03研究生数值分析(精选)
研究生数值分析试卷.docx
2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・a 0、a 0 ,说明对任意实数。
工0,方程组AX=b 都是0 Q,非病态的。
（范数用||・|L ）四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。
五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分(2a 三、（8分）若矩阵A = 0J(a, /?) = !] [ax2取得最小值。
七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—Ln-1（兀）（斤=1, 2,…）试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分go ） = y （）儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +hk ｛）（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
研究生数学数值分析2-3
1
(1) x + y = y + x; ( 2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ); ( 3) 在 X 中存在零元素 0 ∀ x ∈ X，都有 x + 0 = x； ，
(4) ∀ x ∈ X，都有 x 的负元素 − x ∈ X，使 x + ( − x ) = 0 ； (5) 1 x = x; (6) λ ( µ x ) = (λµ ) x; ( 7 ) ( λ + µ ) x = λ x + µ x; (8) λ ( x + y ) = λ x + λ y ,
λ x =| λ | x ;
( 3 ) 三角不等式
x+ y ≤ x + y .
则称 X 为赋范线性空间 , x 称为 X 中向量 x 的范数 .
11
利用三角不等式易推出 x − y ≤ x− y
x = ( x1, x2 ,L, xn )T ,
( 2 .3 .8 )
, 例2.3.3 在线性空间Rn 中 对任意的 可以证明
7
例 2 .3 .2 在 C [ a , b ] 上 , 对任意 f ( x ), g ( x ) ∈ C [ a , b ], 定义 ( f ( x ), g ( x ) ) =
∫
b
a
ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx ,
( 2 .3 .3 )
其中 ρ ( x ) 称为权函数 , 它满足 : (1) ρ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ [ a , b ]; ( 2)
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
研究生数值分析 第3章
四、正交矩阵与初等矩阵
定义4： 实方阵A满足 则称A为正交矩阵。 定义 ：若 实方阵 满足 AT A = I，则称 为正交矩阵。
定 义 5:设 u , v ∈ R n , σ ∈ R , σ ≠ 0, 则 E (u , v; σ ) = I σ uvT 称 为初等矩阵.
两个常用的初等矩阵： 两个常用的初等矩阵：
( i = 2, ..., n )
a
(1 ) 11
a
(1 ) 12
... a
(1 ) 1n
b
(1 ) 1
其中
A
( 2)
b
(2)
( ( ( a ij2 ) = a ij1 ) m i 1 a 1 1j ) (2) b i = b i( 1 ) m i 1 b1( 1 ) ( i , j = 2 , ..., n )
2.初等下三角矩阵: 设u = l j = (0,,0, l j +1, j ,ln, j )T , v = e j , σ = 1, 则L j = E (l j , e j ; 1) 称为指标为j的初等下三角矩阵(也称Gauss变换矩阵)即 . 1 1 T Lj = I + l j e j = l j +1, j 1 ln, j 1
写成矩阵形式 写成矩阵形式
Ax=b
如果 A 非奇异矩阵，即 det A ≠ 0 ，则方程组有唯一解， 非奇异矩阵， 则方程组有唯一解， 利用克莱姆法则得 利用克莱姆法则得 克莱姆法则
Di xi = D
i = 1,2, n
但克莱姆法则计算量太大，通常采用数值解法。 但克莱姆法则计算量太大，通常采用数值解法。 数值解法
=
消元
( 记 A ( 1 ) = A = ( a ij1 ) ) n× n , b ( 1 )
研究生数值分析 样条插值
x
-0.46 -0.40 -0.36 -0.30 -0.26 -0.20 -0.16 -0.10 -0.06 -0.00
1 1 25x2
L10 (x)
0.15898 0.24145 0.20000 0.19999 0.23585 0.18878 0.30769 0.23535
0.37175 0.31650
f (x)
L1(x)
yi 1
x xi xi1 xi
yi
x xi1 xi xi1
这种分段低次插值称为分段线性插值。
在几何上就是用折线代替曲线，故分段线 性插值又称为折线插值。
类似地，为求f(x)的近似值，也可选取距点x
最近的3个节点 xi1, xi , xi1 进行二次插值，即取
f
(x)
L2 (x)
i 1
[ yk
k i1
i 1
(
j i 1
x xj xk x j
)]
jk
这种分段低次插值叫分段二次插值。
在几何上就是用分段抛物线代替曲线，故分 段二次插值又称为抛物线插值。
3、三次样条插值 对于给定的n+1个节点，求函数的近似值，可以
作 n次插值多项式，当n较大时，高次插值不仅计算 复杂，而且还可能出现高阶导数不一致收敛的现象;
若采用分段插值，虽计算简单，也具有一致收 敛性，但光滑性比较差.
有些实际问题，比如：船体放样，飞机的机翼 设计等要求二阶光滑度(有二阶的连续导数)。过去， 工程师制图时，往往用一根富有弹性的木条（称为 样条），把它用压铁固定在样点上，其他地方让它 自由弯曲，然后画一条曲线，称为样条曲线。
它实际上是由分段三次曲线连接而成，在连接 点处有二阶连续导数。我们对工程师描绘的样条曲 线，抽象成数学模型，得出的函数称为样条函数， 它实质上是分段多项式的光滑连接。
研究生数值分析课件ch
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值方法求解数学问题和近似计算 实际问题的数值解。它为科学研究、工程技术和实际应用等领域提供了重要的数学工具。 数值分析的重要性在于它能够将许多抽象的数学概念和理论转化为具体的数值计算方法，
使得我们能够更加方便地解决各种复杂的实际问题。
数值分析的应用领域
在金融领域，数值分析也被 广泛应用于风险评估、投资 组合优化、期权定价等方面 。通过数值分析的方法，我 们可以更加准确地评估投资 风险和收益，从而做出更加 明智的决策。
数值分析的发展历程
总结词
数值分析的发展历程可以追溯到上世纪初，随着计算 机技术的不断发展，数值分析的理论和方法也在不断 更新和完善。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式与复化求积法
牛顿-莱布尼兹公式
该公式是微积分中的一个基本定理，用于计算定积分。 通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上应 用微积分基本定理，再利用定积分的线性性质进行求和 ，最后取极限得到定积分的值。
复化求积法
当被积函数是复杂函数或者积分区间是复杂形状时，直 接应用牛顿-莱布尼兹公式可能会遇到困难。此时，可以 采用复化求积法，即将积分区间分成若干个小区间，然 后在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式，最后将所有 的结果相加得到定积分的近似值。
改进欧拉法
为了提高欧拉方法的精度，可以对欧拉方法进行改进。一种常见的改进方法是使用二阶 欧拉方法，它考虑了更多的函数值，从而提高了逼近的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高阶数值方法，用于求解常微分方程。它基于泰勒级数的思想，通过迭代的方式逐步逼近方程的精确解 。与欧拉方法相比，龙格-库塔方法具有更高的精度和更好的稳定性。
2003年武汉大学数学分析考研试题及答案
并非一致收敛。
F ( x) = ∫
x −1
x
−1
t ln t dt , 求F '(0)
x ln x
F ( x) = ∫
t ln t dt ⇒ F '( x) = x ln x = lim
F '(0) = lim
x →0
ln x − ln x = lim =0 x →0 x →∞ 1 x x
（应用 L’Hospital 法则）
2
xM
0
M →+∞
∫
0
e − y dy
2
当x ∈ (0, +∞)时，根据定义，利用反证法，如果一致收敛 对于∀ε > 0, ∀x ∈ (0, +∞), ∃N , ∀n, M > N时
y= t 2 t2 2
ε>
xM
∫
e
−y
2
dy =
xN
1 2
2 xM
∫
e dt =
−
2 xN
F ( 2 xM ) − F ( 2 xN ) 2
V V 2π
=∫ =
2π
0
∫ ∫
4 0
π
a
0
r 4 sin ϕ drdϕdθ = ∫ dθ ∫ 4 sinϕ dϕ ∫ r 4 dr = 2π (1 −
0 0 0 5
π
a
2 a5 ) 2 5
(2 − 2)π a 5
4）计算曲面积分
S
I = ∫∫ x3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy
S
2 2 2
c c an 2 a1 = ，an +1 = + 2 2 2 。证明 {an } 收敛，并求其极限 设 0<c<1,
浙江大学2003年研究生数学分析试题
浙江大学2003年研究生数学分析试题1．（15分）叙述数列的柯西（Cauchy ）收敛原理，并证明之。
2．（15分）设()f x 在[,]a ∞上一致连续，()x ϕ在[,]a ∞上连续，且lim[()()]0x f x x ϕ→∞-=。
证明：()x ϕ在[,]a ∞上一致连续。
3．（15分）设()f x 在[,]a ∞上有二阶连续导数，且()0,'()0f a f a ><，当x a >时''()0f x ≤。
证明：在[,]a ∞内，方程()0f x =有且只有一个实根。
4．（20分）设()f x 连续，10()()d x f xt t ϕ=⎰，且0()lim x f x A x→=（常数），求'()x ϕ，并讨论'()x ϕ 在0x =处的连续性。
5．（10分）定义()n P x 为21d (1)()2!d n nn n n x P x n x -=，1,2,n=0()1P x = 证明：110()()d 221m k m k P x P x x m k m -≠⎧⎪=⎨=⎪+⎩⎰。
6．（10分）给出Riemann 积分()d ba f x x ⎰的定义，并确定实数s 的范围使下列极限收敛11lim ()n s n i i n n -→∞=∑。
7．（20分）证明： 1）函数项级数121(1)n n n x -∞=-+∑在(,)-∞∞上一致收敛，但是对任意(,)x ∈-∞∞非绝对收敛； 2）函数项级数221(1)n n x x ∞=+∑对任意(,)x ∈-∞∞都绝对收敛，但在(,)-∞∞上非一致收敛。
8．（45分）计算1）（15分）1001max ln d s s t t ≤≤-⎰；2）（15分）23D 3d d x x y y xy+⎰⎰，其中D 为平面曲线221,3,,3xy xy y x y x ====所围成的有界闭区域。
辽工大研究生2003级数值分析试题(可编辑修改word版)
x y 1 1.9459 2 2.3979 3 2.8332 4 3.2958)3 ⎨ ⎰ k +1 [ 研究生 2003 级数值分析试题一、用 3.14 作为的一个近似值，它有几位有数字？它的绝对误差限、相对误差限各多少？二、为求 x 3 - x 2 -1 = 0 在 1.5 附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：（1） x = 1+ 1x 2 ；（2） x = (1+ x 2 1。
试分析每一种迭代的收敛性。
⎧2x 1 - 5x 2 = 1 三、对于方程组 ⎩10x 1 - 4x 2 = 3，适当调整方程的次序，考查它对于 Jacobi 迭代过程的收 敛性。
若收敛，写出相应的迭代公式；并取初值 x (0) = (0,0)T，迭代计算出 x (1)。
四、对下面给定的数据表求直线按拟合⎡1 1 ⎤⎡ x 1 ⎤ ⎡2⎤ ⎡0 ⎤ 五、对于方程组 ⎢1 1.0001⎥⎢x ⎥ = ⎢2⎥ ，若右端项有误差b = ⎢0.0001⎥ ，估计解的相对 误差。
⎣ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 x n六、为计算积分 I n =⎰0 x +10dx , n = 0,1, ,20 ，请推导出数值稳定的递推计算公式。
x 七、（1）已知函数 f (x )= e 4 在［0,1］内三点 0，1/2，1 的函数值，估计二次插值的误差；（2）三个节点如何安排能使其误差达最小，此时误差为多少？八、分别用梯形公式和二点 Gauss 公式计算积分 1 e x dx ，比较二者的精度。
0九、分析下面单步法公式是几阶方法。
⎧ y (0) = y + hf (x , y ) ⎪ ⎨ ⎪⎩ y k +1k +1 k = y k k + h f (x 2 k k , y k )+ f (x k +1 , y (0 ) )]。
研究生数值分析微分方程数值解法.pptx
y y解( x的) 稳定性 解的混沌性
……
第5页/共48页
所谓数值解法：
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
yi y(xi ) (i 1, ... , n)
的方法称为微分方程的数值解法。
y1, , yn 称为微分方程的数值解。
称节点间距 hi xi1 xi (i 0, ... , n 1)为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
y2 y1 x2 x1
f ( x1, y1)
·····
Euler格式
yn1 yn xn1 xn
f ( xn , yn )
yn1 yn hf ( xn , yn )
x0 x1 xk xn xn1
第12页/共48页
18世纪最杰出的数学家之一，13岁 时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业， 16岁获得硕士学位。 1727年-1741年（20岁-34岁）在 彼得堡科学院从事研究工作，在分析 学、数论、力学方面均有出色成就， 并应俄国政府要求，解决了不少地图 学、造船业等实际问题。 24岁晋升物理学教授。 1735年（28岁）右眼失明。
如果找不到解函数
（1）将连续变量 x [a离,b散] 为 数学界还关注：
a x0 x1 xk xn解 的b 存在性
（2）用代数的方法求出解函数 y 解y(在的x)唯点一的x性k近似值
yk y( xk )工k程师1,关2,注, n
解yk的光滑性
解*的振动y( x性k )
解的周期性
数学界关注
例2: 用改进Euler公式求解例1中的初值问题，
取步yy长0h21xy0。2.1 （0 x 1.2）
研究生数值分析(1)48页
x * 有 2 位有效数字，绝对误差限为
(x*)1102 0.005
2
相对误差限为 r(x*)(xx**)409 .0100250.0102
y * 有 3 位有效数字，绝对误差限为0.00005，
相对误差限为0.00102。
（4）舍入误差：由于计算机字长有限，只 能对有限位进行运算，因而往往进行四舍五入， 这样产生的误差称为舍入误差。
误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝 对准确，是办不到的。因此，在计算方法里讨论 的问题就是怎样尽量设法减少误差，提高精度。
在四中误差中，模型误差和观测误差是客 观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和 计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解 法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍 入误差。
函数近似值 y * 的相对误差
e r *(y)e* y (* y) ( x f1)*x y 1 * *e r *(x 1 ) ( x f2)*x y 2 * *e r * (x2) （2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数 和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播 的估计式.
e* ( x1 x2 ) e* ( x1) e* ( x2 )
一个近似值的准确程度的。
(1)绝对误差与绝对误差限：
若 x * 为准确值x的一个近似值，则称 x x *
为近似值 x * 的绝对误差，用 e * ( x ) 表示，
即 e*(x)xx*
实际问题中，由于无法知道准确值 x 因 而无法计算绝对误差的大小，只能根据具体 情况估计绝对误差的上限使
e*(x)xx* *
如果
e*(x) 110mn 2
数值分析 研究生版 第一章
可见 x* 至少有 n 位有效数字。
30 上一页 下一页
例：为使 π *的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n1 2a1
29 上一页 下一页
有效数字与相对误差的关系 有效数字 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 an 10 2 0 .a1 1 10 n1 2a1
13
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数学院计算数学的主要研究方向： 偏微分方程数值方法、多重网格与区域分解法、 刚性（常）微分方程算法理论及应用软件、计算流 体力学，均与该课程的内容有关，科研课题（973、 863、国家自科和九所项目，大都与此有关）。
14
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仪器设备 实验室拥有完善的计算机网络，各类先进的设备、实 验环境，包括SGI ORIGIN 3200 并行机、SGI服务器 ORIGIN200、SGI服务器1400 FOR LINUX、2个SGI OCTANE工作站等。购置了SGI专用内存IBM 6G、SCSI 146G硬盘进行SGI Origin 3200并行计算机升级，并添置 了Cisco交换机、理光高性能数码复印机、计算服务器、 高性能计算PC机等，与学校相关学科共建高性能计算机 集群。上述设备中，万元以上有近 40台（件）。这些仪 器设备上网共享情况良好。它们全部共享到“湖南高校 大型仪器设备共用网”，并行计算服务器等工作站也通 过网络面向校内外单位开放。
为进制， m, M 为阶码大小范围， c 为阶码， t 为字长，
mc M
研究生数值分析高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
迭代法的发展趋势和未来研究方向
非线性问题
将高斯-赛德尔迭代法应用于非线性问题是一个具有挑战性的方 向，也是未来研究的重要课题。
理论分析
深入分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和误差估计，为算法改进 提供理论支持。
应用领域拓展
将高斯-赛德尔迭代法应用于更多领域，如工程、物理、经济等， 解决实际问题。
谢谢观看
05
高斯-赛德尔迭代法的应 用
在线性方程组求解中的应用
01
02
03
线性方程组求解是高斯赛德尔迭代法的重要应用 之一。对于给定的线性方 程组Ax=b，高斯-赛德尔 迭代法可以用来求解x的
值。
通过迭代的方式，高斯赛德尔迭代法不断逼近 方程的解，直到满足一
定的收敛条件。
该方法在数值分析中广 泛应用于解决线性方程 组问题，具有较高的稳
高斯-赛德尔迭代法是一种直观且易 于理解的迭代方法，计算过程相对简 单，易于编程实现。
收敛速度快
对于某些问题，高斯-赛德尔迭代法可 能比其他迭代方法具有更快的收敛速 度。
高斯-赛德尔迭代法的优缺点
• 适用于多种线性系统：该方法适用于多种线性系统，包括 稀疏矩阵和稠密矩阵。
高斯-赛德尔迭代法的优缺点
松弛法(SOR方法)
总结词
松弛法是一种改进的高斯-赛德尔迭代法，通过引入松弛参数，使得迭代过程更 加灵活，提高了收敛速度。
详细描述
松弛法(SOR方法)是在高斯-赛德尔迭代法的基础上，引入了一个松弛参数，使得 迭代过程中每一步的解不仅依赖于前一步的解，还与前几步的解有关。这种方法 能够更好地处理非严格对角占优的线性系技巧通过优化迭代过程中的参数或采用其他方法， 加速高斯-赛德尔迭代法的收敛速度。
研究生数值分析期末考试试卷参考答案
研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。
2000-2009哈工大研究生《数值分析》历年试卷
2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xyy x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈112)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ).八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .2008年春季学期数值数学试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。
研究生考试数值分析试题
研究生2002级数值分析一（12分）、对于积分⎰=+1,2,1,0,999n dx x x n。
（1）试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上面算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。
二（12分）、解方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00001.8800001.626221x x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00002.8800001.626221x x ，就所观察到的现象进行分析。
三（12分）、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ；（1）适当调整方程的排列顺序，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛？说明收敛原因。
（2）取初始向量()()Tx0,0,00=，用Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x ，并求其()()k k x x -+1误差。
四（12分）、（1）已知函数()4xe xf =，在[0,1]内三点0，1/2，1的函数值，求其二次插值的余项；（2）三个节点如何安排能使其余项达最小，此时人余项为多少？五（12分）、对于方程()02ln =+-x x ，若求［-1.9，-1］内的根，分别选取迭代方程()2ln +=x x 和2-=x e x ，它们的收敛性如何？再写出牛顿迭代公式。
六（10分）、设()⎩⎨⎧=>+-='100,5y x x y y ，解析解x e x y -+-=25262515，分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ，利用Euler 方法计算得y(10)的近似值分别为1.96，1.96，5.2851，142.8863，对此现象进行分析。
七（10分）、设()xe xf =，分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ，用中心差商公式计算()0f '的近似值并求出误差，对结果作分析比较。
研究生《数值分析》试题
数值分析试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算； ⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。
二．（10分）试确定参数,,a b c ，使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。
332,01()1(1)(1)(1),132x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数？三．（10分）利用Dollite 三角分解方法求解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四．（10分）给定3阶线性方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性五．（10分）推导出中矩形求积公式()()()2baa b f x dx b a f +≈-⎰ ，并求出其截断误差。
六．（10分用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。
七．（10分）根据已知函数表：建立不超过三次的Newton 插值项式。
八．（10分）试确定常数01,A A ,使求积公式1011()(f x dx A f A f -≈+⎰有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此公式计算积分311I dx x=⎰（结果保留5位小数）。
九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题：20,01(0)1y y x y '=-≤≤⎧⎨=⎩在0.2x =处的数值解（取步长0.1h =）。
10．（10分）讨论两步方法 11112(4)33n n n ny y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中10111[()()],2,3,!p prr r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭∑∑ ）。
浙江大学2003年数学分析考研试题解答
2
(1 − cos 2 x ) dx = π 4sin 4 x dx ∫0 ( 2 − cos 2 x )3 ∫0 1 + 2sin 2 x 3 ( )
π
2
= 2∫
π
2 0
4sin 4 x
( 3sin
2
x + cos x )
2
3
dx
= 8∫ 2
0
π
dx sin 2 x ( 3 + cot 2 x )
( x 2 − 1)m
( m)
dx
1 m − ∫ ( x 2 − 1) −1 −1
(m)
( x 2 − 1)m
( m +1)
( m −1) 1
( m +1)
( x 2 − 1)m
( m −1)
dx
1 m 2 = −∫ x − 1 ( ) −1
(2)
、解：做坐标变换
y2 x
u = xy ， v =
，
y x ∂ ( u, v ) ∂ ( x, y ) 1 = y 2 2 y = 3v ， = ， ∂ ( x, y ) − 2 ∂ ( u , v ) 3v x x
∫∫ y
D
3 xdxdy 2 + xy 3
3
=∫ =∫
1
∫
3
1
3 1 ⋅ dudv v + uv 3v
n m n n
x →+∞
可知 F ( x ) 在 [ a, +∞ ) 上一致连续， 又 f ( x ) 在 [ a, +∞ ) 上一致连续， 所以ϕ ( x ) = f ( x ) − F ( x ) 在 [ a, +∞ ) 上一致连续. 3. 证明：因为当 x > a 时， f ′′ ( x ) ≤ 0 ， 所以 f ′ ( x ) 在 [ a, +∞ ) 上单调递减， 当 x > a 时， f ′ ( x ) ≤ f ′ ( a ) < 0 ， 从而 f ( x ) 在 [ a, +∞ ) 上严格单调递减， 又 f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) + 1 f ′′ (ξ )( x − a )
研究生数值分析
研究生数值分析目录1. 内容概要 (3)1.1 研究背景 (3)1.2 研究目的与意义 (4)1.3 研究内容与方法 (5)2. 数值分析基本概念 (6)2.1 数值分析的定义 (8)2.2 数值分析的研究对象 (9)2.3 数值分析的应用领域 (10)3. 数值逼近 (11)3.1 插值法 (12)3.1.1 插值问题的提出 (13)3.1.2 插值函数的性质 (14)3.1.3 常用插值方法 (15)3.2 近似计算 (16)3.2.1 近似计算的必要性 (18)3.2.2 近似误差分析 (19)3.2.3 常用近似方法 (20)4. 线性代数方程组 (22)4.1 线性代数方程组的基本理论 (23)4.2 高斯消元法 (24)4.3 迭代法 (25)4.3.1 迭代法的原理 (26)4.3.2 常用迭代法 (27)5. 微分方程数值解法 (28)5.1 常微分方程初值问题的数值解法 (29)5.1.1 欧拉法 (30)5.1.2 迭代法 (31)5.1.3 高斯赛德尔法 (32)5.2 偏微分方程数值解法 (33)5.2.1 有限差分法 (34)5.2.2 有限元法 (36)6. 最优化方法 (37)6.1 最优化问题的基本理论 (38)6.2 无约束最优化方法 (39)6.3 约束最优化方法 (40)6.3.1 拉格朗日乘子法 (40)6.3.2 内点法 (41)7. 数值计算软件介绍 (42)7.1 MATLAB软件介绍 (44)7.2 Python编程语言在数值分析中的应用 (45)7.3 其他数值计算软件简介 (46)8. 实例分析 (47)8.1 某工程问题的数值分析 (48)8.2 某科学问题的数值模拟 (49)9. 总结与展望 (50)9.1 研究成果总结 (52)9.2 存在的问题与不足 (53)9.3 未来研究方向 (54)1. 内容概要本课程《研究生数值分析》旨在为研究生提供深入的数值分析理论知识和实践技能。