第1章_命题逻辑(第四版)清华出版社]

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命题符号化及联结词
DEFINITION 5.
设p，q为两命题，复合命题“p当且仅当q”称 作p与q的双条件式。记作p↔q，↔称作双条件 联结词。真值表见Table 5。(Let p and q be
propositions, The biconditional p↔q is the proposition
that is true when p and q have the same truth values and is false otherwise.)
p当且仅当q
双条件
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命题符号化及联结词
Table 5 Table5 等价式p ↔ q的真值表 p q p↔q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
proposition "p or q," denoted by p∨q,is the proposition that is false when p and q are both false and true
otherwise. The proposition p∨q is called the disjunction
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命题公式及分类
EXAMPLE 10 求下列命题公式的真值表：（3）﹁ ( p→q ) ∧ q . Table8 ﹁ ( p→q ) ∧ q 的真值表 p q p→q ﹁(p→q) ﹁(p→q)∧q 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0
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命题公式及分类
设A，B为两命题公式，若等价式A↔B是重 言式，则称A与B是等值的。记作AB。
(The propositions A and B are called logically equivalent if A↔B is a tautology. The notation AB denotes that A and B are logically equivalent.) 逻辑等值，或逻辑等价
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每一组赋值为一个指派
命题公式及分类
EXAMPLE 10 求下列命题公式的真值表：（2）( p∧ ( p→q )) →q . Table7 ( p∧ ( p→q )) →q 的真值表 p q p→q p∧(p→q) (p∧(p→q)) →q 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1
下雨。”只有今天既不是星期五，又没有下雨，
则该命题为假；如果今天是星期五或者今天下雨
了（包括下雨的星期五），则该命题就为真。
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命题符号化及联结词
DEFINITION 4.
设p，q为两命题，复合命题“如果p，则q” 称作p与q的单条件式。 记作 p→q。称p为 蕴含式的前件(hypothesis)，q为蕴含式的 后件(conclusion)。→称作蕴含联结词。真 值表见Table 4。(Let p and q be propositions.The
疑问句、命令句、感叹句、
非命题陈述句：悖论语句（出现自相矛盾 的语句）
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命题符号化及联结词
理发师悖论
在某个城市中有一位理发师，他的广告词 是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉 满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮 脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚 欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是 那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位 理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能 地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸 呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自 己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他 给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人” ，他就不该给自己刮脸。
永真式(Tautology)：公式中的命题变量无论怎样
代入，公式对应的真值恒为1。
永假式(Contradiction)：公式中的命题变量无论
怎样代入，公式对应的真值恒为0。
可满足式(Satisfaction)：公式中的命题变量无论
怎样代入，公式对应的真值总有一种情况为1。
一般命题公式(Contingency)：既不是永真公式也
第一章 命题逻辑
（Proposition Logic）
1 2 3 4
命题符号化及联结词 命题公式及分类 等值演算
联结词全功能集
对偶与范式
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6
推理理论
简介
逻辑学：
研究推理的一门学科
数理逻辑：
用数学方法研究推理的一门数学学科 —— 一套符号体系 + 一组规则
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简介
数理逻辑的内容：
古典数理逻辑：
命题逻辑、谓词逻辑
p和q的合取
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命题符号化及联结词
Table 2
Table2 两个命题的合取的真值表 p q p∧q
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1
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命题符号化及联结词
EXAMPLE 4
用p表示命题“今天是星期五”，q表示命题
“今天下雨”， 则命题p与q的合取式是什么？
解答： p与q的合取式 p∧q是“今天是星期五，而
of p and q.)
p和q的析取
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命题符号化及联结词
Table 3 Table3 两个命题的析取的真值表 p q p∨q 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1
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命题符号化及联结词
EXAMPLE 5
还是以Example 4 为例，命题p与 q的析取式是什么？
解答： p与q的析取式 p∨q是“今天是星期五或今天
2. 从简单命题到复合命题： 逻辑联接词：运算方法、运算优先级 3. 从命题常量到命题变量， 从复合命题到命题公式：
命题公式的真值描述：真值表
4. 命题公式的分类： 永真公式、永假公式、可满足公式 、一般公式
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命题逻辑
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等值演算
Propositional Equivalences DEFINITION 6.
且今天下雨。”如果是星期五，又下雨，则该
命题为真；如果是除星期五外的任意一天，或
者虽是星期五但没下雨，则该命题为假。
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命题符号化及联结词
DEFINITION 3.
设p，q为两命题，复合命题“p或q” 称作p 与q的析取式。记作p∨q。∨为析取联结词。 真值表见Table 3。 (Let p and q be propositions.The
5
命题符号化及联结词
EXAMPLE 2
考虑如下句子：
1. 现在几点了？ 2. 认真阅读一下。 3. x+1=2. 4. x+y=z. 句子1和2不是命题，因为它们都不是陈述句。 句子3和4不是命题，由于x，y和z的值不确定， 使得它们的真值都不唯一。
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命题符号化及联结词
命题的语句形式：
陈述句
非命题语句：
真值表(Truth Table)
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命题符号化及联结词
命题联结词 DEFINITION 1.
设p为任一命题，复合命题“非p”（或“p
的否定”）称为p的否定式。记作﹁ p 。 ﹁
为否定联结词。真值表见Table 1。(Let p be a
proposition. The statement “It is not the case that p.”
命题符号化及联结词
命题的符号表示：
大小写英文字母：P、Q、R、
p 、q 、r……
命题真值(Truth Values)的表示：
真：T、1
假：F、0
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命题符号化及联结词
命题语句真值确定的几点说明：
1、时间性， 2、区域性, 3、标准性 ，
下午上课时间… 人均收入…
5 1 0.618 2
命题真值间的关系表示：
原子命题或加上逻辑联结词组成的表达式成为复合命题 (Compositional Proposition)。
从命题常量 到 命题变量(Propositional Variable)
命题公式： 1. 原子命题是命题公式； 2. 设P是命题公式，则﹁ P也是命题公式； 3. 设P、Q是命题公式，则(P∧Q)、(P∨Q)、(P→Q)、 (P ↔ Q)也是命题公式； 4. 有限次地使用1、2、3所得到的也是命题公式。 Proposition Formulas, Well-Formed Formulas(wff)
现代数理逻辑： 逻辑演算、公理化集合论、递 归论、模型论、证明论
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命题逻辑
1
命题符号化及联结词
命题(Proposition)：
一个有确定真或假意义的语句。
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命题符号化及联结词
EXAMPLE 1
下列句子都是命题：
1. 华盛顿是美国的首都。 2. 多伦多是加拿大的首都。 3. 1+1=2。 4. 2+2=3。 命题1和3是真命题，2和4是假命题。
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命题符号化及联结词
EXAMPLE 3
设p表示“今天是星期五”，
则 ﹁ p表示“今天不是星期五”。
显然，当p的真值为0时，﹁ p的 真值为1。
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命题符号化及联结词
DEFINITION 2.
设p，q为两命题，复合命题“p并且q”
（或“p和q”）称作p与q的合取式。记作
p∧q。 ∧ 为合取联结词。真值表见Table 2。
is another proposition, called the negation of p. The negation of p is denoted by ﹁ p. The proposition ﹁ p is read “not p.”)
p的否定
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命题符号化及联结词
Table 1
Table1 否定命题的真值表 p ﹁p 1 0 0 1
不是永假公式。
32wenku.baidu.com
命题公式及分类 性质2：
（1）设P是永真命题公式，则P的否定 公式是永假命题公式； （2）设P是永假命题公式，则P的否定 公式是永真命题公式； （3）设P、Q是永真命题公式，则 (P∧Q)、(P∨Q)、(P→Q)、(P ↔ Q)也是 永真命题公式 。
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命题公式及分类
小 结
1. 命题的概念：定义、逻辑值、 符号化表示
s 解答：
如果你身高小于4英尺，而 且你不超过16岁，那么你就 不能乘坐过山车。
(1) (r∧﹁ s)→﹁ q.
(2) ﹁s→(r →﹁ q).
如果你不超过16岁，那么 当你身高小于4英尺时，你 就不能乘坐过山车。
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命题逻辑
2
命题公式及分类
P、Q、R…… 称为原子命题(Atomic Proposition)。
implication p→q is the proposition that is false when p is true and q is false and true otherwise. )
如果p，则q
单条件， 蕴涵 p：前提 q：结论
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命题符号化及联结词
Table 4 Table4 蕴含式p → q的真值表 p q p→q
(Let p and q be propositions. The proposition "p and q,"
denoted by p∧q, is the proposition that is true when both p and q are true and is false otherwise. The proposition p∧q is called the conjunction of p and q. )
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命题公式及分类
命题公式的运算规则：
逻辑联接词的优先级： ﹁ 、 ∧、 ∨、 → 、 ↔ 命题公式的表达式的运算规律： 同代数表达式
命题公式的运算方法：
所有公式中的命题变量用指定命题（真值）代 入（或指派），得到一个公式对应的真值。
性质1：如果一个命题公式有n个互异的命题变量，
则命题公式对应的真值有2n种可能分布。
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命题符号化及联结词
EXAMPLE 7
将下一命题符号化：
“只有你是计算机科学系的学生或者你不是 c f 新生，你才可以通过校园网上Internet。” a
解答： (c∨﹁f ) → a
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命题符号化及联结词
EXAMPLE 8
将下一命题符号化：
“如果你身高小于4英尺，你就不能乘
r q
坐过山车，除非你超过了16岁。”
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
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命题符号化及联结词
EXAMPLE 6
用p表示命题“天下雨”，用q表示命题 “我骑自行车上班”，将下列命题符号化： （1）只要不下雨，我就骑自行车上班。 （2）只有不下雨，我才骑自行车上班。
解答： （1）中，﹁ p是q的充分条件，因而符号化为﹁ p→q； （2）中，﹁ p是q的必要条件，因而符号化为q→﹁ p。
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命题公式及分类
EXAMPLE 10
求下列命题公式的真值表：（1）p ∧ (q ∨﹁r ) .
Table6 p∧ (q ∨﹁r ) 的真值表
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 ﹁r 1 0 1 0 1 0 1 0 q ∨﹁r 1 0 1 1 1 0 1 1 p ∧ (q ∨﹁r ) 0 0 0 0 1 0 1 1