全国一卷高考理科数学试卷及答案
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2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A ={x |2
230x x --≥},B={x |-2≤x <2=,则A B ⋂=
A .
[-2,-1] B .[-1,2) C .[-1,1] D .[1,2) 2.32(1)(1)
i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --
3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论正确的是
A .()f x ()g x 是偶函数
B .|()f x |()g x 是奇函数
C .()f x |()g x |是奇函数
D .|()f x ()g x |是奇函数
4.已知F 是双曲线C :22
3(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3
B .3
C .3m
D .3m
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
A .
18 B .38 C .58 D .78
6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过
点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为
7.执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M =
A .
203 B .165 C .72 D .158
8.设(0,
)2π
α∈,(0,)2
π
β∈,且1sin tan cos βαβ+=
,则 A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-=
C .32
π
αβ+=
D .22
π
αβ+=
9.不等式组1
24
x y x y +≥⎧⎨
-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题:
1p :(,),22x y D x y ∀∈+≥-, 2p :(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤, 4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-.
其中真命题是
A .2p ,3p
B .1p ,4p
C .1p ,2p
D .1p ,3p
10.已知抛物线C :2
8y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若
4FP FQ =,则||QF =
A .
72 B .5
2
C .3
D .2 11.已知函数()f x =3
2
31ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x >0,则a 的取值范围为 A .(2,+∞) B .(-∞,-2) C .(1,+∞) D .(-∞,-1) 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视
图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
A .62
B .42
C .6
D .4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.8
()()x y x y -+的展开式中2
2
x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B,C 三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市;
丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A,B,C 是圆O 上的三点,若1
()2
AO AB AC =
+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边,a =2,且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则
ABC ∆面积的最大值为 .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ,1a =1,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. (I )证明:2n n a a λ+-=;
(Ⅱ)是否存在λ,使得{n a }为等差数列?并说明理由.
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2
s (同一组数据用该区间的中点值作代表); (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μδ,其中μ近似为样本平均数x ,2
δ近似为样本方差2s .
(i)利用该正态分布,求(187.8212.2)P Z <<;
(i i)某用户从该企业购买了100件这种产品,学科网记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX .
附:150≈12.2.若Z ~2
(,)N μδ,则
()P Z μδμδ-<<+=0.682
6,(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544. 19. (本小题满分12分)如图三棱锥
111ABC A B C -中,
侧面11BB C C 为菱形,1AB B C ⊥. (I )证明:1AC AB =;
(Ⅱ)若1AC AB ⊥,o
160CBB ∠=,AB =Bc ,求二面角111A A B C --的余弦值.
20. (本小题满分12分) 已知点A (0,-2),椭圆E :22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为3,F 是
椭圆的焦点,直线AF 的斜率为23
,O 为坐标原点. (I )求E 的方程;
(Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程.