南京市2017届高三年级学情调研

南京市2017届高三年级学情调研

数 学 2016.09

注意事项：

1． 本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷

满分为160分，考试时间为120分钟．

2． 答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：

柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．

锥体的体积公式：V ＝1

3

Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1． 已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝ ▲ ．{0，1} 2． 设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i (i 为虚数单位)，则z

的模为 ▲ ．25 3． 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机

抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数

据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所

示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽车有 ▲ 辆．80

4． 若函数f (x )＝sin(ωx ＋π

6

) (ω＞0)的最小正周期为π，

则f (π3)的值是 ▲ ．12

5． 右图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 ▲ ．5

6． 设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ．若a ∥c ，则实

数x 的值是 ▲ ．4

7． 某单位要在4名员工(含甲、乙两人)中随机选2名到某、地出

差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是 ▲ ．5

6

8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2

4＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是 ▲ ．1 9． 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2

＝16相交于A ，B 两点，且ΔABC 为直角三角形，则实数a 的值是 ▲ ．－1 10．已知圆柱M 的底面半径为2，高为6；圆锥N 的底面直径和母

线长相等．若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ ．6

11．各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ▲ ．3n －1

12．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧12x －x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0．当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，则

实数m 的取值范围是 ▲ ．[－2，8]

13.在ΔABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13

AB →．若DB →·DC →

＝3，则AC 的长

是 ▲ ．10

14．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝(12)x ．若存在x 0∈[1

2

，

(第5题)

(第3题)

0.0.0.0.

1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．[22，52

2] 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝

角β的终边分别与单位圆交于点A ，B ．若点A 的横坐标．．．是31010，

点B 的纵坐标．．．是255． (1)求cos(α－β)的值； (2)求α＋β的值．

解：因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是310

10，

所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝310

10

，

从而sin α＝1－cos 2α＝10

10

． …………………… 2分

因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是25

5

，

所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－5

5

． …………………… 4分

(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×(－55)＋1010×255＝－2

10． ……… 8分

(2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝2

2． ………… 11分

因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(π2，3π

2

)，

所以α＋β＝3π

4

． …………………… 14分

16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1

的中点． (1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；

(2)若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ． 证明：(1)如图，连结A 1C ．

在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 与AC 1相交于点N ，

即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ………… 2分

因为M 为线段A 1B 的中点，

所以MN ∥BC ． ……………… 4分 又MN ／⊂平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分 (2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．

又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． …………………… 8分

因为AD ⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1，

所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分 又BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………………… 12分 又由(1)知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………………… 14分

x

O

y

A

B

(第15题)

A B C D M N A 1 B 1 C 1

(第16题)