离散数学模拟题3

模拟试题 3
一. 有两个小题
1．分别说明联结词⌝、∧、∨、→以及↔的名称，以及在自然语言中表示什么含义。

2．分别列出P∧Q、P∨Q、P→Q、P↔Q的真值表(填下表)。

P Q P∧Q P∨Q P→Q P↔Q
二．有三个问题
1.先说明什么叫永真式(也叫重言式)。

2.指出下面的命题公式中哪些是永真式(只写题号即可)。

(1). (P∨Q)→P (2). P→(P∨Q)
(3). (P∧(P→Q))→Q (4). (P∧Q)→Q
3.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明(方法不限)。

三．判断下面命题的真值。

对你的回答，给予证明或者举反例。

(1)．如果A∈B，B⊆C，则A⊆C 。

(2)．空集是唯一的。

四．R是实数集合，给定R上的五个关系如下:
R1={<x,y>|x=y2} R2={<x,y>|y=x+6}
R3={<x,y>|y=(x+1)-1} R4={<x,y>|y=2x}
R5={<x,y>|x2+y2=4}
上述五个关系中，哪些不是从R到R的函数，为什么？如果是函数，则哪些是从R到R的入射函数？哪些是从R到R的双射函数？
五．用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。

要求按照推理的格式书写推理过程。

∃xP(x), ∀x(Q(x)→⌝ R(x)), ∀x(⌝P(x)∨ R(x))⇒∃x⌝ Q(x)
六．给定集合A={1,2,3},定义A上的关系如下：
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}
S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}
T={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
M=Ф(空关系)
N=A×A(完全关系（全域关系）)
1.分别画出上述各个关系的有向图。

2.用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，填下表：
自反的反自反对称的反对称传递的
R
3.上述五个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？是等价关系，写出相应的商集。

是偏序关系，画出相应的哈
斯图，以及A的极小元、极大元、最小元、最大元、上界与下界。

4.分别求复合关系R S 和闭包t(R)
七.
1．R是实数集合，给出R上的运算：+、－、×、max、min、|x-y，分别表示加法、减法、乘法、两个数中取最大的、两个数中取最小的、x-y的绝对值运算。

用“√”表示“是”，用“×”表示“否”，判断这些运算的性质，填下表：
2．设<G,★>是群，而a∈G，f：G→G是映射定义为：
对∀x∈G, f(x)=a★x★a-1
首先证明求f：G→G是双射；再证明f是G到G的自同构映射。

八．下面具有五个元素的格中，哪些是分配格？
九．有二个小题。

1.给定图的集合G={A,B,C,D,E,F,H,K,M,N,R,S,T,V,W,X,Y},其中各个图如下所示，请指出这些图中哪些是彼此同构的。

a b c d e
2. 有两个小题
1) 分别说明什么叫欧拉图、汉密尔顿图、完全图K n以及树。

2) 请画出五个具有五个结点的无向图，使之分别满足：
(1) 此图既是欧拉图也是汉密尔顿图。

(2) 此图是欧拉图但不是汉密尔顿图。

(3) 此图是汉密尔顿图但不是欧拉图。

(4) 此图是完全图K5。

(5) 此图是棵树。

模拟试题3参考答案
一．1．
(1) “⌝”叫做否定。

(2) “∧”叫做合取。

(3) “∨”叫做析取。

(4) “→”叫做蕴涵、条件。

(5) “↔”叫做等价、双条件。

“⌝”表示：“…不成立”，“不…”。

“∧”表示：“并且”、“不但…而且...”、“既…又...”、“尽管…还… ”
“∨”表示“或者”，是可兼取的或。

“→”表示如果… ，则…；只要… ，就…；只有… , 才…；仅当… 。

“↔”表示“当且仅当”、“充分且必要”
2．
P Q P∧Q P∨Q P→Q P↔Q
F F F F T T
F T F T T F
T F F T F F
T T T T T T
二．1．A(P1,P2,…,P n) 是含有命题变元P1,P2,…, P n的命题公式，如不论对P1,P2,…, P n作任何指派，都使得A(P1,P2,…,P n) 为真，则称之为重言式，也称之为永真式。

2．命题公式2、3、4是永真式。

3．证明公式4：设前件(P∧Q)为真，则得Q为真。

所以. (P∧Q)→Q是永真式。

三．1．F，例A={1} B={{1}} C={{1},2}，满足A∈B, B⊆C ，但是不满足A⊆C。

(因为1∈A 但1∉C )。

2．证明假设有两个空集Φ1、Φ2 ，则
因为Φ1是空集，由于空集是任何集合的子集，所以Φ1⊆Φ2。

因为Φ2是空集，类似得Φ2 ⊆Φ1。

所以Φ1=Φ2 。

所以空集是唯一的。

四．R1、R3和R5不是从R到R的函数。

R1：当x≤0时，没有相应的y对应，又当x>0时，对应的y值不唯一。

所以它不是从R到R的函数。

R3：当x＝－1时，没有相应的y对应，所以它不是从R到R的函数。

R5：当|x|>2时，没有相应的y对应，又当|x|<2时，对应的y值不唯一。

所以它不是从R到R的函数。

从R到R的入射函数的分别是R2、R4；是从R到R的双射函数的分别是R2。

五．⑴∃x P(x) P
⑵P(a) ES ⑴
⑶∀x(⌝P(x)∨ R(x))P
⑷⌝P(a)∨ R(a) US ⑶
⑸R(a) T⑵⑷I
⑹∀x(Q(x)→⌝ R(x)) P
⑺(Q(a)→⌝ R(a)) US ⑹
⑻⌝Q(a) T ⑸⑺I
⑼∃x ⌝Q((x) EG ⑻
六．1．
2．
3．等价关系有S和N。

A/S={{1,2},{3}} A/N={{1,2,3}}
偏序有T。

哈斯图如下：
3
2
1
A的极小元、最小元、下界都是1。

A的极大元、最大元、上界都是3。

4．R S＝{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}
t(R)= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
七．1．
2．证明：
a) 证明f是满射：任取y∈G，因a∈G a-1∈G
∴a-1★y★a∈G , 令x= a-1★y★a , 则
f(x)=a★x★a-1=a★(a-1★y★a)★a-1=(a★a-1)★y★(a★a-1) =y 所以f是满射的。

b) 证明f 是入射的：任取x1,x2∈G，设f(x1)=f(x2) 即
a★x1★a-1=a★x2★a-1由群可消去性得x1=x2 ∴f是入射的。

所以f是双射的
c) 再证f满足同构等式：任取x1,x2∈G，
f(x1★x2) = a★(x1★x2)★a-1 = a★(x1★e★x2)★a-1=a★(x1★(a-1★a)★x2)★a-1 = (a★x1★a-1)★(a★x2★a-1 )= f(x1)★f(x2)
所以f是G到G的自同构。

八．a,d,e是分配格。

九．1．解:同构的有:AR ,BD , CMSW , EFTY , H , KX , VN。

2．1）欧拉图、汉密尔顿图、完全图K n以及树的定义同学们看书。

2）a)：既是欧拉图也是汉密尔顿图。

b) 是欧拉图但不是汉密尔顿图。

c)：是汉密尔顿图但不是欧拉图。

d)：是完全图K5。

e)：是棵树。

a) b)
c) d) e)。