投入产出数学模型共46页
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4-4 投入产出数学模型
xj
zj 1 aij
i 1 n
( j 1,2,..., n)
18 上一页 下一页 返 回
第四节 投入产出数学模型
1、投入产出模型
2、直接消耗系数 3、投入产出分析
1 上一页 下一页 返 回
一、投入产出模型
设一个经济系统可以分为n个生产部门，各部门 分别用1,2,…,n 表示，部门 i 只生产一种产品 i，
并且没有联合生产，即产品 i 仅由部门 i 生产．
每一生产部门的活动可以分为两个方面：一方面， 作为消耗部门，为了完成其经济活动，需要供给它 所需要的物质，叫做投入；
y z
i 1 i j 1
n
n
j
即整个经济系统的最终产品价值等于该系统新创 造的价值，但
x
j 1
n
kj
xik (k 1,2,..., n)
i 1
n
即
yk zk (k 1,2,..., n).
10 上一页 下一页 返 回
二、直接消耗系数
为了确定经济系统各部门间在生产消耗上的数量 依存关系，我们引入直接消耗系数的概念. 定义4.1 第 j 部门生产单位价值产品直接消耗第 i
j 1
上一页 下一页
7 返 回
称为分配平衡方程组． 表4-1中左上角、左下角部分的每一列也有一个等 式，即每一个消耗部门对各部门的生产消耗加上该 部门新创造的价值等于它的总产品价值，可用方程
组
x1 x11 x21 xn1 z1 , x x x x z , 2 12 22 n2 2 xn x1n x2 n xnn zn
x1 x11 x12 x1n y1 , x x x x y , 2 21 22 2n 2 xn xn1 xn 2 xnn yn
投入产出数学模型
x n1
x12 x22
. . .
... ...
...
x1 n x2 n
x nn
y1 y2
. . . yn
x1 x2
. . .
社会纯收入 m1 , … ,mn 合计
z1 , … , zn
x1 , … , xn
服务业
n
xn 2
xn
总产值
xij ：第i个部门的产品流入 (投入 到第 个部门的数量 (价值量 投入) 价值量) 第 个部门的产品流入 投入 到第j个部门的数量 价值量
因为 A
1
i)
= max
j 1
∑
∞
n
i =1
a ij = max
j k
∑
n
i =1
a ij < 1 i, j
所以 ( I A )
=
∑
k =1
A = ( b ij ) n × n b ij ≥ 0
所以 y ≥ 0 有 又因为
x = ( I A ) 1 y ≥ 0 I O 为可行的
T
V ≥ 0由 V
∑a P
i =1
n
ij i
(V = P AT P )
四 模型的可行和有利问题
定义： 1 定义：
①若在I-O模型中 y ≥ 0 x ≥ 0 则称模型为可行的 ( 价值型 ) 若在 模型中 ②若对 V ≥ 0 P ≥ 0 则称模型为有利的 ( 实物型 )
判别准则： 2 判别准则：
①矩阵范数： 矩阵范数：
1.3459 0.2504 0.3443 ( I A) 1 = 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167
x = ( I A) 1 y y = ( I A) x
x12 x22
. . .
... ...
...
x1 n x2 n
x nn
y1 y2
. . . yn
x1 x2
. . .
社会纯收入 m1 , … ,mn 合计
z1 , … , zn
x1 , … , xn
服务业
n
xn 2
xn
总产值
xij ：第i个部门的产品流入 (投入 到第 个部门的数量 (价值量 投入) 价值量) 第 个部门的产品流入 投入 到第j个部门的数量 价值量
因为 A
1
i)
= max
j 1
∑
∞
n
i =1
a ij = max
j k
∑
n
i =1
a ij < 1 i, j
所以 ( I A )
=
∑
k =1
A = ( b ij ) n × n b ij ≥ 0
所以 y ≥ 0 有 又因为
x = ( I A ) 1 y ≥ 0 I O 为可行的
T
V ≥ 0由 V
∑a P
i =1
n
ij i
(V = P AT P )
四 模型的可行和有利问题
定义： 1 定义：
①若在I-O模型中 y ≥ 0 x ≥ 0 则称模型为可行的 ( 价值型 ) 若在 模型中 ②若对 V ≥ 0 P ≥ 0 则称模型为有利的 ( 实物型 )
判别准则： 2 判别准则：
①矩阵范数： 矩阵范数：
1.3459 0.2504 0.3443 ( I A) 1 = 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167
x = ( I A) 1 y y = ( I A) x
投入产出模型46页PPT
投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入” 与“产出”关系的数学模型.
该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫 （W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。
4
（一）投入产出数学模型的概念
投入：从事一项经济活动的消耗； 产出：从事经济活动的结果； 投入产出数学模型：通过编制投入产出表，运用线性代数工具
建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之 间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。
按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。 首先，必须清楚投入产出表。见下：
5
流量 投入
生产 部门
产出
表1：投入产出表
消耗部门
最终需求
1 2 n 消费 累计 出口
合计
1
x11 x12 x1n
x11 x21 xn1 z1 x1
x12
x22
xn2
z2
x2
x1n x2n xnn zn xn
n
xijzj xjj1,2, ,n
i 1
(5)
(6) (7)
8
由(3)和(6)，可得：
n
n
yi zj
(8)
i1
j1
这表明：就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、 积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净 产值的总和相等。
x 1 j (j=1,2,…,n)表示部门1提供给部门j 的使用量，y j (j=1,2,…,n) 表示供
给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等） 。 这几
个方面总和代表了这个时期的总产出水平。
6
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出
该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫 （W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。
4
（一）投入产出数学模型的概念
投入：从事一项经济活动的消耗； 产出：从事经济活动的结果； 投入产出数学模型：通过编制投入产出表，运用线性代数工具
建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之 间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。
按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。 首先，必须清楚投入产出表。见下：
5
流量 投入
生产 部门
产出
表1：投入产出表
消耗部门
最终需求
1 2 n 消费 累计 出口
合计
1
x11 x12 x1n
x11 x21 xn1 z1 x1
x12
x22
xn2
z2
x2
x1n x2n xnn zn xn
n
xijzj xjj1,2, ,n
i 1
(5)
(6) (7)
8
由(3)和(6)，可得：
n
n
yi zj
(8)
i1
j1
这表明：就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、 积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净 产值的总和相等。
x 1 j (j=1,2,…,n)表示部门1提供给部门j 的使用量，y j (j=1,2,…,n) 表示供
给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等） 。 这几
个方面总和代表了这个时期的总产出水平。
6
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出
投入产出模型-课件主讲
• 其中价格p为行向量， P(Pnk,Pk) ，按
照价格向量的分块方式，对系数矩阵A进行同样 的分块，构成如下分块矩阵
A
A11 A12 A A 投2入1 产出模型22-课件主讲
简要推导
P PA N
( Pnk
,
Pk
)
( Pn k
,
Pk
)
A11 A21
A12 A22
(
N
1,
N
2
)
( Pnk A11 Pk A21, Pnk A12 Pk A22 ) ( N 1 , N 2 )
A12 I A22
I
B21( I A11） B22 A21 0
B 2 1 B 2 2 A 2 1 (I A 1 1 ) 1
投入产出模型-课件主讲
• 利用上述结果可以转化价格影响模型，这样做的 好处是在已知列昂惕夫逆阵的情况下，可以比较 简便地计算
P n k P kA 2 1 (IA 1 1) 1
投入产出模型-课件主讲
1
a21
...
an1,1
an1
a12 1 ... an1,2 an2
... a1n y1
... a2n y2
...
...
...
0
... an1,n yn1
...
1
yn
Ay y
(AI)y0
投入产出模型-课件主讲
• 闭模型实际上未得到应用，其原因如下：.
– 我们一般计算使用的数据是价值型投入产出表，因此， 计算的结果并不是价格变动的绝对量，而只能是一种
相对量
– 如：某种商品价格1%的价格上涨，其他所有商品价格 将因此上涨%多少。
投入产出模型-课件主讲
照价格向量的分块方式，对系数矩阵A进行同样 的分块，构成如下分块矩阵
A
A11 A12 A A 投2入1 产出模型22-课件主讲
简要推导
P PA N
( Pnk
,
Pk
)
( Pn k
,
Pk
)
A11 A21
A12 A22
(
N
1,
N
2
)
( Pnk A11 Pk A21, Pnk A12 Pk A22 ) ( N 1 , N 2 )
A12 I A22
I
B21( I A11） B22 A21 0
B 2 1 B 2 2 A 2 1 (I A 1 1 ) 1
投入产出模型-课件主讲
• 利用上述结果可以转化价格影响模型，这样做的 好处是在已知列昂惕夫逆阵的情况下，可以比较 简便地计算
P n k P kA 2 1 (IA 1 1) 1
投入产出模型-课件主讲
1
a21
...
an1,1
an1
a12 1 ... an1,2 an2
... a1n y1
... a2n y2
...
...
...
0
... an1,n yn1
...
1
yn
Ay y
(AI)y0
投入产出模型-课件主讲
• 闭模型实际上未得到应用，其原因如下：.
– 我们一般计算使用的数据是价值型投入产出表，因此， 计算的结果并不是价格变动的绝对量，而只能是一种
相对量
– 如：某种商品价格1%的价格上涨，其他所有商品价格 将因此上涨%多少。
投入产出模型-课件主讲
《投入产出模型》课件
投入产出模型的发展趋势与展望
智能化与自动化
跨学科融合
定制化与个性化
随着大数据和人工智能技术的 发展，未来投入产出模型将更 加智能化和自动化。通过数据 挖掘和分析，能够更准确地评 估经济系统的结构和效率，为 政策制定提供科学依据。
未来投入产出模型将进一步融 合其他学科的理论和方法，如 地理信息系统、复杂网络等， 以更全面地揭示经济系统的内 在规律和动态变化。
特点
投入产出模型能够全面反映经济系统 的结构和运行规律，揭示各部门之间 的经济联系，为政策制定者提供决策 依据。
投入产出模型的基本假设
假设一
生产过程中消耗的中间产品与 最终产品之间存在固定的比例
关系。
假设二
生产技术系数在一定时期内保 持稳定。
假设三
生产过程中不存在外部经济和 内部经济的影响。
假设四
投入产出模型的起源
投入产出模型的起源可以追溯到 20世纪30年代，当时美国经济学 家瓦西里·列昂惕夫提出了投入产 出分析方法，用于研究经济系统 中各部门之间的投入与产出关系 。
投入产出模型的发展
随着时间的推移，投入产出模型 的应用范围不断扩大，逐渐成为 宏观经济分析和政策制定的有力 工具。在实践中，投入产出模型 不断得到完善和改进，以适应不 同国家和行业的需要。
动态投入产出模型考虑了时间因素对 经济系统的影响，能够更好地模拟经 济系统的动态变化和趋势。该模型在 政策制定和预测方面具有广阔的应用 前景。
03
全球投入产出模型
随着全球经济一体化的加速，全球投 入产出模型逐渐成为研究前沿之一。 该模型能够全面地反映全球范围内各 国家、各行业之间的经济联系和相互 影响。
02
投入产出模型的建立
环境经济的投入产出分析(ppt 46页)
n
bij aij bikakj k1
用矩阵表示上式写成
( i,j =1,2,…,n )
B=A+BA
通过数学变换得到：
22.10.2019
B= (I – A )-1-I
式中 I为单位矩阵
11
Institute of Geographical Sciences & Natural Resources Research
6
Institute of Geographical Sciences & Natural Resources Research
Environmental Economics
简化的价值型投入产出表
分配去向
中间使用
最终产品 总产出
投资来源
部门1 部门2 …
部门n 小计
部门1
… x11 x12
x1n
E1
Environmental Economics
投入产出的基本原理
投入产出表
投入产出分析的数学模型
价值型投入产出模型
该方程可以写成：
n
xijyi xi(i1,2,..n.), （16.10）
j1
记个部门的直接消耗系数为
22.10.2019
aij
xij xj
(i,
j1,2,...n,)
Environmental Economics
投入产出的基本原理
投入产出表
投入产出分析的数学模型
实物型投入产出模型 则aij表示每生产单位j类产品需要消耗的i类产品的数量，它被 称为产品的直接消耗系数。同理，劳动的直接消耗系数为
aoj
q0j qj
(j1,2,..
投入产出表的数学模型
0.8947 = -0.1404 -0.0526 -0.0111 -0.1053 299.25 0.8889 -0.2632 1980 -0.0333 0.8246 638.4
178.54 = 1549.98 (亿元) 445.26
例：若把农业、工业、“其他”三个部门的最终使用由现在 的175亿元、1410亿元、395亿元分别增长4%、8%和10%，直接消 耗系数同上，试测算各部门的总产出。
175 × 104% = 182 Y 解：由题意知 = 1410 × 108% = 1522.8 395 × 110% = 434.5
(a11 a 21 a n1 ) X 1G1 X 1 (a a a ) X G X 12 22 n2 2 2 2 ...... (a1n a 2 n a nn ) X n Gn X n
第二列各直接消耗系 数之和，用C2表示； 第n列各直接消耗系 数之和，用Cn表示。 把该式变 形可得投 入产出表 的列模型 (见下页)
…
…
合
计
∑xi ∑xi … ∑xi d1 v1 T1 r1 G1 X1 d2 v2 T2 r2 G2 X2 dn vn Tn rn Gn Xn
… ∑Ei
∑Y ’i
∑Mi ∑X
最 初 投 入
固定资产折 旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余 合 计
…
∑dj ∑vj ∑Tj ∑rj ∑Gj ∑Xj
… …
总
0.8947 -0.1404 -0.0526
-0.0111 0.8889 -0.0333
-0.1053 -0.2632 0.8254
178.54 = 1549.98 (亿元) 445.26
例：若把农业、工业、“其他”三个部门的最终使用由现在 的175亿元、1410亿元、395亿元分别增长4%、8%和10%，直接消 耗系数同上，试测算各部门的总产出。
175 × 104% = 182 Y 解：由题意知 = 1410 × 108% = 1522.8 395 × 110% = 434.5
(a11 a 21 a n1 ) X 1G1 X 1 (a a a ) X G X 12 22 n2 2 2 2 ...... (a1n a 2 n a nn ) X n Gn X n
第二列各直接消耗系 数之和，用C2表示； 第n列各直接消耗系 数之和，用Cn表示。 把该式变 形可得投 入产出表 的列模型 (见下页)
…
…
合
计
∑xi ∑xi … ∑xi d1 v1 T1 r1 G1 X1 d2 v2 T2 r2 G2 X2 dn vn Tn rn Gn Xn
… ∑Ei
∑Y ’i
∑Mi ∑X
最 初 投 入
固定资产折 旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余 合 计
…
∑dj ∑vj ∑Tj ∑rj ∑Gj ∑Xj
… …
总
0.8947 -0.1404 -0.0526
-0.0111 0.8889 -0.0333
-0.1053 -0.2632 0.8254
3.1 投入产出模型
3.1.2 投入产出模型的产品分配方程
投入产出模型建立在两个基本假设之上：(1)同质 性假设。假定每个部门只生产一种产品，任何一 种产品只属于一个部门，不同部门之间的产品无 相互替代现象；(2)比例性假设。假定每个部门的 投入与每个部门的产品产量或产值成正比关系， 因此投入和产出之间的关系是线性函数关系。 投入产出表如下表3.1.1所示：
表3.1.1 投入产出表
yi 设 xij 表示第 i 部门为第 j部门提供的产品的使用量， 表示第 i部门提供给居民、政府、出口和社会储备等 xi 表示第i部 i 1, 2,, n, j 1, 2,, n ， 最终需求， 门提供的产品产量（或产值），因此投入产出表的 第 i行表示第 i部门的产出，它反映了n个部门对第 i 部门的中间需求与最终需求之和应等于第 i部门的总 产出，则有如下产品分配的平衡关系方程式：
T
预测各部门提供的中间产品价值
T ˆ X AX 80.03 62.56 131.31 0.94 14.02 19.04
若在本年度的基础上，计划下一年度最终产品产值
农业增长3%，轻工业增长8%，重工业增长5%，建
筑业增长8%，运邮业增长12%，商业增长10%，则
计划目标最终产品产值向量为：
n i 1 ij
n
cj
i 1
ij
为中间消耗比率矩阵。令固定资产折旧向量 T T D d1 , d 2 , , d n ,活劳动的报酬向量 V v1 , v2 , , v ， n T M m , m , , m 1 2 纯收入向量 n ，则（3.1.4）可写为 Ac X D V M X ： （3.1.5） 式（3.1.5）称为投入产出产值构成模型。 令 N V M ，则称 N 为n个部门的国民收入向量或 创新价值向量，则有： ( I Ac ) X D N （3.1.6） 式（3.1.6）表明第 j 部门的总产值中扣除中间消耗部 分是固定资产折旧与新创价值之和。
投入产出分析投入产出经济数学模型
§1.4 投入产出经济数学模型本节介绍两个最基本的投入产出经济数学模型。
第三章将要介绍的各种复杂的投入产出应用模型，都是这两个最基本的投入产出经济数学模型的扩展。
一、分配方程组和按行建立的模型⒈ 分配方程组对于投入产出表的每一行，不管是价值型还是实物型，都存在如下平衡方程：n i X Y xi i n j ij ,,2,11==+∑= （1.4.1） 可以写成：n i X Y X ai i n j j ij ,,2,11 ==+∑= （1.4.2）这就是分配方程组。
它反映每个部门的总产出是如何分配与使用的。
用矩阵表示该方程组，有X Y AX =+ （1.4.3） 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Y Y Y 21Y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n X X X 21X 分别为直接消耗系数矩阵、最终使用量矩阵和总产出量矩阵。
⒉ 按行建立的经济数学模型⑴ 模型形式由（1.4.3），容易得到：Y A I X 1)(--= （1.4.4） 这就是按行建立的投入产出基本经济数学模型。
⑵ 模型的经济意义该模型揭示了最终使用量和总产出量之间的关系。
换句话说，如果知道最终使用量，通过模型就可以求出既满足最终使用的需求、又保证经济系统各部分之间综合平衡的总产出量。
这里的最终使用量就是支出法计算的国内生产总值。
⑶ 模型的应用价值该模型虽然简单，但具有很大的应用价值。
因为在投入产出分析出现以前，还没有什么方法能够揭示最终使用量和总产出量之间的关系。
而这个关系对于经济预测、经济计划、结构分析等无疑是不可缺少的。
⑷ 模型与完全消耗系数的联系所谓最终使用量和总产出量之间的关系，实际上就是完全消耗关系。
将（1.4.4）中Y 前的系数矩阵1)(--A I 与完全消耗系数矩阵I A I B --=-1)(比较，二者仅相差一个单位阵。
静态价值型投入产出模型PPT课件
2021/6/11
1
第1页/共46页
一、静态价值型投入产出模型结构
• 静态价值型投入产出表（水平方向和垂直方向）
2021/6/11
2
第2页/共46页
➢以棉花部门所在的生产链为例：
2021/6/11
棉花部门的总产品是100元，其中80元 的产品进入纺纱厂，20元产品用于消费。 这80元进入下一部门需要进行进一步加 工的棉花称为中间产品，而20元直接消 费的棉花称为最终产品。同理，对于纺 纱部门，该部门有200元的产品，其中 180元产品进入织布部门，20元产品用 于出口，那么进入织布部门的180元产 品称为中间产品，出口的20元产品称为 最终产品。所以，中间产品 =80+180+200=460；最终产品 =20+20+100+500=640；总产品
2021/6/11
10
第10页/共46页
静态价值型投入产出模型的推导
• 直接消耗系数的性质
在投入产出表中所有部门的中间流量值和总产出均为非负数，增加值为正，即：
则价值型表中矩阵A性质如下：
➢A为非负元素矩阵，即
➢矩阵A的列和小于1 ，即
2021/6/11
11
第11页/共46页
静态价值型投入产出模型的推导
2021/6/11 阵全面地揭示了国民经济各部门之1间2 错综复杂的经济关联关系，将其
第12页/共46页
静态价值型投入产出模型的推导
• 列昂惕夫模型：
另外，将直接消耗系数定义式代入投入产出列模型，可得：
令 表示由中间投入率向量 角阵；
为：
，则上式的矩阵形式 。
由于 是
，则对角阵 。
可逆，于
【数学建模】投入产出模型
§8.3 投入产出模型
投入产出
• 一. 投入产出表 • 1. 概念： • 产品：各生产部门生产的商品 • 中间产品：继续投入生产过程的产品 • 最终产品：推出生产过程的产品 • 投入：生产过程中各部门的投入 • 中间投入：中间产品的物质消耗 • 外购资源：非中间产品的物出
• 三. 模型的分析 • 1. 可行性 • 模型是可行的, 如果对任何非负的最终需求 y ≥ 0 模型总有非负解 x ≥0. • 定理 1. 模型对任何非负的需求 y ≥ 0 有非 1− a −a 1− a > 0, −a 负解 x ≥0, 当且仅当 1 − a > 0 , , | D |> 0
0.112 0.073 0.110 ⎤ ⎥ 0.289 0.013 0.017 ⎥ ⎥ 0.140 0.430 0.198 ⎥ 0.167 0.133 0.154 ⎦
A=
投入产出
• 20. 完全消耗系数 bij , bjkakj : 产品 j 通过产品 k
对产品 i 的需求量 , 则有
bij = aij + ∑ bik a kj , i , j = 1,
k =1
⎡0.047 ⎢0.009 B=⎢ ⎢0.067 ⎢ ⎣0.045
n
,n
• 令 B = (bij) 则有 B = A + BA, B ( I – A) = A • B = A ( I – A)-1 = ( I – A) – I = D-1– I. • B 从完全需求的角度反映出各部门深层次的相 互间的依赖关系 .
1193.1 113.4
298.2
538.4
1491.3 651.8
1004.5 774.2 3921.8 2956 1680 8400
投入产出
• 一. 投入产出表 • 1. 概念： • 产品：各生产部门生产的商品 • 中间产品：继续投入生产过程的产品 • 最终产品：推出生产过程的产品 • 投入：生产过程中各部门的投入 • 中间投入：中间产品的物质消耗 • 外购资源：非中间产品的物出
• 三. 模型的分析 • 1. 可行性 • 模型是可行的, 如果对任何非负的最终需求 y ≥ 0 模型总有非负解 x ≥0. • 定理 1. 模型对任何非负的需求 y ≥ 0 有非 1− a −a 1− a > 0, −a 负解 x ≥0, 当且仅当 1 − a > 0 , , | D |> 0
0.112 0.073 0.110 ⎤ ⎥ 0.289 0.013 0.017 ⎥ ⎥ 0.140 0.430 0.198 ⎥ 0.167 0.133 0.154 ⎦
A=
投入产出
• 20. 完全消耗系数 bij , bjkakj : 产品 j 通过产品 k
对产品 i 的需求量 , 则有
bij = aij + ∑ bik a kj , i , j = 1,
k =1
⎡0.047 ⎢0.009 B=⎢ ⎢0.067 ⎢ ⎣0.045
n
,n
• 令 B = (bij) 则有 B = A + BA, B ( I – A) = A • B = A ( I – A)-1 = ( I – A) – I = D-1– I. • B 从完全需求的角度反映出各部门深层次的相 互间的依赖关系 .
1193.1 113.4
298.2
538.4
1491.3 651.8
1004.5 774.2 3921.8 2956 1680 8400