教学反思数形结合思想在二次函数中的应用

依形判数，以数助形

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学．“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法．在解题方法上，“数”与“形”相互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的．下面结合具体例题给同学们说说数形结合思想在二次函数中的体现．

【例1】二次函数在同一坐标系中的图象如图1．

（1）哪个函数的图象过B、C、D三点？

（2）若BO=AO，BC=DC，且点B、C的横坐标分别是1、3，求这两个函数的解析式．

图1

【分析】借助函数的图象研究函数的性质，是一种很重要的方法．观察图象，过A、B、C三点的抛物线开口向下，则相应二次函数解析式中二次项系数应小于零，而过B、C、D三点的抛物线开口向上，则相应二次函数解析式中二次项系数应大于零，所以只要判断a与a+1哪个大于零即可．因为a+1>a，易得出经过B、C、D三点．利用抛物线的对称性确定的对称轴为x=0，的对称轴经过C点，则可推出D点坐标．再利用图象上点的坐标应满足函数解析式，则可构造关于a、c的方程组，求出待定系数的值．【解】（1）

22(1)2(2)3

y a x b x c ∴=+-+++的图象开口向上 2y B C D ∴的图象经过、、三点

122||||

2020

103||||

50BO AO b y x a

b B C y BC DC y C D =-∴=-=∴==∴ （）的对称轴（，）、（，）

又的对称轴经过点，且（，）

122212100(1)

502580(2)

13(1)(2)1

31121433333B y a c D y a c a c y x y x x +=++=⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴=-+=-+将（，）代入，得将（，）代入，得解、得，

【评点】观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系，运用推理或计算得出结论．这是数形结合分析、解决问题的一个重要方面．

【例2】 已知：关于x 的方程2

230x mx m -+=的两个实数根是12x x ，，且212()16x x -=．如果关于x 的另一个方程

22690x mx m -+-=的两个实数根都在12x x 和之间，求m 的值．

【分析】本题是已知一元二次方程的两个实数根所满足的条件，求方程中待定系数的值的题目．常规的解法是由第一个方程两根满足的条件，利用根与系数的关系，建立关于待定系数m 的方程，求出m 的值．再把m 的值代入第二个方程，并求出其根，检验其两根是否都在第一个方程的两根之间，从而确定m 的值

【解法一】212230(1)x x x mx m -+= 、是方程的两个实数根

121221223()16

x x m x x m

x x ∴+==-= ，· 21212212()416

41216

141x x x x m m m m I m ∴+-=∴-==-==-解得，（）当时，

2122212(1)230

31

2690(2)2150n 5n 3

53311x x x x x mx m x x x x m +-=∴=-=-+-=+-=∴=-=--∴=- 方程为，方程为，、不在和之间

不合题意，舍去

2122121122

4(1)8120

26

(2)8150n 3n 5

2356n n II m x x x x x x x x x x x x =-+=∴==-+=∴==<<<<<< （）当时，方程为，方程为，，即

(2)(1)

44

m I I I m ∴∴==方程的两根都在方程的两根之间综合（）（），

【评点】由以上几例看到，正确地绘图对于题意的理解、思路的探求、方法的选择、结论的判定都有重要的作用，要善于把作图与计算结合起来，充分发挥图形的作用．

【例3】如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交点为Q ．过Q 点的直线2y x m =+与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点

B ．若3BPQ APQ S S ∆∆=，求这个二次函数的解析式．

【分析】本题为函数与平面几何的综合题，要确定二次函数的解析式，就需要构造关于待定系数b 、c 的方程组，求出b 、c 的值．如何利用题目给出的众多条件呢？

（1）以数助形，求出图象上关键点的坐标．

二次函数图象与y 轴交点Q 的坐标为（0，c ）

222242y x m Q

m c y x bx c y x c

B b b c =+∴=⎧=++⎨=+⎩--+ 又直线过点。

联立解得点坐标为（，）

（2）依形判数，利用函数图象，结合几何图形的性质，构建关于b 、c 的方程组．

423441(0)

(42)41

BPQ APQ

ABP APQ

APB APQ BC x C BC b c

S S S S APQ PB AP S S BC OQ

OQ c c b c c ∆∆∆∆∆∆⊥=-+=∴=∆∆A ∴===>∴-+= 作轴于，显然有又与等底（）而不等高：：：又：：

2340(1)

b c +-=即 2y x b x c x

=++ 又抛物线与轴只有一个交点 240(2)

b c ∴-= （3）数形结合，得出结论

解(1)、(2)联立的方程组，可得12443b b =

=-，．但检验知，143b =时，抛物线顶点在y 轴左侧，不合题意，舍去．

244

44b c y x x ∴=-=∴=-+，二次函数解析式为

【评点】依形判数，以数助形是解函数型综合题时重要的思想方法．此题用待定系数法求函数解析式时，根据图形的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组来求解．解题时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不合题意的解，如本例中根据抛物线顶点在y 轴右侧知14010023

b a b b a -

>=><=，由已知得，所以，因而舍去．