矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。

［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。

当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。

只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。

复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。

引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。

本文主要是讨论矩阵可对角化。

定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。

矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。

[]1[]2[]3[]4定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。

[]1[]2[]3[]4定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。

[]2定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。

[]1[]2[]3一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。

定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。

[]1[]2[]3[]4证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使121n P AP λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即12n AP P λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即12[,,,]n P P P P = 于是有12[,,,]n A P P P ==1212[,,,]n n P P P λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 即 121122[,,,][,,,]n n n AP AP AP P P P λλλ=于是有 ,1,2,,i i i AP P i n λ==。

由特征值，特征向量定义，表明P 的每一列都是A 的特征向量，因为P 是可逆的，因此12,,,n P P P 是A 的n 个线性无关特征向量，其中12,,,n λλλ为A 的特征值。

充分性：若A 有n 个线性无关的特征向量12,,,n P P P 则有,1,2,,i i i AP P i n λ==，其中i λ是对应于特征向量i P 的A 的特征值。

以12,,,n P P P 为列作矩阵12[,,,]n P P P P =，因为12,,,n P P P 线性无关，所以矩阵P 是可逆的。

由 12[,,,]n AP A P P P ==121122[,,,][,,,]n n n AP AP AP P P P λλλ==1212[,,,]n n P P P λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=12n P λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则有 121n P AP λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即A 与对角矩阵相似从以上证明中可知：（1） 与矩阵A 相似的对角矩阵主对角线上的元素是A的特征值，而相似变换矩阵P 的列是A 的n 个线性无关特征向量。

（2）12,,,n λλλ在主对角线上的次序应与其对应的特征向量在P 中的次序相对应，如果12,,,nλλλ的次序改变，那么12,,,n P P P 在P 中的次序也要作相应的改变。

但这时P 就不是原来的P 了。

因此相似变换矩阵不是唯一的。

若不计k λ的排列顺序，则对角矩阵是唯一的，称它为A 的相似标准形。

由相似是一种等价关系知：与A 相似的矩阵都有相同的相似标准形。

定理2：矩阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

[]1[]2[]3[]4由此给出了一个推论：n 级方阵可对角化的充分条件A 有n 个互不相同的特征值。

[]1[]2[]3[]4证明：由定理1及定理2可得。

但这个推论的逆不成立。

例如：n 级单位阵E ，显然它是可对角化的，但它的特征值为1(n 重根)。

那我们要问若有重根时，要满足什么条件才可对角化？ 定理3：n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数(即A 的每个特征子空间i V λ的维数等于特征值i λ的重数)[]4这个定理又可以这样叙述：矩阵A 的每个特征值的代数重数等于对应子空间的(几何)重数。

[]2[]3引理1：如果1,,k λλ是矩阵A 的不同特征值，而12,,,i i i ir ααα是属于i λ的线性无关的特征向量，12,,,i k = 那么向量组111121,,,,,kr kr αααα也线性无关。

[]1[]2[]3即：给出一个n 级矩阵，求出属于每个特征值的线性无关向量，把它们合在一起也是线性无关的。

引理2：设0λ是n 阶矩阵A 的一个k 重特征值，对应于0λ的特征向量线性无关的最大个数为l ，则k l ≥。

[]4证明：反证法。

设 l k < ，由已知 0012,,,,,i i i A i l αλαα=≠=。

(1) 12,,,l ααα 线性无关。

将 12,,,l ααα 扩充为n 维向量空间 V 的一组基：121,,,,,,l l n ααααα+ 其中 1,,l n αα+一般不 是A 的特征向量，但1,,,m A V m l n α∈=+ ，可用上述的一 组基线性表示，即 1111'''',,,,m m l m l l m l n m n A a a a a ααααα++=+++++ 其中1(,,)m l n =+ (2)用矩阵可表示为：()121,,,,,,l l n A ααααα+()011100112111110'',,'',,'',,'',,,,,,,,l n l l l n l l n l l l n n l n n a a a a a a a a λλλααααα+++++++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3)记 ()121,,,,,,l l n P ααααα+= 则P 是可逆的。

因此上式可表为 01011220l l E A E A AP P P AP A A λλ-⎛⎫⎛⎫=⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据相似矩阵有相同的特征多项式，得111()n n n n E A P E A P P E A P E P AP λλλλ----=-=-=-01022()()ll n l n l E A E E A E A λλλλλλ----==---02()l n l E A λλλ-=-- (4)令2()n l g E A λλ-=-是λ的n l -次多项式，由(4)式知0λ至少是A 的l (l k >)重特征值。

与0λ为A 的k 重特征值，矛盾，所以l k ≤。

由上面的两个引理作基础，下证定理3：证明：不妨设1()i mr i i E A λλλ=-=-∏其中1,,m K λλ∈又1mi i r n ==∑。

(在复数域中)充分性：由于对应于i λ的特征向量有i r 个线性无关，又m 个特征值互异。

由引理1知A 有n 个线形无关的特征向量，依据定理1，A 与对角阵相似。

必要性：用反证法：设有一个特征值i λ所对应的线性无关的特征向量的最大个数i i l λ<的重数为i r ，则由引理2知， A 的线性无关的特征向量个数小于n ，故A 不能对角化，与题设矛盾，假设不成立。

即A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数i l 等于特征值的重数i r 。

[]4推论：n 级方阵A 可对角化的充要条件是对于A 的每一个特征根λ，有秩()E A n S λ-=-，其中s 是λ的重数。

[]2 证明：()0E A X λ-=的解空间V λ的维数等于特征值λ的重数即维()V S λ=（由定理3知）。

又维()V n λ=-秩()E A λ-。

所以，秩()E A n S λ-=- 成立。

以上给出的可对角化的几个条件都是以特征值，特征向量为基础。

其中条件1（也是定理1）是最基础的，可以把它看作是矩阵可对角化的实质。

其它条件都是它的扩展。

下面我们用λ-矩阵及若尔当标准形来讨论矩阵可对角化。

定理4：复数域上每一个n 阶矩阵A 都与一个若尔当标准形相似。

这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的。

它称为A 的若尔当标准形。

[]1[]2[]3[]4由相似是一个等价关系知，与A 相似的矩阵都有相同的若尔当标准形。

从这个意义上讲，我们可以把n 级方阵划分为以若当标准形为代表元素的等价类。

等价类中的每个元素是相似的。

由若尔当标准形的构造知，它包含对角形矩阵为它的特殊情况。

那么当它满足什么条件时，一个若尔当标准形是一个对角矩阵，也就是可对角化的条件。

由于每个初等因子对应一个若当块，例如初等因子为()ir i λλ-，那它对应的若当块为11i ii ii i r rJ λλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 而若当形矩阵是由这样的若当块组成的。

例： 12S J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以如果每一个若当块都是1阶，那么，这个若当形矩阵J 就成了对角阵，那么与之对应的初等因子都是一次的。

由上面讨论给出矩阵可对角化的几个条件：定理5：n 级方阵可对角化的充要条件它的初等因子都是一次的。

[]1[]2[]3推论1：n 级方阵可对角化的充要条件它的不变因子无重根。

[]1[]2[]3 推论2：n 级方阵可对角化的充要条件它的最小多项式无重根。

[]1[]2[]3这三个充要条件充分利用了不变因子，初等因子及最小多项式之间的关系，但在具体的解题过程中很少直接去求不变因子和初等因子，一般情况下是通过求最小多项式来解题的。

例：由最小多项式的定义知，对于任一个零化多项式()f x 都满足()|()A m x f x ，()A m x 表示矩阵A 的最小多项式。

因此若()f x 无重根，则()A m x 一定无重根。

当然这只是一种方法。

由此给出推论3：n 级方阵可对角化的充分条件是它的零化多项式无重根。

由哈密尔顿—凯莱定理知，特征多项式是一个零化多项式。