通项公式及其求和方法归纳

通项公式及其求和方法归纳
【递推公式求通项式】
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。

一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)
此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有
21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-K
将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++-K ，进而求解。

例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求
类似题型练习：已知}{n a 满足11=a ，)1(1
1+=
-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。

二、)(1n f a a n n ⋅=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1
()n n
a f n a +=，从而就有
32
121
(1),(2),,(1)n n a a a f f f n a a a -===-K K 将上述1n -个式子累乘，变成1(1)(2)(1)n a
f f f n a =⋅⋅⋅-K ，进而求解。

例2. 已知数列{}n a 中11123
,(2)321
n n n a a a n n --==⋅≥+，求数列{}n a 的通项公
式。

类似题型练习：在数列{}n a 中, n a >0,221112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .
提示：依题意分解因式可得11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+=，而n a >0,所以
1(1)0n n n a na ++-=，即11n n a n
a n +=+。

三、1n n a pa q +=+型数列
此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的
性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设1()
n n a m p a m ++=+，
展开整理1n n a pa pm m
+=+-，比较系数有pm m b -=，所以1
b m p =-，所以
1
n b
a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11
b a p +-。

二是用做差法直接构造，
1n n a pa q +=+，1n n a pa q -=+，两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-，所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。

例3. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。

类似题型练习：已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.
四．()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数） 此类数列可变形为
()111++++=n n n n n p n f p a p a ，则⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n p a 可用累加法求出，由此求得
n a .
例4已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .
例5．已知数列{}n a 满足111
1,2,21,.
2n n n a n a a n a -=≥=+-当时求
类似题型练习：
（1）已知{}n a 满足11122,2+++==n n n a a a ，求n a 。

（2）已知数列{}n a ，n S 表示其前n 项和，若满足231n n S a n n +=+-，求数列{}n a 的通项公式。

提示：（2）中利用111
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，把已知条件转化成递推式。

五、n
n n Aa a Ba C
=
+型数列（,,A B C 为非零常数） 这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1n n a pa q +=+型数列。

例6．已知数列{}n a 满足1122,2
n
n n a a a a +==+,求n a .
类似题型练习：数列{}n a 中，11112,22n n
n n n
a a a a +++⋅==+，求{}n a 的通项。

六.n n n qa pa a +=++12型数列（,p q 为常数）
这种类型的做法是用待定糸数法设()n n n n a a a a λχλ-=--=+112构造等比数列。

例7．数列{}n a 中，,3,221==a a 且()2,211≥∈+=++-n N n a a a n n n ，求n a .
类似题型练习：已知数列{}n a 满足， *1
1212,,2
n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝
. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；
(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

数列通项求法2 七、对数变换法 适用于
r
n
n pa a =+1(其中p,r 为常数)型 p>0，
>n a
例. 设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
1
2
1
2--=n n a
练习 数列
{}n a 中，11=a ，1
2
-=n n a a （n ≥2），求数列
{}n a 的通项公式.
答案：
n
n a --=22
22
2、对无穷递推数列
例 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。

八：形如1n n n a a b
a c a d
+⋅+=
⋅+
分析：递归函数为()a x b
f x c x d
⋅+=⋅+
（1）若有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ，再将两式相除得
11n n
n n a p a p
k a q a q
++--=⋅--，其中a pc
k a qc
-=
-，∴
1111
11()()
()()
n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=--- （2）若有两个相同的不动点p ，则将递归关系式两边减去不动点p ，然后用1除，得
111n n k a p a p +=+--，其中2c
k a d
=+。

例. 设数列{}n a 满足7
24
5,211++=
=+n n n a a a a ,求数列{}n a 的通项公式.
1
342341
1-⋅+⋅=--n n n a . 例 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。

11313
2()19
n n a -=
+-。

练习1：已知{}n a 满足1112
2,(2)21
n n n a a a n a --+==
≥+，求{}n a 的通项n a
答案：3(1)3(1)n n
n n n
a --∴=+-
练习2。

已知数列{}n a 满足*1121
2,()46
n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a 答案：135106
n n
a n -∴=
-
数列求和
一、利用常用求和公式求和
等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪
⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n
)1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(61
1
2++==∑=n n n k S n
k n
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列。

[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=… ② （设制错位）
①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
12
2
4-+-=n n n S
练习：
求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求证：n n
n n n n
n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设n n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序） 又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n
n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序
相加）
∴ n n n S 2)1(⋅+=
[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…
练习：求数列•••+•••),21
(,,813,412,211n
n 的前n 项和。

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
1
1
1)1(1+-=+=
n n n n a n
[例9] 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
[例10] 在数列{a n }中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
练习
例1：求下列数列的前n 项和：
123(3),,,,2482
n
n K
1111
(4),,,,
153759(21)(23)
n n ⨯⨯⨯-⨯+L 1111111(5)1,1,1,,(1)224242
n -+++++++L L
1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
(1)
n a n n =
+，则5?S =
{}?n n a a =
=1002.的通项则S
3．(2)21n n =-+-n n 数列{a }满足：a ，求前n 项和?=n S
4、若函数
(),1x f x x =
+求111(1)(2)(2008)()()()(1)?200820072
f f f f f f f ++++++++=L L 5.2222222212...9596979899100-++-+-+-=_______________. 6．已知数列{}n a 的通项公式为122-+=n a n n ,求前n 项和n s 。

7．求和：)13(2...1027242432+++++++++n n 8．已知)
1(2
+=n n a n ，求前n 项和n s 。

9．已知1
412-=n a n ,求其前前n 项和n s .
10.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n
n
n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n .。