高中数学选修1-2第三章课后习题解答
高中数学(苏教版,选修1-2) 第3章 章末总结 课时作业(含答案)
章末总结知识点一复数的基本概念复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．例1设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．知识点二复数的四则运算1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.2．在高考中，本章考查的热点是复数的运算，尤其是复数的乘除运算，其中渗透着复数的模，共轭复数等概念，熟练掌握运算法则，熟悉常见的结果是迅速求解的关键，一般以填空题的形式考查．例2已知z1＋i＝2＋i，则复数z＝__________.例3已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，求复数z.知识点三 复数问题实数化复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，依据是复数相等的充要条件．例4 设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )．求a 的取值范围．知识点四 复数的几何意义1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义．复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法．2．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．例5 在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA→对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i例6 已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？章末总结答案重点解读例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得m ＝3. ∴当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2. ∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ lg (m 2－2m －2)<0，m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2>0，得－1<m <1－3或1＋3<m <3.∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限． 例2 1－3i解析 ∵z 1＋i＝2＋i ， ∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.例3 解 设z ＝b i (b ∈R ，b ≠0)，则(z ＋2)2－8i ＝(2＋b i)2－8i ＝(4－b 2)＋(4b －8)i ，∵(z ＋2)2－8i 为纯虚数，∴4－b 2＝0且4b －8≠0.∴b ＝－2.∴z ＝－2i.例4 解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i.由(1)知，x <0，y >0，又z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )，故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 消去x ，整理，得4(y －1)2＝36－a 2，∵4(y －1)2≥0，∴36－a 2≥0，∴－6≤a ≤6.又2x ＝a ，而x <0，∴a <0，∴－6≤a <0.所以a 的取值范围为[－6,0)．例5 D [∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ，∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ，∴CA →对应的复数是－3－4i.]例6 解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2) 消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．。
2020北师大版高中数学选修1-2 课后习题：第三章 章末优化总结
章末检测(三) 推理与证明 (时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推出扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22C.lr 2D ．不可类比解析：由条件知S 扇＝12lr .答案：C2．给出下列推理：①由A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足||P A |－|PB ||＝2a <|AB |，得点P 的轨迹为双曲线； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为S ＝ab π；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 其中是归纳推理的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题意知只有②是归纳推理． 答案：B3．设f 0(x )＝cos x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N ＋)，则f 2 011(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x 解析：由条件知f 0(x )＝cos x ， f 1(x )＝－sin x ，f 2(x )＝－cos x ，f 3(x )＝sin x ，f 4(x )＝cos x ，…，故函数f (x )以4为周期循环出现，故f 2 011(x )＝sin x . 答案：A4．已知{}b n 为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{}a n 为等差数列，a 5＝2，则{}a n 的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29 B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29 C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9解析：等比数列中积的关系在等差数列中应为加，同理，等比数列中的乘方在等差数列中应为积． 答案：D5．奇数不能被2整除，32 010－1是奇数，所以32 010－1不能被2整除，上述推理( ) A ．正确B ．推理形式不正确C ．错误，因为大前提错误D ．错误，因为小前提错误解析：因为32 010－1是偶数，所以小前提错误． 答案：D6．n 个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2 009到2 011，箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→D ．→↓解析：观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2 009到2 011为→↑，故选B. 答案：B7．若0<a <1,0<b <1且a ≠b ，则在a ＋b,2ab ，a 2＋b 2和2ab 中最大的是( ) A ．a ＋b B ．2ab C ．a 2＋b 2D ．2ab解析：因为0<a <1,0<b <1且a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，又0<a <1,0<b <1，所以a 2<a ，b 2<b ，所以a 2＋b 2<a ＋b .答案：A8．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则数表中的数字2 010出现在( ) A ．第44行第75列 B ．第45行第75列 C ．第44行第74列D ．第45行第74列解析：第n 行有2n －1个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 010,2 025>2 010，∴2 010在第45行．又2 025－2 010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 010在第89－15＝74列，故选D. 答案：D9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小， 即比较0与12的大小，而0<12. 故P <Q 成立． 答案：C10．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]，k ＝1,2，…，则f 2 017(x )等于( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1D.1＋x 1－x解析：计算f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1，f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x 1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x 1－x ，k ∈N ＋，从而f 2 017(x )＝1＋x1－x .答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.解析：前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10×(91＋109)2＝1 000.答案：1 00012．根据前面的推理，在下表的空白处添加相应的结论.解析：设△ABC 的内切圆的半径为r ，圆心为O ，三边长分别为a 、b 、c ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形△OAB 、△OAC 、△OBC ，其面积和为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r .类似地，设三棱锥S -ABC 的内切球半径为R ，球心为O ，连接OS 、OA 、OB 、OC ，将三棱锥分割为四个小三棱锥O -SAB ，O -SAC ，O -SBC ，O -ABC ，其体积和为三棱锥S -ABC 的体积，则V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝13S 表R .答案：三棱锥的体积等于三棱锥的表面积与内切球半径的积的1313．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值为______．解析：∵a ≥0，b ≥0，∴a 1＋b 2＝22·2a 2·1＋b 2≤22·2a 2＋1＋b 22＝22×32＝324.答案：32414．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4 α－8cos 2 α＋1；③cos 6α＝32cos 6 α－48cos 4 α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1； ⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.解析：观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0. 对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50.∴m －n ＋p ＝962. 答案：962三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ca ≤13.证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 又∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴将以上三个不等式相加，得： 2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )． ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . ∴1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca≥ab ＋bc ＋ca ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝3(ab ＋bc ＋ca )， ∴ab ＋bc ＋ca ≤13.16．(10分)设{a n }是集合{2t ＋2s |0≤s <t ，且s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，….将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数； (2)求a 100.解析：(1)将前三行各数分别写成2t ＋2s 的形式： 第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22； 由此归纳猜想：第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23； 第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；第5行各数依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91个数．因此，a 100应当是第14行中的第9个数． 所以a 100＝214＋28＝16 640.17．(12分)已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解析：猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 18．(12分)设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，a ≠1)．(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明． 解析：(1)5＝3＋2，且 f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． 即g (3＋2)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． 于是猜测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )． 证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2.∴g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2.g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y2，所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y2＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝g (x ＋y )．即g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．。
高二下学期数学(人教版选修1-2)第三章3.1.1课时作业 Word版含答案
[学业水平训练]1．(2014·长春模拟)复数z ＝1－i 的虚部是( )A ．iB ．－iC ．－1D ．1解析：选C.z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中b 为虚部，故z ＝1－i 的虚部为－1.2．i 2 014的值为( )A ．1B ．iC ．－1D ．－i解析：选C.i 2 014＝(i 2)1 007＝(－1)1 007＝－1.3．(2014·新乡模拟)在复数范围内，i 为虚数单位，若实数x ，y 满足x ＋y ＋(x －y )i ＝2，则x －y 的值是( )A ．1B ．0C ．－2D ．－3解析：选B.实数x ，y 满足x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝0，可得x －y ＝0. 4．若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为( )A ．－12，－74B ．－12，74C.12，74D.12，－74解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝32x ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－12y ＝－74. 5．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2i D.2＋2i解析：选A.3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，故所求复数为3－3i.6．(2014·泸州模拟)已知i 是虚数单位，x ，y ∈R ，若x －3i ＝(8x －y )i ，则x ＋y ＝________.解析：由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，所以x ＋y ＝3. 答案：37．已知复数z ＝a ＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为________．解析：若z 为实数，则a 2－1＝0，得a ＝±1.答案：±18．下列命题中：①若m ，n ∈R 且m >n ，则m ＋i>n ＋i ；②两个虚数不能比较大小．其中正确的是________．解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，故①错误；②是正确的．答案：②9．已知x ，y ∈R ，(x ＋2y －1)＋(x －3y ＋4)i ＝10－5i ，求x ，y .解：因为x ，y ∈R ，所以(x ＋2y －1)，(x －3y ＋4)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝10，x －3y ＋4＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4. 所以x ＝3，y ＝4.10．实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2－4m －5)＋(m 2－5m )i 是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)复数z 为实数，则m 2－5m ＝0，解得m ＝0或m ＝5；(2)复数z 为虚数，则m 2－5m ≠0，解得m ≠0且m ≠5；(3)复数z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m －5＝0，m 2－5m ≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝5，m ≠0且m ≠5， ∴m ＝－1. [高考水平训练]1．已知关于x 的方程x 2＋mx ＋2＋(2x ＋2)i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B.由题意知n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝－1， ∴z ＝3－i.2．复数z ＝sin θ－1＋i(1－2cos θ)，且θ∈(0，π)，若z 是实数，则θ＝________.解析：若z 为实数，则1－2cos θ＝0，即cos θ＝12， 因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3. 答案：π33．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z <0，求实数k 的值．解：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，则z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )应为实数，即⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k <0，k 2－5k ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<k <3，k ＝2 或3， 即k ＝2.4．若复数(a ＋b －2)＋(m －2)i ＝0(a >0，b >0，m ∈R )，求mab 的最大值．解：由复数(a ＋b －2)＋(m －2)i ＝0， 根据复数相等的定义，只需要⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，m －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，m ＝2， 所以mab ＝2ab ≤2⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝2×1＝2，当且仅当a ＝b ＝1时，mab 取得最大值2.。
北师大版数学选修1-2练习(第3章)归纳推理(含答案)
归纳推理 同步练习【选择题】1、根据给出的数塔猜测79123456+⨯等于（ ） 11291=+⨯ 1113912=+⨯ 111149123=+⨯ 11111591234=+⨯ 1111116912345=+⨯A 、1 111 110B 、1 111 111C 、1 111 112D 、1 111 1132、有一个奇数列1，3，5，7，9……，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；等等，试观察每组内各数之和与其组的编号数n 有什么关系（ ）A 、等于2n B 、等于3n C 、等于4n D 、等于)1(+n n3、设数列}{n a 满足,2,...,3,2,1,1)1(121==+--=+a n a n a a n n n 通过求321,,a a a 猜想n a 的一个通项公式为 （ ）A 、n+1B 、nC 、n+2D 、n-1 【填空题】4、从1=1,1-4= - (1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16= - (1+2+3+4)……概括出第n 个式子为了_____________.5、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表。
观察表中数据的特点，用【解答题】6、已知数列}{n a ，其中,62=a 且n a a a a n n n n =+--+++1111（1）求321,,a a a .（2）求数列}{n a 的通项公式.7、用推理的形式表示等差数列1，3，5,……,(2n-1),…的前n 项和n S 的归纳过程.8、设,,41)(2+∈++=N n n n n f 计算)10(),...,4(),3(),2(),1(f f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用40=n 验证猜想的结论是否正确.参考答案1、B 2、B 3、A 4、)...321()1()1( (16941121)n n n n ++++-=-++-+-++5、140，856、(1) 28,15,1431===a a a(2)猜想)12(-=n n a n 7、2n S n = 8、解： 434111)1(2=++=f474122)2(2=++=f 534133)3(2=++=f 614144)4(2=++=f 714155)5(2=++=f 834166)6(2=++=f 974177)7(2=++=f 1134188)8(2=++=f 1314199)9(2=++=f 151411010)10(2=++=f由此猜想，n 为任何正整数时，+∈++=N n n n n f ,41)(2都是质数当n=40时，4141414040)40(2⨯=++=f ，所以)40(f 为合数，因此猜想的结论不正确。
高二数学人教选修1-2第3单元3-2-2复数代数形式的乘除运算课后练习及解析
a=-2. 答案:-2 4.(2016·青岛高二检测)若复数 z 满足(3-4i)z=4+3i,则|z|=________. 【解题指南】由已知利用复数代数形式的除法运算化简求得 z,然后直接利用复数模的公式 求解. 【解析】因为(3-4i)z=4+3i,
所以 z= =
= =i.
则|z|=1.
答案:1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
2.若 f(z)=2z+ -3i，f( +i)=6-3i，试求 f(-z). 【解题指南】设出 z=a+bi(a，b∈R)，根据复数相等的充要条件，列关于 a，b 的关系式求 出 a，b，即可求出 z，根据函数解析式可求 f(-z). 【解析】因为 f(z)=2z+ -3i，
所以 f( +i)=2( +i)+
7.(2015·重庆高考)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 ,则(a+bi)(a-bi)=
.
【解题指南】本题直接利用复数的模的概念及乘法运算求解即可.
【解析】因为复数 a+bi(a,b∈R)的模为 ,即 所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.
=,
答案:3
8.(2015 · 石 家 庄 高 二 检 测 ) 已 知 a,b ∈ R,i 是 虚 数 单 位 . 若 (a+i)(1+i)=bi, 则
A.-15 C.3
B.-3 D.15
【解析】选 B. =
=-1+3i=a+bi,所以 a=-1,b=3, 所以 ab=-3.
8.(2016·济南高二检测)设 x,y 为实数,且 + = ,则 x+y=________.
2020北师大版高中数学选修1-2 课后习题：第三章 归纳推理
[A 组 基础巩固]1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案：D2．已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于( ) A ．2n B.12n (n ＋1) C ．2n －1D ．2n －1解析：a 0＝1，a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2a 1＝2，a 3＝a 0＋a 1＋a 2＝2a 2＝4，a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＝8，….猜想当n ≥1时，a n ＝2n －1. 答案：C3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)．试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30解析：第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B. 答案：B4．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63D ．128解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 归纳可得：x ＝26＋1＝65.答案：B5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225D ．1 378解析：由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，若a 既是三角形数又是正方形数，则a ＋1为偶数，a 为奇数，故排除B 、D ；由n2(n ＋1)＝289＝17×17，知n ∉N ，所以排除A ，而1 225＝352＝35×35×22＝49×502＝1 225，满足题意，故选C. 答案：C6．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 解析：f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)>5＋22.答案：f (2n )>n ＋227．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．解析：由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝818．观察下列不等式：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为________．解析：归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1169．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…这就是斐波那契数列，此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，归纳出a n与a n－1间的递推关系式．解析：因为2＝1＋1,3＝1＋2；5＝2＋3,8＝3＋5，…，逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n∈N＋)．10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明． 解析：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2α·cos 240°－sin 2αsin 240°] ＝32－12[cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α]＝32＝右边 (将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32，sin 2(α－240°)＋sin 2(α－120°)＋sin 2α＝32等均正确．) [B 组 能力提升]1．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )解析：每行的各个方格中的白圈个数分别为9,8,7，排除B 项、D 项．黑圈按照依次向右，右边无圆圈则向下的顺序每次移动两格(下幅图中被消去的白圈不计算在移动格子内)，所以符合条件的只有C 项． 答案：C2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 的值为________．解析：5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，看出x －20＝12,47－x ＝15，∴x ＝32. 答案：323．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n＝2n.所以当n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n4．(1)如图(a)(b)(c)(d)为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．(2)(3)现已知某个平面图形有1 005个顶点，且围成了1 005个区域，试根据以上关系确定这个图形有多少条边．解析：(1)填表如下：(2)由该表可以看出，所给四个平面图形的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我们可以推断：任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数＋区域数－边数＝1.(3)由上面所给的关系，可知所求平面图形的边数． 边数＝顶点数＋区域数－1＝1 005＋1 005－1＝2 009.5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示，为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式； (3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解析：(1)f (5)＝41. (2)f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上述规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2) ＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n)，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )]＝1＋12(1－1n )＝32－12n .。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测(包含答案解析)
一、选择题1．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC-中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，则ABCS=（ ）A BC D 2．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④3．观察下列一组数据12a = 246a =+ 381012a =++ 414161820a =+++…则20a 从左到右第三个数是（ ） A ．380B ．382C ．384D ．3864．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，已知正整数m 经过6次运算后才得到1，则m 的值为（ ） A ．5或32B ．10C ．64D ．10或645．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====“穿墙术”，则n =（ ） A ．35B ．48C ．63D ．806．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此162564096.⨯=根据此表，推算51216384⨯=（ ）x1 2 3 4 5 6 7 8 9 102x y = 24 8 16 32 64 128 256 512 1024x1112 13 14 15 16 17 18 19 202x y = 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576x21222324252x y = 20971524194304 8388608 16777216 33554432A ．524288B ．8388608C ．16777216D ．335544327．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20188．将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i 行（从上向下）第j 个（从左向右）的数表示为ij a (),i j N*∈，例如3210a=.若2020ij a =，则i j -（ ）A ．21B ．22C ．23D ．259．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！” 丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 12．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.96二、填空题13．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .14．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是______.15．已知函数2()42(0)f x x x x =++≥，若1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，*n N ∈，则2020()f x 在[0,1]上的最大值为____________．16．对于大于1的自然数n 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，仿此，若3n 的“分裂数”中有一个是49，则n的值为________.17．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”则乙的卡片上的数字是______.18．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .19．甲、乙、丙三位同学被问到是参加了学校组织的A 、B 、C 三个活动兴趣小组时， 甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A 兴趣小组； 乙说：我没参加过B 兴趣小组； 丙说：我们三人参加了同一兴趣小组； 由此可判断乙参加的兴趣小组为__________．20．集合{}{},,1,2,3a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说2a ≠，乙说2b =，丙说3c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10010a b c ++=______. 三、解答题21．（1）用分析法证明：当0x ≥，0y ≥22y x y x +；（2）证明：对任意x ∈R ,131x x --+，2x x +，21x --这3个值至少有一个不小于0. 22．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且22n a n n=+． （1）试求出1S ， 2S ， 3S ， 4S ，并猜想n S 的表达式． （2）用数学归纳法证明你的猜想． 23．若10a >，11a ≠，12(1,2,)1nn na a n a +==+. （1）用反证法证明：1+≠n n a a ；（2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ；并用数学归纳法证明你的结论正确.24．已知()f x =,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 25．(Ⅰ) 比较下列两组实数的大小：－1与2； ② 2(Ⅱ) 类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明. 26．设n 个正数12,,,n a a a 满足*12(n a a a n N ≤≤≤∈且3)n ≥.（1）当3n =时，证明：233112123312a a a a a a a a a a a a ++++≥； （2）当4n =时，不等式2334124112343412a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你将其推广到n *(n N ∈且3)n ≥个正数12,,,n a a a 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，可得出结论. 【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，在以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，对应地，在三棱锥P ABC -中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，所以，2222123ABC S s s s =++△，即222123ABC S s s s =++△. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．2．A解析：A 【分析】由平行线的传递性可判断①；举特例，三棱锥的一个顶点处三条相交的棱所在的直线两两相垂可判断②；l 3不在l 1与l 2确定的平面内可判断③；结合空间中线与线的位置关系和平行线的性质可判断④． 【详解】①由平行线的传递性可知正确；②如图不妨设直线1l 是直线BD ,直线2l 是直线CD ,直线3l 是直线AD ,由图可得13l l ⊥,23l l ⊥，但是21l l ⊥，所以错误；③由于l 1与l 2相交，所以l 1与l 2可以确定一个平面，若l 3不在该平面内，则l 3与这两条直线都可以不相交，即错误；④由于l 3与l 1，l 2相交，所以这三条直线在同一个平面内，又l 1∥l 2，根据平行线的性质可知正确．所以成立的有①④． 故选：A ． 【点睛】本题考查类比推理、空间中线与线的位置关系，考查学生的空间立体感、空间想象能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第三个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的偶数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个偶数，所以20a 从左到右第一个数是第191个偶数，第n 个偶数为2n ， 所以第191个偶数为2191382⨯=，20a 从左到右第三个数为386. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．4．D解析：D 【分析】通过运算结果逐步倒推出m 的值即可. 【详解】根据题意，正整数m 经过6次运算后得到1，利用倒推思想推理如下：乘以2得2，减1再除以3得0（不符合题意），故正整数m 经过5次运算后得到2； 经同理推算，过4次运算后得到4；经过3次运算后得到8或1（不符合题意，舍去）； 经过2次运算后得到16； 经过1次运算后得到32或5； 所以正整数m 的值为64或10. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，进行逆向推理验证是解题关键，属于中档题.5．C解析：C 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可.【详解】因为======，==所以===63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．6．B解析：B 【解析】 【分析】先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解. 【详解】由上表可知：95122=，14163842=，即512，16384对应的幂指数分别为9，14，幂指数和为23，而23对应的幂为8388608，因此512163848388608⨯=． 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题.7．A解析：A 【分析】通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12n a n n +=由14254556,,22b b a a ⨯⨯==== 394109101011,22b b a a ⨯⨯==== …可得()215512k k k b --=所以()19510510112252b ⨯⨯⨯-==故选：A 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，8．D解析：D 【分析】分析题意，求出数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，即可判断出结果. 【详解】由题意知，这个数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +， 所以，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，所以20201980220ij a ==+⨯，即2020是第45行的第20个偶数，亦即2020这个数位于第45行第20个， 所以452025i j -=-=， 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列与推理能力与计算能力，属于基础题.9．B解析：B 【分析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可 【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多 故选：B 【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题10．B解析：B 【分析】不妨假设甲出的试卷，再检验四位老师说的话的真假，再用同样的方法逐一判断即可得解. 【详解】解：假设甲出的试卷，则甲、乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是甲， 假设乙出的试卷，则只有乙说了假话，与题设相符，故出卷的是乙， 假设丙出的试卷，则乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丙， 假设丁出的试卷，则丙、丁说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丁， 故选B. 【点睛】本题考查了简单的推理，重点考查了阅读理解能力，属基础题.11．C解析：C 【分析】根据反证法的知识判断A,B 两个选项说法正确，根据等比数列的知识判断C 选项错误.根据特称命题的否定是全称命题的知识判断D 选线说法正确. 【详解】对于A 选项，反证法假设时，假设“1x ≠或1y ≠”，说法正确.对于B 选项，假设,a b 两个都不大于1，即1,1a b ≤≤，则2a b +≤与已知矛盾，故假设不成立，原来说法正确.对于C ，假设等比数列公比为()0q q ≠，则()210y q =-⋅<，所以C 选项说法错误.对于D 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D 选项说法正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查反证法的知识，考查等比数列基本量以及项的正负关系，考查全称命题与特称命题互为否定等知识，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案． 【详解】由题设中的余弦公式得()()24620.20.20.20.2cos0.2112!4!6!2!nnn =-+-++-+0.040.00160.00006410.98224720=-+-+≈，【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．11【分析】由题意中1的个数比的个数多9则中2的个数比0的个数多9个其他都是1由此可设中有个1个0列方程组求解【详解】设中有个1个0因为所以的个数为又由解得故答案为：11【点睛】本题考查推理关键是认解析：11 【分析】 由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解． 【详解】 设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -，()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11． 【点睛】本题考查推理，关键是认识到12501,1,,1a a a +++是由1250,,,a a a 各加1得到的，因此数字的个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．14．丙【分析】用反证法来验证是否符合题意即可得出结果【详解】如果是甲当选了则乙是对的其余三人是错的故甲不能当选；如果是乙当选了则甲乙丁是对的丙是错的故乙不能当选；如果是并当选了则甲丙是对的乙丁是错的故丙解析：丙 【分析】用反证法来验证是否符合题意，即可得出结果. 【详解】如果是甲当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故甲不能当选； 如果是乙当选了，则甲乙丁是对的，丙是错的，故乙不能当选； 如果是并当选了，则甲丙是对的，乙丁是错的，故丙能当选； 如果是丁当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故丁不能当选. 故答案为：丙本题考查了反证法，考查了逻辑推理能力，属于一般题目.15．【分析】先求出且再求出且且依次类推即得解【详解】由题得函数在单调递增且所以在单调递增且所以且同理且同理且依次类推且故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质复合函数的单调性和函数最值的求法考 解析：2020232-【分析】先求出21max [()]32f x =-，且1()0f x >，再求出222max [()]32f x =-，且2()0f x >，323max [()]32f x =-，且3()0f x >，依次类推即得解.【详解】由题得函数2()42f x x x =++在[0,)+∞单调递增，且()0f x >，所以1()f x 在[0,1]单调递增，且1()0f x >，所以21max [()]142732f x =++==-，且1()0f x >，同理222max 1max [()][(())](7)7932f x f f x f ====-，且2()0f x >， 同理323max 2max [()][(())](79)32f x f f x f ===-，且3()0f x >， 依次类推，202022020max 2019max [()][(())]32f x f f x ==-，且2020()0f x >.故答案为：2020232-.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、复合函数的单调性和函数最值的求法，考查归纳推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．7【分析】n 每增加1则分裂的个数也增加1个易得是从3开始的第24个奇数利用等差数列求和公式即可得到【详解】从到共用去奇数个数为而是从3开始的第24个奇数当时从到共用去奇数个数为个当时从到共用去奇数个解析：7 【分析】n 每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得49是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到. 【详解】从32到3n 共用去奇数个数为(1)(2)232n n n -++++=，而49是从3开始的第24个奇数，当6n =时，从32到36共用去奇数个数为20个，当7n =时，从32到37共用去奇数个数为27个，所以7n =.故答案为：7 【点睛】本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.17．2和3【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3乙的卡片上的数字为2和3丙的卡片上的数字为1和2【详解】由题意可知丙不拿2和3若丙拿1和2则乙拿2和3甲拿1和3满足题意；若丙拿1和3则乙拿2和3解析：2和3 【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2． 【详解】由题意可知丙不拿2和3．若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故乙的卡片上的数字是2和3． 故答案为：2和3 【点睛】本题主要考查推理，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．18．【解析】【分析】通过观察前几个式子的变化规律总结规律即可得到答案【详解】根据题意第一个式子从1开始左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始有3项；第三个式子从3开始有5项于是可归纳出第n 个式子从n 开始 解析：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-【解析】 【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案. 【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开始，有21n -项，于是答案为：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-. 【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.19．【解析】分析：先判断乙只能参加一个小组根据甲不参加乙不参加以及三人参加了同一兴趣小组从而可得结论详解：甲参加的兴趣小组比乙多甲至少参加两个乙只能参加一个小组又甲不参加甲只能参加或又三人参加了同一小组 解析：C【解析】分析：先判断乙只能参加一个小组，根据甲不参加A ，乙不参加B ，以及三人参加了同一兴趣小组，从而可得结论. 详解：甲参加的兴趣小组比乙多，∴甲至少参加两个，乙只能参加一个小组，又甲不参加A ，∴甲只能参加B 或C ， 又三人参加了同一小组，乙不参加B ，∴三人共同参加的小组只有C ，而乙只能参加一个小组，∴乙参加的小组是C ，故答案为C .点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.20．231【分析】由题意经推理可得代入计算即可得解【详解】若甲正确则丙错误则此时故乙也正确与题设矛盾；若乙正确则甲错误此时与题设矛盾；若丙正确则甲错误此时符合题意所以此时故答案为：231【点睛】本题考查解析：231 【分析】由题意经推理可得2a =，3b =， 1c =，代入计算即可得解. 【详解】若甲正确，则丙错误，则3c =，此时1a =，2b =，故乙也正确，与题设矛盾； 若乙正确，则甲错误，此时2b =，2a =，与题设矛盾； 若丙正确，则甲错误，此时2a =，3b =， 1c =符合题意. 所以2a =，3b =， 1c =，此时10010231a b c ++=. 故答案为：231. 【点睛】本题考查了推理案例及其应用，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先移项，再平方去根式，再根据分析法写法得结论；（2）利用反证法进行证明，先假设，再三式相加，根据范围找到矛盾，否定假设，即得结果. 【详解】（1即证：22≥成立，即证：22x y x y ++≥+成立，0≥成立，因为0,0,x y ≥≥0≥，所以原不等式成立.（2）假设1231,,21x x x x x --++--这个3值都小于0，即12310,0,210x x x x x --+<+<--<则12320x x x -+-<，（*） 而()2112323110x x x x x --+-=+--≥.这与（*）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立. 【点睛】本题考查分析法与反证法，考查综合分析论证能力，属中档题. 22．(1) 11S =,243S =,332S =,485S =,21n n S n =+. （2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据22n a n n=+，求出1234,,,,a a a a ，从而可求出1S ，2S ，3S ，4S ，观察规律，可猜测21n n S n =+；（2）首先验证当1n =时，121111S ⨯==+，等式成立，然后假设当n k =时，等式成立，即21k kS k =+，只需证明当1n k =+时，()()112111k k k k S S a k +++=+=++即可.试题 （1）11212S a ===， 21224163S S a =+=+=， 323413362S S a =+=+=， 4343282105S S a =+=+=， 猜测21n nS n =+． （2）证明：当1n =时，121111S ⨯==+，等式成立， 假设当n k =时，等式成立，即21k kS k =+，则当1n k =+时，11k k k S S a ++=+()()222111k k k k =+++++ ()()22112k k k k =++++ 222112k k k k =+-+++ 222222k k k +=-=++ ()()2111k k +=++，即当1n k =+时，等式也成立， 故对一切*n N ∈，21n nS n =+． 23．(1)见解析(2) 11221n n n a --=+，【解析】试题分析：（1）采用反证法证明，先假设相等，代入已知的等式中即可求出n a 的值为常数0或1，进而得到此数列是0或1常数列，与已知110,1a a >≠矛盾，所以假设错误，故不相等；（2）由已知条件分别令1,2,3n =，能求出2345,,,a a a a 的值，并猜想11221--=+n n n a ，然后用数学归纳法进行证明. 试题(1)证明：假设1n n a a +=，即1nn na a a =+， 解得0n a = 或1n a = 从而-121====0n n a a a a =或-121====1n n a a a a = ，这与题设10a >或11a ≠ 相矛盾， 所以1n n a a +=不成立．故1n n a a +≠成立． (2)由题意得12345124816=,=,=,=,=,235917a a a a a ， 由此猜想：.证明：1.当=1n ，01021=212a =+，猜想成立2.假设当=n k 时，猜想成立，即112=21k k k a --+成立当=1n k +时，()()1111111112222221=212121121k k kk k k k kk k k a a a -+--+-+--+===+++++ ∴当=1n k +时，猜想也成立．由1和2知，对一切正整数n ，都有11221n n n a --=+成立．24．详见解析. 【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()f x =()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为3，根据结论的形式将()f x =可完成证明. 试题 由()f x =，得()()01f f +==,()()12f f -+== ()()233f f -+==. 归纳猜想一般性结论为 ()()1f x f x -++= 证明如下：()()1f x f x -++==x ===【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.25．（1）－1＞2（2）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)利用平方做差的方法比较两数的大小即可；(Ⅱ)利用题意，归纳推理得出更一般的结论：若n－试题(Ⅰ) 解法一：)2－(2+1)2－4＞0.2+11＞2.2－2－0.故2解法二：分子有理化，略(Ⅱ) 一般结论：若n或：函数()f x=在()0,+∞上单调递减；或：若正数,,,a b c d满足：,a b a c>>，且a d b c+=+，则<证明从略.26．(1)见解析.(2)见解析.【详解】试题分析：（1）由于123a aa与231a aa积为22a，所以利用基本不等式进行证明：23122312a aa aaa a+≥=，23313122a a a aaa a+≥，31121322a aa aaa a+≥，三式相加得2331121233122()2()a a a aa aa a aa a a++≥++，即233112123312a a a aa aa a aa a a++≥++（2）本题结构对称，易于归纳出23211112123412n n n n nnna a a a a a a aa aa a aa a a a a---+++++≥+++，用数学归纳法证明时的难点在于明确1n k=+时式子与n k=式子关系：其差为11111111212k k k k k k k kka a a a a a a a a aa a a a a-++-+++--，问题转化为证明111111111212k k k k k k k kkka a a a a a a a a aaa a a a a-++-++++--≥，这可利用作差，因式分解得证.试题（1）证明：因为n a （*N n ∈且3n ≥）均为正实数， 左—右=132323131212123231312111222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭132323131212123231312111222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⨯-+⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=0，所以，原不等式231312123123a a a a a a a a a a a a ++≥++成立． 4分 （2）归纳的不等式为：23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++≥+++（*N n ∈且3n ≥）． 5分记()23211112123412n n n n n n n n a a a a a a a a a a F a a a a a a a a ---=+++++-+++，当3n =（*N n ∈）时，由（1）知，不等式成立； 假设当n k =（*N k ∈且3k ≥）时，不等式成立，即()232111121234120k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a a a ---=+++++-+++≥．则当1n k =+时，()2321111112112134112k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a a ---+++++=++++++-++++=111111111212k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a -++-+++++--- 7分 =()11111112111k k k k k k k k a a F a a a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21111111101k k k k k k k a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫≥+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()11111k k k k k k k a a a a a a a a a +++⎛⎫+-+-⎪⎝⎭， 因为1k k a a +≥，112k k a a a a +≥，111112k k k k k k a a a aa a +++++++≤=， 所以10k F +≥，所以当1n k =+，不等式成立． 9分 综上所述，不等式（*N n ∈且3n ≥）成立． 10分考点：数学归纳法。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A．8种B．10种C．12种D．14种2．下列推理属于演绎推理的是（）A．由圆的性质可推出球的有关性质B．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电3．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．C作品B．D作品C．B作品D．A作品4．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人n 猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会5．“克拉茨猜想”又称“31上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，已知正整数m经过6次运算后才得到1，则m的值为（）A ．5或32B ．10C ．64D ．10或646．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A 12BC1 D．17．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）8．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学9．已知a ，b ，c ，R d ∈，且满足1a b +=，1c d +=，1ac bd +>，对于a ，b ，c ，d 四个数的判断，给出下列四个命题：①至少有一个数大于1；②至多有一个数大于1；③至少有一个数小于0；④至多有一个数小于0.其中真命题的是（ ） A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③10．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A ，B ，C ，每个探测器仅发回一张照片.甲说：照片A 是α发回的；乙说：β发回的照片不是A 就是B ；丙说：照片C 不是γ发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B 的探测器是（ ） A ．α B ．β C ．γD ．以上都有可能11．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．1211n n ；+-+B ．211n n -+；C ．21n n -；D ．121n n +-；12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．1378二、填空题13．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为()2r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.14．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲团队获得一等奖”；小王说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小李说：“丁团队获得一等奖”；小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是___． 15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是_______16．给出下列等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 由以上等式可推出一个一般结论：对于*n N ∈，()2314121++=12223212n n n n +⨯⨯+⨯⨯⨯+__________________．17．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2018次互换座位后，小兔的座位对应的编号为______________18．在平面几何中，若正方形ABCD 的内切圆面积为1,S 外接圆面积为2,S 则1212S S =，推广到立体几何中，若正方体1111ABCD A B C D -的内切球体积为1,V 外接球体积为2V ，则12V V =_______． 19．集合{}{},,1,2,3a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说2a ≠，乙说2b =，丙说3c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10010a b c ++=______.20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不等式20a bc x x++>的解集为_____. 三、解答题21．某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的:①1322+<;②2423+<;③3524+<.（1）已知2∈(1.41，1.42)， 3∈(1.73，1.74)， 5∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算．．．．．．．．)； （2）请将此规律推广至一般情形，并加以证明. 22．（1）求证：cot tan 2cot 2ααα=+（2）请利用（1）的结论证明：cot tan 2tan24cot 4αααα=++（3）请你把（2）的结论推到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明： （4）化简：tan52tan104tan208tan50︒+︒+︒+︒.23．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）22sin 10sin 70sin10sin 70︒+︒-︒︒ （2）22sin 20sin 80sin 20sin80︒+︒-︒︒ （3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒ （4）()()22sin 13sin 47sin 13sin 47-︒+︒--︒︒ （5）()()()()22sin78sin 18sin 78sin 18-︒+-︒--︒-︒（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论. 24．观察下列三角形数表记第n 行的第m 个数为(),(,)n m a n N m N +∈∈.（Ⅰ）分别写出()()4,23,2a a -，()()5,24,2a a -，()()6,25,2a a -值的大小；（Ⅱ）归纳出()(),21,2(2)n n a a n --≥的关系式，并求出(),2(1)n a n ≥关于n 的函数表达式.25．在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．26．已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin 5°cos 35°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34，sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，…，由此归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班； （7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.2．D解析：D【解析】选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理;180，归纳出所有三角形的内角和都是选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是0180,是归纳推理;选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理;选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演绎推理;故选D.3．C解析：C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.4．B解析：B【解析】A B C分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1试题分析：用,,个，语文成绩得B也最多只有1个，得C的最多只有1个，因此人数最多只有3人，显然(),(),()AC BB CA满足条件，故选B．考点：合情推理的应用．5．D解析：D【分析】通过运算结果逐步倒推出m的值即可.【详解】根据题意，正整数m经过6次运算后得到1，利用倒推思想推理如下：乘以2得2，减1再除以3得0（不符合题意），故正整数m经过5次运算后得到2；经同理推算，过4次运算后得到4；经过3次运算后得到8或1（不符合题意，舍去）； 经过2次运算后得到16； 经过1次运算后得到32或5； 所以正整数m 的值为64或10. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，进行逆向推理验证是解题关键，属于中档题.6．C解析：C 【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】 由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=， 即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 【点睛】 本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.7．D解析：D 【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案. 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ． 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.8．D解析：D 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.9．A解析：A 【分析】根据对a ，b ，c ，d 取特殊值，可得②，④不对，以及使用反证法，可得结果. 【详解】当2a c ==，1b d ==-时， 满足条件，故②，④为假命题； 假设,,,1a b c d ≤，由1a b +=，1c d +=，得0,,,1a b c d ≤≤， 则1()()a b c d ac bd ad bc =++=+++， 由1ac bd +>，111ad bc >++≥所以矛盾， 故①为真命题，同理③为真命题． 故选：A 【点睛】本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.10．A解析：A 【分析】结合题中条件，分别讨论甲对、乙对或丙对的情况，即可得出结果. 【详解】如果甲对，则β发回的照片是C ，故丙也对，不符合条件，故甲错误；如果乙对，则丙错误，故照片C 是γ发回的.得到照片A 是由β发回，照片B 是由α发回.符合逻辑，故照片B 是由α发回；如果丙对，则照片C 是由β发出，甲错误，可以推出α发出照片B ，γ发出照片A ，故照片B 是由α发出. 故选A 【点睛】本题主要考查推理分析，根据合情推理的思想，进行分析即可，属于常考题型.11．A解析：A 【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，根据勾股定理得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，如图（3），正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，…以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．故选A．【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．12．C解析：C【分析】记三角形数构成的数列为{}n a，计算可得()12nn na+=；易知2nb n=．据此确定复合题意的选项即可.【详解】记三角形数构成的数列为{}n a，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…， 易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】由合情推理中的类比推理由平面图形类比空间图形由二维到三维由面积到体积由圆到球即可得出结论【详解】三角形的面积类比为四面体的体积三角形的边长类比为四面体四个面的面积内切圆半径类比为内切球的半径 解析：()12343r S S S S +++【分析】由合情推理中的类比推理，由平面图形类比空间图形，由二维到三维，由面积到体积，由圆到球，即可得出结论. 【详解】三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13， 得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . 故答案为：()12343r S S S S +++【点睛】本题主要考查了合情推理中的类比推理，考查了推理，归纳能力，属于容易题．14．丁【解析】【分析】先阅读理解题意再逐一进行检验进行简单的合情推理即可【详解】若获得一等奖的团队是甲团队则小张小王小赵预测结果是对的与题设矛盾即假设错误若获得一等奖的团队是乙团队则小王预测结果是对的与解析：丁 【解析】 【分析】先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可． 【详解】①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误， ③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁 故答案为丁 【点睛】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题．15．【解析】试题分析：从表格可知第n 行的等差数列的首项为n 公差也为n 根据等差数列的通项公式其位于第n+1个数是n+(n-1)n=n+n2所以位于下表中的第n 行第n+1列的数是n+n2考点：等差数列的通项 解析：【解析】试题分析：从表格可知，第n 行的等差数列的首项为n ，公差也为n ，根据等差数列的通项公式，其位于第n+1个数是n+(n-1)n= n+n 2，所以位于下表中的第n 行第n+1列的数是n+n 2.考点：等差数列的通项公式，观察与归纳的能力.16．【分析】由已知中的三个式子我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势可以归纳出其通项为分析等式右边的式子发现每一个式了均为两项差的形式且被减数均为1减数为由此即可得到结论【详解】由已知中的等式：…由以上 解析：11(1)2nn -+【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为()2112n n n n +⨯+，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为()112n n +，由此即可得到结论．【详解】由已知中的等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯…由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于()()*2314121111222321212n n n n N n n n +∈⨯+⨯+⋯+⨯=-⨯⨯++， ．故答案为()1112n n -+．【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．17．2【解析】【分析】根据题意交换的规律是先前后再左右由图可以看出此交换的周期是4由此规律即可求解【详解】由图经过4次交换后每个小动物又回到了原来的位置故此变换的规律是周期为4因为所以经过2018次互换解析：2 【解析】 【分析】根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是4,由此规律即可求解. 【详解】由图，经过4次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，因为2018=4504+2⨯，所以经过2018次互换座位后，小兔对应的是编号2的位置. 【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为4的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.18．【分析】由面积比为半径比的平方体积比为半径的立方可得结果【详解】正方形的内切圆半径为外接圆半径为半径比面积比为半径比的平方类比正方正方体内切球半径为外接球半径为径比所以体积比是半径比的立方=填【点睛【分析】由面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果． 【详解】正方形ABCD 的内切圆半径为1r ,外接圆半径为2r，半径比12r r =平方1212S S =，类比正方正方体1111ABCD A B C D -内切球半径为1r ,外接球半径为2r ，径比12r r =12V V【点睛】立体几何中一个常见的猜想类比为面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果．19．231【分析】由题意经推理可得代入计算即可得解【详解】若甲正确则丙错误则此时故乙也正确与题设矛盾；若乙正确则甲错误此时与题设矛盾；若丙正确则甲错误此时符合题意所以此时故答案为：231【点睛】本题考查解析：231 【分析】由题意经推理可得2a =，3b =， 1c =，代入计算即可得解. 【详解】若甲正确，则丙错误，则3c =，此时1a =，2b =，故乙也正确，与题设矛盾； 若乙正确，则甲错误，此时2b =，2a =，与题设矛盾； 若丙正确，则甲错误，此时2a =，3b =， 1c =符合题意. 所以2a =，3b =， 1c =，此时10010231a b c ++=. 故答案为：231. 【点睛】本题考查了推理案例及其应用，属于中档题.20．【分析】关于的不等式可看成不等式中的用代入得来进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解【详解】若关于的不等式的解集为则关于的不等式看成不等式中的用代入得来则可得解得故答案为：【点睛】本题主解析：114⎛⎫⎪⎝⎭，. 【分析】关于x 的不等式20a b c x x ++>可看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解. 【详解】若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a bc x x++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来，则可得，114x<< 解得，114x <<. 故答案为：1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）若n ∈N *<. 【分析】（1）利用题目所给数据，验证正确性.（2）根据①②③，猜想若n ∈N *<成立. 【详解】（1）验证①式成立：∵，∴<2.74.∵，∴，∴<同理可验证②③正确.说明：若用分析法证明（不用近似计算），也认为是对的.（2）一般结论为:若n ∈N *< 证明如下：+<22<，即证 2244n n +++1n <+， 只需证2(2)21n n n n +<++，即证0<1，显然成立，< 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查不等式的证明方法（分析法），属于中档题. 22．（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）2211*cot tan 2tan 22tan 22tan 22cot 2,n n n n n N αααααα--=+++++∈，证明见解析（4）cot 5 【分析】（1）右边余切化正切后，利用二倍角的正切公式变形可证；（2）将（1）的结果变形为tan cot 2cot 2ααα=-，然后将所证等式的右边的正切化为余切即可得证；（3）根据（1）（2）的规律可得结果；（4）由（3）的结果可得. 【详解】（1）证明：因为2tan 2cot 2tan tan 2αααα+=+21tan tan 22tan ααα-=+⨯1tan tan tan ααα=+- cot α=，所以cot tan 2cot 2ααα=+ （2）因为cot tan 2cot 2ααα=+，所以tan 2tan 24cot 4ααα++cot 2cot 2αα=-+2(cot 22cot 4)4cot 4)ααα-+cot α=，所以cot tan 2tan24cot 4αααα=++ （3）一般地：2211*cot tan 2tan 22tan 22tan 22cot 2,n n n n n N αααααα--=+++++∈，证明：因为cot tan 2cot 2,ααα=+cot 2tan 22cot 4,ααα=+所以22cot tan 2tan 24cot 4tan 2tan 22cot 2ααααααα=++=++， 以此类推得2211*cot tan 2tan 22tan 22tan 22cot 2,n n n n n N αααααα--=+++++∈（4）tan52tan104tan208tan50︒+︒+︒+︒2233tan 52tan(25)2tan(25)2cot(25)=+⨯+⨯+⨯ cot 5=.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了同角公式，考查了二倍角的正切公式，属于中档题. 23．（Ⅰ）常数为34；（Ⅱ）详见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）选择（3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒可知常数为34. （Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为()()223sin sin 60sin sin 604αααα++︒-+︒=直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果． 详解： （Ⅰ）选择（3）∵22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒11142=+- 34=∴该常数为34（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为()()223sin sin 60sin sin 604αααα++︒-+︒=证明如下： 左边()()22sinsin 60sin sin 60αααα=++︒-+︒()()()2sin sin 60sin 60sin αααα=++︒+︒-21sin sin cos 22ααα⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 1sin cos sin 22ααα⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭22231sin cos sin 44ααα=+-2233sin cos 44αα=+ 34==右边 所以等式成立点睛：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．24．（1）见解析；（2）2(,2)21n a n n n N =+≥∈（且）.【解析】分析：（Ⅰ）直接根据三角形数表中的数值求解即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）观察共同规律，可得()(),21,221n n a a n --=-，利用累加法可得结果.详解：（Ⅰ）观察以上三角形数表可得：()4,2a - ()3,2a =7，()5,2a - ()4,2a =9，()6,2a -()5,2a =11.（Ⅱ）依题意()()(),21,2212n n a a n n --=-≥，()1,23a =,当2n ≥时，()()()()()()()()()()(),21,22,21,23,22,2,21,2...n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ，()()()23213357 (213122)n n n n +-=+++++-=+-=+，当1n =时，()1,23a =符合上式所求()2,221n a n n n N （且）=+≥∈. 点睛：本题主要考查归纳推理以及“累加法”的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.25．(1) 21(1)n n n a n c c -=-+()n *∈N (2)见解析【解析】试题分析：（1）()2101111a c c ==-+，()22221a c c =-+，()232331a c c =-+ 可归纳猜测()211n n n a n c c-=-+；（2）根据数学归纳法证明原理，01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立．02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+只需证明当1n k =+时，()21111k k k a k cc ++⎡⎤=+-+⎣⎦即可.. 试题(1) 由11a =，及()1121n n n a ca c n ++=++ ()*n N ∈得()22221321a ca c c c =+⋅=-+，()332221a ca c =+⨯+= ()()22321221c c c c ⎡⎤-++⨯+⎣⎦()23231c c =-+ 于是猜测: ()211n n n a n c c-=-+ ()*n N∈(2)下面用数学归纳法予以证明:01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立．02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+那么，当1n k =+时， 由()1121k k k a ca ck ++=++ ()211k k c k c c -⎡⎤=-+⎣⎦()121k c k +++ ()212k k k k c c +=++ ()2111k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦显然结论成立．由01、02知，对任何*n N ∈都有()211n n n a n c c -=-+ ()*n N∈26．sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34，证明详见解析． 【解析】 试题分析：利用题中所给算式的特点可归纳为：sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34，由三角函数的性质证明三角恒等式即可.试题sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝.证明如下：sin2θ＋cos2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝sin2θ＋2＋sin θ＝sin2θ＋cos2θ＋sin2θ－sin2θ＝.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．观察下列一组数据12a = 246a =+ 381012a =++ 414161820a =+++…则20a 从左到右第三个数是（ ） A ．380B ．382C ．384D ．3862．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．丙做对了B ．甲做对了C ．乙说对了D ．乙做对了3．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有2415a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于3b ，5b ，2b ，6b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．3526b b b b > B ．5623b b b b > C ．3526b b b b +<+D ．5623b b b b +<+4．在ABC △中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC △的外接圆半径r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R =（ ）A ．2B ．3C D 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=6．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.若令10x =，2π2x =，3πx =，请依据上述算法，估算2πsin 5的近似值是（ ） A ．2425B ．1725C ．1625D ．357．将正整数排列如下：则图中数2020出现在（ ） A ．第64行第3列 B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列8．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．5519．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9610．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年12．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法预测二、填空题13．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .14．已知集合22{|,}A m m x y x y ==-∈Z 、，将A 中的正整数从小到大排列为：1a ，2a ，3a ，…．若2015n a =，则正整数n =________．15．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同， 则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy 平面内，若函数1,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.图一 图二16．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.（1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对．17．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是________. 18．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________19．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 20．将正整数1，2，3，⋯按照如图的规律排列，则100应在第______列.三、解答题21．（1）用分析法证明：3725+<；（2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，满足()122nn n S a n S ++=≥，计算，1234,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式．22．用综合法或分析法证明： （1）如果 ,0a b >，则 lg lg lg22a b a b++≥； （2）610232+>+．23．如图1，已知PAB ∆中，PA PB ⊥，点P 在斜边AB 上的射影为点H .（Ⅰ）求证：222111PH PA PB =+； （Ⅱ）如图2，已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，点P 在底面ABC 内的射影为点H .类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥P ABC -中PH 与PA ，PB ，PC 的关系，并证明. 24．证明下列不等式：（1）当2a >时，求证：0>； （2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：4a b +≥. 25．证明：（Ⅰ）已知a b m 、、是正实数，且a b <.求证：a a mb b m+<+； （Ⅱ）已知a b c d R ∈、、、，且1a b +=，1c d +=，1ac bd +>.求证：a b c d 、、、中至少有一个是负数.26．设不等式2120x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈.（1）证明：111364a b +<； （2）比较14ab -与2a b -的大小，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第三个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的偶数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个偶数，所以20a 从左到右第一个数是第191个偶数，第n 个偶数为2n ， 所以第191个偶数为2191382⨯=，20a 从左到右第三个数为386. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．A解析：A 【分析】根据题意分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论． 【详解】假设甲做对了，则乙和丙都做错了，乙和丙说的都对了，这不合题意； 假设乙做对了，则甲和丙都说对了，也不合题意； 假设丙做对了，则甲说对了，乙和丙都说错了，符合题意． 所以，说对的是甲，做对的是丙． 故选：A ． 【点睛】本题考查了阅读理解能力以及逻辑思维能力的应用问题，是中档题．3．C解析：C 【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式及性质逐一计算判断即可. 【详解】在等比数列{}n b 中，0n b >，公比1q ≠，0q ∴>，即01q <<或1q >， 在A 中，3526b b b b =，故A 错误；在B 中，29561b b b q =，23231b b b q =，故当01q <<时，5623b b b b <，当1q >时5623b b b b >，故B 错误；在C 中，()3351b b b q q q+=+，()42611b b b q q +=+，而()()()()()()243332111110qq q q q q q q q +-+=---=-++>，得431qq q +>+，故3526b b b b +<+，故C 正确；在D 中，()45611b b b q q +=+，()2311b b b q q +=+，故当01q <<时，5623b b b b +<+，当1q >时5623b b b b +>+，故D 错误.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求. 【详解】四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，SA a =，SB b =，SC c =是一个顶点处的三条棱长.所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径2R =.故选A. 【点睛】本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论.5．C解析：C 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6．A解析：A 【分析】直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论． 【详解】解：函数()sin y f x x ==在0x =，π2x =，πx =处的函数值分别为 1(0)0y f ==，2π()12y f ==，3(π)0y f ==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--，故2222444()()2f x x x x x x πππππ=--=-+， 即2244sin x x x ππ≈-+，∴222424224sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查新定义问题，准确理解题目所给运算法则是解决本题的关键，属于中档题．7．B解析：B 【分析】根据题意，构造数列，利用数列求和推出2020的位置. 【详解】根据已知，第n 行有n 个数，设数列{}n a 为n 行数的数列，则n a n =， 即第1行有1个数，第2行有2个数，……，第n 行有n 个数， 所以，第1行到第n 行数的总个数()1122n n n S n +=+++=， 当63n =时，数的总个数()636363120162S ⨯+==， 所以，2020为64n =时的数，即64行的数为：2017，2018，2019，2020，……， 所以，2020为64行第4列. 故选：B. 【点睛】本题考查数列的应用，构造数列，利用数列知识求解很关键，属于中档题.8．C解析：C 【分析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有12m -个数，可求出前m 行共有21m -个数，根据以上特征，即可求解. 【详解】由题意可得该数阵中第m 行有12m -个数，所以前m 行共有21m -个数，所以前8行共255个数.因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行， 从左往右数的第20个数是()127512549+-⨯=. 故选:C. 【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前n 项和，认真审题，注意观察找出规律是解题的关键，属于中档题.9．B解析：B 【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案． 【详解】由题设中的余弦公式得()()24620.20.20.20.2cos0.2112!4!6!2!nnn =-+-++-+0.040.00160.00006410.98224720=-+-+≈，故答案为B 【点睛】 本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】根据已知信息：首先判断B 去过一个办公室，再确定B 去的哪一个办公室，得到答案. 【详解】C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室⇒ B 至少去过一个办公室A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室⇒A 去过2个办公室，B 去过1个办公室.B 说：我没去过丙办公室，C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室，A 没有去过乙办公室所以B 去的是甲办公室. 答案选A 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力. 11．C解析：C 【分析】按照题中规则依次从2019年列举到2026年，可得出答案． 【详解】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选C ． 【点睛】本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题．12．A解析：A 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次． 【详解】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名．因此，第三名是甲，故选A ． 【点睛】本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题．二、填空题13．11【分析】由题意中1的个数比的个数多9则中2的个数比0的个数多9个其他都是1由此可设中有个1个0列方程组求解【详解】设中有个1个0因为所以的个数为又由解得故答案为：11【点睛】本题考查推理关键是认解析：11 【分析】 由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解． 【详解】 设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -，()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11． 【点睛】本题考查推理，关键是认识到12501,1,,1a a a +++是由1250,,,a a a 各加1得到的，因此数字的个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．14．1511【分析】利用平方差公式分解后对分别研究即可得到集合中的所有正整数然后从小到大排列观察规律进而计数即可【详解】当时（表示奇数）当时（表示4个倍数）∴将中的正整数从小到大排列可得134578…（解析：1511【分析】利用平方差公式分解后，对1x y -=，2x y -=分别研究，即可得到集合中的所有正整数，然后从小到大排列，观察规律，进而计数即可.【详解】22()()m x y x y x y =-=-+，当1x y -=时，21m y =+（表示奇数），当2x y -=时，44m y =+（表示4个倍数），∴将A 中的正整数从小到大排列，可得1，3，4，5，7，8，…，（每4个正整数，保留3个），又201545033÷=，∴503321511n =⨯+=．【点睛】本题考查分类讨论思想，观察归纳思想，属探索性试题，难度较大.15．【分析】先利用定积分计算底面面积再用体积公式得到答案【详解】的图象与轴围城一个封闭的区域故答案为【点睛】本题考查了体积的计算意在考查学生解决问题的能力 解析：73【分析】先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案.【详解】[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A13221001217(1)(1)(1)10326A S x dx x x -=+-=+--=-⎰ 77263A V S h ==⨯= 故答案为73【点睛】 本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.16．③【分析】运用题目所给的条件进行合情推理即可得出结论【详解】若甲做对乙做对丙做对则题无人做对所以①错误；若甲做对乙做对丙做对则没有一个题被三个人都做对所以②错误做对的情况可分为这三种：三个人做对的都解析：③【分析】运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论.【详解】若甲做对A、B，乙做对A、B，丙做对A、B，则C题无人做对，所以①错误；若甲做对A、B，乙做对A、C，丙做对B、C，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误.做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法.故答案是：③.【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.17．乙【分析】根据乙丙；的说法是相互矛盾的得出乙与丙说法一对一错唉根据甲丁的说法都准确推出获奖的歌手是乙即可【详解】由题意乙与丙的说法是相互矛盾的所以乙与丙的说法中一对一错又甲说：是乙或丙获奖是正确；丁解析：乙【分析】根据乙丙；的说法是相互矛盾的，得出乙与丙说法一对一错，唉根据甲、丁的说法都准确，推出获奖的歌手是乙即可.【详解】由题意，乙与丙的说法是相互矛盾的，所以乙与丙的说法中一对一错，又甲说：“是乙或丙获奖”，是正确；丁说“是乙获奖”是正确，由此可知获奖的歌手是一，且乙说的也对.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用合情推理进行，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.18．A【解析】试题分析：由乙说：我没去过C城市则乙可能去过A城市或B 城市但甲说：我去过的城市比乙多但没去过B城市则乙只能是去过AB中的任一个再由丙说：我们三人去过同一城市则由此可判断乙去过的城市为A考点解析：A【解析】试题分析：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A考点：进行简单的合情推理19．B【分析】首先根据学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖故假设分别为一等奖然后判断甲乙丙丁四位同学的说法的正确性即可得出结果【详解】若A 为一等奖则甲丙丁的说法均错误不满足题意；若B 为一等奖则乙丙的说 解析：B【分析】首先根据“学校艺术节对A B C D 、、、四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A B C D 、、、分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．【详解】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B 获得一等奖．【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设A B C D 、、、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．20．【解析】分析：先找到数的分布规律求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数每一列的数字都是从大大小按排列的且每一列的数字个数等于列数继而求出答案详解：由排列的规律可得第n 列结束的时候排了个数每一列的数字 解析：【解析】分析：先找到数的分布规律，求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数，每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，继而求出答案．详解：由排列的规律可得，第n 列结束的时候排了()1123112n n n +++⋯+-=+个数． 每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，而第13列的第一个数字是()113131912⨯⨯+=，第14列的第一个数字是()1141411052⨯⨯+=， 故100应在第14列．故答案为：14点睛：此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题三、解答题21．(1)见证明；(2) 123S =-，234S =-；345S =-；456S =-；猜想12n n S n +=-+，n ∈+N ．【分析】（1）不等式两边先平方，然后逐步化简，直到不等式明显成立为止；（2）分别令n=1,2,3,4，求出1234,,,S S S S ，然后找规律猜想表达式。
2018-2019学年高二下学期数学(人教版选修1-2)第三章3.2.2课时作业 含答案
[学业水平训练]1．(2013·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i 解析：选C.(2＋i)(3＋i)＝6＋2i ＋3i －1＝5＋5i.2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)1＋2i (1－i )2＝()A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 解析：选B.1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－1＋12i.3．若复数z 满足z 1＋i ＝2i ，则z 对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵z 1＋i＝2i ，∴z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，故选B.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝()A.12 B.22C.32D ．2解析：选B.z ＝11＋i ＋i ＝1－i 1－i 2＋i ＝12－12i ＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝(12)2＋(12)2＝22.5．(2014·郑州质检)若复数z ＝2－i ，则z ＋5z 等于()A ．2－i B ．2＋i C ．4＋2i D ．6＋3i解析：选C.∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i.∴z ＋5z ＝2＋i ＋52－i ＝2＋i ＋2＋i ＝4＋2i.6．已知i 是虚数单位，则i 3(i ＋1)i －1＝________.解析：i 3(1＋i )i －1＝－i (1＋i )i －1＝1－i －(1－i )＝－1.答案：－17．已知z ＝(2－i)3，则z ·z ＝________.解析：z ·z ＝|z |2＝|(2－i)3|2＝(5)6＝125.答案：1258．若21－i ＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.解析：∵21－i ＝a ＋b i ，∴2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋b i ，即1＋i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋b ＝2.答案：29．(2014·廊坊高二检测)计算：(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i.解：因为(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i＝(i －2)(i －1)－2＋i＝i －1，－3－2i 2－3i ＝(－3－2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝－13i 13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使得az ＋2b z ＝(a ＋2z )2.解：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝[(a ＋2)＋2i]2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∵a ，b 都是实数．∴由az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，＋2b ＝a 2＋4a ，2b ＝4(a ＋21＝－21＝－12＝－4，2＝2.故所求实数为a 12，b 1＝－1或a 2＝－4，b 2＝2.[高考水平训练]1．设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6·…·i 12，则下列正确的是()A ．z 1＝z 2B ．z 1＝－z 2C ．z 1＝1＋z 2D ．z 2＝1＋z 1解析：选A.∵z 1＝i 4(1－i 9)1－i ＝i 4(1－i )1－i＝i 4＝1，z 2＝i 4＋5＋6＋7＋…＋12＝i 72＝1，∴z 1＝z 2.2．已知x ＝1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0的一个根(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.解析：把x ＝1＋2i 代入x 2－mx ＋2n ＝0中，。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(答案解析)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除； ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方； ③在数列{}n a 中，()111,312n n a a a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式； ④由“三角形内角和为180︒”得到结论:直角三角形内角和为180︒. A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④3．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品B ．D 作品C ．B 作品D ．A 作品4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有2415a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于3b ，5b ，2b ，6b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．3526b b b b > B ．5623b b b b > C ．3526b b b b +<+D ．5623b b b b +<+5．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（ ）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．0=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为08．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ）A ．49B ．43C ．07D ．019．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，127N =，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．910．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！” 丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。
高中人教选修一数学课本习题答案
高中人教选修一数学课本习题答案在高中数学的学习过程中，习题是检验学生对知识点掌握程度的重要手段。
以下是人教版高中数学选修一课本中的部分习题答案，供同学们参考：第一章：集合与函数习题1：集合的表示方法有两种，列举法和描述法。
例如，集合A={1, 2, 3}是列举法表示，而集合B={x | x是小于10的正整数}是描述法表示。
习题2：若集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。
习题3：函数f(x)=x^2+1在x=-1处的导数为2。
习题4：若f(x)=x^2，g(x)=3x+1，则复合函数f(g(x))=(x^2)(3x+1)。
第二章：三角函数与解三角形习题1：正弦定理：在三角形ABC中，a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为角A、B、C所对的边。
习题2：余弦定理：在三角形ABC中，c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC。
习题3：若sinA = 3/5，且A在第一象限，则cosA = 4/5。
习题4：在三角形ABC中，若a=7，b=5，c=6，且cosC = 1/2，则角C=60°。
第三章：不等式习题1：解不等式x^2 - 4x + 4 ≤ 0，解集为[2, 2]。
习题2：若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则不等式ax + b > 0的解集为x < -b/a。
习题3：证明不等式：对于任意正数a、b，有a + b ≥ 2√(ab)。
习题4：若x > 0，y > 0，且x + y = 1，则x^2 + y^2 ≥ 1/2。
第四章：数列习题1：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
习题2：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
习题3：若等差数列的前n项和为S，首项为a1，公差为d，则S = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
(好题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(有答案解析)
一、选择题1．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（ ）A ．381B ．361C ．362D ．4002．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．在ABC △中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC △的外接圆半径22a b r +=，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R =（ ）A ．222a b c ++B ．222a b c ++C ．3333a b c ++D ．3abc5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13786．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则2019=（ ）A ．(24,36)B ．(28,42)C ．(32,49)D ．(36,24)7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证23b ac a -<”索的因应是（ ）A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()>0)(a b a c --D ．()<0)(a b a c --8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=⨯大吕黄钟太簇()23⨯大吕黄钟夹钟()23⨯太簇黄钟夹钟{}n a 中，k a =（ ）A ．11n k n n a a --+⋅B ．11n k n n a a --+⋅C ．111n k k n a a ---⋅D ．111k n k n a a ---⋅9．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π10．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。
数学选修1-2课本答案
统计图表
统计图表是展示数据的重要工具，如柱状图、折线图、饼图等，它们能够直观地展示数据的分布和变化趋势。
统计初步
离散型随机变量定义
01
离散型随机变量是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，如投掷一枚骰子出现的点数。
离散型随机变量概率分布
02
离散型随机变量的概率分布可以通过列举所有可能的结果和对应的概率来描述，如二项分布、泊松分布等。
01
02
03
04
集合论初步
函数与映射
函数定义：函数是数学上的一种对应关系，对于每个输入值x，有唯一输出值y与之对应。函数的定义域和值域都是实数集。
第二章答案
02
概率初步
概率定义
概率是描述随机事件发生可能性的数学量，其值在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率计算
集合的运算
集合的基本运算包括并集、交集、差集等。并集表示两个集合所有元素的集合；交集表示两个集合共有的元素组成的集合；差集表示属于第一个集合但不属于第二个集合的元素组成的集合。
集合的性质
集合具有无序性、互异性、确定性等性质。无序性指集合中元素的顺序不影响集合的性质；互异性指集合中元素不重复；确定性指每个元素是否属于某个集合是确定的。
定积分具有线性性质、可加性、积分区间的可分割性和区间再现性质。
通过微积分基本定理，可以将定积分转化为不定积分进行计算。
03
02
01
定积分
THANKS
离散型随机变量期望和方差
03
离散型随机变量的期望值是所有可能结果的概率加权和，方差则是各个结果与期望值的偏差的平方的平均值。期望值和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)
一、选择题1．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ）A ．()()()21232n n n n n ++++++-=B ．()()()21231n n n n n ++++++-=C ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=-2．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到33312?50+++=（ ）A ．1205B ．1225C ．1245D ．12753．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．丙做对了B ．甲做对了C ．乙说对了D ．乙做对了4．已知a ，b ，c ，R d ∈，且满足1a b +=，1c d +=，1ac bd +>，对于a ，b ，c ，d 四个数的判断，给出下列四个命题：①至少有一个数大于1；②至多有一个数大于1；③至少有一个数小于0；④至多有一个数小于0.其中真命题的是（ ） A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③5．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()f n 个小正方形，则()f n 的表达式为（ ）A ．()21f n n =-B ．2()2f n n =C ．2()22f n n n=-D ．2()221f n n n =-+6．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！” 丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．设F 为椭圆的左焦点，A 为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴上的一个顶点，当72AB FB=时，该椭圆的离心率为12，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（）A ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72AB FB =时，该双曲线的离心率为2 B ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72AB FB =时，该双曲线的离心率为4 C ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72FB AB =时，该双曲线的离心率为2 D ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72FB AB =时，该双曲线的离心率为4 8．已知222233+=，333388+=，44441515+=，⋅⋅⋅，若66n nm m+=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A ．40B ．41C ．42D ．439．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC 内任意一点，那么D 到三角形三边的距离之和是定值32a .若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）A 3B 6C 6aD 3 11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年12．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数,棱数与面数存在一定的数量关系. 凸多面体 顶点数 棱数 面数 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱锥 6 10 6 六棱锥712712个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ） A ．14B ．16C ．18D ．20二、填空题13．新教材人教B 版必修第二册课后习题：“求证方程345x x x +=只有一个解”.证明如下：“化为34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()34155x xf x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在R 上单调递减，且()20f =，所以原方程只有一个解2x =”.解题思想是转化为函数.类比上述思想，不等式()()362832322x x x x -+>+-的解集是__________.14．若ij a 表示n n ⨯阶矩阵12910254381124567122316151413221718192021nn a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭中第i 行第j 列的元素（,1,2,3,,i j n =⋅⋅⋅）．若200ij a =，则(,)i j =_______________．15．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______。
(好题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，当1n a -为偶数时12n n a a -=，当1n a -为奇数时131n n a a -=+，则数列{}n a 中必存在值为1的项.若51a =，则0a 的所有不同值的个数为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．82．天干地支纪年法源于中国，包含十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，……依此类推．已知一个“甲子”为60年，即天干地支纪年法的一个周期，1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（ ） A ．己申年B ．己酉年C ．庚酉年D ．庚申年3．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．1211n n ；+-+B ．211n n -+；C ．21n n -；D ．121n n +-；5．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此162564096.⨯=根据此表，推算51216384⨯=（ ）x1 2 3 4 5 6 7 8 9 102x y = 24 8 16 32 64 128 256 512 1024x1112 13 14 15 16 17 18 19 202x y = 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576x21222324252x y = 20971524194304 8388608 16777216 33554432A ．524288B ．8388608C ．16777216D ．335544326．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( ) A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩 D ．乙､丁可以知道自己的成绩7．将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i 行（从上向下）第j 个（从左向右）的数表示为ij a (),i j N*∈，例如3210a=.若2020ij a =，则i j -（ ）A ．21B ．22C ．23D ．258．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了9．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 是不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A1 B1 CD11．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁12．用反证法证明命题：“若,a b ∈R ，且220a b +=，则a ，b 全为0”时，要做的假设是（ ）A ．0a ≠且0b ≠B ．a ，b 不全为0C ．a ，b 中至少有一个为0D ．a ，b 中只有一个为0二、填空题13．关于圆周率π，祖冲之的贡献有二：①3.1415926 3.1415927π<<；②用227作为约率，355113作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：111223.14159265333170.0625135770.14159265=+≈+≈+=+，舍去0.0625135，得到逼近π的一个有理数为122377+=化为连分数形式：1111m n k r++++（m ，n ，k 为正整数，r 为0到1之间的无理数），舍去r的一个有理数为__________. 14．把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：111351111791113111115172729⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(),A t s ，则()11,4A =________. 15．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.（1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对．16．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是________.17．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．18．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =__________．19．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”() Chinese triangle ，如图A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．20．已知111()1......23f n n=++++,(n ∈+N )经计算得()()35(2),42,822f f f =>>,()()7163,322f f >>，由此可推得一般性结论为______________．三、解答题21．67225+＞ 22．等差数列{}n a 的前n 项和为1312932n S a S ==+，，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 23．如图1，已知PAB ∆中，PA PB ⊥，点P 在斜边AB 上的射影为点H .（Ⅰ）求证：222111PH PA PB =+； （Ⅱ）如图2，已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，点P 在底面ABC 内的射影为点H .类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥P ABC -中PH 与PA ，PB ，PC 的关系，并证明.24．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且22n a n n=+． （1）试求出1S ， 2S ， 3S ， 4S ，并猜想n S 的表达式． （2）用数学归纳法证明你的猜想．25．设非等腰ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，用分析法证明：11a bc b3a bc.26．(Ⅰ) 比较下列两组实数的大小：2－1与23； ② 2365 (Ⅱ) 类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用51a =出发，按照规则，逆向逐项即可求解0a 的所有可能的取值. 【详解】如果按照规则施行变换后51a =， 则变换中的4=2a ，若变换中的4=2a ，则变换中的3=4a ， 若变换中的3=4a ，则变换中的2a 是1或8，若变换中的2=8a ，则1=16a ，0=32a 或者0=5a ； 若变换中的2=1a ，则1=2a ，则04a =， 则0a 的所有可能的取值为4，5，32共3个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.2．B解析：B 【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案． 【详解】解：天干是以10为公差构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80108÷=，则2029的天干为己， 80126÷=余8，则2029的地支为酉，故选：B ． 【点睛】本题考查了学生合情推理的能力，涉及等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．3．B解析：B 【分析】求出2021为第1011个正奇数，再根据题中的规则分析组数的规律可得答案. 【详解】正奇数数列1,3,5,7,9...的通项公式为21,n a n =- 则2021为第1011个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，共20251010⨯=个数，共2022404⨯=组. 故原数列中的2021位于分组序列中第405组 故选：B. 【点睛】本题考查了与数列有关的推理问题，需要分析数字的总数，再分析组数.属中档题.4．A解析：A 【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1，第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1． 【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3， 如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a ，b ，c ， 根据勾股定理得a 2+b 2＝c 2，即正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1， 所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1， 第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，如图（3），正方形E 的面积+正方形F 的面积＝正方形A 的面积， 正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形B 的面积，正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1， 所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1， …以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1， 第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1． 故选A ．【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．5．B解析：B 【解析】 【分析】先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解. 【详解】由上表可知：95122=，14163842=，即512，16384对应的幂指数分别为9，14，幂指数和为23，而23对应的幂为8388608，因此512163848388608⨯=． 故选B ．【点睛】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题.6．B解析：B 【分析】根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好，接下来，由上一步的结论，当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，同理，当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，从而选出答案. 【详解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好；当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道丙和丁的成绩； 当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是丁不知道甲和乙的成绩； 综上，只有B 选项符合. 故选：B . 【点睛】本题是一道逻辑推理题，此类题目的推理方法是综合法和分析法，逐条分析题目条件语句即可，属于中等题.7．D解析：D 【分析】分析题意，求出数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，即可判断出结果. 【详解】由题意知，这个数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +， 所以，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，所以20201980220ij a ==+⨯，即2020是第45行的第20个偶数，亦即2020这个数位于第45行第20个， 所以452025i j -=-=， 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列与推理能力与计算能力，属于基础题.8．B解析：B【分析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项.【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾.故选：B.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.9．B解析：B【分析】根据题意，找出一个各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4的数组，再根据此条件判断出（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”．【详解】根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，假设a1＜a2，a1＜a3，a1＜a4，a1＜a5，且后一项都比前一项小，因此可以判断出a2＞a3，a3＞a4，a4＞a5，则（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”是6，故选：B．【点睛】本题主要考查归纳推理、不等式的性质，考查了学生的理解能力及分析问题解决问题的能力，属于中档题．10．B解析：B【解析】【分析】设()112122...t t=>+++，可得12tt=+，求解即可.【详解】设()112122...t t=>+++，则12tt=+，即2210t t+-=，解得1t=，取1t=.故选B.【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.11．B解析：B【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁猜对比赛结果，逐一判断得到答案.【详解】假设甲猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设乙猜对比赛：3号得第一名，正确假设丙猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设丁猜对比赛：则观众甲和丙中有一人正确，矛盾故答案选B【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.12．B解析：B【解析】【分析】根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项.【详解】根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a，b全为0的否定是a，b不全为0，故选B.【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.二、填空题13．【分析】利用题中的定义以及类比推理直接进行求解即可【详解】舍去得到逼近的一个有理数为故答案为：【点睛】本题考查了类比推理解题的关键是理解题中的定义属于基础题解析：17 12.【分析】利用题中的定义以及类比推理直接进行求解即可.1111)11111122=+=+=+=+=+++1的一个有理数为11711122122+=++.故答案为：1712【点睛】本题考查了类比推理，解题的关键是理解题中的定义，属于基础题.14．【分析】第行有个数知每行数的个数成等比数列要求先要求出就必须求出前行一共出现了多少个数根据等比数列的求和公式可求而由可知每一行数的分母成等差数列可求出令即可求出【详解】由第行有个数可知每一行数的个数 解析：12053【分析】第k 行有12k -个数知每行数的个数成等比数列，要求(),A t s ，先要求出(),1A t ，就必须求出前1t -行一共出现了多少个数，根据等比数列的求和公式可求，而由121n -可知，每一行数的分母成等差数列，可求出(),A t s ，令11t =，4s =即可求出()11,4A .【详解】由第k 行有12k -个数，可知每一行数的个数成等比数列，首项是1，公比是2， 所以，前1t -行共有()111122112t t --⨯-=--个数，所以，第t 行第一个数为()111,122121t tA t -==⋅--， ()()11,2121223t t A t s s s ∴==-+-+-，因此，()111111,422432053A ==+⨯-. 故答案为：12053. 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数阵的应用，同时要找出数阵的规律，考查推理能力，属于中等题.15．③【分析】运用题目所给的条件进行合情推理即可得出结论【详解】若甲做对乙做对丙做对则题无人做对所以①错误；若甲做对乙做对丙做对则没有一个题被三个人都做对所以②错误做对的情况可分为这三种：三个人做对的都【分析】运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论.【详解】若甲做对A、B，乙做对A、B，丙做对A、B，则C题无人做对，所以①错误；若甲做对A、B，乙做对A、C，丙做对B、C，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误.做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法.故答案是：③.【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.16．乙【分析】根据乙丙；的说法是相互矛盾的得出乙与丙说法一对一错唉根据甲丁的说法都准确推出获奖的歌手是乙即可【详解】由题意乙与丙的说法是相互矛盾的所以乙与丙的说法中一对一错又甲说：是乙或丙获奖是正确；丁解析：乙【分析】根据乙丙；的说法是相互矛盾的，得出乙与丙说法一对一错，唉根据甲、丁的说法都准确，推出获奖的歌手是乙即可.【详解】由题意，乙与丙的说法是相互矛盾的，所以乙与丙的说法中一对一错，又甲说：“是乙或丙获奖”，是正确；丁说“是乙获奖”是正确，由此可知获奖的歌手是一，且乙说的也对.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用合情推理进行，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.17．乙【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满足题意不满足排除【详解】解：先假设甲说的对即甲或乙申请了但申请人只有一个如果是甲则乙说丙申请了就是错的丙说甲和丁解析：乙【分析】.然后再逐个去判断其他三个人的说法.最后看是否满先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的足题意，不满足排除．【详解】.但申请人只有一个，解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了()1如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请().2如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁.满足题意． 故答案为乙． 【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．18．【解析】【分析】根据递推关系利用叠加法求结果【详解】因为所以【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)比较(比较已知数列)归纳转化(转化为特殊数列)联想(联想常见的数列)等方法 解析：271【解析】 【分析】根据递推关系16(1)n n a a n +-=-，利用叠加法求结果 【详解】因为16(1)n n a a n +-=-， 所以1010998211=()()()6[981]1271.a a a a a a a a -+-++-+=++++=【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.19．【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形并从三解数阵中找出行与行之间数的关系探究规律并其表示出来详解：类比观察得将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数而相邻解析：111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+ 【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来． 详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数111n C +， 而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子111r r r n n n C C C ++++=，有111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+． 故答案为111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+． 点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．20．【解析】分析：根据已知中的等式：我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系归纳推断后即可得到答案详解：观察已知中等式：得f （4）＞2f （16）＞3…则f （2n ）≥（n ∈N*）故答案为：f （2n ）解析：2(2)2nn f +≥【解析】分析：根据已知中的等式：()()()352,42,822f f f =>>,()()7163,322f f >>我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案． 详解：观察已知中等式：得 ()322f =， f （4）＞2，()582f >， f （16）＞3， …， 则f （2n ）≥22n +（n ∈N *） 故答案为：f （2n ）≥22n +（n ∈N *） 点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.三、解答题21．证明见解析 【分析】用分析法证明即可得出结论成立. 【详解】>只需证(22>成立；即证1313+>+成立；>即证4240>成立， 因为4240>成立， 所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查不等式的证明，分析法是一种常用的方法，逐步推出结论的充分条件，直到得到显然成立的结论即可，属于基础题型.22．（Ⅰ）21(n n a n S n n =-=；（Ⅱ）见解析. 【详解】（Ⅰ）由已知得111{339a a d =+=+，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得nn S b n n== 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2((q p r =++．2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，20{20q pr q p r -=∴--=，，22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列． 23．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）先分析得到PA PB AB PH ⋅=，再由勾股定理得到22222PA PB PA PB PH ⋅+=，再化简即得222111PH PA PB =+.( Ⅱ)先类比猜想得到猜想：22221111PH PA PB PC =++.再利用（Ⅰ）的结论证明22221111PH PA PB PC =++. 详解：（Ⅰ）由条件得，1122PA PB AB PH ⋅=⋅，所以PA PB AB PH⋅=， 由勾股定理，222PA PB AB +=，所以22222PA PB PA PB PH ⋅+=， 所以 2222222111PA PB PH PA PB PA PB+==+⋅. （Ⅱ）猜想：22221111PH PA PB PC =++. 证明如下：连接AH 延长交BC 于M 点，连接PM ， 因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=点，所以PA ⊥平面PBC ，又PM ⊂平面PBC ，得PA PM ⊥， PH ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则PH AM ⊥.在直角三角形APM 中，由（Ⅰ）中结论，222111PH PA PM=+. PA ⊥平面PBC ，则PA BC ⊥，又PH ⊥平面ABC ，所以PH BC ⊥， 而PH PA P ⋂=点，PH ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面APM ，BC PM ⊥.又PB PC ⊥，由（Ⅰ）中结论，得222111PM PC PB =+. 所以22221111PH PA PB PC =++.点睛：（1）本题主要考查几何证明和类比推理及其证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键有两个，其一是连接AH 延长交BC 于M 点，连接PM ，证明222111PH PA PM =+，其二是证明222111,PM PC PB=+都用到第1问的结论.24．(1) 11S =,243S =,332S =,485S =,21n n S n =+. （2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据22n a n n=+，求出1234,,,,a a a a ，从而可求出1S ，2S ，3S ，4S ，观察规律，可猜测21n n S n =+；（2）首先验证当1n =时，121111S ⨯==+，等式成立，然后假设当n k =时，等式成立，即21k kS k =+，只需证明当1n k =+时，()()112111k k k k S S a k +++=+=++即可.试题（1）11212S a ===， 21224163S S a =+=+=， 323413362S S a =+=+=， 4343282105S S a =+=+=， 猜测21n nS n =+． （2）证明：当1n =时，121111S ⨯==+，等式成立， 假设当n k =时，等式成立，即21k kS k =+， 则当1n k =+时，11k k k S S a ++=+()()222111k k k k =+++++ ()()22112k k k k =++++ 222112k k k k =+-+++ 222222k k k +=-=++ ()()2111k k +=++，即当1n k =+时，等式也成立， 故对一切*n N ∈，21n nS n =+． 25．见解析 【解析】【试题分析】运用分析法将11a b c b +-- 3a b c =⇔-+ ()()2a c b a b c b +-=-- 3a b c⇔-+ ()2a c b +- ()a b c -+ ()()3a b c b =--⇔ ()2a c b +-- ()b a c b +-=()23ac b bc ab +--⇔ 222b ac ac =+-⇔ 2221cos 22a cb B ac +-==60B A ⇔=︒⇔、B 、C 成等差数列进行逐步逆向推证：试题11a b c b +-- 3a b c =⇔-+ ()()2a c b a b c b +-=-- 3a b c⇔-+ ()2a c b +- ()a b c -+ ()()3a b c b =--⇔ ()2a cb +-- ()b ac b +-= ()23ac b bc ab +--⇔222b ac ac =+-⇔ 2221cos 22a cb B ac +-== 60B A ⇔=︒⇔、B 、C 成等差数列，故结论成立.26．（1）－1＞2（2）见解析 【解析】 试题分析：(Ⅰ)利用平方做差的方法比较两数的大小即可；(Ⅱ)利用题意，归纳推理得出更一般的结论：若n －试题 (Ⅰ) 解法一：)2－(2+1)2－4＞0.2+11＞2.2－2－0.故2 解法二：分子有理化，略(Ⅱ) 一般结论：若n或：函数()f x =在()0,+∞上单调递减；或：若正数,,,a b c d 满足：,a b a c >>，且a d b c +=+，则<证明从略.。
2019-2020学年人教A版高中数学选修1-2习题：第三章3.1-3.1.2复数的几何意义Word版含答案
A 级 基础巩固
一、选择题
1．复数 z 与它的模相等的充要条件是 (
)
A．z 为纯虚数
B． z 是实数
C．z 是正实数
D． z 是非负实数
解析：显然 z 是非负实数．
答案： D
2．在复平面内，复数 6＋5i ，－ 2＋ 3i 对应的点分别为 A， B. 若 C 为线段 AB的中点，则点 C 对应的复
答案：－ 1＋ 3i
8．已知复数 z1＝ a＋bi( a， b∈ R)，z2＝－ 1＋ ai ，若 | z1|<| z2| ，则实数 b 满足的条件是 ________．
解析：由 | z1|<| z2| ，
得 a2＋b2< a2＋1，所以 b2<1，解之得－ 1<b<1.
答案：－ 1<b<1
三、解答题 9．实数 a 取什么值时，复平面内表示复数
x－ x2＋y2＝－1， y＝1.
x＝0，
解得
所以 z＝ i.
y＝1，
法二：由已知可得 z＝ (| z| － 1) ＋ i ，
等式两边取模，得 | z| ＝ （|z| －1）2＋12.
两边平方，得
|
z|
2
＝|
z|
2
－
2|
z|
＋ 1＋ 1?
| z| ＝ 1.
把 | z| ＝ 1 代入原方程，可得 z＝ i.
解得－ 2<a<1.
a2－3a＋2>0，
故满足条件的实数 a 的取值范围为 ( － 2， 1) ． (2) 由点 Z 位于直线 y＝ x 上得 a2 ＋a－ 2＝ a2－ 3a＋2，解得 a＝ 1.
2021-2022学年人教A版高中数学选修1-2：第三章 章末复习课 Word版含答案
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提示]1．复数代数形式为z＝a＋b i，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必需先将复数化成代数形式．2．复数表示各类数的前提条件是必需是代数形式z＝a＋b i(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，留意虚数与纯虚数的区分．3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不肯定成立，|z2|≠z2.5．复数与平面对量相联系时，必需是以原点为始点的向量．6．不全为实数的两个复数不能比较大小．7．复平面的虚轴包括原点．专题一复数的概念解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋y i(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．[例1] (1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．(2)满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点有________．解析：(1)由于(1＋i)(1－b i)＝a(a，b∈R)，则1＋b＋i(1－b)＝a，因此⎩⎪⎨⎪⎧1＋b＝a，1－b＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝1.所以ab＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x－3＝0，9y2－6y＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x＝3或－1，y＝13，所以点(x，y)为⎝⎛⎭⎪⎫3，13，⎝⎛⎭⎪⎫－1，13.答案：(1)2 (2)2个归纳升华1．当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类争辩，分别确定什么状况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋y i没有说明x，y∈R时，也要分状况争辩．2．复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，体现了转化与化归的思想．[变式训练] 设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a的值为( )A．2 B．－2 C．－12D.12解析：1＋a i2－i＝（1＋a i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝2－a＋（2a＋1）i5，由于该复数为纯虚数，所以2－a＝0，且2a＋1≠0，因此a＝2.答案：A专题二复数的四则运算及几何意义历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，娴熟把握复数的乘法法则和除法法则，生疏常见的结论是快速精确求解的关键．复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行．[例2] (1)设z＝11＋i＋i＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i1＋i2，则|z|＝________．(2)在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：①点A所在的象限；②向量AB→对应的复数．(1)解析：由于11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋i 2. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2i 22＝(－i)2＝－1.所以z ＝12＋i 2－1＝－12＋i 2.因此|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 答案：22(2)解：①z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以z 的共轭复数＝1－i ， 所以点A (1，－1)位于第四象限． ②又点A ，B 关于原点O 对称．由于点B 的坐标为B (－1，1)，则z B ＝－1＋i所以向量AB →对应的复数为z B －z A ＝(－1＋i)－(1－i)＝－2＋2i. 归纳升华复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要留意下面结论的应用：(1)(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2.(2)(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2. (3)(1±i)2＝±2i.(4)1i ＝－i.(5)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(6)a ＋b i ＝i(b －a i)．[变式训练] 设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R)，若z －1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．解：依题意得z －1＋z 2为实数，又z －1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，所以z －1＋z 2＝3a ＋5＋21－a＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i 的虚部为0，则a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又a ＋5≠0，所以a ＝3.此时z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i.所以OZ 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，OZ 2→＝(－1，1)．所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋1×1＝58.专题三 共轭复数与复数的模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z |＝1⇔z ＝.(2)z ∈R ⇔＝z .(3)z ≠0，z 为纯虚数⇔＝－z . [例3] 已知z －1z ＋1为纯虚数，且(z ＋1)( ＋1)＝|z |2，求复数z . 解：由(z ＋1)( ＋1)＝|z |2⇒z ＋z ＝－1.① 由于z －1z ＋1为纯虚数， 所以z －1z ＋1＋＝0⇒z ·－1＝0.②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，代入①②得a ＝－12，a 2＋b 2＝1.所以a ＝－12，b ＝±32.所以z ＝－12±32i.归纳升华 共轭复数的性质(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z －⇔z ∈R ，利用这共性质可证明一个复数为实数．(3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用这共性质，可证明一个复数为纯虚数． [变式训练] (1)复数z ＝3＋3＋4i 4－3i，则z －等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．4＋iD ．4－i(2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45解析：(1)z ＝3＋3＋4i 4－3i ＝3＋（3＋4i ）（4＋3i ）（4－3i ）（4＋3i ）＝3＋25i25＝3＋i ， 因此z －＝3－i.(2)由于(3－4i)z ＝|4＋3i|＝5，所以z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i ，因此z 的虚部为45.答案：(1)B (2)D 专题四 数形结合思想复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来争辩代数问题．娴熟把握复平面内的点、以原点为起点的平面对量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．[例4] 已知复数z 的模为1，求|z －1－2i|的最大值和最小值． 解：由于复数z 的模为1，所以z 在复平面上的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上．又|z －1－2i|＝|z －(1＋2i)|可以看成圆上的点Z 到点A (1，2)的距离，如图所示．所以|z －1－2i|min ＝|AB |＝|OA |－|OB |＝5－1， |z －1－2i|max ＝|AC |＝|OA |＋|OC |＝5＋1. 归纳升华1．复数的几何意义主要体现在以下三个方面：(1)复数z 与复平面内的点Z 及向量OZ →的一一对应关系； (2)复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系； (3)复数z ＝z 0模的几何意义． 2．复数中数形结合的主要应用：(1)复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化．(2)利用|z －z 0|推断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求|z |的最值． [变式训练] 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.解析：设O 为坐标原点，点A ，B ，C 对应的复数分别为z 1，z 2，z 1＋z 2. 由于|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|＝2， 所以∠OAC ＝60°，所以四边形OBCA 是边长为2的菱形， 所以∠AOB ＝120°.则|AB |＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos 120°＝22＋22＋2×2×2×12＝2 3.又BA →＝OA →－OB →对应复数z 1－z 2， 所以|z 1－z 2|＝|BA →|＝|AB |＝2 3.。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(答案解析)
一、选择题1．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ）A ．()()()21232n n n n n ++++++-=B ．()()()21231n n n n n ++++++-=C ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=-2．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a ，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ） A ．aB ．5a C ．223a D ．6a 3．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（ ）A ．381B ．361C ．362D ．4004．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则57S ＝（ ）A ．265B ．521C ．1034D ．20595．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====“穿墙术”，则n =（ ） A ．35B ．48C ．63D ．807．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！” 丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ） A ．《数学史选讲》B ．《球面上的几何》C ．《对称与群》D ．《矩阵与变换》9．下列说法中正确的个数是（ ）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．410．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，则2AB BD BC =⋅.拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在BCD ∆内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）A ．2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ B ．2ABD BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ C ．2ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅ D ．2BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅11．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2D ．至少有一个不小于212．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC 内任意一点，那么D 到三角形三边.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）A B C a D 二、填空题13．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为()2r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.14．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a 2＋b 2＝c 2(a ，b ，c ∈N *)，把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是________． 15．在Rt ABC ∆中，若90,,C AC b BC a ∠=︒==，斜边AB 上的高位h ，则有结论22222a b h a b=+，运用此类比的方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为,,a b c 且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论__________．16．已知111()123f n n=++++.经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______. 17．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是_______18．给出下列等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 由以上等式可推出一个一般结论：对于*n N ∈，()2314121++=12223212n n n n +⨯⨯+⨯⨯⨯+__________________．19．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2018次互换座位后，小兔的座位对应的编号为______________20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不等式20a bc x x++>的解集为_____. 三、解答题21．67225+＞ 22．已知函数()3211333f x x x x =-+-.（1）计算()()02f f +､()()13f f -+､1322f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数()f x 的一般结论，并证明这个结论； （3）若实数0x 满足()()0ff x x =，求证：()00f x x=.23．若0<<3a ，03b <<，03c <<，求证：()3a b -，()3b c -，()3c a -不可能同时大于94. 24．已知两个正数x y ，，证明：这两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数，并指出何时相等. 25．已知,,(0,)a b c ∈+∞. 求证：4a b +，9b c +，16c a+中至少有一个不小于6. 26．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈ （1）求2a ，3a ，4a ，5a ；（2）归纳猜想出通项公式n a ，并且用数学归纳法证明； （3）求证100a 能被15整除．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2 右边均为2n-1的平方 故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．2．D解析：D 【解析】试题分析：类比在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a , 在一个正四面体中，计算一下棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和， 如图：由棱长为a 可以得到36,23BF a BO AO a OE ===-, 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到222BO BE OE =+， 把数据代入得到612OE a =∴棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和664=， 故选D.考点：类比推理．【方法点晴】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．3．C解析：C 【分析】本题可根据图中数字的排列规律来思考，先观察每行数字的个数的规律，然后找到每行第一个数之间的规律，然后根据规律得出第20行的第1项的数字． 【详解】解：由图中数字排列规律可知：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，…∴第i 行有(21)i -个数.可设第i 行第j 个数字为.i j a ，其中121j i ≤≤-.观察每行的第1项，可得： 1.11a =， 2.12a =， 3.15a =， 4.110a =，… ∴ 1.11a =，2.1 1.11a a -=，3.1 2.13a a -=，4.1 3.15a a -=，….1 1.123i i a a i ---=.以上各项相加，可得：.1113523i a i =++++⋅⋅⋅+-（）(1)(123)12i i -+-=+2(1)1i =-+.∴220.1(201)1362a =-+=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查数列排列规律，等差数列的特点及求通项和求和．属于中档题．4．C解析：C 【分析】由归纳推理及等比数列前n 项和可得：即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，则01901571010222()1034S C C =++⋯+++=，得解．【详解】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，⋯． 分组为（1），(1,1)，(1，2，1)，(1，3，3，1)，(1，4，6，4，1)⋯ 则第n 组n 个数且第n 组n 个数之和为12n -， 设57a 在第n 组中， 则(1)(1)5722n n n n -+， 解得：11n =，即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，即为110C ，则01901571010222()1034S C C =++⋯+++=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了归纳推理及等比数列前n项和，属于中档题．5．B解析：B【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B．【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属于中档题．6．C解析：C【分析】n=⨯+=即可.通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763【详解】因为======，==n=.所以===63故选：C.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．B解析：B【分析】不妨假设甲出的试卷，再检验四位老师说的话的真假，再用同样的方法逐一判断即可得解.【详解】解：假设甲出的试卷，则甲、乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是甲，假设乙出的试卷，则只有乙说了假话，与题设相符，故出卷的是乙，假设丙出的试卷，则乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丙，假设丁出的试卷，则丙、丁说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丁，故选B.【点睛】本题考查了简单的推理，重点考查了阅读理解能力，属基础题.8．D解析：D【分析】列举出所有选择可能，然后根据三个信息，确定正确的选项.【详解】4个同学，选4门课，各选一门且不重复的方法共24种，如下：【点睛】本小题主要考查分析与推理，考查列举法，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q ，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误. 【详解】对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确；对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则201yq =>-，0y ∴<.由等比中项的性质得()()2144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误；对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.10．A解析：A【分析】由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，即可求解，得到答案．【详解】由已知在平面几何中，若ABC ∆中，,,AB AC AE BC E ⊥⊥是垂足，则2AB BD BC =⋅，类比这一性质，推理出：若三棱锥A BCD -中，AD ⊥面,ABC AO ⊥面BCD ，O 为垂足，则2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅．故选A ．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），着重考查了推理能力，属于基础题．11．D解析：D【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．B解析：B【分析】将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案.【详解】棱长都等于a 的正四面体ABCD ：每个面面积为：221sin 23S a π==体积为：231312V a == 正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和32123412341()3V h h h h h h h h ==+++⇒+++= 故答案选B【点睛】本题考查了体积的计算，将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键.二、填空题13．【分析】由合情推理中的类比推理由平面图形类比空间图形由二维到三维由面积到体积由圆到球即可得出结论【详解】三角形的面积类比为四面体的体积三角形的边长类比为四面体四个面的面积内切圆半径类比为内切球的半径 解析：()12343r S S S S +++ 【分析】由合情推理中的类比推理，由平面图形类比空间图形，由二维到三维，由面积到体积，由圆到球，即可得出结论.【详解】三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13， 得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . 故答案为：()12343r S S S S +++ 【点睛】本题主要考查了合情推理中的类比推理，考查了推理，归纳能力，属于容易题． 14．60【解析】【分析】由前四组勾股数可得第5组的第一个数为11第二三个数为相邻的两个整数可设为列出方程即可求解【详解】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11第二三个数为相邻的两个整数设第二三个数为： 解析：60【解析】【分析】由前四组勾股数可得第5组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数，可设为,1x x +，列出方程，即可求解.【详解】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数， 设第二、三个数为：,1x x +，所以222(1)11x x +=+，解得60x =，所以第5组勾股数的三个数依次为11,60,61，故答案为：60.【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理进行归纳、列出方程计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15．；【解析】【分析】由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可【详解】如图设为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱三棱锥的高为连接交于两两互相垂直平面平面故答案为 解析：2222222222a b c h a b b c c a =++； 【解析】【分析】由平面上的直角三角形Rt ABC ∆中的边与高的关系式，类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【详解】如图，设PA 、PB 、PC 为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P ABC -的高为PD h =，连接AD 交BC 于E ， PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA ∴⊥平面PBC ，PE ⊂平面PBC ，PA PE ∴⊥，PA BC ⊥，AE BC ∴⊥，PE BC ⊥22222b c PE bc ∴=+， ∴222222PA PE h PD PA PE ==+2222222222b c a b c b c a b c +=++222222222a b c a b b c c a =++． 故答案为2222222222a b c h a b b c c a =++．【点睛】本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系．16．【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系归纳推断后即可得到答案【详解】观察已知中等式：…则故答案为【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相解析：()()1*322n n f n N ++>∈ 【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案.【详解】观察已知中等式：()()2134222f f +=>=， ()()35238222f f +=>=， ()()43316232f f +=>=，()()574332222f f +=>=，…， 则()()1*322n n f n N ++>∈， 故答案为()()1*322n n f n N ++>∈. 【点睛】 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.17．【解析】试题分析：从表格可知第n 行的等差数列的首项为n 公差也为n 根据等差数列的通项公式其位于第n+1个数是n+(n-1)n=n+n2所以位于下表中的第n 行第n+1列的数是n+n2考点：等差数列的通项 解析： 【解析】 试题分析：从表格可知，第n 行的等差数列的首项为n ，公差也为n ，根据等差数列的通项公式，其位于第n+1个数是n+(n-1)n= n+n 2，所以位于下表中的第n 行第n+1列的数是n+n 2.考点：等差数列的通项公式，观察与归纳的能力. 18．【分析】由已知中的三个式子我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势可以归纳出其通项为分析等式右边的式子发现每一个式了均为两项差的形式且被减数均为1减数为由此即可得到结论【详解】由已知中的等式：…由以上 解析：11(1)2n n -+ 【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为()2112n n n n +⨯+，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为()112n n +，由此即可得到结论．【详解】由已知中的等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯…由以上等式我们可以推出一个一般结论： 对于()()*2314121111222321212n n n n N n n n +∈⨯+⨯+⋯+⨯=-⨯⨯++， ．故答案为()1112n n -+． 【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 19．2【解析】【分析】根据题意交换的规律是先前后再左右由图可以看出此交换的周期是4由此规律即可求解【详解】由图经过4次交换后每个小动物又回到了原来的位置故此变换的规律是周期为4因为所以经过2018次互换 解析：2【解析】【分析】根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是4,由此规律即可求解.【详解】由图，经过4次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，因为2018=4504+2⨯，所以经过2018次互换座位后，小兔对应的是编号2的位置.【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为4的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.20．【分析】关于的不等式可看成不等式中的用代入得来进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解【详解】若关于的不等式的解集为则关于的不等式看成不等式中的用代入得来则可得解得故答案为：【点睛】本题主 解析：114⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【分析】 关于x 的不等式20a b c x x ++>可看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解.【详解】 若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a b c x x ++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x 代入得来， 则可得，114x<<解得，114x <<. 故答案为：1,14⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题.三、解答题21．证明见解析【分析】用分析法证明即可得出结论成立.【详解】>只需证(22>成立；即证1313+>+成立；>即证4240>成立，因为4240>成立，所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查不等式的证明，分析法是一种常用的方法，逐步推出结论的充分条件，直到得到显然成立的结论即可，属于基础题型.22．（1）()()024f f +=，()()134f f -+=，13422f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）一般结论为：对任意实数x 都有()()24f x f x +-=，证明见解析（3）证明见解析【分析】()1代入计算可得所求和为定值；()2可得()()24f x f x +-=，代入计算，化简可得所求结论；()3求得()f x 的导数，判断单调性，根据单调性利用反证法可得证明．【详解】（1）()()181********f f +=-+-+-=， ()()11113139994333f f -+=----+-+-=， 1311319991422244238423f f ⎛⎫⎛⎫+=--+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）对任意实数x 都有()()24f x f x +-=.证明：()()32112333f x f x x x x +-=-+-()()()3211223233x x x +---+-- ()()()22212222244633x x x x x x x x ⎡⎤=+-+----+-+-⎣⎦ ()222236424233x x x x =-+-++- 4=. （3）由()()22'23120f x x x x =-+=-+>知，()f x 为R 上的单调增函数. 假设()00f x x ≠，则()00f x x >或()00f x x <，若()00f x x >，由()f x 为R 上的单调增函数知，()()()000f f x f x x >>；若()00f x x <，由()f x 为R 上的单调增函数知，()()()000f f x f x x <<，则()()00f f x x ≠，与条件()()00f f x x =矛盾， 故假设不成立.原命题()00f x x =成立.【点睛】本题主要考查三次函数的图象和性质，主要是单调性的应用，反证法，考查化简运算能力，属于中档题．23．见解析【分析】利用反证法，先假设(3)a b -，(3)b c -，(3)c a -同时大于94，得39(3)(3)(3)()4a b b c c a -⋅-⋅->，再利用基本不等式得出矛盾，即可得证. 【详解】证明：假设(3)a b -，(3)b c -，(3)c a -同时大于94. 则由9(3)49(3)49(3)4a b b c c a ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪->⎪⎩得39(3)(3)(3)()4a b b c c a -⋅-⋅->， 因为0<<3a ，03b <<，03c <<，所以(3)(3)(3)(3)(3)(3)a b b c c a a a b b c c -⋅-⋅-=-⋅-⋅-22233339()()()()2224a ab bc c -+-+-+≤⋅⋅=这与39(3)(3)(3)()4a b b c c a -⋅-⋅->矛盾，所以假设不成立，故(3)a b -，(3)b c -，(3)c a -不可能同时大于94. 【点睛】本题考查了反证法证明不等式成立的应用，考查了基本不等式的应用，属于中档题. 24．见详解【分析】把语言文字转化为数学表达式:2x y +≥()0,0x y >>,利用分析法进行证明，最后得到一个显然成立的不等式，证明其成立即可.【详解】证明:正数x y ，的算术平均数为2x y +，正数x y ，∴只需证2x y +≥()0,0x y >>即可,即证x y +≥()1成立,要证()1,只需证0x y +-≥ ()2 成立即可,要证()2,只需证20≥ ()3 成立即可,显然()3是成立的,当且仅当x y =时()3中的等号成立.【点睛】本题考查了算数平均数和几何平均数的概念，利用分析法证明不等式是解答本题的关键;重在考查学生的逻辑推理能力和逆向思维能力;属于发散思维型试题.25．见解析【解析】分析：一般利用反证法分析解答. 详解：假设4a b +，9b c +，16c a +都小于6， 即46a b +<，96b c +<，166c a+< 491618a b c b c a∴+++++<. (),,0,a b c ∈+∞.49161649+a b c a b c b c a a b c∴+++++=++++16492+2218a b c a b c≥⋅⋅+⋅= ()4,2,3a b c ===当且仅当时取等这与假设491618a b c b c a+++++<相矛盾,故假设不成立,从而原结论成立. 点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法.26．（1）23a =，37a =，415a =，531a =；（2）21n n a =-，证明略；（3）略；【解析】试题分析：（1）依次代入；（2）根据规律归纳公式，并用数学归纳法证明；（3）利用二项式展开证明；试题（1）23a =，37a =，415a =，531a =；（2）归纳猜想出通项公式21n n a =-，①当1n =时，11121a ==-，成立②假设n k =时成立，即21k k a =-，则当1n k =+时，由121()n n a a n N ++=+∈得：111212(21)122121k k k k k a a +++=+=-+=-+=-所以1n k =+时也成立；综合①②，对等式都成立，从而得证.（3）由（2）知10010021a =-而10042525252(2)16(151)===+，展开:25(151)+，被15除余数为1， 故10010021a =-被15整除.考点：1.递推数列；2.数学归纳法；3.二项式展开；。
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新课程标准数学选修1 —2第三章课后习题解答
第三章数系的扩充与复数的引入
3. 1数系的扩充和复数的概念 练习(P52)
12
1、 实部分别是-2 , 、.2 ,
- , 0, 0, 0；
2
1
虚部分别是1, 1, o , 「3, 1, 0.
3 2、 2 J , 0.618, 0, i 2是实数；
2i , i , 5i 8 , 3-9、、2i , i(1 — J3) , . 2- 2i 是虚数； 2i , i , i(^ .3)是纯虚数.
!x y = 2x 3y J x = 4
3、 由
，得
y —1=2y+1
y = -2
练习(P54)
1、 A : 4 3i , B : 3-3i , C : -3 2i , D : 4 3i , E : -5 -3i ,F 11 • _ G : 5i , H : -5i .
2
2
2、 略.
3、 略.
习题 3.1 A 组(P55)
1、(1) 由 3X 角"，得
、5x - y = —2
$ = 7
即m = 0或m = 3时，所给复数是虚数.
m 2 - 5m 亠 6 = 0
(3)当 2
,即m=2时，所给复数是纯虚数•
—3m 式 0
3、 (1)存在，例如-、2 i , - 2 - i 3i ,等等.
(2) 存在，例如1八、2i ,…—…2i ,等等.
2 (3) 存在，只能是-2i . 4、 (1)点P 在第一象限.
(2)点P 在第二象限. (3)点P 位于原点或虚轴的下半轴上.
(4)点P 位于实轴下方
由…得；:41
即m=0或m=3时，所给复数是实数
iX-4 =0
2
2、(1)当 m -3m =0, (2)当 m 2
「3m = 0 ,
，即_2＜；m ＜：3或5cm ＜：7时，复数z 对应的点位于第四象
限•
-5m 「14 ：： 0
向量BA 对应的复数为(1 3i) _(-i) = 1 4i . 向量BC 对应的复数为(2 7) -(-i) = 2 • 2i . 于是向量BD 对应的复数为(1 4i) (2 2i^3 6i ，
点D 对应的复数为(-i) (3 6i) =3 5i.
J3 +1 73—1 (1) -21
24i ;
(2) -32-i ;
(3) - —— ^i ;
2 2
I m 2 (2)当 2
i m Z 对应的点位于第一、三象限• 2 「8m 15 0 亠 m -8m 15 ，或< 2 m -5m -14 -5m -14 0 0 ，即 m ”「2 或 3 ：：： m ：：： 5 或 m . 7 时，复数 0 (3) 2 2 当 m -8m 15 二 m -5m -14，即 29 m - 3 时，复数z 对应的点位于直线y 二x 上 习题 1、 3.1 (1) B 组(P55) 2 —i
因为 z i ； (2) -2-i. =、12 22 —、5， Z 2 = -,(2)2
(⑶2
二 5
Z 3 「_(.3)2 (-、2)2 —5
Z 4
二讥一2)2 • 12
二.5 所以，乙，乙，乙，乙都在以原点为圆心,
.5为半径的圆上.
1、 (1) 一18 —21i ； (2) 6 —17i ; (3) -20 -15i ；
2、 (1) -5 ; (2) -2i ; (3) 5.
3、 (1) i ； (2) -i ； (3) 1 - i ； (4) -1 - 3i .
习题
3.2 A 组(P61)
1、
(1) 9 -3i ；
(2) -2 3i ；
(3) 7 5
i ；
(4) 0.3 0.2i
6 12
2、
AB 对应的复数为(-3 • 4i)-(6 • 5i) - -9 -i
(2) 2-2i ;
-2 2i ；
(3) (4) 0.
9 i .
3. 2复数代数形式的四则运算 练习(P58) 1、(1) 5; 练习(P60)
BA 对应的复数为 ■ - 2
r m —8m+15:>0 5、(1)当 2
l m
2、略.
1 43
(4) 一 -i.
2 2
2 4
18 1 3 4 5、(1)
i ;
(2)
i ;
(3)
i ;
(4) 1-38i .
5 5
65 65
25 25
习题3.2 B 组(P61) 由 2(2i -3)2 p(2i -3) q =0，得(10-3p q) (2p —24)i =0.
第三章 复习参考题A 组(P63)
1、 (1) A ； (2) B ; (3) D ; (4) C .
2、 由已知，设z=bi ( b^R 且b 式0 )；
则(z 2)2 -8i 二(bi 2)2 -8i 二(4 -b 2) (4b -8)i .
由（z+2）2- 8i 是纯虚数，得」4一b ，解得b = _2.因此z = _2i.
4b -8 式 0 3、由已知，可得 z 1 z 2 = 8 6i ， zjz 2 = 55 10i .
又因为
1
——，所以z z z 〔
z 2
z 〔 z ?
第三章 复习参考题B 组（P63）
1、设 z=a+bi ( a,b^R )，贝 V z = a — bi . 由(1 2i)z =4 3i ，得(1 2i)(a -bi) =4 3i ， 化简，得(a 2b)
(2a -b)i =4 3i .
f a 2b = 4
根据复数相等的条件，有2a_b=3，解得心，…
z 2 i 3
4
于是z =2「，，则4i
2、
(1)
.4n. 4n.
i
i ， i 1 .
(2)对任意 r N ，有 i 4n1 =i ，i 4n -1，
于是，有10
—3p q
",
I2p -24 =0
解得p =12 , q =26.
z 1
z 2
8 6i 2。