第一节 集合的概念与集合之间的关系
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【方法点拨】 两个集合相等或包含关系的问题，通常 是先利用集合中元素的确定性和互异性建立方程或方程 组，然后解出未知数，最后利用互异性进行检验即可．
回顾反思
1．集合的表示方法中，首先要弄清构成集合的元素是什 么，然后才能正确求解．
2．要正确地区分元素与集合、集合与集合之间的关系， 熟记集合中各种关系的符号和常见数集的符号．
解 ∵B⊆A，∴m2＝2m－1或m2＝－1(舍去)，解得m＝1， ∴m＝1.
典例解析
【变式训练4】 已知集合A＝{1，3，n}，集合B＝{1， n2－n＋1}，且B⊆A，求n的值．
解：∵B⊆A， ∴n2－n＋1＝3或n2－n＋1＝n， 即n2－n－2＝0或n2－2n＋1＝0， 解得n＝2或n＝－1或n＝1(与元素的互异性矛盾，应舍去)． 故n的值为2或－1.
D．{1，3}
【提示】 因为方程x2－2x－3＝0的解为－1和3，用 列举法表示为{－1，3}，故选A.
同步精练
二、填空题 7．用列举法表示集合{大于－2小于3的整数}为
___{－__1_，__0_，__1_，__2_}_____．
【提示】 大于－2小于3的整数为{－1，0，1，2}．
8．用恰当的符号(∈，∉， ， ，＝)填空． a____∈____{a，b，c}；N*________Z；－1___∈_____Z； {x|2<x<4}________{x|0<x<5}； 【提示】 由集合与元
典例解析
【变式训练2】 用另一种方法表示下列集合． (1){一个数的立方等于它本身的数}； (2){x|x<5且x∈N}； (3){0，1，2，3}; (4){x|x2－3x－10＝0}．
解：(1){0，1}． (2){0，1，2，3，4}． (3){x|x<4，x∈N}． (4){－2，5}．
【方法点拨】 掌握集合的两种表示方法．
记作_A____B_或__B____A__．
(3)相等集合：_如__果__两__个__集__合__的__元__素__完__全__相__同__，__那__么__我__们__， _就__说__这__两__个__集__合__相__等_____________记作___A_＝__B__．
知识要点
5．常用结论
思维导图
知识要点
1．集合 由某些确定的对象组成的全体构成___集__合___．其中每一个 确定的对象叫作___元__素___．一般用大写英文字母A，B，C… 表示___集__合___，用小写英文字母a，b，c…表示__元__素____． (1)集合中元素的特征：_确__定__性___、_互__异__性___、_无__序__性___. (2)常见的数集：自然数集____N____，整数集____Z____， 正整数集_N__*或__N__＋_，有理数集____Q____，实数集___R_____， 正实数集____R_+___． (3)空集的概念：不含任何元素的集合叫作___空__集___，记
作___∅_____．
知识要点
2．集合的表示方法 (1)列举法： _把__集__合__中__的__元__素__一__一__列__举__出__来__，__写__在__大__括__号__内______________. (2)描述法： _把__集__合__中__元__素__的__共__同__特__征__描__述__出__来__，__写__在__大__括__号__内__________. 3．元素与集合的关系 若a是集合A中的元素，记作___a_∈__A__；反之，记作 ___a_∉_A___．
知识要点
4．集合与集合的关系 (1)子集：如__果__集__合__A__的__任__意__一__个__元__素__都__是__集__合__B_的__元__素__，__ _那__么__集__合__A_叫__作__集__合__B_的__子__集___，记作__A_⊆__B_或__B_⊇_A____． (2)真子集：如__果__集__合__A__是__集__合__B_的__子__集__，__并__且__B_中__至__少__有___ _一__个__元__素__不__属__于__A_，__那__么__集__合__A_叫__作__集__合__B_的__真__子__集_____，
解：∵－1∈A， ∴－a2＋a－1＝－1，解得a＝0或a＝1. 当a＝1时，集合B＝{1，－1，1}与元素互异性矛盾，应 舍去． ∴实数a的值是0.
同步精练
12．已知集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，且A⊇B， 求实数a的取值范围．
解：如图所示，a≥3，
∴a的取值范围是{a|a≥3}.
(7){矩形}___⊇_____{正方形}; (8){a，b，c}____⊄____{c，d，
e}； (9)(1，2)____∈____
x,
y
x x
y y
3,1.
【方法点拨】 准确掌握集合的两种基本表达方法
中元素的特征，理解符号∈，∉，⊆，⊇，＝的意义， 是处理好此类问题的关键．
(2，1)____∈____
x,
y
x x
y y
3,
1
.
素的性质可知．
同步精练
9．集合{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}的元素有___4___个． 【提示】 因为x∈N，y∈N，所以当x＝0时， y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1； 当x＝3时，y＝0.
典例解析
【例2】 用列举法表示下列集合． (1)A＝{不大于3的自然数}；(2)B＝{x|x2＋2x－3＝0}． 【解】 (1)A＝{0，1，2，3}． (2)B＝{－3，1}．
【分析】 (1)构成集合A的元素是不大于3的自然数，也就 是小于或等于3的自然数，注意要包括0，所以A＝{0，1，2， 3}；(2)构成集合B的元素是满足方程的实数，即一元二次方 程x2＋2x－3＝0的两个根，所以B＝{－3，1}．
(1) ∅是任何集合的____子__集__，是任何非空集合的
_真__子__集___． (2)若集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集有____2_n ___
个，真子集有__2_n_－__1__个，非空真子集有__2_n_－__2__个．
典例解析
【例1】 (1)(2017年对口高职考)设集合A＝{0}，下列结
典例解析
【变式训练1】
填空题(用符号“∈、∉、⊆、⊇、⊄、＝”填空)
(1)N____⊆____Z; (2)0____∈____N；
(3) 1 ___∈_____Q; (4){2}____⊆____{x|2x－x2＝0}； 2
(5){1，3}____＝____{3，1}; (6) 5 ___∉_____{x|x<2}；
集合的运算
掌握交集、并集、补 集的运算
7 —7
7
1.了解命题的概念，会 充分条件、 判断命题的真假 必要条件和 2.掌握简单的充分条件、 7 充要条件 必要条件和充要条件
的判定方法
7 ——
分析解读
集合在近几年重庆市高职考试中以选择题和填空题 为主，主要考查的内容：
1．集合元素的特征：确定性、互异性和无序性． 2．两类关系：元素与集合之间的关系、集合与集 合之间的关系． 3．集合的交集、并集、补集的运算． 4．与不等式相联系，考查对集合的概念及运算知 识的把握及数形结合的能力． 5．充要条件：以函数、不等式、三角函数等知识 为载体，综合考查数学思想、数学方法和数学能力．
典例解析
【变式训练3】 写出集合{b，c，d，e}的所有子集、真 子集和非空真子集．
解：子集：∅，{b}，{c}，{d}，{e}，{b，c}，{b，d}，{b， e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{b， d，e}，{c，d，e}，{b，c，d，e}． 真子集：上述子集中，除{b，c，d，e}外，其余都是真子集． 非空真子集：上述子集中，除∅，{b，c，d，e}外，其余 都是非空真子集．
同步精练
3．由于集合问题大多与函数、方程或不等式相关，因此 要注意相关知识的融会贯通．
同步精练
一、单项选择题
1．下列语句能构成集合的是( C )
A．我校高一成绩好的男生 B．与0接近的全体实数
C．所有负数
D．和我关系很好的朋友
【提示】 由“集合中元素的确定性”可知，“成
绩好，接近0，关系好”都是不确定的，故选C.
论正确的是( C )
A．A＝0
B． A＝∅ C． 0∈A D． ∅∈A
(2)下列各式中，正确的个数是 ( A )
①∅⊆{0}；
②{0}∈N；
③{－3}∈Z；
④{1，3，5}⊇{1，2，3，4，5}； ⑤N⊆Q.
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】 本题主要考查几个常见数集，元素与集 合、集合与集合之间的关系，特别是元素与空集、 空集与一般集合的关系．
【方法点拨】 子集的个数是2n个，真子集的个数 是2n－1个，非空真子集的个数是2n－2个．其中n表 示集合中元素的个数．
典例解析
【例4】* 已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3， m2}，且满足B⊆A，求m的值．
【分析】 因为B⊆A，可建立方程m2＝2m－1或m2＝ －1(舍去)，解出m的值即可．
【提示】 最小的质数是2，故选C.
5．下列关系错误的是( B ) A．0∈{0} B．0∈∅ C．0∉∅ D．b∈{b}
【提示】 由元素与集合的关系可知， 0∉∅，故选B.
同步精练
6．集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，用列举法表示为( A )
Байду номын сангаас
A．{－1，3}
B．{(－1，3)}
C．{(3，－1)}
典例解析
【例3】 写出集合{1，2，3}的所有子集和真子集． 【解】 子集：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}， {1，3}，{2，3}，{1，2，3}． 真子集：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}， {2，3}．
【分析】 子集包括集合本身，真子集不包括集合 本身；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真 子集．
2．若集合A＝{x|x<2}，则下列各式正确的是( D ) A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A 【提示】 由元素与集合的关系可知，{0}⊆A，故选D.
同步精练
3．下列结论中，正确的有( A ) ①空集是任何一个集合的真子集；
②∅是集合{0}的真子集；
③如果集合B中含有集合A中所没有的元素，那么集合A是
集合B的真子集；
④若M⊆N，则M N.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【提示】 因为空集是任何非空集合的真子集，所 以①错误，②正确；由子集和真子集的定义可知， ③④错误，故选A.
同步精练
4．下列命题中错误的是( C )
A．∅⊆{0}
B．R⊇Q
C．{正奇数}⊇{质数} D．{x|x<2}⊆{x|x<3}
同步精练
三、解答题 10．写出集合{－1，0，1}的所有子集和真子集．
解：子集：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}， {0，1}，{－1，0，1}． 真子集：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}， {0，1}．
同步精练
11．已知集合A＝{2，－a2＋a－1}，集合B＝{1，－1， a}，且－1∈A，求实数a的值．
重庆市对口高职招生考试复习丛书
对口高职数学 总复习 2021
第一章 集合
第一节 集合的概念与集合之间的关系
考点解读
考点
内容解读
近四年高职考统计(分值) 2016 2017 2018 2019
1.了解集合元素的性质 、空集与全集的意义
集合的概念 2.掌握集合的表示方法 — 7 — — 3.理解子集、真子集和 集合相等的概念
回顾反思
1．集合的表示方法中，首先要弄清构成集合的元素是什 么，然后才能正确求解．
2．要正确地区分元素与集合、集合与集合之间的关系， 熟记集合中各种关系的符号和常见数集的符号．
解 ∵B⊆A，∴m2＝2m－1或m2＝－1(舍去)，解得m＝1， ∴m＝1.
典例解析
【变式训练4】 已知集合A＝{1，3，n}，集合B＝{1， n2－n＋1}，且B⊆A，求n的值．
解：∵B⊆A， ∴n2－n＋1＝3或n2－n＋1＝n， 即n2－n－2＝0或n2－2n＋1＝0， 解得n＝2或n＝－1或n＝1(与元素的互异性矛盾，应舍去)． 故n的值为2或－1.
D．{1，3}
【提示】 因为方程x2－2x－3＝0的解为－1和3，用 列举法表示为{－1，3}，故选A.
同步精练
二、填空题 7．用列举法表示集合{大于－2小于3的整数}为
___{－__1_，__0_，__1_，__2_}_____．
【提示】 大于－2小于3的整数为{－1，0，1，2}．
8．用恰当的符号(∈，∉， ， ，＝)填空． a____∈____{a，b，c}；N*________Z；－1___∈_____Z； {x|2<x<4}________{x|0<x<5}； 【提示】 由集合与元
典例解析
【变式训练2】 用另一种方法表示下列集合． (1){一个数的立方等于它本身的数}； (2){x|x<5且x∈N}； (3){0，1，2，3}; (4){x|x2－3x－10＝0}．
解：(1){0，1}． (2){0，1，2，3，4}． (3){x|x<4，x∈N}． (4){－2，5}．
【方法点拨】 掌握集合的两种表示方法．
记作_A____B_或__B____A__．
(3)相等集合：_如__果__两__个__集__合__的__元__素__完__全__相__同__，__那__么__我__们__， _就__说__这__两__个__集__合__相__等_____________记作___A_＝__B__．
知识要点
5．常用结论
思维导图
知识要点
1．集合 由某些确定的对象组成的全体构成___集__合___．其中每一个 确定的对象叫作___元__素___．一般用大写英文字母A，B，C… 表示___集__合___，用小写英文字母a，b，c…表示__元__素____． (1)集合中元素的特征：_确__定__性___、_互__异__性___、_无__序__性___. (2)常见的数集：自然数集____N____，整数集____Z____， 正整数集_N__*或__N__＋_，有理数集____Q____，实数集___R_____， 正实数集____R_+___． (3)空集的概念：不含任何元素的集合叫作___空__集___，记
作___∅_____．
知识要点
2．集合的表示方法 (1)列举法： _把__集__合__中__的__元__素__一__一__列__举__出__来__，__写__在__大__括__号__内______________. (2)描述法： _把__集__合__中__元__素__的__共__同__特__征__描__述__出__来__，__写__在__大__括__号__内__________. 3．元素与集合的关系 若a是集合A中的元素，记作___a_∈__A__；反之，记作 ___a_∉_A___．
知识要点
4．集合与集合的关系 (1)子集：如__果__集__合__A__的__任__意__一__个__元__素__都__是__集__合__B_的__元__素__，__ _那__么__集__合__A_叫__作__集__合__B_的__子__集___，记作__A_⊆__B_或__B_⊇_A____． (2)真子集：如__果__集__合__A__是__集__合__B_的__子__集__，__并__且__B_中__至__少__有___ _一__个__元__素__不__属__于__A_，__那__么__集__合__A_叫__作__集__合__B_的__真__子__集_____，
解：∵－1∈A， ∴－a2＋a－1＝－1，解得a＝0或a＝1. 当a＝1时，集合B＝{1，－1，1}与元素互异性矛盾，应 舍去． ∴实数a的值是0.
同步精练
12．已知集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，且A⊇B， 求实数a的取值范围．
解：如图所示，a≥3，
∴a的取值范围是{a|a≥3}.
(7){矩形}___⊇_____{正方形}; (8){a，b，c}____⊄____{c，d，
e}； (9)(1，2)____∈____
x,
y
x x
y y
3,1.
【方法点拨】 准确掌握集合的两种基本表达方法
中元素的特征，理解符号∈，∉，⊆，⊇，＝的意义， 是处理好此类问题的关键．
(2，1)____∈____
x,
y
x x
y y
3,
1
.
素的性质可知．
同步精练
9．集合{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}的元素有___4___个． 【提示】 因为x∈N，y∈N，所以当x＝0时， y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1； 当x＝3时，y＝0.
典例解析
【例2】 用列举法表示下列集合． (1)A＝{不大于3的自然数}；(2)B＝{x|x2＋2x－3＝0}． 【解】 (1)A＝{0，1，2，3}． (2)B＝{－3，1}．
【分析】 (1)构成集合A的元素是不大于3的自然数，也就 是小于或等于3的自然数，注意要包括0，所以A＝{0，1，2， 3}；(2)构成集合B的元素是满足方程的实数，即一元二次方 程x2＋2x－3＝0的两个根，所以B＝{－3，1}．
(1) ∅是任何集合的____子__集__，是任何非空集合的
_真__子__集___． (2)若集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集有____2_n ___
个，真子集有__2_n_－__1__个，非空真子集有__2_n_－__2__个．
典例解析
【例1】 (1)(2017年对口高职考)设集合A＝{0}，下列结
典例解析
【变式训练1】
填空题(用符号“∈、∉、⊆、⊇、⊄、＝”填空)
(1)N____⊆____Z; (2)0____∈____N；
(3) 1 ___∈_____Q; (4){2}____⊆____{x|2x－x2＝0}； 2
(5){1，3}____＝____{3，1}; (6) 5 ___∉_____{x|x<2}；
集合的运算
掌握交集、并集、补 集的运算
7 —7
7
1.了解命题的概念，会 充分条件、 判断命题的真假 必要条件和 2.掌握简单的充分条件、 7 充要条件 必要条件和充要条件
的判定方法
7 ——
分析解读
集合在近几年重庆市高职考试中以选择题和填空题 为主，主要考查的内容：
1．集合元素的特征：确定性、互异性和无序性． 2．两类关系：元素与集合之间的关系、集合与集 合之间的关系． 3．集合的交集、并集、补集的运算． 4．与不等式相联系，考查对集合的概念及运算知 识的把握及数形结合的能力． 5．充要条件：以函数、不等式、三角函数等知识 为载体，综合考查数学思想、数学方法和数学能力．
典例解析
【变式训练3】 写出集合{b，c，d，e}的所有子集、真 子集和非空真子集．
解：子集：∅，{b}，{c}，{d}，{e}，{b，c}，{b，d}，{b， e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{b， d，e}，{c，d，e}，{b，c，d，e}． 真子集：上述子集中，除{b，c，d，e}外，其余都是真子集． 非空真子集：上述子集中，除∅，{b，c，d，e}外，其余 都是非空真子集．
同步精练
3．由于集合问题大多与函数、方程或不等式相关，因此 要注意相关知识的融会贯通．
同步精练
一、单项选择题
1．下列语句能构成集合的是( C )
A．我校高一成绩好的男生 B．与0接近的全体实数
C．所有负数
D．和我关系很好的朋友
【提示】 由“集合中元素的确定性”可知，“成
绩好，接近0，关系好”都是不确定的，故选C.
论正确的是( C )
A．A＝0
B． A＝∅ C． 0∈A D． ∅∈A
(2)下列各式中，正确的个数是 ( A )
①∅⊆{0}；
②{0}∈N；
③{－3}∈Z；
④{1，3，5}⊇{1，2，3，4，5}； ⑤N⊆Q.
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】 本题主要考查几个常见数集，元素与集 合、集合与集合之间的关系，特别是元素与空集、 空集与一般集合的关系．
【方法点拨】 子集的个数是2n个，真子集的个数 是2n－1个，非空真子集的个数是2n－2个．其中n表 示集合中元素的个数．
典例解析
【例4】* 已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3， m2}，且满足B⊆A，求m的值．
【分析】 因为B⊆A，可建立方程m2＝2m－1或m2＝ －1(舍去)，解出m的值即可．
【提示】 最小的质数是2，故选C.
5．下列关系错误的是( B ) A．0∈{0} B．0∈∅ C．0∉∅ D．b∈{b}
【提示】 由元素与集合的关系可知， 0∉∅，故选B.
同步精练
6．集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，用列举法表示为( A )
Байду номын сангаас
A．{－1，3}
B．{(－1，3)}
C．{(3，－1)}
典例解析
【例3】 写出集合{1，2，3}的所有子集和真子集． 【解】 子集：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}， {1，3}，{2，3}，{1，2，3}． 真子集：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}， {2，3}．
【分析】 子集包括集合本身，真子集不包括集合 本身；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真 子集．
2．若集合A＝{x|x<2}，则下列各式正确的是( D ) A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A 【提示】 由元素与集合的关系可知，{0}⊆A，故选D.
同步精练
3．下列结论中，正确的有( A ) ①空集是任何一个集合的真子集；
②∅是集合{0}的真子集；
③如果集合B中含有集合A中所没有的元素，那么集合A是
集合B的真子集；
④若M⊆N，则M N.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【提示】 因为空集是任何非空集合的真子集，所 以①错误，②正确；由子集和真子集的定义可知， ③④错误，故选A.
同步精练
4．下列命题中错误的是( C )
A．∅⊆{0}
B．R⊇Q
C．{正奇数}⊇{质数} D．{x|x<2}⊆{x|x<3}
同步精练
三、解答题 10．写出集合{－1，0，1}的所有子集和真子集．
解：子集：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}， {0，1}，{－1，0，1}． 真子集：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}， {0，1}．
同步精练
11．已知集合A＝{2，－a2＋a－1}，集合B＝{1，－1， a}，且－1∈A，求实数a的值．
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第一章 集合
第一节 集合的概念与集合之间的关系
考点解读
考点
内容解读
近四年高职考统计(分值) 2016 2017 2018 2019
1.了解集合元素的性质 、空集与全集的意义
集合的概念 2.掌握集合的表示方法 — 7 — — 3.理解子集、真子集和 集合相等的概念