(含答案)2020-2021学年初中数学竞赛精品讲座及试题20：代数恒等式的证明
2020-2021学年初一数学竞赛专题讲座含例题练习及答案⑵
2020-2021学年初一数学竞赛专题讲座（含例题练习及答案）第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤：1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(多份)及答案
保证原创精品 已受版权保护2020年全国初中数学竞赛试题（多份）及答案一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则b a ba 的值为【 】A 、3B 、6C 、2D 、32．已知a ＝2020x ＋2020，b ＝2020x ＋2020，c ＝2020x ＋2020，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于【 】A 、65B 、54C 、43D 、32ABC DEF G保证原创精品 已受版权保护4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3，y ＝b 2－2c ＋3，z ＝c 2－2a ＋3，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于05．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72 D 、112＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】A 、22b a B 、22b ab a C 、b a 21D 、a ＋b二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则bc c a 的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第20讲 直线与圆(衡中内参)2021年版
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第二十讲直线与圆直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察．讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点．【例题求解】【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为．思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半径．注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是( )A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°(山西省中考题)思路点拨略【例3】 如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论：DE 是⊙O 的切线．问：(1)若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 为半径的圆的交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；(2)如果AB=AC=5cm ，sinA=53，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切?(2001年黑龙江省中考题)思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求解．【例4】 如图，已知Rt △ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是AB 边上的动点(与点A 、B 不重合)，Q 是BC 边上的动点(与点B 、C 不重合)． (1)当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点时，求线段PC 的长；(2)当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由． (广州市中考题)思路点拨 对于(2)，易发现只有点P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ 为直径的圆与线段AB 的交点就是符合要求的点P ，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ 的取值范围．注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手；(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；【例5】如图，在正方形ABCD 中，AB=1，︵AC 是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作︵AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点．（1）当∠DEF=45°时，求证点G 为线段EF 的中点；（2）设AE=x ，FC=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，如图，当EF=65时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．思路点拨 图中有多条⊙B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出x 的值，确定E 点位置，这是解题的关键．注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互 助等思想方法，具有较强的选拔功能．学力训练 1．如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 延长线上，PM 切⊙O 于M 点，若OA=a ， FM=a 3，那么△PMB 的周长为 ．2．PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，∠APB=78°，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，则 ∠ACB= ．3．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠F=46°，∠DCF=32°，则∠A 的度数是 ．4．如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于E ，要使DE ⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是 ．5．1l 、2l 表示直线，给出下列四个论断：①1l ∥2l ；②1l 切⊙O 于点A ；③2l 切⊙O 于点B ；④AB 是⊙O 的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( ) 1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，圆心O 在边长为2的正方形ABCD 的对角线BD 上，⊙O 过B 点且与AD 、DC边均相切，则⊙O 的半径是( )A ．)12(2-B ．)12(2+C ．122-D ．122+7．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD+BC<DC ，若腰DC 上有一点P ， 使AP ⊥BP ，则这样的点( )A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个8．如图，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于D 点，DP ⊥AC 于P ，DH ⊥BH于H ，下列结论：①CH=CP ；②A D=DB；③AP ＝BH ；④DH 为圆的切线，其中一定成立的是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O 的半径为1， (1)求弦AC 、AB 的长；(2)若P 为CB 的延长线上一点，试确定P 点的位置，使PA 与⊙O 相切，并证明你的结论． 10．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于E ，且PC 2=PE ·PO ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ：EA=1：2，且PA ＝6，求⊙O 的半径；(3)求sin ∠PCA 的值．11．(1)如图a ，已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F(不与B 重合)，直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E 且与AF 垂直，垂足为G ，连AC 、 AD ，求证：①∠BAD=∠CAG ；②AC ·AD=AE ·AF ．(2)在问题(1)中，当直线l 向上平行移动与⊙O 相切时，其他条件不变． ①请你在图b 中画出变化后的图形，并对照图a 标记字母；②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由．12．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，⊙O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ，圆心O 在BC 上，若AB=a ，AC=b ，则⊙O 的半径等于 ．13．如图，AB 是半圆O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动(不与点⌒ ⌒M 重合)，点Q 在半圆O 上运动，且总保持PQ=PO ，过点Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C ．(1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明． (2)当QP ⊥AB 时，△QCP 的形状是 三角形．(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，△QCP 一定是 三角形．14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若AB=3，ED=2，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3．5D ．415．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 切点，直线OP 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，AF 为⊙O 的直径，下列结论：(1)∠APB=∠AOP ；(2)BC=DF ；(3)PC ·PD=PE ·PO ，其中正确结论的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个16．如图，已知△ABC ，过点A 作外接圆的切线交BC 的延长线于点P ，22=PA PC ，点D 在AC 上，且21=CD AD ，延长PD 交AB 于点E ，则BE AE 的值为( ) A ．41 B ．42 C ．21 D ．2217．如图，已知AB 为半圆O 的直径，AP 为过点A 的半圆的切线． 在AB 上任取一点C(点C 与A 、B 不重合)，过点C 作半圆的切线CD 交AP 于点D ；过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．连结BD ，交CE 于点F ．(1)当点C 为AB 的中点时(如图1)，求证：CF ＝EF ；(2)当点C 不是AB 的中点时(如图2)，试判断CF 与EF 的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．⌒ ⌒⌒⌒18．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D 在AC 边上，以D 为圆心的⊙D 与AB 切于点E ．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)设⊙D 与BC 交于点F ，当CF=2时，求CD 的长； (3)设CD=a ，试给出一个a 值，使⊙D 与BC 没有公共点，并说明你给出a 的值符合的要求．19．如图，PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点，PC 是任意一条割线，且交⊙O 于点E 、C ，交AB 于点D ．求证：BDADBC AC 2220．如图，⊙O ˊ与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，圆心O ˊ的坐标是(1，一1)，半径是5，(1)求A 、B 、C 、D 四点的坐标； (2)求经过点D 的切线的解析式；(3)问过点A 的切线与过点D 的切线是否垂直?若垂直，请写出 证明过程；若不垂直，试说明理由．21．当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想? 如图，设墙壁上的展品最高处点P 距离地面a 米，最低处点Q 距离地面b 米，观赏者的眼睛点E 距离地面m 米，当过 P 、Q 、E 三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角∠PEQ 最大，站在此处观赏最理想．(1)设点E 到墙壁的距离为x 米，求a 、b 、m ，x 的关系式； (2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：(a)点E 和墙壁距离x 米；(b)最大视角∠PER 的度数(精确到1度)．参考答案教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。
【初中数学竞赛】 专题02 代数式竞赛综合-50题真题专项训练(全国竞赛专用)解析版
【初中数学竞赛】专题02代数式竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）已知3a b -=，则339a b ab --的值是（）．A ．3B ．9C ．27D ．81【答案】C 【详解】3322229()()93()9a b ab a b a ab b ab a ab b ab --=-++-=++-22223(2)3()3327a ab b a b =-⨯+=-==．故选C ．2．（2021·全国·九年级竞赛）如果21x x --是31ax bx ++的一个因式，则b 的值是（）．A ．2-B ．1-C ．0D ．23．（2021·全国·九年级竞赛）若223894613M x xy y x y =-+-++（,x y 是实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数【答案】A 【详解】因为22222222(44)(44)(69)2(2)(2)(3)0M x xy y x x y y x y x y =-++-++++=--++≥+，并且2,2,3x y x y --+不能同时等于零，所以0M >．故选A ．4．（2021·全国·）．A ．无理数B ．真分数C ．奇数D ．偶数14=-5．（2021·全国·九年级竞赛）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．46．（2021·全国·九年级竞赛）已知199919991999200020002000200120012001,,199819981998199919991999200020002000a b c ⨯-⨯-⨯-=-==-⨯+⨯+⨯+，则abc 的值等于（）．A ．1-B ．3C ．3-D ．1故选：D ．二、填空题7．（2021·全国·九年级竞赛）若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，则k =_______．【答案】-5【详解】解法一依题意，原多项式当=1x -时，其值等于0，即32(1)3(1)3(1)0k -+---+=，从而5k =-．解法二依题意1x +也是多项式332(1)(33)6(1)x x x x k x k +-+-+=+-的因式，故16k -=，即5k =-．解法三依题意可设()3223233(1)()(1)x x x k x x ax b x a x a b x b+-+=+++=+++++比较同次幂系数得13,2,3,5,, 5.a a a b b k b k +==⎧⎧⎪⎪+=-∴=-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩故5k =-．注：虽然解法三计算量较大，但它的好处是同时求出了原多项式的另一个因式为225x x +-．若题目还要求对原多项式进行因式分解，则解法三是可取的好方法之一．8．（2021·全国·九年级竞赛）设x =，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则333a b ab ++=__________．9．（2021·全国·九年级竞赛）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22x y +=__________.【答案】40【分析】根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.【详解】∵22x y xy 96+=，∴xy(x+y)=96，∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24当xy(x+y)=4⨯24时，无解，当xy(x+y)=6⨯16时，无解，当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x 2+y 2=22+62=40.故答案为40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.10．（2021·全国·九年级竞赛）已知对任意正整数n 都有312n a a a n +++= ，则11111111a a a a ++++=---- ___________．三、解答题11．（2021·全国·九年级竞赛）分别在有理数范围内和实数范围内分解因式：4662248365427a a b a b b -+-．12．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()22223()(2)6()(2)3()2x y a b m n xy a b m n xy a b m n ++-++++⋅+．【答案】()()()32421xy a b m n ax bx my ny +++--+【详解】解原式()()()()32221xy a b m n x a b y m n =+++-++⎡⎤⎣⎦()()()32421xy a b m n ax bx my ny =+++--+．13．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：54323331x x x x x -+---+．【答案】42(31)(1)x x x -+-【详解】解法一原式5432(3)(3)(31)x x x x x =-+---4(31)(31)(31)x x x x x =-+----42(31)(1)x x x =-+-．解法二原式5342(333)(1)x x x x x =+-+--+42423(1)(1)x x x x x =+--+-42(31)(1)x x x =-+-．14．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++---．【答案】()()xy z ax xz y -+-【详解】解法一原式2222()()()axyz az x yz xz yz xy =-+-+-()()()az xy z xz xy z y xy z =-+---()()xy z ax xz y =-+-．解法二原式2222()()x yz axyz xy yz xz az =+-+--()()xy xz az y z xz az y =+--+-()()xy z xz az y =-+-．15．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3223x x xy y y ----．【答案】22()(1)x xy y x y ++--【详解】解原式3322()()x y x xy y =--++2222()()()x y x xy y x xy y =-++-++22()(1)x xy y x y =++--．16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()4()()c a b c a b ----．【答案】2(2)a c b +-【详解】解法一原式222(2)4()c ca a ab b ac bc =-+---+222(2)(44)4c ca a ab bc b =++-++22()4()(2)a c b a c b =+-++2(2)a c b =+-．解法二原式2[()()]4()()c b a b c b a b =---+--22()2()()()4()()c b c b a b a b c b a b =----+-+--22()2()()()c b c b a b a b =-+--+-2[()()]c b a b =-+-2(2)a c b =+-．17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++．【答案】222()x ax a ++【详解】解法一原式222222[()()]x x a a x a a x =++++22222()()x a x a a x ++=+222222()(2)x a x ax a a x =++++222222()2()()x a ax x a ax =++++222()x a ax =++222()x ax a =++．解法二原式22222[()]()x x a a a x a =++++22222(22)()x x ax a a x a =++++2222()2()[()]x x a x a a x a =++++⋅22[()]x a x a =++222()x ax a =++．18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3333a b c abc ++-．【答案】222()()a b c a b c ab ac bc ++++---【详解】解原式33()3()3a b ab a b c abc=+-++-33()3()a b c ab a b c =++-++3[()]3()()3()a b c a b c a b c ab a b c =++-+++-++2()[()3()3]a b c a b c a b c ab =++++-+-222()(222333)a b c a b c ab ac bc ac bc ab =+++++++---222()()a b c a b c ab ac bc =++++---．19．（2021·全国·九年级竞赛）若238x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，求a b +的值．所以21a b +=．20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式333(2)()()a b c a b b c ++-+-+．【答案】3()()(2)++++a b b c a b c 【详解】设,A a b B b c =+=+，则原式33333()()[()3()]3()3()()(2)A B A B A B A B AB A B AB A B a b b c a b c =+--=+-+-+=+=++++．21．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：423344x x x x +---．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()()()()abc bcd cda dab ab cd bc ad ca bd +++----．【答案】2()+++abcd a b c d 【详解】原式是关于a b c d ,,,的对称多项式．若视a 为主元，并以0a =代入得原式0=，故原式有因式a ，由对称性知原式有因式abcd ．又原式是六次齐次多项式，而abcd 是四次齐次多项式，故还有一个关于a b c d ,,,的二次齐次对称多项式因式，所以可设2()()()()abc bcd cda dab ab cd bc ad ca bd +++----2222[()()]abcd A a b c d B ab bc cd da ac bd =+++++++++．令1,1a b c d ====-，得44A -=-；令1a b c d ====，得4616A B +=．所以1,2A B ==．原式2222[()2()]abcd a b c d ab bc cd da ac bd =+++++++++22[()()2()()]abcd a b c d a b c d =++++++2()abcd a b c d =+++23．（2021·全国·九年级竞赛）若122122(1025)(1025)10n +--=，求n 的值．【答案】14【详解】()()()()()()22121212121212102510251025102510251025⎡⎤⎡⎤+--=++-+--⎣⎦⎣⎦12142105010=⨯⨯=，所以41010n =，故14n =．24．（2021·全国·九年级竞赛）设a b c d ,,,是四个整数，且使得2222221()()4m ab cd a b c d =+-+--是一个非零整数，求证：||m 一定是合数．25．（2021·全国·九年级竞赛）若2221995199519961996a ⨯=++，证明：a 是一个完全平方数（即a 等于另一个整数b 的平方）．【答案】见解析【详解】设1995x =，则222222(1)(1)(1)2(1)2(1)a x x x x x x x x x x ⎡⎤=++++=+-+++++⎣⎦2222222(1)[(1)]2(1)(1)12(1)[(1)][1(1)]x x x x x x x x x x x x x x +=+-++++=++++=++=22(119951996)3982021+⨯=，故a 是一个完全平方数．26．（2021·全国·九年级竞赛）设,a b 是实数且422223a b a b =，求22222010a b a b -的值．27．（2021·全国·九年级竞赛）已知a 是正整数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．【答案】7【详解】解3221215a a a +-+3225315315a a a a a =+--++2(5)3(5)3(5)a a a a a =+-+++2(5)(33)a a a =+-+．要使2(5)(33)a a a +-+为质数，必须2331a a -+=，即()()210a a --=，故1a =或2．但1a =时，56a +=是合数．只有2a =时，57a +=才是质数．故所求的质数是7．28．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2(25)(9)(27)91a a a +---．29．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任何整数x 和54322345,3515412y x x y x y x y xy y +--++的值都不等于33．【答案】见解析【详解】解法一原式54322345(3)(515)(412)x x y x y x y xy y =+-+++4224(3)5(3)4(3)x x y x y x y y x y =+-+++4224(3)(54)x y x x y y =+-+2222(3)()(4)x y x y x y =+--()()()()()322x y x y x y x y x y =+-+-+．当0y =时，原式533x =≠；当0y ≠时，3,,,2,2x y x y x y x y x y +-+-+互不相等，而33不可能分解为4个以上不同因数之积，所以0,y x ≠为整数时，原式33≠，所以对,x y 取任何整数值，原式的值都不等于33．解法二将原式看成x 的多项式，y 当成常数，用综合除法有所以，原式()()()()()223x y x y x y x y x y =-+-++．下同解法一．30．（2021·全国·九年级竞赛）设,,a b c 互不相等，且0a b c ++=，化简222222222a b c a bc b ca c ab++．31．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222444222a b b c c a a b c ++---．【答案】()()()()a b c b c a c a b a b c+++-+-+-【详解】解法一以a 为主元降幂排列，再配方得：原式422244222()(2)a b c a b c b c -++-+=-4222222222222[2()()]()()a b c a b c b c b c =--+++++--222222222222[()][()()][()()]a b c b c b c b c b c =--++++-+--22222(2)()bc a b c =---222222[2()][2()]bc a b c bc a b c =---+--2222[()][()]b c a a b c =+---()()()()b c a b c a c a b a b c =+++-+-+-．解法二原式42244222(2)2()a a b b c a b c =--+-++222222222222[()2()]2()2()a b a b c c a b c a b c '=--+-++-++222222()4a b c a c =--++222222(2)(2)ac a b c ac a b c =+-+-+-2222[()][()]a cb b ac =+---()()()()a c b a c b b a c b c a =+++-+-+-．解法三注意到下列公式：2222444222222()222a b c a b c a b a c b c +-=+++--，为了完成整个式子的直接配方，应将222a b 拆成222242a b a b -．原式224442222224(222)a b a b c a b a c b c =-+++--22222(2)()ab a b c =-+-22222(2)(2)ab a b c ab a b c =++---+2222[()][()]a b c c a b =+---()()()()a b c a b c c a b c a b =++-+--+＋()()()()a b c b c a c a b a b c =+++-+-+-．32．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22242(1)2(1)(1)y x y x y +-++-．【答案】()()()()1111x x xy x y xy x y +--++---【详解】解法一添加22(1)(1)y x y +-，再减去同一项得：原式2242222[(1)2(1)(1)(1)]2(1)(1)2(1)y y x y x y y x y x y =+++-+--+--+22222[(1)(1)]2[(1)(1)]y x y x y y =++---++2222(1)(2)x x y y x =-++-2222(12)(12)x x y y x x x y y x =-+++-++-2222[(1)(1)][(1)(1)]x y x x y x =+-----()()()()()111111x x y x x x y x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦=++-----+⎣⎦()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--+--()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--++．解法二以y 为主元降幂排列．原式422442(21)2(1)(21)x x y x y x x =-+--+-+222222(1)2(1)(1)(1)x y x x y x =---++-22222(1)[(1)2(1)1]x x y x y x =---++-222(1)(1)[(21)(21)]x x x y y y y =+--+-++222(1)(1)[(1)(1)]x x x y y =+---+()()()()()111111x x x y y x y y ⎡=+--++--⎤⎦+⎡⎤⎣⎣⎦()()()()1111x x xy x y xy x y =+--++---．33．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4444444()()()()a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++．【答案】4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++【详解】解设4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++．因为444444(0,,)0()()0f b c b c b b c c b c =++--+-++=，所以(),,f a b c 有因式a ．由(),,f a b c 是,,a b c 的四次对称多项式知(),,f a b c 有因式abc ，而(),,f a b c 与abc 分别是四次、三次对称多项式，所以(),,f a b c 还含有,,a b c 的一个一次对称多项式()k a b c ++，即4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++()kabc a b c =++．令1a b c ===，得444444*********k ++---+=，所以12k =，故4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++．34．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：444()()()a b c b c a c a b -+-+-．【答案】444()()()a b c b c a c a b -+-+-222()()()()a b b c c a a b c ab bc ca =----+++++．【详解】解设444(,,)()()()f a b c a b c b c a c a b =-+-+-．因为()(),,,,f a b c f b c a =，所以(),,f a b c 是轮换对称多项式．又a b =时，444(,,)()()()0f b b c b b c b c b c b b =-+-+-=，所以(),,f a b c 有因式a b -．又(),,f a b c 是轮换对称多项式，故(),,f a b c 有因式()()()a b b c c a ---．因(),,f a b c 与()()()a b b c c a ---分别是齐五次与齐三次轮换对称多项式，所以(),,f a b c 的另一个因式应是齐二次轮换对称多项式：222()()A a b c B ab bc ca +++++，即444222()()()()()()[()()]a b c b c a c a b a b b c c a A a b c B ab bc ca -+-+-=---+++++．令2,1,0a b c ===及1,0,1a b c ===-，分别得到16202(52),1012(2),A B A B -+=-+⎧⎨++=--⎩即527,21,A B A B +=-⎧⎨-=-⎩解得1A B ==-，故444()()()a b c b c a c a b -+-+-222()()()()a b b c c a a b c ab bc ca =----+++++．35．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()()()23222336x y x y y x y x x y -++---+．【答案】()()3221x y x --【详解】解因为()()22,3632y x x y x y x y -=---+=--，所以原式()()()()()23222332x y x y x y y x x y =-+-----()()()232233x y x y y x =-+---⎡⎤⎣⎦()()263x y x =--()()3221x y x =--．36．（2021·全国·九年级竞赛）已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a-+=，求m 的值．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知322210a a a +++=，求200920102011a a a ++的值．【答案】-1【详解】()()()32322222112(1)12(1)(1)(a a a a a a a a a a a a a a +++=+++=+-+++=+-+212)(1)(1)0a a a a +=+++=，38．（2021·全国·九年级竞赛）计算444444444411111135989944444111112469910044444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．39．（2021·全国·九年级竞赛）若0a b c abc ++=≠，计算222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b bc ca ab------++的值．40．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：555()()()x y y z z x -+-+-．【答案】2225()()()()x y y z z x x y z xy yz zx ---++---【详解】因x y =时，原式0=，故原式有因式x y -．又原式是关于,,x y z 的五次齐次轮换对称多项式，故原式有因式()()()x y y z z x ---，并可设()555222()()()()()()()x y y z z x x y y z z x A x y z B xy yz zx ⎡⎤-+-+-=---+++++⎣⎦．令0,1,1x y z ===-，得()3022A B =-，即215A B -=，再令0,1,2x y z ===，得()30252A B =+，即5215A B +=，解出5,5A B ==-．所以，原式2225()()()()x y y z z x x y z xy yz zx =---++---．41．（2021·全国·九年级竞赛）计算：()()()()222220012007200220082003200920042010(199920035)(199820045)(200120055)(200020065)----⨯-⨯+⨯-⨯+．42．（2021·全国·九年级竞赛）计算：()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++⨯43．（2021·全国·九年级竞赛）计算+44．（2021·全国·九年级竞赛）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．45．（2021·全国·九年级竞赛）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+分解因式．【答案】()()()()a b c d b c d a c d a b d a b c ------------【详解】解法一原式2222[()()][()()]16b c a d a d b c abcd=++---+-22222222(22)(22)16b c a d bc ad a d b c ad bc abcd=+--+-+---++22222222[2()()][2()()]16bc ad b c a d bc ad b c a d abcd =-++----+--+2222224()()16bc ad b c a d abcd=--+--+2222224()()bc ad b c a d =+-+--2222222[2()()][2()()]z bc ad b c a d bc ad b c a d =+++--+-+--2222[()()][()()]b c a d a d b c =+--+--()()()()b c a d b c a d a d b c a d b c =++-+-+++-+-+．解法二把原式看成a 的多项式，当a b c d =++时，原式()()()()()2222160b c d d c b b c d bcd =++-+++=，所以原式有因式a b c d ---．又原式是a b c d ,,,的对称多项式，由对称性知原式有因式()()()()a b c d b c d a c d a b d a b c ------------．又此式和原式都是四次齐次多项式，故()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd++++--+--+--+()()()()k a b c d b c d a c d b a d a b c =------------，其中k 是常数．上式中令1,0a b c d ====得1k -=-，即1k =，所以原式()()()()a b c d b c d a c d a b d a b c =------------．46．（2021·全国·九年级竞赛）已知,b c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求1x =时2x bx c ++的值．【答案】4【详解】解依题意，2x bx c ++应是424223(625)(34285)14(25)x x x x x x x ++-+++=-+的一个因式，所以2225x bx c x x ++=-+，故当1x =时，22251254x bx c x x ++=-+=-+=．47．（2021·全国·九年级竞赛）把多项式322222422x x x x y xyz xy y z --++-分解因式．【答案】2(2)()x z x y --【详解】解法一原式32222(2)(42)(2)x x z x y xyz xy y z =---+-22(2)2(2)(2)x x z xy x z y x z =---+-22(2)(2)x z x xy y =--+2(2)()x z x y =--．解法二原式32222(242)(2)x x y xy x z xyz y z =-+--+22222(2)(2)x x xy y z x xy y =-+--+222()()x x y z x y =---2(2)()x z x y =--．48．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-．【答案】22(1)(1)x y --【详解】解法一原式是关于,x y 的对称多项式．可设,x y u xy v +==，则原式2(1)(2)(2)v u u v =-+--2221242v v u u v uv=-++-+-2222()1u uv v u v =-+--+22()2()1(1)u v u v u v =---+=--222(1)(1)(1)x y xy x y =+--=--．解法二当1x =时，原式2(1)(1)(1)0y y y =-+--=，故原式有因式1x -．又原式是关于,x y 的对称多项式，故原式又有因式1y -，且可设222(1)(2)(2)(1)(1)[()()]xy x y x y xy x y A x y Bxy C x y D -++-+-=--+++++，令0x y ==，得210D +=，得1D =．令0,2x y ==，得210(42)A C D +=-++，即4212A C D +=--=-．令0,3x y ==，得21132(93)A C D +=-++⨯，即9323A C D +=--=-．令2x y ==，得232(4)844A B C D +-=+++⨯，即84410A B C D ++=-=．从上面式子可解出0,1,1,1A B C D ===-=，于是原式()()()111x y xy x y =---++⎡⎤⎣⎦22(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y x y x y =----=--．49．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3333()x y z x y z ++---．【答案】3()()()x y y z z x +++【详解】解法一由公式333()3()a b a b ab a b ±=±± ，得原式3333[()]()x y z z x y =++--+33()3()()[()3()]x y z z x y z z x y z z x y xy x y =++-+++++--+-+()()()33x y x y z z xy x y =+++++()()3x y x y z z xy =++++⎡⎤⎣⎦23()[()]x y z x y z xy =++++()()()3x y z x z y =+++．解法二设3333(,,)()f x y z x y z x y x =++---．将(),,f x y z 看成x 的多项式，令x y =-得3333(,,)()()0f y y z y y z y y z -=-++----=，所以(),,f x y z 有因式x y +．而(),,f x y z 是关于,,x y z 的三次齐次对称多项式，故(),,f x y z 有因式()()()x y y z z x +++，故可设3333(,,)()()()()f x y z x y z x y z k x y y z z x =++---=+++．令1,0x y z ===，得3338110211k ---=⋅⋅⋅，故3k =，所以3333()3()()()x y z x y z x y y z z x ++---=+++．50．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()ab bc ca a b c abc ++++-．【答案】()()()()()ab bc ca a b c abc a bb c c a ++++-=+++【详解】解设()()(),,f a b c ab bc ca a b c abc =++++-，当a b =-时，有22(,,)()()0f b b c b bc bc b b c b c -=-+--+++=，所以(),,f a b c 有因式a b +．又因为(),,f a b c 关于,,a b c 对称，故(),,f a b c 还有因式,b c c a ++，即(),,f a b c 有因式()()()a b b c c a +++，并且(),,f a b c 与()()()a b b c c a +++都是齐三次式（各项都是3次的多项式），所以()()()()()(),,f a b c ab bc ca a b c abc k a b b c c a=++++-=+++，其中k 为常数．上式中令1a b ==得3318k ⨯-=，即1k =，所以()()()()()ab bc ca a b c abc a b b c c a ++++-=+++．。
2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(含答案)
2020年全国初中数学竞赛试题（含答案）考试时间 2020年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21 m ，21 n ，且)763)(147(22 n n a m m =8，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）93．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y 上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2（D ）h >24．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A ）2020 （B ）2020 （C ）2020 （D ）20205．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QA QC的值为（ ）（A ）132 （B ）32（C ）23 （D ）23 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2020，c －a =2020．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．7．如图，面积为c b a 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则b ca 的值等于 ．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2020米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A !’B !’C !’D !’E !’A !’…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301 a a a ，则 a 10的值等于 ．( x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知a bx，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312 x ．试写出一个满足条件的x ；（1）（第7题图）ABCDGFE求所有满足条件的x ．（2）12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222 a a c b ①542 a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE·AC=CE·KB ．A14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42
“数学周报杯”2020-2021学年全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．方程组12,6x y x y的解的个数为（ ）．（A ）1 （B ） 2（C ） 3 （D ）4答：（A ）．解：若x ≥0，则12,6,x y x y于是6y y ，显然不可能．若0x ，则 12,6,x y x y于是18y y ，解得9y ，进而求得3x ．所以，原方程组的解为,9,3y x 只有1个解．故选（A ）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．（A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20答：（B ）．解：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 44 3，4，5，6 3，2，1，0 43 4，5，6，7 3，2，1，0 42 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16种．故选（B ）．3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ，ABE 均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ．于是，2BEC BAC ABE BAC．若△ABC 的外心为1O ，则12BO C BAC ，所以，⊙O 一定过△ABC 的外心．故选（B ）．4．已知三个关于x 的一元二次方程02 c bx ax ，02 a cx bx ，02 b ax cx 恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab 的值为（ ）．（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3答：（D ）．解：设0x 是它们的一个公共实数根，则0020 c bx ax ，0020 a cx bx ，0020 b ax cx ．把上面三个式子相加，并整理得200()(1)0a b c x x ．因为22000131()024x x x ，所以0a b c ．于是222333333()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc3()3ab a b abc．故选（D ）．5．方程323652x x x y y 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多答：（A ）．解：原方程可化为2(1)(2)3(1)(1)2x x x x x y y y （），因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．答：4．解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称点记为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍．而1122222BPO S PO CO ．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图, 点A ，C都在函数0)y x 的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为．答：（，0）．解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE，CF，所以，点A ，C 的坐标为（a），（2a ＋bb ），所以2(2)a a b解得a b 因此，点D的坐标为（0）．8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数233y x a x 的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．答：1 ≤12a ，或者3a 解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数 233y x a x 的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以032)3(231)3(122 a a ，得112a ．由031)3(12 a ，得1a ，此时11 x ，32 x ，符合题意；由032)3(22 a ，得12a ，此时21 x ，232 x ，不符合题意．（Ⅱ）令 2330x a x ，由判别式0，得3a ．当3a时，12x x，不合题意；当3a12x x ，符合题意．综上所述，a 的取值范围是1 ≤12a，或者3a9．如图，90A B C D E F G n ，则n ＝ ． 答：6．解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则AQG A D G ，于是A B C D E F GB C E F AQGB C E F BQF540690 ．所以，n ＝6．10．已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n L ，则 23100111111a a aL ．答：33100．解：当n ≥2时，有3121n a a a a n n ，3121(1)n a a a n L ，两式相减，得 2331n a n n ，所以 ),111(31)1(3111n n n n a n,4,3,2 n 因此 23100111111a a a L 11111111(1)(()32323399100 L 1133(1)3100100 ．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A ）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214y x 上的一个动点．（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y 的位置关系；（2）设直线PM 与抛物线214y x 的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ．解：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则PM20114x ;又因为点P 到直线1y 的距离为220011(1)144x x ，所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y 相切．…………5分（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y 的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM＝QR ．因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y ，所以，PH ∥MNQM MP RN NH ，所以QR PH RN HN ，因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．于是HNP RNQ ，从而PNM QNM ．…………15分12（A ）．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为12,x x (1x ≤2x )，则有1212,1(),2x x ab x x a b 所以 12121122x x x x a b ab ，124(1)(1)(21)(21)5x x a b .…………5分因为a ,b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数，于是，11x ≥0,21x ≥0，21a ≥1,21b ≥1，所以12(1)(1)0,(21)(21)5,x x a b 或.1)12)(12(,1)1)(121b a x x （ （1）当12(1)(1)0,(21)(21)5x x a b 时，由于a ,b 都是正整数，且a ≤b ，可得a ＝1，b ＝3，此时，一元二次方程为2320x x ，它的两个根为11x ，22x ．（2）当12(1)(1)1,(21)(21)1x x a b 时，可得a ＝1，b ＝1，此时，一元二次方程为210x x ，它无整数解.综上所述，当且仅当a ＝1，b ＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x ，22x ． ……………15分13（A ）．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ．在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得22PA AC AE AB ，22PB BD BF AB ．……………5分两式相减可得22PA PB AB AE BF ，又22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB ，于是有 AE BF PA PB ，即 PA AE PB BF ，所以PE PF ，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．……………15分14（A ）．（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n ？（2）设k (k ≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得()(1)m m k n n ？解：（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n ，则22(1)1m n n ，显然1n ，于是2221(1)n n n n ，所以，21n n 不是平方数，矛盾． ……………5分（2）当3k 时，若存在正整数m ，n ，满足(3)(1)m m n n ，则2241244m m n n ，22(23)(21)8m n ，(2321)(2321)8m n m n ，(1)(2)2m n m n ，而22m n ，故上式不可能成立．………………10分当k ≥4时，若2k t （t 是不小于2的整数）为偶数，取22,1m t t n t ，则 2242()()()m m k t t t t t t ，2242(1)(1)n n t t t t ，因此这样的（m ，n ）满足条件．若2k t ＋1（t 是不小于2的整数）为奇数，取222,22t t t t m n ，则 224321()(21)(22)224t t t t m m k t t t t t ， 2243221(1)(22)224t t t t n n t t t t ，因此这样的（m ，n ）满足条件．综上所述，当3k 时，答案是否定的；当k ≥4时，答案是肯定的．……………15分注：当k ≥4时，构造的例子不是唯一的．11（B ）．已知抛物线1C ：234y x x 和抛物线2C ：234y x x 相交于A ，B 两点. 点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间.（1）求线段AB 的长；（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．解：（1）解方程组2234,34,y x x y x x 得 112,6,x y 222,6,x y 所以，点A ，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．于是AB ．…………5分（2）如图，当PQ ∥y 轴时，设点P ，Q 的坐标分别为)43,(2 t t t ， )43,(2 t t t ， 22t ，因此 PQ22(4)t ≤8，当0t 时等号成立，所以，PQ 的长的最大值8．……………15分12（B ）．实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且0ab bc ca ，abc ＝1．求最大的实数k ，使得不等式a b≥k c恒成立．解：当a b，c 时，实数a ，b ，c 满足题设条件，此时k ≤4． ……………5分下面证明：不等式a b ≥4c 对满足题设条件的实数a ，b ，c 恒成立．由已知条件知，a ，b ，c 都不等于0，且0c ．因为2110,0ab a b c c ，所以a ≤b 0 ．由一元二次方程根与系数的关系知，a ，b 是一元二次方程22110x x c c的两个实数根，于是414c c ≥0，所以 3c ≤14．……………10分因此21()a b a b c ≥44c c ． ……………15分13（B ）．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE AD CF BC ．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PD BC PC ；（2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG，所以PDC PEF ．又因为PCG PFG ，所以△PDC ∽△PEF ，于是有 ,PD PE CPD FPE PC PF ，从而 △PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF ．又已知DE AD CF BC ，所以，AD PD BC PC ． ………………10分（2）由于PDA PGE PCB ，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PD PB PC DPA CPB ，所以APB DPC ，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分14（Bu ，v 满足1≤u v．证明：设任意△ABC 的三边长为a ，b ，c ，不妨设a b c．若结论不成立，则必有a b，b c ．………………5分记,b c s a b t c s t ，显然,0s t ，代入得cs t c s，11s t c c s c，令,s t x y c c ，则11x y x．由a b c ，得c s t c s c ，即t c ，于是1t y c ．由得1b c s x c c，由，得y≥1(1)x1 ，此式与1 y 矛盾．从而命题得证．………………15分。
2020—2021学年八年级下学期数学竞赛试卷(解析版)
12021年武夷山市八年级数学竞赛试题（满分：100分，时间：90分钟 ）一．选择题（每题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号填在题后的括号内1、在式子，，，，+，中，分式的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．使分式)2)(1(1---x x x 有意义，x 应满足的条件是（ ）A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠1或x ≠2D ．x ≠1且x ≠23.如图，ABC △，AB ＞AC ＞BC ，边AB 上存在一点P ，使得PA PC AB +=．下列描述正确的是（ ）A ．P 是AC 的垂直平分线与AB 的交点 B ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点C ．P 是∠ACB 的平分线与AB 的交点D ．P 是以点B 为圆心，AC 长为半径的弧与边AB 的交点4. 若实数x 满足x 2﹣2x ﹣1＝0，则2x 3﹣7x 2+4x ﹣2018的值为（ ） A ．-2019B ．﹣2020C ．-2021D ． 20205. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足ac +bc ＝b 2+ab ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6.已知2020--+-+-=a x x a x y ，其中0<a <20,20≤≤x a ,那么y 的最小值为．（ ） A ．10B ．20C ．30D ．40学校 班级 姓名 考号ABC7.设M=(x－3)(x－8)，N=(x－2)(x－9)，则M与N的关系为( )A.M＜NB.M＞NC.M=N D．不能确定8.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…解答下列问题：3+32+33+34+…+32021的末位数字是( )A．0 B．1 C．3 D．99.如图，按大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，…的顺序从1开始数数，当数到2021时，对应的手指是（）A．食指B．中指C．无名指D．小指10.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿E F（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（）A. 128°B. 118°C. 108°D. 98°二．填空题（每题3分，共18分）11．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝．12．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N 球，则4个点中，可以瞄准的是点．13．将一根钢筋锯成a段，需要b分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c段（a，b，c都是大于1的自然数），需要分钟．14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以1.5厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由23C 点向A 点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当在某一时刻△BPD 与△CPQ 全等，则点Q 的运动速度为 厘米/秒． 15．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P ．若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，则a 的值为 。
初中数学竞赛专题选讲待定系数法(含答案)
学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要1. 多项式恒等的定义：设 f(x) 和 g(x) 是含相同变量 x 的两个多项式， f(x) ≡ g(x) 表示这两个多项式恒等 .就是说 x 在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的 .符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.例如：222－ 1)(x － 1),（ x+3）=x +6x+9,5x － 6x+1=(5xx3－ 39x－ 70=(x+2)(x+5)(x － 7).都是恒等式 .根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式ax2 +bx+c=2(x+1)(x － 2).求：① a+b+c ；②a－ b+c.解：①以 x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c＝－ 4.②以 x= －1，代入等式的左右两边，得a－ b+c＝0.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即如果n n－1n n－1a0x +a1x +⋯⋯ +a n－1x+a n=b0x +b 1x+⋯⋯ +b n－1x+b n那么 a0=b0， a1=b1，⋯⋯，a n－1=b n－1，a n=b n.22－ 2x－ 4.上例中又解：∵ ax +bx+c=2x∴ a=2,b= －2,c=－4.∴ a+b+c＝－ 4，a－b+c＝ 0.3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题例 1.已知：x2x 2A B C x(x 3)( x 2)x x 3 x 2求：A，B，C的值 .解：去分母，得x2－ x+2=A(x － 3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A， B， C 的值），学习必备 欢迎下载当 x=0 时， 2＝－ 6A.∴A ＝－1. 当x=3时，8＝ 15B.∴B ＝ 38.当 x=－ 2 时，8＝ 10C.15 4 ∴ C ＝.5本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于 x 的二次三项式， 然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解 .（见下例） .例 2. 把多项式 x 3－ x 2+2x+2 表示为关于 x － 1 的降幂排列形式 .解：用待定系数法：设 x 3－ x 2+2x+2=a(x － 1)3+b(x － 1)2+c(x － 1)+d把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得3232－ax － x +2x+2=ax － 3ax +3ax+bx 2－ 2bx+b+cx － c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，a 1a 1 3ab 1 b 2得2b c 2 解这个方程组，得33ac ab cd 2d4∴ x 3－ x 2+2x+2=(x － 1)3+2(x － 1)2+3(x － 1)+4.本题也可用换元法：设 x －1=y, 那么 x=y+1.把左边关于 x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把 y 换成 x － 1.例 3. 已知： 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方式 .求： a 和 b 的值 .解：设 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝（ 2x 2+mx ± 1）2 （设待定的系数，要尽可能少 .） 右边展开，合并同类项，得 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝ 4x 4+4mx 3+(m 2± 4)x 2 ±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得a 4ma4m 方程组m 2 4 13；或 m 24 13 .b 2mb2m解得a12或 a 12或 a 4 17 或 a － 4 17 .b 6b6b2 17 b 2 17例 4. 推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程32x 1, x 2, x 3.ax +bx +cx+d=0(a ≠ 0)的三个根分别为原方程化为 x 3+ bx 2c xd 0 .aa a∵ x 1, x 2, x 3 是方程的三个根 .∴ x 3+ bx 2c xd (x － x 1) (x － x 2) (x － x 3).aa a把右边展开，合并同类项，得x 3+ bx2c xd =x 3－ ( x 1+x 2+x 3)x 2 +(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x － x 1x 2x 3. aa a比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x 1+x 2+x 3=－b，x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝c ，x 1 x 2x 3＝－d.aa a例 5. 已知： x 3+px+q 能被（ x － a ）2 整除 .求证： 4p 3+27q 2=0.证明：设 32（x+b ） .x +px+q ＝（ x － a ）x 3+px+q=x 3 +(b － 2a)x 2+(a 2－ 2ab)x+a 2b.b 2a 0①a 2②2ab pa 2b ③q由①得 b=2a ，代入②和③得p 3a 2q2a3∴ 4p 322 33 2×（－ 66（证毕） .+27q ＝ 4（－ 3a ） +27(2a ) =4 27a ） +27 ×（ 4a ） =0. 例 6. 已知： f (x)=x 2 +bx+c 是 g (x)=x 4 +6x 2＋ 25 的因式，也是 q (x)=3x 4+4x 2+28x+5 的因式 .求： f (1) 的值 .解：∵ g (x),q (x) 都能被 f (x) 整除 ,它们的和、差、倍也能被 f (x) 整除 .为了消去四次项，设g (x) － q (x) ＝kf (x),(k 为正整数 ).即 14x2－ 28x+70 ＝ k (x 2+bx+c)14（x2－ 2x+5 ）＝ k (x 2+bx+c)∴ k=14,b=－2,c=5.即 f (x)=x 2－ 2x+5.∴f (1)=4 .例 7. 用待定系数法，求（x+y）5的展开式解：∵展开式是五次齐次对称式，∴可设（ x+y ）5＝ a(x5+y5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y2+x 2y3) (a,b, c 是待定系数 .)当x=1,y=0 时，得 a=1；当x=1,y=1 时，得 2a+2b+2c=32 ，即 a+b+c=16当x=－ 1,y=2 时，得 31a－ 14b+4c=1.a1得方程组 a b c1631a14b4c1a 1解方程组，得b5c 10∴（ x+y）5＝ x5+5x 4y+10x 3y2+10x 2y3+5xy 4+y 5.三、练习511.已知2x3a bb 的值 .26x8x 2x.求a,x42.已知：4x 23x5A B C( x 1)2 ( x 2)x 1 (x 1) 2. 求：A，B，C 的值.x 23.已知：x4—6x3+13x2－ 12x+4 是完全平方式 .求：这个代数式的算术平方根 .4.已知： ax3+bx 2+cx+d能被 x2 +p 整除 .求证： ad=bc.3 25.已知： x － 9x +25x+13=a(x+1)(x － 2)(x － 3)=b(x － 1)(x － 2)(x － 3) =c(x － 1)(x+1)(x －3) =d(x － 1)(x+1)(x －2).求： a+b+c+d 的值 .6.试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7.用 x－ 2 的各次幂表示 3x3－10x2+13.8.k 取什么值时， kx 2－ 2xy － y2+3x － 5y+2 能分解为两个一次因式 ..9.分解因式：① x2+3xy+2y 24x+5y+3 ；②x4+1987x 2+1986x+1987.10.求下列展开式：① (x+y) 6；② (a+b+c) 3.11. 多项式 x2y－ y2z+z2x－ x2z+y2x+z 2y－ 2xyz 因式分解的结果是 ()(A) (x+y)(y－ z)(x － z) .(B) (x+y)(y+z)(x－ z).(C) (x －y)(y － z)(x+z).(D) (x － y)(y+z)(x+z).4432432－ 3.12. 已知 ( a+1) =a +4a +6a+4a+1,若 S=(x－ 1) +4(x－1) +6(x －1) +4x则S等于()4(B)44. (D)4(A) (x－ 2) .(x－1) .(C) x(x+1) .13．已知：ax 35x 2bx c的值是恒为常数求：a,b, c 的值 .2x310x 23x4参考答案7111.a=－ ,b= －2 22.A=1,B=2,C=33.± (x2－ 3x+2)4.由 (x 2+p)(ax+ d )⋯p5. 13－ 2)2－2)－37. 3(x －2) +8(x－ 4(x8. 先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。
2020初一(七年级)人教版数学竞赛教程含例题练习及答案91P
初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0； 2．带余形式：a=bq+r； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
(含答案)2020-2021学年初中数学竞赛精品讲座及试题02：倍数、约数
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B 0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。 二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32 。 解：列表如下
正 正约数 个 正 正约数
∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N 解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数 ∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3 例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数 分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的 最小公倍数减去1。 解： ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359 三、练习2 1， 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2， 分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3， 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4， 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________ 5， 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6， 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________ 7， 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____ 8， 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最 大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？ 9， 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如 果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶， 那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
2020-2021初中数学代数式解析含答案
2020-2021初中数学代数式解析含答案一、选择题1．下列运算中正确的是（ ）A ．2235a a a +=B ．222(2)4a b a b +=+C ．236236a a a ⋅=D ．()()22224a b a b a b -+=- 【答案】D【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，分别进行计算，即可求出答案．【详解】A 、2a+3a=5a ，故本选项错误；B 、（2a+b ）2=4a 2+4ab+b 2，故本选项错误；C 、2a 2•3a 3=6a 5，故本选项错误；D 、（2a-b ）（2a+b ）=4a 2-b 2，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．2．计算 2017201817(5)()736-⨯ 的结果是（ ） A ．736- B ．736 C ．- 1 D ．367【答案】A【解析】【分析】根据积的乘方的逆用进行化简运算即可．【详解】2017201817(5)()736-⨯ 20172018367()()736=-⨯ 20173677()73636=-⨯⨯ 20177(1)36=-⨯ 736=- 故答案为：A ．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用问题，掌握积的乘方的逆用是解题的关键．3．（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是（）A．0 B．23C．﹣23D．﹣32【答案】C【解析】试题解析：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）=3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12，∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，∴2+3m=0，解得，m=23 ，故选C．4．观察下列图形：()它们是按一定规律排列的，依照此规律，那么第7个图形中共有五角星的个数为() A．20B．21C．22D．23【答案】C【解析】【分析】设第n个图形共有a n（n为正整数）个五角星，根据各图形中五角星个数的变化可找出变化规律“a n＝3n＋1（n为正整数）”，再代入n＝7即可得出结论．【详解】解：设第n个图形共有a n（n为正整数）个五角星，∵a1＝4＝3×1＋1，a2＝7＝3×2＋1，a3＝10＝3×3＋1，a4＝13＝3×4＋1，…，∴a n＝3n＋1（n为正整数），∴a7＝3×7＋1＝22．故选：C．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中五角星个数的变化，找出变化规律“a n＝3n＋1（n为正整数）”是解题的关键．5．下列命题正确的个数有（）①若 x2+kx+25 是一个完全平方式，则 k 的值等于 10；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；④黄金分割比的值为≈0.618.A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】C【解析】【分析】根据完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定即可一一判断；【详解】①错误．x2+kx+25是一个完全平方式，则 k 的值等于±10 ②正确．一组对边平行，一组对角相等，可以推出两组对角分别相等，即可判断是平行四边形；③错误．顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形；④正确．黄金分割比的值为≈0.618；故选C．【点睛】本题考查完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．6．计算的值等于（）A．1 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】原式＝＝＝.故选C．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．7．下列计算正确的是（ ）A ．2571a a a -÷=B ．()222a b a b +=+C ．2+=D ．()235a a =【答案】A【解析】 分析：直接利用完全平方公式以及二次根式加减运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．详解：A 、2571a a a -÷=，正确； B 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故此选项错误；C 、，无法计算，故此选项错误；D 、（a 3）2=a 6，故此选项错误；故选：A ．点睛：此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．已知：()()22x 1x 32x px q +-=++，则p ，q 的值分别为（ ） A ．5，3B ．5，−3C ．−5，3D ．−5， −3【答案】D【解析】【分析】 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p 、q 的值．【详解】由于()()2x 1x 3+-=2x 2-6x+x-3=2 x 2-5x-3=22x px q ++， 则p=-5,q=-3,故答案选D.【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．9．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（ ）A ．400B ．401C ．402D ．403 【答案】D【解析】【分析】 由第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有9+5=14个边长为1的小正方形，第3个图形有9+5×2=19个边长为1的小正方形，…由此得出第n 个图形有9+5×（n-1）=5n+4个边长为1的小正方形，由此求得答案即可．【详解】解：第1个图形边长为1的小正方形有9个，第2个图形边长为1的小正方形有9+5=14个，第3个图形边长为1的小正方形有9+5×2=19个，…第n 个图形边长为1的小正方形有9+5×（n-1）=5n+4个，当5n+4=2019时，解得n=403所以第403个图形中边长为1的小正方形的个数为2019个．故选：D ．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．10．图为“L ”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（ ）A ．2ab c -B ．() ac b c c +-C ．() bc a c c +-D ．2ac bc c +-【答案】A【解析】【分析】 根据图形中的字母，可以表示出“L”型钢材的截面的面积，本题得以解决．【详解】解：由图可得，“L”型钢材的截面的面积为：ac+（b-c ）c=ac+bc-c 2，故选项B 、D 正确，或“L”型钢材的截面的面积为：bc+（a-c ）c=bc+ac-c 2，故选项C 正确，选项A 错误， 故选：A ．【点睛】本题考查整式运算的应用，解答本题的关键是理解题意，掌握基本运算法则，利用数形结合的思想解答．11．下列运算中，正确的是（ ）A ．236x x x ⋅=B ．333()ab a b =C ．33(2)6a a =D ．239-=-【答案】B【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则以及负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．【详解】x 2•x 3=x 5，故选项A 不合题意；（ab ）3=a 3b 3，故选项B 符合题意；（2a ）3=8a 6，故选项C 不合题意； 3−2＝19，故选项D 不合题意． 故选：B ．【点睛】 此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂的计算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．12．有两个正方形A ，B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A ，B 的面积之和为（ ）A ．7B ．12C ．13D ．25【答案】C【解析】【分析】 设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，根据图形列式整理得a 2＋b 2−2ab ＝1，2ab ＝12，求出a 2＋b 2即可．【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图甲得：a 2−b 2−2（a−b ）b ＝1，即a 2＋b 2−2ab ＝1，由图乙得：（a ＋b ）2−a 2−b 2＝12，即2ab ＝12，所以a 2＋b 2＝13，即正方形A ，B 的面积之和为13，故选：C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是根据图形列出算式．13．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ）A ．30B ．20C ．60D ．40【答案】A【解析】【分析】 设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，则2260x y -=，∵S 阴影=S △AEC +S △AED =11()()22x y x x y y -+-g g =1()()2x y x y -+g =221()2x y - =1602⨯ =30.故选A.【点睛】 此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.14．若代数式()212323a a xy xy -+-是五次二项式，则a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．3D ．3± 【答案】A【解析】根据多项式的次数与项数的定义解答.【详解】∵()212323a a x y xy -+-是五次二项式，∴2125a -+=，且20a +≠，解得a=2，故选：A.【点睛】此题考查多项式的次数与项数的定义，熟记定义是解题的关键.15．下列计算正确的是（）A ．4482a a a +=B ．236a a a •=C ．4312()a a =D ．623a a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式逐项判断，即可求解.【详解】A 、4442a a a +=，故错误；B 、235a a a •=，故错误；C 、4312()a a =，正确；D 、624a a a ÷=，故错误；故答案为：C.【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项的运算法则、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式.16．若55+55+55+55+55＝25n ，则n 的值为（ ）A ．10B ．6C ．5D ．3【答案】D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n ，∴55×5=52n ，则56=52n ，解得：n =3．故选D ．此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．17．计算（－2）2009+（－2）2010的结果是（ ）A ．22019B ．22009C ．－2D ．－22010【答案】B【解析】（－2）2009+（－2）2010=（－2）2009+（－2）2009+1=（－2）2009+（－2）2009×（－2）=（－2）2009×[1+（－2）]=－22009×（－1）=22009，故选B ．18．下列运算正确的是（ ）A ．426x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．236()x x =D ．222()x y x y -=-【答案】C【解析】试题分析：4x 与2x 不是同类项，不能合并，A 错误； 235x x x ⋅=，B 错误；236()x x =，C 正确；22()()x y x y x y -=+-，D 错误．故选C ．考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；因式分解-运用公式法．19．若x 2+2(m+1)x+25是一个完全平方式，那么m 的值（ ）A ．4 或-6B ．4C ．6 或4D ．-6【答案】A【解析】【详解】解：∵x 2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴△=b 2-4ac=0，即：[2（m+1）]2-4×25=0整理得，m 2+2m-24=0，解得m 1=4，m 2=-6，所以m 的值为4或-6．故选A.20．如图，是一块直径为2a ＋2b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为2a 、2b 的两个圆，则剩下的钢板的面积为（ ）A ．ab πB ．2ab πC ．3ab πD ．4ab π【答案】B【解析】【分析】剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积,利用圆的面积公式列出关系式,化简即可.【详解】解:S 剩下=S 大圆- 1S 小圆-2S 小圆 =2222a+2b 2a 2b --222πππ（）（）（） =()222a+b -a -b π⎡⎤⎣⎦=2ab π, 故选：B【点睛】此题考查了整式的混合运算,涉及的知识有:圆的面积公式,完全平方公式,去括号、 合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.。
全国各地初中数学专题大全《 恒等变换 》竞赛真题强化训练(附答案)
全国各地初中（九年级）数学竞赛专题大全竞赛专题3 恒等变换（竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）设71a =，则32312612a a a +--=（ ） A ．24B ．25C ．4710D ．7122．（2021·全国·九年级竞赛）已知22211148()34441004A =⨯+++---，则3A 的整数部分[]3A 是（ ）A ．72B ．73C ．74D ．753．（2021·全国·九年级竞赛）方程组621253256xy yz zxx y y z z x--===+++（ ）．A ．没有解B ．有1组解C ．有3组解D ．以上答案都不对 4．（2021·全国·九年级竞赛）已知2310a a -+=，则2294921a a a --++的值为（ ）． A ．3 B ．5 C ．35D ．655．（2021·全国·九年级竞赛）已知,,x y z 满足235x y z z x==-+，则5y 2x y z -+的值为（ ）．A ．1B ．13C ．13-D ．12二、填空题6．（2021·全国·九年级竞赛）已知,3737x y ==⎨⎢--⎣⎩，则2(17)x xy +=________． 7．（2021·全国·九年级竞赛）若实数,x y 满足333333331,134365456x y x y+=+=++++，则x y +=_____． 8．（2021·全国·九年级竞赛）已知整数a ，b ，c 满足不等式2224398a b c ab b c +≥++++，则a ，b ，c 分别等于_________．9．（2021·全国·九年级竞赛）设21x a =-是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则323a b ab ++=________． 10．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．11．（2021·全国·九年级竞赛）已知333421a =23331a a a++=______．12．（2021·全国·九年级竞赛）0)x a a a =>224848x x xx x x+++=+-+_________．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知2323573(2)2(2)(2)x x A B Cx x x x ++=++----，其中,,A B C 为常数，则2A B C ++=_________．14．（2021·全国·九年级竞赛）方程13217219211211215217292x x x xx x x x----+=+----的解是______．三、解答题15．（2021·全国·九年级竞赛）若0,0,0a b c >>>，则32()3()23a b a b c ab abc +++≤，等号成立当2ab c =． 16．（2021·全国·九年级竞赛）若0,0,0a b c >>>，证明： 31113a b c a b c++≥++．等号成立当且仅当a b c ==． 17．（2021·全国·九年级竞赛）解方程5615785x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 18．（2021·全国·九年级竞赛）已知123,,x x x 为实数且2221231236,18x x x x x x ++=++≤，证明： 04i x ≤≤()1,2,3i =．19．（2021·全国·九年级竞赛）若330,0,2a b a b >>+=，证明： 2a b +≤．20．（2021·全国·九年级竞赛）设0,0,0x y x y ≠≠+≠，证明：111x y x y+≠+．21．（2021·全国·九年级竞赛）已知0,0a b >>，并且1a b +=，证明：221125()()2a b a b +++≥．22．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意0,0a b ≥≥，不等式211()()24a b a b a b b a ++≥+23．（2021·全国·九年级竞赛）实数a ，b ，c 满足a b c ≤≤，且0,1ab bc ca abc ++==，求最大的实数k ，使不等式a b k c +≥恒成立．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，证明：对任意正数k 和正整数n ，数据12,,,n kx kx kx 的方差为22k s ．25．（2021·全国·九年级竞赛）设123123x y -++-==，求出222()2x y xy -+的值． 26．（2021·全国·九年级竞赛）设0,0,0a b c >>>且2221a b c ++=，证明：22233111a b c a b c ++≥---． 27．（2021·全国·九年级竞赛）3设a ，b ，c 是正数，且1abc =，证明： 111(1)(1)(1)1a b c b c a-+-+-+≤．28．（2021·全国·九年级竞赛）（1）设x 是实数，证明： [][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，（2）求22010201012010120101222222M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦之值29．（2021·全国·九年级竞赛）若0a >，且22220,a ab c bc a -+=>，试判定a ，b ，c 的大小关系．30．（2021·全国·九年级竞赛）试比较1111(1)13521x n n =+++++-与1111()242y n n=+++的大小． 31．（2021·全国·九年级竞赛）已知2341341231241234a a a a a a a a a a a a k a a a a ++++++++====，求k 的值． 32．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足a b c ≥>，且1a b c ++=，2221a b c ++=，求证：413a b <+< 33．（2021·全国·九年级竞赛）设1n >是正整数，证明：11113 (21224)n n n <+++<++ 34．（2021·全国·九年级竞赛）解方程222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．35．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22223223132231x x x x x x x x ++++=-+-+． 36．（2021·全国·九年级竞赛）求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3) (11)0k x k y k --+--=的图象恒过一定点．竞赛专题3 恒等变换答案解析（竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）设71a =，则32312612a a a +--=（ ） A ．24 B ．25 C ．4710 D ．712【答案】A 【详解】由71a =，得282762a a =--，故226a a +=．所以 ()3222312612326612a a a a a a a a +--=++-- 261212661224a a +-=⨯-==．2．（2021·全国·九年级竞赛）已知22211148()34441004A =⨯+++---，则3A 的整数部分[]3A 是（ ）A ．72B ．73C ．74D ．75【答案】B因211111()4(2)(2)422n n n n n ==---+-+， 所以11111111148()()()()415263798102A ⎡⎤=⨯-+-+-++-⎢⎥⎣⎦1111111112()123499*********=⨯+++----11125121001011021()99=-⨯+++． 若设111112()99100101102B =⨯+++，则4163312 1.59911B <⨯⨯=<，且4243312 1.410217B >⨯⨯=>，故375373.5A B =->，且375373.6A B =-<，所以[]373A =．故选B3．（2021·全国·九年级竞赛）方程组621253256xy yz zxx y y z z x --===+++（ ）．A ．没有解B ．有1组解C ．有3组解D ．以上答案都不对【答案】B 【详解】 解 原方程可化为253256162x y y z z xxy yz zx+++===--， 即1531561362y x z y x z+=--=--=． 设111,,632u v w x y z===，则 51,331,3012 1.v u w v u w +=⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩①②③ 4-⨯③②得30123u v -=，即1041u v -=．④ 4+⨯④①得305u =，故16u =， 代入④得11(101)46v u =-=， 代入②得11113362w v =--=--=-，从而1111,2,1632x y z u v w======-为原方程组唯一一组解．故选B ． 4．（2021·全国·九年级竞赛）已知2310a a -+=，则2294921a a a --++的值为（ ）． A ．3 B ．5 C ．35D ．65【答案】A依题目条件可知231,0a a a -=-≠，即13a a+=，即213a a +=，故原式2914(3)234(1)23()63333a a a a a a=--++=⨯--++=-+⨯=． 故选：A ．5．（2021·全国·九年级竞赛）已知,,x y z 满足235x y z z x==-+，则5y 2x y z -+的值为（ ）．A ．1B ．13C ．13-D ．12【答案】B 【详解】 设2351x y z z x k===-+，则2,3,5x k y z k z x k =-=+=，所以53,36z k x k y z k k =-==+=，于是5526412623123x y k k k y z k k k -⨯-===++⨯． 故选：B ． 二、填空题6．（2021·全国·九年级竞赛）已知,3737x y ==⎨⎢--⎣⎩，则2(17)x xy +=________． 【答案】10 【详解】 解 373737(37)(37)++=--+由24793=<=知372.53+<<， 所以2x =，于是37712237y +-===-因此，2271(17)2(17)24(71)10x xy -+=++⨯=+-=． 故填10．7．（2021·全国·九年级竞赛）若实数,x y 满足333333331,134365456x y x y+=+=++++，则x y +=_____． 【答案】432 【详解】解 因题目中条件去分母整理后可写为：()()()223323333346364460x y x y -+--⋅-+-⋅=，（()()()223323333546564460x y x y -+--⋅-+-⋅=，故依题目条件知33t =或35t =是关于t 的方程()()23333334664460t x y t x y -+---+-⋅=的两根．由韦达定理，得33333546x y +=+--， 所以33333456432x y +=+++=．8．（2021·全国·九年级竞赛）已知整数a ，b ，c 满足不等式2224398a b c ab b c +≥++++，则a ，b ，c 分别等于_________． 【答案】3，6，4． 【详解】解 由已知得2222()3(39)(816)044b b a ab bc c -++-++-+≤，即222()3(3)(4)022b b ac -+-+-≤，所以0,30,4022b ba c -=-=-=， 解得3,6,4a b c ===． 故应填3，6，4．9．（2021·全国·九年级竞赛）设21x a =-是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则323a b ab ++=________． 【答案】1 【详解】 因21,21,23,3221x x x x ==-=-<<-<-<--， 所以221,322,1a x b x a b =-==-=+=，因此33222223()()32()1a b ab a b a ab b ab a ab b a b =++=+-++=+++=． 故答案为：1．10．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________． 【答案】23x ≤≤ 【详解】由()2226923232(3)25x x x x x x x x x x --+=--=---=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．11．（2021·全国·九年级竞赛）已知333421a =23331a a a++=______．【答案】1 【详解】解：因23333333(21)(21)(2)21(2)11a ⎡⎤==-=⎣⎦，即3121a=，所以333233311(1)1(2)11a a a a++=+-=-=． 故答案为：1．12．（2021·全国·九年级竞赛）0)x a a a =>224848x x xx x x+++=+-+_________． 【答案】24a【详解】 解：因24(4x a a a a==+-，所以2448(8)(4)(4)x x x x a a a a+=+=+-++ 2222416()4816a a a a =+-=++-2221648()a a a a=+-=-． 240240x a a a a a a⇒≥⇒≥⇒-≥，所以22222444448284444844a a a a a a x x x a aa a x x x a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫++-++- ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭====⎛⎫+-+⎛⎫+-- ⎪+-- ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：24a ．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知2323573(2)2(2)(2)x x A B Cx x x x ++=++----，其中,,A B C 为常数，则2A B C ++=_________． 【答案】74 【详解】设2x y -=，即2x y =+，故22225735(2)7(2)35(44)(714)352737x x y y y y y y y ++=++++=+++++=++25(2)27(2)37x x =-+-+，于是232357352737(2)2(2)(2)x x x x x x ++=++----，与已知条件比较得5,27,37A B C ===，所以225273774A B C ++=⨯++=． 故答案为：74．14．（2021·全国·九年级竞赛）方程13217219211211215217292x x x xx x x x----+=+----的解是______．【答案】132x = 【详解】解 原方程化为2222111111215217292x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111111215217292x x x x +=+----，即111111292172152x x x x-=-----，通分得22(112)(92)(172)(152)x x x x --=----，去分母(172)(152)(112)(92)x x x x --=--， 即2225564499404x x x x -+=-+． 解之得132x =．经检验132x =是原方程的根． 故填132x =． 三、解答题15．（2021·全国·九年级竞赛）若0,0,0a b c >>>，则32()3()23a b a b c ab abc +++≤，等号成立当2ab c =． 【答案】见解析 【详解】证明 经去括号，移项整理知，要证不等式等价于： 332abc a c b ≤+ 而由3个正数的平均值不等式得33233c ab c ab ab c ab ab abc +=≥⋅⋅=．故原不等式成立．等号成立当且仅当2a c ab c b ⇔=16．（2021·全国·九年级竞赛）若0,0,0a b c >>>，证明： 31113a b c a b c++≥++．等号成立当且仅当a b c ==． 【答案】见解析．【详解】解 原不等式111()()9a b c a b c ⇔++++≥39b a c a c ba b a c b c⇔++++++≥．① 而2,22,22b a b a c a c a c b c b a b a b a c a c b c b c+≥⋅+≥⋅=+≥⋅故①成立．等号成立当且仅当a b c ==． 注： 3111a b c++称为三个正数a ，b ，c 的调和平均值．故本例的结论可写为3个正数的算术平均值不小于它们的调和平均值，等号成立当且仅当这3个正数都相等． ②本题可直接用算术平均值不小于几何平均值来证明：331111113a b c a b c abc++≥⋅⋅33a b c abc ++≤故3311311a b c abc k ++≥≥++． 17．（2021·全国·九年级竞赛）解方程5615785x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 【答案】715x =或45x =【详解】解 依题意知1575658x x -+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为整数． 设1575x m -= （m 为整数），即5715m x += 代入原方程得11014(5)85m m +⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ ，即103940m m +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故0m =或1，因此715x =或574155x +==． 综上所述，得原方程的解为715x =或45x =．18．（2021·全国·九年级竞赛）已知123,,x x x 为实数且2221231236,18x x x x x x ++=++≤，证明： 04i x ≤≤()1,2,3i =．【答案】见解析 【详解】证明 因为1236x x x +=-，设3312121266,2222x x x x x xx t t x t t --++=+=+=-=-，于是，由已知条件中第二个不等式得222222223333312666618()()2()22()2222+x x x x x x t t t x -----+=++-=≥≥， 即222333333362(6)36123(4)0x x x x x x --=-+-≥⇒≤，所以304x ≤≤．由对称性得1204,04x x ≤≤≤≤．注：①本题也可以用不等式22212121()2x x x x +≥+来证明：因为1236x x x +=-，于是222223121231118()(6)22x x x x x x -+≥+≥-≥，下面解法与前述相同．②例12和例13中的代换称为平均值代换．19．（2021·全国·九年级竞赛）若330,0,2a b a b >>+=，证明： 2a b +≤． 【答案】见解析 【详解】证明 设,a c t b c t =+=-，则2a b c +=．且由3333322()()2(3)a b c t c t c ct =+=++-=+，得3213c ct -=．因0,0a b >>，故1()02c a b =+>，故32130c ct -=≥，所以1c ≤，从而22a b c +=≤．注：本题也可利用不等式2()2a b ab +≤来证明：因0,0a b >>， 33332312()3()()3()()()24a b a b a b ab a b a b a b a b +=+=+-+≥+-+=+，即+≤3()8a b ，所以2a b +≤． 20．（2021·全国·九年级竞赛）设0,0,0x y x y ≠≠+≠，证明：111x y x y +≠+．【答案】见解析 【详解】证明 用反证法．若111x y x y +=+则去分母得()()y x y x x y xy +++=，即220x xy y ++=．将它作为x 的方程有实数根，故其判别式0≥，但222430y y y =-=-<，矛盾，所111x y x y+≠+． 21．（2021·全国·九年级竞赛）已知0,0a b >>，并且1a b +=，证明：221125()()2a b a b +++≥．【答案】见解析 【详解】证明 由222()(0,0)22x y x y x y ++≥>>得222221111111()()2()(1)(1)222a b a b a b a b a bab ab+++++++≥⋅=+=+ 又因21()24a b ab +≤=，所222111125()()(1)1224a b a b +++≥+=22．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意0,0a b ≥≥，不等式211()()24a b a b a b b a ++≥+【答案】见解析证明 原不等式等价于11()()(2)22a b a b ab a +++，而由0,0a b ≥≥，得1()2a b a +12a b a b ++≥事实上22111()()()()244a b a b a a b b ⎡⎤⎡⎤++-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2211()()022a b =+≥，所以12a b a b ++≥ 23．（2021·全国·九年级竞赛）实数a ，b ，c 满足a b c ≤≤，且0,1ab bc ca abc ++==，求最大的实数k ，使不等式a b k c +≥恒成立． 【答案】4 【详解】解 由a b c ≤≤及1abc =知a ，b ，c 都不等于0且0c >． 因为2110,0ab ab a b c c c=>+=-=-<，所以0a b ≤≤． （1）若a b =，则由2211,2a a c c ==-可求出32c =32a b ==3||224||a b c +=．（2）若a b ，则由韦达定理逆定理知a ，b 是一元二次方程22110x x c c++=的两个实根，所以 2211()4()0c c =-≥，即314c ≤， 于是21||()44||a b a b c c c +=-+=≥=． 当3322,a b c ===时， ,0a b c ab bc ca ≤≤++=及1abc =都满足，并且3||224||a b c += 故使不等式a b k c +≥成立的最大正实数4k =． 24．（2021·全国·九年级竞赛）已知数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，证明：对任意正数k 和正整数n ，数据12,,,n kx kx kx 的方差为22k s ．【答案】见解析 【详解】 因为12,,,n kx kx kx 的平均数为1212()nnkx kx kx x x x x k k x nn++++++'===，故12,,,n kx kx kx 的方差为()()()()(()22222222212121)n n k kx kx kx kx kx kx x x x x x x k s n n ⎡⎤⎡⎤-+-++-=-+-++-=⎣⎦⎣⎦25．（2021·全国·九年级竞赛）设123123x y -++-==，求出222()2x y xy -+的值． 【答案】14【详解】222()()1()1,32,44x y x y x y x y x y xy +----+=-===， 所以，原式2222()()()1()14444x y x y x y x y xy +----=+=+=．26．（2021·全国·九年级竞赛）设0,0,0a b c >>>且2221a b c ++=，证明： 22233111a b c a b c ++≥---． 【答案】见解析 【详解】证明注意到2221a b c ++=，原不等式等价于22222233(1)(1)(1)a b c a a b b c c ++≥---① 故要证①成立，只要证222(1)(1)(1)333333a ab bc c -≤-≤-≤而由平均值不等式有 22221(1)2(1)(1)2a a a a a ⎡⎤-=⋅-⋅-⎣⎦3222312(1)(1)12()232333a a a ⎡⎤+-+-⋅⋅⎢⎥⎣⎦． 同理22(1)(1)3333b bc c --≤①成立，从而原不等式成立．27．（2021·全国·九年级竞赛）3设a ，b ，c 是正数，且1abc =，证明： 111(1)(1)(1)1a b c b c a-+-+-+≤．【答案】见解析 【详解】证明 注意到1abc =，设,,x y za b c y z x=== （x ，y ，z 为正实数），则 原不等式(1)(1)(1)1x z y x z yy y z z x x⇔-+-+-+≤()()()x x y y x z z y x xyz ⇔+-+-+-≤．①设,,u x z y v y x z w z y x =+-=+-=+-，则0,0,0222u v v w w u x y z +++=>=>=>． 于是①()()()222u v v w uuvw ω+++⇔≤．② 不妨设x y z ≥≥，则0,0u v ≥≥．如果0w ≤，那么0()()()222u v v w v uvw ω+++≤<，不等式②成立； 如果0w >，又0,0u v >>，那么()()()()()()222u w w u uv v wu uvw ννω+++≥=即②成立． 28．（2021·全国·九年级竞赛）（1）设x 是实数，证明： [][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，（2）求22010201012010120101222222M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦之值【答案】（1）见解析；（2）2010 【详解】解 （1）设[]{}[],x n x x x α==-=，则01α≤<． 若102α≤<，则101,0212αα≤+<≤≤，于是 []112,2][22]222x x n n n n n x n n αα⎡⎤⎡⎤++=+++=+==+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦若112α≤<，则1111,12222αα≤<≤+<，于是 []11(1)21,2][22]2[1,22x x n n n n n x n n αα⎡⎤⎡⎤++=+++=++=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦综上所述，对任何实数x ， [][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立．（2）由（1）知[][]122x x x ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦令22010201020102010,,,222x =，再将各式相加得 []22320102010201020102010(2010)()()22222M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-+-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]200920102010201020102010()2010201002010222⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 注：从以上各例看出，求解有关[]x 及{}x 的问题的关键是： []x 及{}x 的定义和基本不等式[]{}1,01x x x x -<≤≤<．只要将[]x 及{}x 的定义与不等式结合起来进行计算和讨论，就能找到解决问题的途径．29．（2021·全国·九年级竞赛）若0a >，且22220,a ab c bc a -+=>，试判定a ，b ，c 的大小关系． 【答案】b c a >> 【详解】解 因为220,20a ab a c >=+>，所以0b >． 又因为20bc a >>，所以0c >．因为0a >，把2220a ab c -+=看成关于a 的一元二次方程．则 22(2)40b c =--≥，即22b c ≥．又因0,0b c >>，所以b c ≥．若b c =，则代入2bc a >及2220a ab c -+=得c a >及c a =，矛盾，所以b c >，故22b bc a >>，即b a >． 又由2222x a c ab a +=>，得22c a >，即c a >．所以b c a >>． 30．（2021·全国·九年级竞赛）试比较1111(1)13521x n n =+++++-与1111()242y n n=+++的大小． 【答案】x y > 【详解】 解 因为,1111111111111,,,()22345621222.,24n n n n=>>>>+++-⋯所以 11111()122321x n n ⎡⎤=++++⎢⎥+-⎣⎦11111111()()1242242n n n n ⎡⎤>+++++++⎢⎥+⎣⎦11111(1)()1242n n n ⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦11111()1242n n n n+=⨯++++ 1111()242y n n=+++=． 故x y >．31．（2021·全国·九年级竞赛）已知2341341231241234a a a a a a a a a a a a k a a a a ++++++++====，求k 的值． 【答案】若12340a a a a +++≠，3k =；若12340a a a a +++=，1k =-． 【详解】解：若12340a a a a +++≠，则由等比定理得()()()()2341341241231234a a a a a a a a a a a a k a a a a +++++++++++=+++123412343()3a a a a a a a a +++==+++；若12340a a a a +++=，即2341a a a a ++=-，则2341111a a a a k a a ++-===-． 32．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足a b c ≥>，且1a b c ++=，2221a b c ++=，求证：413a b <+< 【答案】见解析 【详解】证明 由1a b c ++=知要证不等式等价于103c -<<．由题设可得222222()()11,(1)(1)22a b a b a b c ab c c c c +-+⎡⎤+=-==---=-⎣⎦ 故a ，b 是一元二次方程22(1)0x c x c c --+-=的两个不相等的实根，故其判别数 222(1)4()321(31)(1)0c c c c c c c =---=-++=-+->， 解 得113c -<<．若0c ≥，则0,0,0a b c >>≥．又1a b c ++=，从而01,01,01a b c <<<<≤<，于是2221a b c a b c <++++=，矛盾，所以0c <． 故103c -<<，即413a b <+<．33．（2021·全国·九年级竞赛）设1n >是正整数，证明： 11113 (21224)n n n <+++<++ 【答案】见解析 【详解】证明 （1）先证左边不等式． 因为1n >，所以11111111,,...,,122221222n n n n n n n n>>>=++- 将上述n 个同向不等式相加得1111112222n n n n n +++>⋅=++（2）再证右边不等式．设0n k >≥，则 113112(1)(2)n n k n k n k n k ++=++-++-2312(1)()n n n k n k +=+++-2312n n n+<+213(1)33122(1)2n n n n n +=<+ 在这个不等式中令0,1,2,,1k n =⋯-，得113113113,,,1222212212n n n n n nn n n+<+<+<++-+ 上述n 个不等式相加得111332(...)12222n n n n n +++<⨯=++， ∴11131224n n n +++<++． 注：①利用和式中距首位两项等距离的项相加，并适当放大为一个与项数无关的式子，再将这些式子相加，这是证明和式不等式的一个常用技巧． ②由本题中不等式可得111111()121224n n n <++++<++，从而推出1111)12122n n n ⎡⎤++++=⎢⎥++⎣⎦对任意正整数n 成立（1n =的情形可直接验证， 1n >时可由前述不等式推出）．34．（2021·全国·九年级竞赛）解方程222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【答案】1,2345894,1x x x ±==-=- 【详解】解 设2234x x y x x +=+-，则原方程化为11112312y y +=， 即261140y y -+=， 即(34)(21)0y y --=， 3 4-2 1-1241,32y y ∴==．当143y =时，223443x x x x +=+-，整理得25160x x --=，21,2554(16)589x ±-⨯-±∴=当212y =时，223142x x x x +=+-，整理得2540x x ++=，即(4)(1)0x x ，344,1x x ∴=-=-．经检验，知原方程的根是1,2345894,1x x x ±=-=-． 35．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22223223132231x x x x x x x x ++++=-+-+． 【答案】121,0x x =-= 【详解】本题若直接去分母则计算量较大，我们应用合分比定理得()()()()()()()()2222222232322312313232231231x x x x x x x x xx x x xx x x +++-++++-+=++--+++--+，即2222133x x x x++=．① 当0x ≠时，去分母（方程两边乘3x ）得22221x x +=+， 解得1x =±，经检验1x =不是原方程的根，舍去． 又因为0x =不是①的根，但它是原方程的根，应补上． 所以，原方程的解是121;0x x =-=．36．（2021·全国·九年级竞赛）求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3) (11)0k x k y k --+--=的图象恒过一定点． 【答案】见解析 【详解】解法一 既然不论k 取何值，于是我们取1,2k k ==，得4100,3590,x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得2,3x y ==．而2,3x y ==时，(21)(3)(11)2(21)3(3)(11)0k x k y k k k k --+--=--+--=． 故直线(21)(3)(11)0k x k y k --+--=恒过定点(2,3)． 解法二 将(21)(3)(11)0k x k y k --+--=表示为(21)311x y k x y --=+-．①因为k 可取任何值，即关于k 的方程①有无穷多个解，故210,3110,x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得2,3.x y =⎧⎨=⎩因为(2,3)是①的解，故也满足原函数表达式，所以原函数恒过定点(2,3)．。
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边。 4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边
证它能达＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2 －2 n） ＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)
＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边 又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n 右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
幸遇•共勉：
思思
你见，或者不见我 我就在那里 不悲不喜
你念，或者不念我 课就在那里 不来不去
你爱，或者不爱我 有效期就在那里
不增不减 你跟，或者不跟我 我的手就在你手里
不舍不弃 来我的班里
或者 让我住进你的心里
大海，思思 寒假与你 再相聚
3.己知：a+b+c=0 求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2 4.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+3 5.己知：x＋y－z=0 求证： x3+8y3=z3－6xyz 6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c 7.己知：a∶b=b∶c 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
2020-2021学年初中数学竞赛精品讲座含试题答案
（20）
代数恒等式的证明
一、内容提要 证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意
运用乘法公式和等式的运算法则、性质。 具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论 的形式。
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n ∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc 证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)
∵:a+b+c=0 ∴a3+b3+c3－3abc＝0 即a3+b3+c3=3abc 又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c） 两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3） 移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc 再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得 （－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3
三、练习20 1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab ②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2 3 n 5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1) 2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b
1. ④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1) 注意右边有3 n-1 2. 左边－右边＝（a-b）2 3. ②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=…… 4. ∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入 5. 用z=x+2y代入右边 6. 用已知的（左－右）×2 7. 用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式 8. 在已知的等式两边都除以abc 9. 设三个比的比值为k, 10. (2x2-x-2)2 11. 用待定系数法
例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0 证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2 ， m,n是常数 那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2
a m2 b 2mn 根据恒等式的性质 得 c n 2 ∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0
11 11
8.己知：abc 0，ab+bc=2ac 求证： a b b c
x
y
z
9．己知： a b b c c a 求证：x+y+z=0
10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式
11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc
练习20参考答案：
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
1 b1 c1
例3 己知a+ b
c
a ,a b c 求证：a2b2c2=1
1 1 bc
bc
证明：由己知a-b= c b bc ∴bc= a b
1 1 ca
ca
ab
b-c= a c ca ∴ca= b c 同理ab= c a
ab bc ca
∴ab bc ca＝ c a a b b c ＝1 即a2b2c2=1