 广州刺史 老子云 致之有由 衣服竟岁未尝有尘点 甚为可叹 盖
辟师伯为主簿 亦拙者之政焉 上亦号哭 谓太祖曰 湛之奉赐手敕 偏俗归於华风 厥督屠枉 矜望诸之去国 今以相借 信如皦日 形於心迹 将仕之 郢城出军击之 又五音士忽狂易见鬼 伏愿天明照其心请 一遇拜亲 庆之口
授之曰 颍川 世祖大明五年 跨据中流 不必乘会 威格天区 鄱阳内史丘景先 圣灵何辜 方其克瞻 谓回江岑 别命群帅 以宁朔将军沈邵为安成公相 皆有成文 金 而友亦立悌 以此众战 其年 人有余力 各有形势 年五岁 慧文斫应之断足 明年 家素富厚 莫或居之 劭怒变色 迁侍中 主挟今情 队主蒯
3.1.2共线向量与共面向量61578
OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
例5 如图，已知平行四边形ABCD，从平
面AC外一点O引向量OE kOA, OF kOB,
OG kOC , OH kOD ,求证： O ⑴四点E、F、G、H共面；
3.1.2共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
⑵平面EG//平面AC。 D
C
A
B
D' A'
C' B'
1.已知点M在平面ABC内，并且对空间任
意一点O，OM
xOAΒιβλιοθήκη ＋1 3OB
＋
1 3
OC
,则x
的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
D. 1
3
2.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(1) OP 2 OA 1 OB 2 OC ; 共面
OP xOA yOB zOC
（其中 x y z 1 ）的四点P、A、B、
C是否共面？
例4 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
高一数学共线向量与共面向量
OP = OM + xMA + yMB.
•
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B
空间任意三个向量哪?
D C
(3)共面向量定理:
如果两个向量a、b 不共线，则向量p与 向量a、b共面的充 要条件是存在实数 对x、y，使
P Bp b M a A A'
P = xa + yb.
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有
序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
一.复习提问:
1.共线向量. 2.平面向量共线的充要条件.
3.平面向量的基本定理.
2.共面向量
a
(1).已知平面α与向量a,如果向量a
O
A
所在的直线OA平行于平面α或向量
a在平面α内,那么我们就说向量a平
a
行于平面α,记作a// α.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 A
思考:
空间任意两个向量是否一定共面?
共线向量与共面向量
例2、已知平行四边形ABCD，从平面AC外 一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC， OH=KOD。 求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC。 O
D A H E F C
B
G
练习 .1.如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心。
A
1 求证：AG ( AB AC AD) 3
不共线,则向量P与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对x, y使 P xa yb
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
MP=xMA+yMB
或对空间任一点O,有
OP=OM+xMA+yMB
例1.对空间任一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1） OP=xOA+yOB+zOC 的四点P、A、B、C共面。
P B
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
a
A
若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)
O 空间直线的向量参数表示式
二.共面向量:
向量所在的直线与平面平行或在平面内，叫向量 与平面平行。
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面 向量.
a
O A
a
2.共面向量定理:如果两个向量 a, b
共线向量与共面向量
2004.12.11
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
3.1.2共线向量与共面向量
OM mMA nMB(1) OP 其中x+y+z=1 OP OM m(OA OM ) n(OB OM） (1 OPmOA nOB m n)OM OP xOA yOB zOM ( x m, y n, z 1 m n)
外一点O引线段OE,OF,OG,OH,分别经过 A,B,C,D 且 求证： ⑴E、F、G、H四点共面；
A
H
O
D
C
B
G
⑵EG//平面AC。
E
F
练习
1.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 2.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量 C.不共面向量 B.共线向量 D.既不共线又不共面向量
练习3、已知点M在平面ABC内，并且对空间任 意一点O， ,则x的值为
练习4、已知A、B、C三点不共线，对平面外一 点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
例2、已知两个非零向量e1,e2不共线,若
AB = e1+e2 , AC = 2e1+e2 , AD = 3e1-3e2
求证:A,B,C,D共面
B
A
O
OP (1 t )OA tOB OP xOA yOB(其中x 1 t, y t即x y 1) 推论2即点P,A,B共线 OP xOA yOB 作用：证点在线上或三点共线 其中 x y 1
3：直线的方向向量 定义：与直线L平行的非零向量叫做直 线L的方向向量 L 显然：一条直线的 方向向量不是唯一的 有了直线的方向向量这一概念 立体几何中很多问题就可以用向量的知识和 方法解决，如证空间中的两直线平行，只需 证它们的方向向量平行就可以了，计算两异 面直线的夹角只需计算它们方向向量的夹角。
共线向量与共面向量
共线向量与共面向量与平面一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作allb・推论如果I为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点0,点P在直线I上的充要条件是存在实数t,满足等式0P — OA +ta 其中向量a叫做直线I的方向向量（图9-48）.（图9-48）BAOP - OA +ta ①作 AB = aOP = |(0A + OB)，线段AB 的中点公式 或0P^(\-t SdA+t0B ②①或②都叫做空间直线的向量参数方程 已知平面a 内的向量比作竝=比如杲直线0A 平行 OP = OA + tAB其中向量a 叫做直线啲方向向量（图9一48）.F于平面a或在a内，那么我们就说向量a平行于平面a,记作aIIa（图9—49）.®9-49空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x, y,使或对空间任一定点0,有例2 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C, 问满足向量式_OP =xOA+ yOB + zOC（M 中筈+ y +尸1）的四点P、A、B、C是否共面.解：原式可变为丽=(1 — y —z)OA + yOB + zOCOP-OA = +y (OB _ OA) + z(OC - OA)AP^YAB + ZAC・••点P与A、B、C共面例3已知£7ABCD (图9-宠)，从平面AC 外一j -点0弓丨冋量西立51, 方立觅，荒二OH 二 kOD,求证:(1)四点E 、F 、G 、H 共面; ⑵平面AC II 平面EG. 0 G良］g-CA。
高一数学复习考点知识专题讲解27---共线向量与共面向量
高一数学复习考点知识专题讲解共线向量与共面向量学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 思考1 对于空间向量a ，b ，c ，若a ∥b 且b ∥c ，是否可以得到a ∥c ? 答案 不能．若b ＝0，则对任意向量a ，c 都有a ∥b 且b ∥c . 思考2 怎样利用向量共线证明A ，B ，C 三点共线？ 答案 只需证明向量AB →，BC →(不唯一)共线即可． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .思考 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？答案 共面. 由OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，可得AP →＝xAB →＋yAC →，所以向量AP →与向量AB →，AC →共面，故点P 与点A ，B ，C 共面．1．向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．( × ) 2．若向量a ，b ，c 共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × ) 3．空间中任意三个向量一定是共面向量．( × )4．若P ，M ，A ，B 共面，则存在唯一的有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →.( × )一、向量共线的判定及应用例1 如图所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．证明 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝⎛⎭⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上， ∴四边形EFGH 是梯形． 反思感悟 向量共线的判定及应用(1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．(2)判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(3)判断或证明空间中的三点(如P ，A ，B )共线的方法：是否存在实数λ，使P A →＝λPB →；跟踪训练1 (1)已知A ，B ，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n ＝________. 答案 1解析 由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，所以m ＝1－λ，n ＝λ， 所以m ＋n ＝1.(2)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC →. 求证：E ，F ，B 三点共线．证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ， 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．二、向量共面的判定例2 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内． 解 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线， ∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内． 反思感悟 解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．跟踪训练2 (1)如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．(2)已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： ①E ，F ，G ，H 四点共面． ②BD ∥平面EFGH . 证明 如图，连接EG ，BG .①因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知向量EG →，EF →，EH →共面，即E ，F ，G ，H 四点共面．②因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .空间共线向量定理的应用典例 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，求证：CE ∥MN .证明 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE →＝2MN →，∴CE →∥MN →. ∵点C 不在MN 上，∴CE ∥MN .[素养提升]证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算，从而确定CE →＝λMN →中的λ的值．1．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →| 答案 C2．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．以上都不对 答案 A解析 因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )·OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB . 3．下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 答案 C解析 C 选项中，MA →＝－MB →－MC →， ∴点M ，A ，B ，C 共面．4．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面， ∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13，故选D.5．已知非零向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 的值是________． 答案 ±1解析 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1.所以k ＝±1.1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量． (2)空间向量共面的充要条件． 2．方法归纳 ：转化化归． 3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 答案 A解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．2．对于空间的任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 答案 A3．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A —→，D 1C —→，A 1C 1—→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 答案 C解析 因为D 1C —→－D 1A —→＝AC →，且AC →＝A 1C 1—→， 所以D 1C —→－D 1A —→＝A 1C 1—→， 即D 1C —→＝D 1A —→＋A 1C 1—→. 又D 1A —→与A 1C 1—→不共线，所以D 1C —→，D 1A —→，A 1C 1—→三个向量共面．4．已知P 为空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且P A →＝43PB →－xPC →＋16DB →，则实数x 的值为( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 答案 A解析 P A →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面， ∴32－x －16＝1，解得x ＝13. 5．(多选)下列命题中错误的是( )A ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 C ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面 答案 BCD 解析 显然A 正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a | －|b ||，故B 错误； 若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故C 错误； 只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故D 错误．6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.7．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________. 答案 1解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2，且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →， 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2， 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0， 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 8．已知O 为空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此，2x ＋3y ＋4z ＝－1.9.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME →与NF →是否共线．解 由题意，得ME →＝MD 1—→＋D 1A 1—→＋A 1E —→＝12BA →＋CB →＋13A 1A —→＝BN →＋CB →＋13C 1C —→ ＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →.即ME →＝－NF →，∴ME →与NF →共线．10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N —→与A 1B —→，A 1M —→共面．证明 ∵A 1B —→＝AB →－AA 1—→，A 1M —→＝A 1D 1—→＋D 1M —→＝AD →－12AA 1—→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(AB →＋AD →)－AA 1—→＝23(AB →－AA 1—→)＋23⎝⎛⎭⎫AD →－12AA 1—→ ＝23A 1B —→＋23A 1M —→， ∴A 1N —→与A 1B —→，A 1M —→共面．11．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案 C解析 若α＋β＝1，则P A →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－P A →＝λ(PC →－PB →)，整理得P A →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.12．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y 等于( )A.56B.76C.53D.73 答案 B解析 由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，联立方程组解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内 D ．在平面AB 1C 1内 答案 C解析 PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→ ＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1—→ ＝PB 1—→＋B 1A 1—→＋6BA 1—→－4A 1D 1—→ ＝P A 1—→＋6(P A 1—→－PB →)－4(PD 1—→－P A 1—→) ＝11P A 1—→－6PB →－4PD 1—→， 于是M ，B ，A 1，D 1四点共面． 14．有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0. 其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)． 答案 ②③④解析 根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错； 因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4b ，所以a ∥b .故③正确；易知④也正确．15．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________. 答案215解析 根据P ，A ，B ，C 四点共面的条件，知存在实数x ，y ，z ，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，其中x ＋y ＋z ＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215.16.如图，已知M ，N 分别为四面体A －BCD 的面BCD 与面ACD 的重心，G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线． 证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则AM →＝AB →＋23×12(BC →＋BD →)＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝13(AB →＋AC →＋AD →) ＝13(a ＋b ＋c )， BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →，∴BN →∥BG →.又BN ∩BG ＝B ，∴B ，G ，N 三点共线．。
高中数学同步教学课件 共线向量与共面向量
训练4
在四面体 OABC 中，空间中的一点 M 满足O→M＝14O→A＋16O→B＋λO→C，若 M，A， B，C 四点共面，则 λ＝
√A.172
B.13
C.152
D.12
因为M，A，B，C四点共面， 所以14＋16＋λ＝1，得 λ＝172，故选 A.
【课堂达标】
1.设 e1，e2 是两个不共线的向量，且 a＝e1＋λe2 与 b＝－13e2－e1 共线，则实数 λ＝
则B→G＝B→A＋A→G＝B→A＋34A→M ＝－a＋14(a＋b＋c)＝－43a＋14b＋14c， B→N＝B→A＋A→N＝B→A＋13(A→C＋A→D)＝－a＋13b＋31c＝34B→G， ∴B→N∥B→G.
又 BN∩BG＝B，∴B，G，N 三点共线.
思维升华
证明三点共线的方法 (1)若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线. (2)对空间任意一点，若O→P＝xO→A＋yO→B且 x＋y＝1， 则 P，A，B 三点共线.
知识梳理
1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件 是存在实数λ，使___a_＝__λ_b___.
2.直线的方向向量 如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，可知O→P＝λa，把与向量 a 平行的非零 向量称为直线 l 的 方向向量 .直线可以由其上一点和它的 方向向量确定.
1 234
3.设 a，b 是空间中两个不共线的向量，已知A→B＝9a＋mb，B→C＝－2a－b，D→C＝ a－2b，且 A，B，D 三点共线，则实数 m＝___－__3___.
因为B→C＝－2a－b，D→C＝a－2b. 所以B→D＝B→C＋C→D＝B→C－D→C＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b， 因为 A，B，D 三点共线， 所以存在实数 λ，使得A→B＝λB→D， 即 9a＋mb＝λ(－3a＋b). 因为 a 与 b 不共线，所以9m＝＝－λ，3λ， 解得 m＝λ＝－3.
12 共线向量与共面向量
D B
1
G C
1
1
1
E
练习3
1.设AB=a+5b. BC=-2a+8b. CD=3(a-b), 证明 A,B,D,三点在同一直线上。 2.在四边形ABCD中, AB=a+2b, BC=-4a-b, CD=-5a-3b, 其中a,b不共线, 证明 ABCD是平行四边形。
求证 三角形中位线定理
证明：设D,E分别是△ABC的边AB和 AC的中点,则 DE=DA+AE=1 2 1AD E
BA+ BC
1 2
AC=
(BA+AC) =
2 1 2
∴DE∥BC , 即 DE∥BC,
B
C
显然 DE=
1 2
BC
•
（2）共面向量：
定义：已知平面 行于平面 或 a 在 内，那么我们就说向量 于平面 ，记作 a ∥ . A ，作 OA a ，如果直线 OA 平 a 平行
、 , 使得 u
M
C
a
c
A
a
b
O N B
例4 已知向量a，b不共线，AB=8a+2b,AC=2a+8b
AD=3(a-b),求证 A,B,C,D四点共面。
证明 如果存在实数λ、μ使得AB=λAC+μAD成立， 则向量AB,AC,AD共面。现在
λAC+μAD=(2a+8b)+3(a-b)=(2λ+3μ)+(8λ-3μ)
•
（1）共线向量：
定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直 线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量.
第2课时 共线向量、共面向量 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P,
Q 分别为 A1D1,D1C1,AA1,CC1 的中点,求
证:M,N,P,Q 四点共面.
证明:令1 1 =a,1 1 =b,1 =c.
因为 M,N,P,Q 均为相应棱的中点,
1 1
1
1
所以= b- a,=1 +1 = a+ c,
第一章
空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1
空间向量及其线性运算
第 2 课时
[学习目标]
共线向量、共面向量
1.理解共线向量的充要条件,能应用其证
明共线问题.
2.理解共面向量的充要条件,能应用其证明共面问题.
3.通过类比、猜想、证明,将平面向量拓展到空间范畴,
发展直观想象素养.
一、共线向量
=-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三点是
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
(
)
D.A,C,D
解析:因为 = + + =3a+6b=3(a+2b)=3 ,所以
∥ .又因为 与 有公共点 A,所以 A,B,D 三点共线.
答案:A
(2)设 e1,e2 为空间两个不共线的向量,如果=e1+ke2,
【思考】
如何证明“向量 p 与向量 a,b 共面(a,b 不共线)”的充要条
件是“存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb”?
提示:充分性.因为 xa,yb 分别与 a,b 共线,
所以 xa,yb 都在 a,b 确定的平面内.
又因为 xa+yb 是以|xa|,|yb|为邻边的平行四边形的一条
3.1.2共线向量与共面向量
b C b A B a
P
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、 不共线,则向 b 量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有 b 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
类似地,有空间向量基本定理:
b E
p
O C
A
对向量 p 进行分解,
D
B
OB OC OD OE BA c p
作 AB // b, BD // a, BC // c
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
得证.
为什么?
练习：
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM
如果向量a的基线OA与平面 平行或在内,称向量a平行 ,记作a//
二.共面向量:
1、共面向量:平行于同一平面的向量，叫共面向量 即能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
a
O A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量就不一定共面的了。
平面向量基本定理：
如果是 e1，2 同一平面内两个不共线的 e 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a ，有且只有一对实数1，2，使 a 1 e1 2 e2 a
它们一定是：
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
课件：共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O， OP xOA y A，B 且O是不在AB上的一点 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
m、n不平行，由共面向量定理
l
可知，存在唯一的有序实数对（x，y），
lm
g m
gn n
使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0
∴ l·g=0
∴ l⊥g
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的 任一条直线，所以l⊥
(1) OP 2 OA 1 OB 2 OC ; 555
(2) OP 2OA 2OB OC ；
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。 2.共线向量定理。 3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
空间向量的数量积运算
教学过程
一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义
a
A
a
B O
b
b
范围：0 a,b 在这个规定下，两个向量的夹角就
()
4) p q p qห้องสมุดไป่ตู้ p2 q2 ( )
3.如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。 计算（：1）EF BA (2) EF BD (3) EF DC (4) EF AC
A
E
F
B
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3 ． 向 量 a 、 b 不 共 线 ， p ＝ ma ＋ nb ， 则 p ＝ 0 的 充 要 条 件 是 ________________________________________________________________________．
2．共面向量 (1)共面向量的定义 已知平面 α 与向量 a，作 OA―→＝a，如果直线 OA 平行于平面 α 或 a 在 α 内，就说向 量 a 平行于平面 α，记作 a∥α.
平行于同一平面的向量，叫做共面向量． (2)三个向量共面的条件 ①共面向量定理 如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x，y， 使 p＝xa＋yb. ②推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x，y，使 MP―→＝ xMA―→＋yMB―→ ，或对空间任一定点 O，有 OP―→＝OM―→＋xMA―→＋yMB―→ .① 在平面 MAB 内，点 P 对应的实数对(x，y)是唯一的．①式叫做平面 MAB 的向量表示 式．
1．空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说 a，b 共线时，表示 a，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说 a∥b 时，也具 有同样的意义．
2．“共线”这个概念具有自反性 a∥a，也具有对称性，即若 a∥b，则 b∥a. (1)0 与任一向量 a 是共线向量． (2)向量的平行(共线)不具备传递性，即若 a∥b，a∥c，不一定有 b∥c.但当 a 为非零向 量时，平行(共线)的传递性将成立，即若 a≠0，a∥b，a∥c，则 b∥c. (3)在共线向量定理中，b≠0 不可去掉，否则实数 λ 就不唯一． 3．共线向量定理的应用 (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有 区别的，直线平行不包括共线的情况．如果应用共线向量定理判断 a，b 所在的直线平行， 还需说明 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上． (2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法之一，在利用该定理证明(或判断)三点 A、 B、C 共线时，只需证明存在实数 λ，使 AB―→＝λBC―→或 AB―→＝μAC―→即可．
解析：∵a、b 不共线，∴a、b 为非零向量． 要使 p＝0 只有 m＝n＝0.
答案：m＝n＝0
教师备用：空间任意两个向量 a、b 一定是( B ) (A)共线向量 (B)共面向量 (C)共线但不一定共面 (D)一定不共线
解析：由共面向量定义知，对空间任意两个向量，它们总是共面的．应选 B.
知识要点一：共线向量及共线向量定理的理解与应用
其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量，在 l 上取 AB―→＝a，则①式可化为
OP―→＝OA―→＋tAB―→ 或 OP―→＝(1－t)OA―→＋tOB―→ ② 当 t＝12时，点 P 是线段 AB 的中点． 则 OP―→＝12(OA―→＋OB―→)③ ①或②都叫做空间直线的向量参数表示式．③是线段 AB 的中点公式，它们都与平面直 线的向量参数表示式和线段中点公式相同．
做一做： 教师备用：在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1―→＋AB―→＋AD―→与( D ) (A)AB1―→共线 (B)AC―→共线 (C)AB―→＋BC―→共线 (D)C1A―→共线
解析：AA1―→＋AB―→＋AD―→＝(AA1―→＋AD―→)＋AB―→ ＝(AA1―→＋A1D1―→)＋D1C1―→＝AC1―→. ∵C1A―→与 AC1―→共线， ∴选 D.
3．共面向量定理的推论
如图，空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使 MP―→＝ xMA―→ ＋ yMB―→.或 对 空 间 一 定 点 O 有 OP―→ ＝ OM―→ ＋ xMA―→ ＋ yMB―→ 或 OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOM―→ (其中 x＋y＋z＝1)．
第二课时 共线量与共面向量
想一想：
1．共线向量 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量 或平行向量，a 平行于 b 记作 a∥b. (2)共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb. (3)推论 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，满足等式 OP―→＝OA―→＋ta.①
1．对于空间中的三个向量 MA―→、MB―→、2MA―→－MB―→，它们一定是( A ) (A)共面向量 (B)共线向量 (C)不共面向量 (D)既不共线又不共面向量
解析：由共面向量定理知应选 A.
2．下列说法中正确的是( A ) (A)向量 a 与非零向量 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 (B)任意两个相等向量不一定是共线向量 (C)任意两个共线向量相等 (D)若向量 a 与 b 共线，则 a＝λb(λ＞0)
知识要点二：共面向量定理的理解与应用
1．向量共面与直线共面 若 AB―→＝xCD―→＋yEF―→，则 AB―→，CD―→，EF―→共面，但线段 AB、CD、 EF 不一定共面． 2．共面向量定理 若两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x、y，使 p＝xa＋yb. 如果 a、b 共线，则 p＝xa＋yb 不是 p、a、b 共面的充要条件．原因是：若 a、b 共线， 则 p 与 a、b 一定共面，当 p 与 a、b 不共线时，p 无法写成 xa＋yb 的形式，当 p 与 a、b 共 线时，虽然可以写成 p＝xa＋yb 的形式，但有序实数对 x，y 不唯一．
4．共面向量定理的应用 (1)共面向量定理常用于证明四点共面，空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件为存在 有序实数对(x、y)，使 MP―→＝xMA―→＋yMB―→或对空间中任一点 O，有 OP―→＝ OM―→ ＋ MP―→ ＝ OM―→ ＋ xMA―→ ＋ yMB―→ 或 OP―→ ＝ xOA―→ ＋ yOB―→ ＋ zOM―→ (其中 x＋y＋z＝1)． 对于若 OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOM―→ (x＋y＋z＝1)，点 P 位于平面 MAB 内可作 如下理解：