第3讲(1)线性空间与线性映射

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第一节 线性空间的定义与性质
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一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推 广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的， 它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把 实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空 间来解决实际问题．
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说明: 1.向量空间中的向量不一定是有序数组． 2.判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满 足八条性质的任一条，则此集合就不能构成 线性空间.
简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意 两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元 素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以 是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的 7 另一元素。
下面来证明上述两种运算满足八条运算
规律：
(1) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a
(2) (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = abc = a(bc)
= a ⊕ (bc) = a ⊕ (a ⊕ b)
(3) R +中存在零元素 1 ，对于任意a ∈ R+
有
a ⊕ 1 = a1 = a
kA
=
⎛ ⎜⎜⎝
ka1 0
kb1 0
0⎞ kc1 ⎟⎟⎠
ka1 + kb1 + kc1 = k(a1 + b1 + c1) = 0
故又有 kA ∈W2 即：W2对矩阵的加法与数乘是封闭的，W2是 子空间。
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例9. 实数域 R 上的n元非齐次线性方程组 Ax = B
的所有解向量，对于通常的向量加法和数量乘 法，是 否 构 成 R 上的一个 线性空间?为什么?
B
=
⎛ ⎜⎜⎝
a2 0
b2 0
0⎞ c 2 ⎟⎟⎠
且有 a1 + b1 + c1 = 0,a 2 + b2 + c 2 = 0
于是
A
+
B
=
⎛ a1 ⎜⎜⎝
+ 0
a2
b1 + b2 0
0⎞ c1 + c 2 ⎟⎟⎠
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又 a1 + b1 + c1 = 0,a 2 + b2 + c 2 = 0 ∴a1 + a 2 + b1 + b2 + c1 + c 2 = 0，A + B ∈W2 另一方面，对于∀k ∈ R，
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3—1 线性空间与线性变换
本章主要讨论线性空间及线性变换的一 些基本概念与基本定理，在此基础上使大家 能利用这些基本概念与定理解决相关问题.
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§1 线性空间的定义与性质 §2 线性空间的基、维数与坐标 §3 基变换与坐标变换 §4 线性变换 §5 线性变换的矩阵表示
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定义1.设V 是一个非空集合，R 为实数域．如 果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的 一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和， 记作：γ=α+β
若对于任一数λ∈R 与任一元素α，总有 唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α 的积，记作δ=λα
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例4. 正弦函数的集合 S [ x] = {s = Asin( x + B) A, B ∈ R}
对于通常的函数及 数乘函数的乘构成线性空间。 s1 + s2 = A1 sin( x + B1) + A2 sin( x + B2 ) = (a1 sin x + b1 cos x) + (a2 sin x + b2 cos x) = (a1 + a2 )sin x + (b1 + b2 )cos x = Asin( x + B) ∈ S[ x] λ s 1 = λ A1 sin( x + B1)= (λ A1)sin(x + B1) ∈ S [ x] ∴ S [ x]是一线性空间。
a ⊕ b = ab λ ⊗ a = aλ (a,b ∈ R+ ,λ ∈ R) 验证，R+对上述加法及数乘运算构成线 性空间。 证明：∀a、b ∈ R+ ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R+
∀a ∈ R+，∀λ ∈ R ⇒ λ ⊗ a = aλ ∈ R+ ∴ 对定义的加法与数乘运算封闭。
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对于一个数集，如果其中任意两个数在进行一种运算后，结果仍在这个数集中，那么我们说这个数集对于这种运算是封闭的。 复数对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭。 既四则运算封闭性是复数的一个性质。
我们给出运算的一个比较严格的代数定义： 假设S和T分别是集合，S上的一个T值运算* 就是指笛卡尔直积 S×S 到T的一个映射，也就是映射： *:S×S→T 按照传统的写法， 对于S中的两个元素a,b, 我们用a*b来表示这个运算。 当S=T时，我们就说这个运算是封闭的。
{ P [ x]n = p = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x
+ a0 | an , an−1, ..., a1, a0 ∈ R}
对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成实数域上的线性空间。
通常的多项式加法、数乘多项式的乘 法满足线性运算规律。
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(4) ∀a ∈ R+有a −1 ∈ R+ ∋ a ⊕ a−1 = aa −1 = 1
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(5) 1 ⊗ a = a1 = a (6) ∀λ、μ ∈ R，a ∈ R+，
λ ⊗ (μ ⊗ a) = (μ ⊗ a)λ = (aμ )λ = aλμ = (λμ) ⊗ a
(7) λ ⊗ (a ⊕ b) = (a ⊕ b)λ = (ab)λ = (a)λ (b)λ = (a)λ ⊕ (b)λ = (λ ⊗ a) ⊕ (λ ⊗ b)
(8) (λ + μ ) ⊗ a = aλ+μ = aλaμ = aλ ⊕ aμ = (λ ⊗ a) ⊕ (μ ⊗ a)
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二、线性空间的性质
1.零元素是唯一的. 证明：假设 01,02 是线性空间V中的两个零元素， 则对于∀α ∈V，有： α + 01 = α，α + 02 = α 由于01、02 ∈V ∴ 01 + 02 = 01、02 + 01 = 02 ⇒ 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 2. 负元素也是唯一的。 证明：设α有两个负元素β与γ，则：
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例1.实数域上的全体m × n矩阵，对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间，记作R m×n . ∵ A m×n + B m×n = C m×n , λ A m×n = D m×n ∴ R m×n是一个线性空间
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例2.次数不超过n的多项式的全体记作 P [ x]n，即：
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三、线性空间的子空间
定义2:设 V 是一个线性空间, L 是V 的一个非 空子集，如果 L 对于V 中所定义的加法和数 乘两种运算也构成一个线性空间，则称 L 为 V 的子空间. 定理:线性空间V 的非空子集 L 构成子空间的 充分必要条件是：L 对于V 中的线性运算封 闭．
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例3. n 次多项式的全体
{ Q [x]n = p = an xn + an−1xn−1 + ... + a1x
+ a0 | an ,an−1,...,a1,a0 ∈ R,且an ≠ 0} 对于通常的多项式加法和数乘运算不构 成向量空间。 ∵ 0p = 0 xn + 0 xn−1 + ... + 0 x + 0 ∉ Q [x]n ∴Q [x]n对多项式的加法与数乘运算不封闭。
= [λ + (−λ )]α = 0α = 0
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4. 如果λ α = 0，则λ = 0 或 α = 0.
证明：假设λ ≠ 0 ⇒ 1 (λ α) = 1 0 = 0
λ
λ
又 1 (λ α) = ( 1 λ ) α = 1α = α
λ
λ
所以 α = 0
同理可证：若α ≠ 0，则 λ = 0
定义3：在线性空间 V 中，如果存在 n个元素 α 1 ,α 2 ,...,α n 满足 : (1 ) α 1 ,α 2 ,...,α n线性无关；
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(2) V
中任一元素
α
都可被
α
1
,
α
2
,
...,
α
线性表
n
示；那么 α 1,α 2 ,...,α n 就称为线性空间V的一个
A
=
B
=
⎛ ⎜⎝
1 0
0 0
0 0
⎞ ⎟⎠
∈W1 ,
有A
+
B
=
⎛ ⎜⎝
2 0
0 0
0 0
⎞ ⎟⎠
∉W1
W1对矩阵的加法不封闭。