小学奥数教师版-1-3-5 换元法
小学解方程换元法练习题奥数
小学解方程换元法练习题奥数在小学解方程中，换元法是一种常用的解题方法。
通过巧妙地引入一个新的变量，可以将原方程转化为一个更简单的形式，从而得到方程的解。
本文将以奥数练习题为例，详细介绍小学解方程中的换元法。
首先，让我们来看一个例子：问题：某个数加上它的2倍等于18，求这个数。
解析：设这个数为x，根据题意，可以写出方程x + 2x = 18。
我们可以使用换元法来解决这个方程。
步骤一：引入新变量我们可以引入一个新变量y，假设y等于原方程中的x + 1。
因此，y = x + 1。
步骤二：转化方程在原方程中，将x + 2x替换为2y - 2。
因此，方程变为2y -2 = 18。
步骤三：求解新方程将方程2y - 2 = 18进行求解，可以得到y = 10。
步骤四：回代求解原方程将y = 10代入y = x + 1中，可以得到10 = x + 1，进一步解得x = 9。
因此，原方程的解为x = 9。
通过这个例子，我们可以看到，通过引入新的变量并转化方程，我们可以更加简单地解决原方程，并得到方程的解。
接下来，让我们继续探索更多的奥数练习题。
题目一：2倍数减去6的结果等于10，求这个数。
解析：设这个数为x，根据题意，可以写出方程2x - 6 = 10。
接下来，我们使用换元法来解决这个方程。
步骤一：引入新变量我们可以引入一个新变量y，假设y等于原方程中的x - 2。
因此，y = x - 2。
步骤二：转化方程在原方程中，将2x - 6替换为2(y + 2) - 6。
因此，方程变为2y - 2 = 10。
步骤三：求解新方程将方程2y - 2 = 10进行求解，可以得到y = 6。
步骤四：回代求解原方程将y = 6代入y = x - 2中，可以得到6 = x - 2，进一步解得x = 8。
因此，原方程的解为x = 8。
题目二：一个数加上10的一半再减去5等于15，求这个数。
解析：设这个数为x，根据题意，可以写出方程x + (10/2) - 5 = 15。
五年级下册数学试题-奥数专题培优讲练：09消去法与换元法(5年级培优)教师版
课堂目标：1、记住用消去法、换元法解题的题型；2、掌握用消去法及换元法解决实际问题重点：消去法、换元法解题 难点：消去法解应用题的过程（消元的方法）换元法：有时候，题目中有两个有一定关联的数量，这两个数量给解题带来不便，我们要从中找到两种数量之间的联系，把两种数量转化成一种数量，从而帮助我们找到解题的方法。
消去法：在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。
这种方法叫做消去法。
解题方法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。
（等量代换、加减消元法、列表法）【换元法解应用题】一张桌子的价钱等于4把椅子的价钱，买1张桌子和12把椅子共付288元。
求：一张桌子和一把椅子各多少元？【答案】72元；18元 【知识点】换元法解题 【难度】A 【出处】小学数学拓展学案【分析】椅子：()18412288=+÷（元），桌子：72418=⨯（元）3张桌子价钱等于7把椅子价钱。
每把椅子36元，买2张桌子和7把椅子共付多少钱？【分析】42073623736=⨯+⨯÷⨯（元）小华买了3支铅笔和6张图画纸，共付了1.2元，每支铅笔比每张图画纸贵0.1元。
每张图画纸多少元？每支铅笔多少元？【答案】0.1元；0.2元 【知识点】等量代换 【难度】B 【出处】小学数学拓展学案【分析】()()1.06331.02.1=+÷⨯-（元）；2.01.01.0=+（元）。
学校买来8块大黑板和12块小黑板共用去300元，一块大黑板的价钱比两块小黑板还要贵2.5元。
大黑板每块多少钱？小黑板每块多少钱？【分析】()[]()5.2221282125.2300=÷+÷÷⨯+（元）；()1025.25.22=÷-（元）【消去法解应用题】光明小学买水壶4只、水桶5个，共付出150.5元；实验小学买同样的水壶4只、水桶8个，共付出182元。
小学思维数学：换元法-带答案解析
换元法对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++) 例题精讲教学目标【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学奥数精讲 换元法
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学数学奥赛1-3-5 换元法.教师版
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学奥数之换元法(教师版)
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】迎春杯
【解析】⑴该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 ， ，
有原式 ( ) ( )
⑵设 ，
原式
【答案】⑴ ⑵
【巩固】计算： =。
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级
【解析】设 、 ，则有
10) 爱老婆要做到两个不要：不要问老婆能够为额做些什么，而要问额可以为老婆做些什么;不要问老婆喜欢些什么，老婆喜欢些什么对额而言应该是常识!
对老婆煽情的话
1) 有你相伴，天空是蓝的，空气是甜的;有你相随，日子是乐的，生活是美的;有你相守，家庭是暖的，心里幸福的;老婆我爱你，最美的祝福送给你，愿幸福绕你身旁，快乐把你笼罩!
1) 有一种情，相濡以沫温馨处处在，有一种意，海枯石烂温暖处处开，有一颗心，沧海桑田温情永不变，有一句话，相知相守爱你一万年，老婆我爱你永不变!
2) 你好象生气了，我心里也不好受，如果是我酿成了此错，希望你能原谅，如果不能原谅，我自己也无法原谅自己了。
3) 你负责貌美如花，我负责赚钱养家，你负责轻松悠闲，我负责工作挣钱，你负责开心幸福，我负责操持家务，你负责快乐天天，我负责爱你永远!
7) 就数老婆好，美女都不要;打骂不还手，见面就告饶;化妆你称道，购物掏腰包;逛街不斜视，乖乖跟好了。
8) 孔雀最美，你是我的孔雀，我为你开屏;百灵最俏，你是我的百灵，我为你鸣叫。我的妻，爱你是我唯一的语言，疼你是我仅有的表现。愿我们幸福百年。
9) 浪漫在起舞，甜蜜在微笑;温馨在荡漾，喜悦在心头;内心在狂喜，心情在澎湃;真情在涌动，真爱在表白：老婆，爱你没商量，爱你永不变!
三、换元思想
小学奥数 换元法 精选例题练习习题(含知识点拨)
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+) ⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
小学奥数计算综合专题教材
（1） 掌握计算中常用的计算结论；（2） 能快速准确的观察出计算中的数字规律并运用换元法计算。
【特殊多位数的实用结论】 【其他常用结论】 1、 1111111111123321n n n ⋯⨯⋯=个个 （n≤9）2、 缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”： 4、 特殊平方数：…… ……=999999999999999999⨯5、742851.071 = 20.2857147= …… 如右图所示： 【换元思想】换元法——解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．（1） 培养学生运用转化思想利用特殊规律解题简化解题过程； （2） 培养学生观察数字规律及特点，运用换元法简化解题过程。
例题精讲重难点知识结构考试要求重要结论应用与换元法的秘密7n 675747372777582411一、重要结论应用【巩固】计算：1120112011201120201212201220122012202011⨯-⨯【巩固】计算：2001200120002000200120012001200120012001200020002000200020002000个个++++【例 1】 71化成小数后，小数点后面第2007位上的数字为____。
【巩固】n化成小数后，小数点后若干位数字和为1992，问n=____。
. (11111111111200723200822008232007⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯+++-+++⨯+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭：112341023410223103410⎛+++++++++⨯-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】()()()()23.012.034.023.012.0134.023.012.023.012.01+⨯+++-++⨯++=__ _ 。
【例 9】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+) 【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例 10】 计算：1993199411993+19921994⨯⨯－【巩固】计算：22010200920111⨯+1、 计算：888888882008200720079999⨯-⨯2、 计算：2201166666666323232666666⨯⨯-⨯⨯3、 计算：1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（4、 计算：11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5、 计算：200820092007200820091+⨯⨯-1、 计算下面的算式：(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)2、 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
跃峰奥数PPT1代数组合5-3(换维思考之目标元分解)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
代数组合5-3（换维思考之目标元分解）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第5专题（换维思考）的第3小节（目标元分解），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【换维思考】所谓“换维思考”，就是更换思考角度，它是一种“广义换元法”。
包括两个方面：（1）更换维度。
一个数学对象可能有多个维度，可换一个维度思考：●棋盘，行与列互换；●子集族，集合与元素互换；●排列问题，元素、位置互换；●双重求和，下标i、下标j互换；●染色问题，颜色、位置、染法（区域、点、线段）互换；（2）改造结构。
通常有三种方式：●捆绑、●分解、●定义特征值。
本节介绍“元素分解”的相关例子■。
【题感】从条件看【1】，涉及到4个角上的方格同色的矩形，我们称之为“同色矩形”。
从目标看【1】，属于“任意型【1】+存在型【1】”参数最值，它包括不等式（下界）和等式（等号可以成立）两个方面。
一般情况下，这类极值的两个方面都需要用到构造，但这里，“等式”方面的构造是要构造“同色矩形”，其要求太强，难以找到满足条件的4个方格。
先考虑等号，假设要证明n=c合乎要求，通常要先知道c的值，这往往可通过“构造反例”，先得到不等式，然后猜出c的值。
但这里，构造尽可能长的不存在同色矩形的4×n棋盘很困难（不知），所以等号问题只能“自己内部解决”（不能借助构造）。
一年级数学上册课件- 3 1—5的认识和加减法 减法 人教新课标(2014秋)(共15张PPT)
5以内的减法
鱼! !
3–1 = 2
3–1 = 2
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减号 等于号
读法： 3 减 1 等于 2
3–2 = 1
3–3= 0
2个气球
0
2
忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。
领导的速度决定团队的效率。
伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴誉就很难挽回。
世上并没有用来鼓励工作努力的赏赐，所有的赏赐都只是被用来奖励工作成果的。
平凡的脚步也可以走完伟大的行程。
希望是厄运的忠实的姐妹。普希金
只要路是对的，就不怕路远。
如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。
如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。
赚钱之道很多，但是找不到赚钱的种子，便成不了事业家。
忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。
成功与不成功之间有时距离很短只要后者再向前几步。
世界会向那些有目标和远见的人让路
3 3
3 36
5 23
5–1=4
读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴誉就很难挽回。
读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2 读法： 3 减 1 等于 2
奥数五六年级知识点总结第八讲凑整法基准法换元法
第八讲凑整法基准法换元法问题引入：一、一、问题引入：正如上一讲中介绍的，对于一些特殊形式的算式，我们可以进行裂项计算。
那么对于无法进行裂项的算式，特别是那些含有复杂的分数和小数的算式来说，要如何进行巧算呢？这一讲中就为大家介绍三种计算题中常用的方法：凑整法、基准法、换元法。
同时这四种方法也是四种思想，这四种思想不仅可以应用到计算以外的奥数领域，更可以应用到我们的日常生活中。
知识总结：二、二、知识总结：1、凑整思想：所谓凑整思想，就是将合适的两个事物配对到一起。
具体到计算题中，我们的计算经验告诉我们，整数的计算比小数和分数的计算简单，末位为0的整数的计算比末位不为0的整数的计算简单，因此，我们在计算过程中，尽量把能凑成整数的两个小数或分数放在一起计算，把能凑成末位为零的整数的两个数放在一起计算。
例如加减法运算3.46+2.37+1.54+5.63,如果直接按顺序计算很麻烦，观察后我们可以发现3.46与1.54的和为5, 2.37与5.63的和为8，所以我们将3.46与1.54配对，2.37与5.63配对，原式可写成（3.46+1.54）+（2.37+5.63），答案就显而易见为5+8=13。
再如乘除法运算2.25×5×3.2×4，观察后发现2.25×4=9，5×3.2=16，原式可以写成（2.25×4）×（3.2×5）=9×16=144。
除了凑整之外，其他的一些非凑整的凑数技巧也会经常用到，最常见的就是7×11×13=1001。
比如计算234×7×11×13，如果记住了上述规律，则可以直接写出答案234234。
2、基准思想基准思想就是为一组水平参差不齐的事物找一个标准线，这些事物都与这个标准型比较，从而更显著的看出这组事物的差异。
具体到计算题中，如果一组数都接近于某个整数，那么就以这个整数为标准，看看这些数与这个整数差多少。
小学奥数计算综合专题教材
（1） 掌握计算中常用的计算结论；（2） 能快速准确的观察出计算中的数字规律并运用换元法计算。
【特殊多位数的实用结论】1、 131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc2、 10101ababab ab =⨯3、 111337aaa a a =⨯=⨯⨯【其他常用结论】1、 11111124822n n +++=- 2、 1111111111123321n n n ⋯⨯⋯=L L 123123个个 （n≤9）3、 缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”：a) 12345679×9＝111111111b) 12345679×18＝222222222c) 12345679×27＝333333333d) 12345679×36＝444444444e) 12345679×45＝555555555f) 12345679×54＝666666666g) 12345679×63＝777777777h) 12345679×72＝888888888i) 12345679×81＝9999999994、 特殊平方数：a) 2222)121(121⨯=++⨯()3333331232112321⨯=++++⨯知识结构考试要求重要结论应用与换元法44444444)1234321(1234321⨯=++++++⨯5555555555)123454321(123454321⨯=++++++++⨯666666666666)12345654321(11234565432⨯=++++++++++⨯…… ……()1234567898765432176543211234567898++++++++++++++++⨯=999999999999999999⨯5、 742851.071&&= 20.2857147=&& …… 如右图所示：【换元思想】换元法——解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．（1） 培养学生运用转化思想利用特殊规律解题简化解题过程；（2） 培养学生观察数字规律及特点，运用换元法简化解题过程。
第一讲 巧算 教师版
第一讲 巧算下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。
同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。
【题型一】分数，小数的混合计算【例1】计算：（7518－61115）÷［21415＋（4－21425）÷1.35］北京市第十届“迎春杯”决赛第一题第2题解：原式＝491411721190152520⎡⎤÷+÷⎢⎥⎣⎦=4914121901515⎡⎤÷+⎢⎥⎣⎦=49490÷=493601、等差数列求和公式： (1)1232n n n ⨯+++++=； 2、重复数字多位数： 1001abcabc abc =⨯；10101ababab ab ab =⨯=；n 个数字重复m 次=这n 个数字110101010010011001m n n n ---⨯ 个个个个； 3、裂项公式：()()()()1111111112[](1)(2)(1)(1)(2)211113[](1)(2)(3)(1)(2)(1)(2)(3)3n n m m n n m n n n n n n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=-⨯+++++=-⨯++++++++〖变式1〗计算：223615323340(5.64)5÷+⨯⨯- 北京市第八届“迎春杯”决赛第一题第2题解：原式＝1101112315340 1.2⨯+⨯⨯＝88948⨯＝1154【例2】计算：59193 5.2219930.4 1.6910()52719950.51995196 5.22950+-⨯÷+⨯-+第五届“华杯赛”复赛第1题解：原式＝519 1.329519 1.329--÷19930.40.819950.5⨯+⨯=1÷0.4(19932)19950.5⨯+⨯=1÷45=54〖变式2〗计算：221411713313151)199511286651176(++÷+北京市第十一届“迎春杯”刊赛第24题解：原式＝1332211463199514221199519951463142216911995146314=+⨯=⨯=÷ 【题型二】庞大数字的运算【例3】计算：（1998+19981998+199819981998+ (19981998)个199819981998）÷（1999+19991999+199919991999 (19981999)个199919991999）×1999解：原式＝1998（1+10001+100010001+ (19981001)个100110011001）÷［1999×（1+10001+100010001+ (19981001)个100110011001）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998. 〖变式3〗1202505051313131321212121212121212121+++解：原式＝121015101011310101011251312121101211010121101010121212121⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯ 【例4】9999 9个9×99999个9有结果有多少个奇数，多少个偶数？〖变式4〗求3333333×6666666乘积的各位数字之和。
换元法
某些计算求值问题,有这样得特点:相同得部分重复出现两次或多次,整个算式不适合用裂项去处理、这时候我们应该考虑用换元法。
什么就是换元法呢?就就是用字母或者符号替代算式中重复出现得部分,将算式改写成更简洁得形式,然后再计算、初学换元法应先学会找到重复出现得项,观察这些项出现得位置。
例如: )98.1031.9()1066.577.688.7()1098.1031.9()66.577.688.7(+⨯+++-++⨯++ 这个算式中有5个不同得小数,各出现两次,非常适合用换元法来解。
设这样就完成了换元。
例1分析与解:1111)1()1(1)1()1(120112009201020102222222==+-+-=+-+⨯-=++⨯-=+⨯=aa a a a a a a a a a a a a ，则原式可以变形为：设例2)23.012.0()34.023.012.01()34.023.012.0()23.012.01(+⨯+++-++⨯++ 分析与解:34.034.034.034.0)34.01()34.0()1()23.012.0()34.023.012.01()34.023.012.0()23.012.01(23.012.022=---+++=⨯++-+⨯+=+⨯+++-++⨯+++=aa a a a a aa a a a ，则原式可变形为：设例3分析与解:61616161)611()61()1()4121()6141211()614121()41211(412122=---+++=⨯++-+⨯+=+⨯+++-++⨯+++=a a a a a a a a a a a ，则原式可变形为：设例4)2010...432()2011...4321()2011...432()2010...4321(＋＋＋＋＋＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋＋＋＋⨯⨯ 分析与解:例5 就是不就是平方数?分析与解:题目出现四个连续自然数,考虑将平均数进行换元。
(小学奥数)换元法
對於六年級的同學來說，分數乘法算式的一些計算技巧必須開始掌握．這既與基礎課程進度結合，更是小學奧數經典內容．裂項、換元與通項歸納這三項內容，通稱“分數計算之三大絕招”．考察近年來的小升初計算部分，分數計算成為熱點．可以這麼說：“一道非常難的分數運算，要麼是裂項，要麼是換元，要麼是通項歸納．如果都不是，那它一定是比較簡單的分數小數混合運算．” 三、換元思想解數學題時，把某個式子看成一個整體，用另一個量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，將複雜的式子化繁為簡．【例 1】 計算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，則： 原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算例題精講教學目標換元法【解析】 設111234a =++，則原式化簡為：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】15【巩固】 計算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=， 原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 計算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算【解析】 設0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 計算下麵的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+) 【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算 【關鍵字】希望杯，2試【解析】 換元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，則原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
五年级奥数.计算综合.公式、重要结论应用与换元法(C级).教师版
（1） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算； （2） 了解等比数列；（3） 灵活运用等比数列求和公式进行计算。
【基本概念】等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。
这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0)。
注：q =1时，an 为常数列。
【常用公式】 （1） 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=；（2） ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； （3）()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；（4） 等比数列求和公式：（1）0111111(1)1n n n a q S a q a q a qq --=++⋅⋅⋅+=-()1〉q ； （2）qq a qa q a q a S n n n --=+++=-1)1(1111101 ()1〈q 。
（5） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；（6） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．考试要求知识结构公式、特殊结论应用与换元法（1） 平方和、立方和公式的灵活运用； （2） 等比数列公式的灵活运用。
【例 1】 计算：222012201125531012323111+⨯-⨯ 【考点】特殊结论应用 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式=22201220111112310110123111+⨯⨯-⨯⨯=0 【答案】0。
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换元法教学目标对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．例题精讲【例1】计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b =-16611=⨯=【答案】16【巩固】11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯=【答案】【巩固】9计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】【巩固】0.054321计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，2试【解析】换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____。
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】设0.120.23a +=，0.120.230.34b++=原式()()110.34a b b a b a =+⨯-+⨯=-=【答案】【巩固】0.34计算：⑴(10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯【解析】⑴该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，有原式=(1a +)b ⨯-(1b +)0.67a b ab a ab b a ⨯=+--=-=⑵设621739458126358947a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，739458358947b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭原式378378378621378()9207207207126207a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯=-⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】⑴0.67⑵9【巩固】计算：573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=。
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】设573123217a =++、732173b =+，则有441313444()131313455131239a b a ba b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-=⨯=原式【答案】539【例2】计算：1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【考点】换元法【难度】3星【题型】计算【解析】令111232007a =+++ ，111232008b =+++ ，原式()()1112008a b b a b ab a ab b a =+⨯-+⨯=+--=-=【答案】12008【巩固】111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111111213141a +++=，111213141b ++=，原式115151a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭115151ab a ab b=+--1()51a b =-1115111561=⨯=【答案】1561【巩固】计算1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】清华附中【解析】设111157911A +++=，1117911B ++=，原式111313A B A B⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111313A B A A B B=⨯+-⨯-()113A B =-11113565=⨯=【答案】165【巩固】计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111112345A ++++=，11112345B+++=原式=1166A B A B ⎛⎫⎛⎫⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166A B A A B B ⨯+⨯-⨯-⨯=1166A B ⨯-⨯16=⨯(A B -)16=【答案】16【例3】计算：212391239112923912341023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯【解析】设123923410t =++++ ，则有22211111(1)222222t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+⨯-+-=+-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】【例4】计算11112111311143114120092009++++++++++【考点】换元法【难度】4星【题型】计算【解析】设3N =+11412009++ .原式=112N++11111N++=121N N ++111N N ++=112121N N N N ++=++.【答案】1【例5】计算：22222811811811111118118118811⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+÷++⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦【考点】换元法【难度】3星【题型】计算【解析】(法一)设811x =，则原式2211881111288x x x x x x x x +--==⎛⎫⎛⎫++⨯-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(法二)设811118x =+，那么222228112118x =++，所以222228112118x +=-．而2222211112811811111228118118118118888x x ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-⨯=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭．这样原式转化为()()222228888121288x x x x x x x x ----=⨯=--+-⨯．在这里需要老师对于()()()()a b c d a b c a b d ac bc ad bd+⨯+=+⨯++⨯=+++的计算进行简单的说明.【答案】88【例6】计算：22010 200920111⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设a=2009,原式2221)211+2121a a aa a a a+++===+++（（）【答案】1【巩固】计算200820092007 200820091+⨯⨯-（4级）【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设2008a=原式(1)(1)(1)1a a aa a++-=+-22111a aa a+-=+-=【答案】1。