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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
精品课件-数字信号处理—理论与实践-第3章
矩形序列RN(n)与单位阶跃序列u(n)、 单位脉冲序列δ(n) 的关系如下
N 1
RN (n) u(n) u(n N ) n k k 0
(3.2-7)
第 3 章 离散时间信号与系统
图3-4 矩形序列
第 3 章 离散时间信号与系统
4. 实指数序列
实指数序列定义为
x(n)=anu(n)
第 3 章 离散时间信号与系统
x={x(n)}, －∞<n<+∞ (3.1-2)
常常直接用x(n)表示离散时间信号——序列。 离散时 间信号也可以用图形来描述， 如图3-1所示。 图中纵向线段的 长短表示各序列值的大小， 横轴代表离散时间点。 注意， 横 轴虽然为连续直线， 但x(n)仅在n取整数的时间点上才有定义； 而n取非整数时， x(n)没有定义。
第 3 章 离散时间信号与系统
第3章 离散时间信号与系统
3.1 3.2 常用的典型序列 3.3 3.4 线性时不变离散系统 3.5 线性常系数差分方程 3.6 序列的傅里叶变换 3.7 MATLAB实现 习题
第 3 章 离散时间信号与系统
3.1
离散时间信号可由对模拟信号x(t)的采样获得。 对模拟信
(3.2-5)
பைடு நூலகம்
式(3.2-3)表明， 单位脉冲序列是单位阶跃序列的一阶后向差 分； 式(3.2-5)表明， 单位阶跃序列是对单位脉冲序列的累 加。
3. 矩形序列RN(n) 矩形序列定义为
第 3 章 离散时间信号与系统
1 0 n N 1 RN (n) 0 其他
(3.2-6)
式(3.2-6)中， N称为矩形序列RN(n)的长度。 RN(n)的波形如图 3.4所示， 它与连续时间信号中的矩形脉冲类似。
N 1
RN (n) u(n) u(n N ) n k k 0
(3.2-7)
第 3 章 离散时间信号与系统
图3-4 矩形序列
第 3 章 离散时间信号与系统
4. 实指数序列
实指数序列定义为
x(n)=anu(n)
第 3 章 离散时间信号与系统
x={x(n)}, －∞<n<+∞ (3.1-2)
常常直接用x(n)表示离散时间信号——序列。 离散时 间信号也可以用图形来描述， 如图3-1所示。 图中纵向线段的 长短表示各序列值的大小， 横轴代表离散时间点。 注意， 横 轴虽然为连续直线， 但x(n)仅在n取整数的时间点上才有定义； 而n取非整数时， x(n)没有定义。
第 3 章 离散时间信号与系统
第3章 离散时间信号与系统
3.1 3.2 常用的典型序列 3.3 3.4 线性时不变离散系统 3.5 线性常系数差分方程 3.6 序列的傅里叶变换 3.7 MATLAB实现 习题
第 3 章 离散时间信号与系统
3.1
离散时间信号可由对模拟信号x(t)的采样获得。 对模拟信
(3.2-5)
பைடு நூலகம்
式(3.2-3)表明， 单位脉冲序列是单位阶跃序列的一阶后向差 分； 式(3.2-5)表明， 单位阶跃序列是对单位脉冲序列的累 加。
3. 矩形序列RN(n) 矩形序列定义为
第 3 章 离散时间信号与系统
1 0 n N 1 RN (n) 0 其他
(3.2-6)
式(3.2-6)中， N称为矩形序列RN(n)的长度。 RN(n)的波形如图 3.4所示， 它与连续时间信号中的矩形脉冲类似。
精品课程《数字信号处理》PPT课件第1章 离散时间信号与系统
n
(a) (a)
(b) (b)
第1章 离散时间信号与系统 3. 序列的和 z(n) x(n) y(n)
4. 序列的乘积
f (n) x(n) y(n)
5. 序列的标乘
f (n) cx(n)
两序列的和是指同序号 n 的序列值
逐项对应相加而构成的一个新序列
两序列相乘是指同序号 n
的序列值逐项对应相乘
k必为整数
第1章 离散时间信号与系统
分三种情况讨论正弦序列周期
N 2k = 2 k 0 0
2 1. 0
为正整数，只要 k =1，
N
2 0
为最小正整数，即序列周期；
第1章 离散时间信号与系统
1.
2 0
为正整数，只要
k
=1， N
2 0
为最小正整数，即周期
sinnω0
1
o1
5
10 n
1
第1章 离散时间信号与系统
x(n) sin(n0 )
sin(n0T
)
0
0T
数字域角频率 0：反映序列变化的速率 ，单位 ( rad/间隔 ) 模拟域角频率 0：反映信号变化的速率 ，单位 ( rad/s )
0 0T
0
0
fS
数字域角频率是模拟域角频率对采样频率的归一化
第1章 离散时间信号与系统 6. 复指数序列
x(n) Ae j0 n
x n
2 不是整数， 0
N k
（N，k为互素整数）N
k
2 0
已知：x n sin 4π n ，求其周期。
11
ω0
4π ， 则有：2π
11
ω0
2π
11 4π
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
信号与系统课件第七章离散时间系统
两序列的样值 ======= 新序列
2）相乘：z(n) x(n) y(n)
逐项对应相加
两序列的样值 ======= 新序列
3）延时：z(n) x(n m)
逐项对应相乘
原序列 ============ 新序列
2016/1/21 信号与系统 11
逐项依次左移或右移m位
离散信号的运算
4）反褶：z(n) x(n)
1 n 0 u ( n) 0 n 0
n=0,其 值=1
u (n i )
n
1 n i u (n i ) 0 n i
n
3 2 1 0
1
i
u ( n) ( n k ) k 0 (n) u (n) u (n 1)
序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时nT 有定义值,即x(nT )
其中T为均匀的离散时刻之间隔隔; nT 称函数的宗量, n 0, 1, 2,
样值：离散信号处理的非实时性 x(n)表示序列
其中n表示各函数值在序列中出现的序号
某序列n的函值x(n)=== 在第n个样值的“样值”
2016/1/21 信号与系统 9
2016/1/21 信号与系统 30
五、离散、时间系统的数学模型联系
离散、连续模型之间联系 差分方程与 微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
2016/1/21
x ( n)
6
3
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
n
x(2n)
6 4 2
数字信号处理课件第二章--离散时间信号与系统(ppt文档)
• 2.2.4 因果性（Causality） 系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以 前的输入，而与n时刻以后的输入无关。 y[n] x[n], x[n-1], x[n-2], … 因果系统---- 物理可实现性 x[n+1], x[n+2], … 非因果系统---- 物理不可实现性
一个非因果系统的例子： y[n]=x[n+1]-x[n]
2.2离散时间系统
离散系统可以定义为一种变换或一个算子，即：
用公式表示为：
y[n] T x[n]
2.2.1 无记忆系统（Memoryless Systems）
y[n]x[n] 例： y[n] x[n]2
2.2.2 线性系统（Linear Systems） 满足叠加原理的系统称为线性系统
y[n] x[k]h[n-k]
k
一个线性时不变（LTI）系统完全可以由它的单位脉冲 响应来表征。
• 卷积和（Convolution）
x1[n] x2[n] x1[k]x2[n k] k
系统输出可表示为：
y[n] x[k]h[n k] x[n] h[n] k
因果序列: x[n] 0, n 0
因果稳定的线性时不变系统：h[n]单边且绝对可和
例：
h[n] anu[n]
a 1
h[n]有限长非零样本-------- 有限冲击响应系统（finite-duration impulse response，FIR）------- 系统总是稳定的
h[n]无限长非零样本-------- 无限冲击响应系统（infinite-duration impulse response，IIR）
数字信号处理程佩青第三版课件(全套课件)
j0n
M 0, 1, 2
表明复指数序列具有以2为周期的周期性，在 以后的研究中，频率域只考虑一个周期就够了。
7. 周期序列
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等
式成立： x(n) x(n N)
则称x(n)为周期序列，最小周期为N。
例：
x(n) sin( n)
4
x(n) sin[ (n 8)],
4
N 8
一般正弦序列的周期性
设 x(n) Asin( 0n )
式中，A为幅度，ω0为数字域频率，为初相。
那么 x(n N ) Asin[ 0 (n N ) ] Asin( 0n 0N )
如果 x(n) x(n N)
则 Asin( 0n ) Asin[ 0 (n N) ]
N (2 /0 )k N，k均取整数
xa(t) 0
xa(nT)
t
2T
0
t
T
这里 n 取整数。对于不同的 n 值，xa(nT) 是 一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信 号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另 外，在数值上它等于信号的采样值，即
x(n) xa (nT ), n
离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形 表示法、集合符号表示法，如
线性卷积的计算
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和
h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为
正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
第一章 离散时间信号与系统1
根据定义
n y ( n ) 1 ( 1 ) k , n 1 2 2 k 1 y ( n) 0, n 1
14
我们计算几个值，画出图形。显然，
n 2 n 1 n0 n 1 n2
y(2) 0
1 3 2 2 3 1 7 y(1) y(0) x(1) 2 4 4 7 1 15 y(2) y(1) x(2) 4 8 8
j 0 n
0 ：复正弦的数字域频率 用欧拉公式将复指数序列展开： n n n x(n) e (cos0 n j sin 0 n) e cos0 n j e sin 0 n
用极坐标表示 其中 x(n)
x(n) x (n)
n
e
j arg[ x ( n )]
f2 (t )
0 1 1 0
, t 1 , 1 t 1 , 1 t 3 , t 3
定义域是连续的（-∞，∞），但是函数值只取-1，0，1三个离 散的值。（在间断点-1，1，3处一般不定义其函数值） f 以上两例中，1 (t ) 我们也称为模拟信号。
8
2 n , n 1 1 1 1 1 z (n) x(n) y(n) 2 ( 2 ) 2 3 , n 1 2 1 1 n 2 ( 2 ) n 1, n 0
图 1· 9 在求序列的和的时候要注意：相同序列 (n) 的序列值相加。
9
4．积（相乘） 两序列的积指相同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘： z (n) x(n) y(n) 0.5, n 1 1.5, n 0 例1.1.4已知序列 x(n) = 1, n 1 求 y(n) x(n) 2 x(n) x(n 2) 0.5, n 2 0, n为其它值
信号与系统PPT 第六章 离散时域分析
…
例：求z(n)=x(n)·y(n)
解：
z(0)=x(0)·y(0) z(1)=x(1)·y(1) z(2)=x(2)·y(2)
…
例：当 m =3时
例：
5、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差。
一阶前向差分： x[n] x[n 1] x[n] 一阶后向差分： x[n] x[n] x[n 1]
[n]
1
0
t
t
u(t) ( )d ------ 积分关系
u[n]
1
...
-2 -1 0 1 2 3 n
-2 -1 0 1 2 3 n
[n] u[n]u[n 1] ------ 差分关系
u[n] [n][n 1][n 2] [n m] ------ 求和关系 m0
（3）矩形序列
x(m)和h(m)如图所示
x(m) 3/2
1 1/2
0123
m
h(m) 1
01 2
m
h(0-m) 1 n=0反褶
-2 -1 0
m
h(-1-m) 1 n=-1左移
-3 -2 -1 0
m
反褶 .以m=0为对称轴， 折叠h(m) 得到h(0-m)
可见， 当n<1时，x(m)与 h(n-m)无交叠，相乘处 处为 零，即y(n)=0，n<1
若有两个序列 x1n和x2 n,定义和式
x1k x2n k
k
为x1n和x2 n的卷积和，记作1n x2 n
（２）计算方法： 离散线性卷积的计算:图解法、解析法，对位相乘法
•图解法
卷积和的图解过程：换元 反褶 平移 相乘 取和
h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 x[m]h[n m] m
例：求z(n)=x(n)·y(n)
解：
z(0)=x(0)·y(0) z(1)=x(1)·y(1) z(2)=x(2)·y(2)
…
例：当 m =3时
例：
5、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差。
一阶前向差分： x[n] x[n 1] x[n] 一阶后向差分： x[n] x[n] x[n 1]
[n]
1
0
t
t
u(t) ( )d ------ 积分关系
u[n]
1
...
-2 -1 0 1 2 3 n
-2 -1 0 1 2 3 n
[n] u[n]u[n 1] ------ 差分关系
u[n] [n][n 1][n 2] [n m] ------ 求和关系 m0
（3）矩形序列
x(m)和h(m)如图所示
x(m) 3/2
1 1/2
0123
m
h(m) 1
01 2
m
h(0-m) 1 n=0反褶
-2 -1 0
m
h(-1-m) 1 n=-1左移
-3 -2 -1 0
m
反褶 .以m=0为对称轴， 折叠h(m) 得到h(0-m)
可见， 当n<1时，x(m)与 h(n-m)无交叠，相乘处 处为 零，即y(n)=0，n<1
若有两个序列 x1n和x2 n,定义和式
x1k x2n k
k
为x1n和x2 n的卷积和，记作1n x2 n
（２）计算方法： 离散线性卷积的计算:图解法、解析法，对位相乘法
•图解法
卷积和的图解过程：换元 反褶 平移 相乘 取和
h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 x[m]h[n m] m
数字信号处理-第一章离散时间信号与系统ppt课件
1
n0
δ(n)和u(n)间的关系为u(n)0
n0
(n )u (n ) u (n 1 )
u (n ) (n m ) (n ) (n 1 ) (n 2 )
令n-m=k代m 0 入上式，得(1-6)式
n
u(n) (k)
问：上两实的区别是什么？
k
实际系统一般无n<0的情况,但理论分析需要,故 实际信号可用理想信号乘阶跃序列来分析
如果y(n)=T[x(n)]满足比例性和可加性，则 该系统是增量线性系统。
.
24
1.2.2移不变系统
系统的输出随输入的位移而位移，则该系统为移 不变系统。
即若输入x(n)产生输出y(n)，则输入x(n-m)产生 输出 y(n-m)
表达：移不变系统 y(n)T[x(n)]
则
y(nm )T [x(nm )]
１、交换律 卷积和与卷积序列的次序无关，有
y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
即：把单位冲击响应h(n)作为输入，将输入x(n) 作为系统单位冲击响应，其输出相同。
x(n) h(n) y(n) = h(n)
x(n)
y(n)
.
30
２、结合律（串联）
x(n)*h1(n)*h2(n)=[x(n)*h1(n)]*h2(n) =x(n)*[h1(n)*h2(n)]=［x(n)*h２(n)］*h１(n)
证明：
x(n)*[h1(n)h2(n)] x(m)[h1(nm)h2(nm)] m
x(m)h1(nm) x(m)h2(nm)
m
m
x(n)*h1(n)x(n)*h2(n)
x(n)
h1(n)
h2(n)
y(n)
《数字信号处理题解及电子课件》第1章_离散时间信号与离散时间系统_2
(控制系统)
Communication （通信）
System Identification （系统辨识）
Statistics
（统计）
Neural Network
(神经网络)
例：
z=peaks; surf(z)；
与本章内容有关的MATLAM文件
1. rand.m 用来产生均值为0.5、幅度在 0~1之间均匀分布的伪白噪声: u=rand(N)
sin c(t) 0
t k
sin c(t) t为其它
对离散信号，相应的sinc函数定义为:
sin c() sin(N) sin()
4. conv.m 用来实现两个离散序列的线 性卷积。其调用格式是：y=conv(x,h)
5． xcorr: 其互相关和自相关。格式是： (1)rxy=xcorr(x,y) ： 求 x,y 的 互 相 关 ； (2)rx=xcorr(x,M,’flag’）：求x的自相关，M： rx的单边长度，总长度为2M+1；‘flag’是定 标标志，若 flag=biased， 则表示是“有偏” 估计，需将rx(m)都除以N，若flag=unbiased, 则表示是“无偏”估计，需将rx(m)都除以 （N－abs(m)）；若’flag’缺省，则rx不定标。 M和‘flag’同样适用于求互相关。
而： y(n k) (n k)x(n k)
所以： y(n k) T[x(n k)]
本系统不具备移不变性！
另外，系统 是因果的，但不是稳定的
例2： y(n) ay(n 1) x(n)
本系统是线性系统、移不变系
统、因果系统，如果 a 1
则该系统是稳定的。
例3： y(n) Ax(n) B
1.3常用离散时间信号及其时域特性 《信号与系统》课件
yk f k
f k
yk f k
• •• • •
•
•
•
• -4
-3
-2
-1
01
2
3
4
k
•••••
•
•
•
-4 -3 -2
-1
0
1
2
3
• 4
k
序列的反褶
3、序列的展缩(尺度变换)
序列展缩是指将离散时间信号在时间序号上进 行压缩或扩展，即
y k f ak a为非零的正实常数
注意，只有当ak取整数时y k 才有意义
k uk uk 1
单位阶跃序列是单位脉冲序列的累加和，即
k
uk n k m
n
m0
3、单位举行序列(门序列)
GN
k
1 0
0 k N 1 k =others
GN k
矩形序列共有N个幅度
为1的函数值，如图所示。 它类似于连续时间函数中的 矩形脉冲。单位矩形序列可 以用单位阶跃序列表示为:
f k Asin 0k 或 f k Acos0k
式 为中 初相。0 其是中正弦序0 、列的和数字的角量频纲率为，弧A为度正。弦0 序的列取的值振范幅围，为0或~2
设正弦序列的周期为N，根据周期函数的定义，可有
sin 0k sin 0 k N
将ω0＝2π/a代入，可得
sin
2
…
-1 0 1 2 3
N-1 N k
GN k u k u k N
图 矩形序列
4、斜变序列
斜变序列的表达式
Rk
R k ku k
如图所示。显然，R(k)与
连续函数中的斜坡函数类
似。
f k
yk f k
• •• • •
•
•
•
• -4
-3
-2
-1
01
2
3
4
k
•••••
•
•
•
-4 -3 -2
-1
0
1
2
3
• 4
k
序列的反褶
3、序列的展缩(尺度变换)
序列展缩是指将离散时间信号在时间序号上进 行压缩或扩展，即
y k f ak a为非零的正实常数
注意，只有当ak取整数时y k 才有意义
k uk uk 1
单位阶跃序列是单位脉冲序列的累加和，即
k
uk n k m
n
m0
3、单位举行序列(门序列)
GN
k
1 0
0 k N 1 k =others
GN k
矩形序列共有N个幅度
为1的函数值，如图所示。 它类似于连续时间函数中的 矩形脉冲。单位矩形序列可 以用单位阶跃序列表示为:
f k Asin 0k 或 f k Acos0k
式 为中 初相。0 其是中正弦序0 、列的和数字的角量频纲率为，弧A为度正。弦0 序的列取的值振范幅围，为0或~2
设正弦序列的周期为N，根据周期函数的定义，可有
sin 0k sin 0 k N
将ω0＝2π/a代入，可得
sin
2
…
-1 0 1 2 3
N-1 N k
GN k u k u k N
图 矩形序列
4、斜变序列
斜变序列的表达式
Rk
R k ku k
如图所示。显然，R(k)与
连续函数中的斜坡函数类
似。
数字信号处理-程佩青-PPT第一章
7）任意序列
x(n)能够表达成单位取样序列旳移位加权和，也可表达 成与单位取样序列旳卷积和。
x(n) x(m) (n m) x(n) (n)
m
例：x(n) 2 (n 1) (n) 1.5 (n 1) (n 2) 0.5 (n 3)
3、序列旳周期性
若对全部n存在一种最小旳正整数N，满足 x(n) x(n N ) n
m
x(m)T[ (n m)]，线性性
T[ ai xi (n)] i
m
x(m)h(n m)，
移不变性
aiT[xi (n)] i
m
x(n) h(n)
h(n) T[ (n)] h(n m) T[ (n m)]
x(n)
LSI y(n)
h(n)
y(n) x(n) h(n)
一种LSI系统能够用单位抽样响应h(n)来表征，任意输 入旳系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)旳 卷积和。
结论： 若有限长序列x(n)旳长度为N，h(n)旳长度为M， 则其卷积和旳长度L为：
L=N+M-1
互换律
4、LSI系统旳性质
x(n)
y(n)
h(n)
h(n)
y(n)
x(n)
y(n) x(n) h(n) h(n) x(n)
结合律
x(n) h1(n)
y(n) h2(n)
x(n) h2(n)
例：
x(n)=0.9
ne
j 3
n
6）正弦序列
x(n) Asin(0n )
模拟正弦信号：
xa (t) Asin(t )
x(n) xa (t) tnT Asin(nT )
0 T / fs 0：数字域频率
北京邮电大学《数字信号处理》门爱东-dsp02-离散时间系统和离散信号的变换-PPT精品文档159页
12
2. 1.1 取样和取样定理：频域分析
北
京
X a( )
邮
电
1
Xˆ a ( )
1 T
s 2T
大 学
m
m
信
息
0 m
m
Ω
-Ω s s
0 s Ωs
Ω
与
2
2
通 信
连续信号的频谱和取样信号的频谱 s
工
max 2
程 学 院
然而，当
s
Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Technology Centre, BUPT
8
2. 1.1 取样和取样定理：时域分析
北
京 邮
取样函数定义为:
电 大 学 信 息
p(t)1com b(t)(tnT)
T
T n ------ T ：取样间隔
通 信 工 程 学
则映射到频域为：
X ˆa( )21 Xa( )P( )
院
多 因 p(t) 是周期为 T 的函数，可以展开成级数和的形式：
媒
体 中 心 门
p(t)
(tnT)
aejn st m
n
n
其中
2 s T
爱
东
Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Technology Centre, BUPT
院
多
媒
体
中
心
门 爱
－B2 －B1
0
B1
B2
东
Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Technology Centre, BUPT
《信号与系统(第2版)》配套课件 离散时间信号与系统的复频域分析1
z 1，求x[k]
解： 将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z
)
1
2 0.5z
0.5z 1 1 0.5
z
2
A 1 z 1
B 1 0.5z1
A
(1
z 1)
X
(z)
z 1
2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B
(1 0.5z1) X
(z)
z 0.5
2 0.5z1 1 z 1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
]}
1
1 a
z
1
,
za
e j0k u[k ]
Z
1 1 e j0 z1 ,
z 1
利用Euler公式和线性特性，可得
Z cos(0k)u[k]=Z e j0ku[k] / 2 Z e j0ku[k] / 2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ 系统函数H(z)的另一种定义 零状态响应的频域表示
yzs[k] x[k]* h[k]
利用z变换 的卷积特性
Yzs (z) X (z)H (z)
H (z) Yzs (z) X (z)
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ H(z) 的物理意义
x[k]
h[k]
1
1 z1 cos(0 ) 2z1 cos(0 )
z
2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
解c：os( 0k )u[k ]
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❖ 线性内插器定义的离散时间系统不是因果系 统
稳定系统
❖ 系统是稳定的，当有界的输入产生有界的输出时 ❖ BIBO：有界输入产生有界输出 ❖ 即：
当对于所有的n，有|x[n]|<Bx, 则对于所有的n，有|y[n]|<By ❖ P61 例2.18 例2.19
无源和无损系统
❖ 无源离散系统：输出序列的能量不能超过输入序列 的能量
线性内插器
❖ 用于估计离散序列中相邻的一对样本值之间的样 本值得大小
❖ 做法：
上抽样 将上抽样的零值处填入线性内插值
❖ 双线性内插
y[n]
x [n]
x [n
1]
2
x [n
1]
❖ 应用：图像放大
中值滤波器
❖ 中值的定义： 在大小为2k+1的数据集合中，存在这样一个 数据，有k个数据大于该数，剩下k个数据小 于该数。
❖ 即：
y[n] 2 xn2
n
n
❖ 无损系统：上式等号成立 ❖ P62 例2.20
冲激和阶跃响应
❖ 单位抽样响应：输入单位抽样序列时数字滤 波器的输出，简称冲激响应——{ h[n] }
❖ 单位阶跃响应：输入单位阶跃序列时数字滤 波器的输出，简称阶跃响应——{ s[n] }
❖ LTI（线性时不变系统）数字滤波器在时域中 可以通过冲激响应或阶跃响应完全描述
第n个样本
冲激响应
❖ 在时域中，用冲激响应{h[n]}可以完全描述LTI 离散时间系统的特性
❖ 可以利用卷积公式计算任何给定输入产生的 输出
❖ 输入序列和冲激响应一般是有限长的 ❖ 当冲激响应是无限序列时，利用等效系统来
分析 ❖ P64 例2.26 例2.27
用matlab计算卷积
❖ 函数：
conv input length disp stem
l 0
M
❖ 有界性：原序列的取值有界 ❖ M的大小对处理结果的影响
滑动平均滤波器
❖ 化简： y[n] y[n 1] 1 (x[n] x[n M ]) M
❖ 例2.13
指数加权的移动平均滤波器
❖ 加权原则：权值的大小和距离成反比
y[n] y[n 1] x[n] 0 1
❖ 加权原则的证明
❖ 数字滤波器：处理数字信号的离散时间系统
离散时间系统举例
❖ 累加器 ❖ 滑动平均滤波器 ❖ 指数加权的移动平均滤波器 ❖ 线形内插器 ❖ 中值滤波器
累加器
n
y[n] x[l] y[n 1] x[n] l
1
n
n
y[n] x[l] x[l] y[1] x[l]
l
l0
l0
❖ y[-1]称为初始条件
x1[n] x2[n] x3[n] x1[n] x2[n] x3[n]
x1[n] x[n]2 x3[n] x1[n] x2[n] x1[n] x3[n]
卷积运算的操作
y[n] x[k]h[n k] k
1. 将h[k]时间反转得到h[-k] 2. 将h[-k]平移形成序列h[ 3. 形成乘积序列v[k]=x[k]h[n-k] 4. 将v[k]的全部样本值求和得到卷积和y[n]的
第二章 离散时间 信号与系统
（二）
抽样过程
x[n] xa (t) tnT xa (nT)
FT
1 T
t nT n 2n
FT T
2F
xa t Acos0t
x[n] Acos(0n )
P52 例2.11 演示
混叠
❖ 连续时间正弦族：
xa,k t Acos(0t kTt)
x[n] x1[n] x2[n]
系统输出为：
y[n] y1[n] y2[n]
❖ 意义：在处理复杂序列时，可以将其砍成简单序 列的加权组合，然后分别进行处理
❖ P59 例2.15线性系统和有条件线性系统 例2.16非线性系统
移不变特性
❖ 若y1[n]是输入x1[n]的响应，则当输入为 x[n]=x1[n-n0]时，对应的响应为y[n]=y1[n-n0]
❖ 在离散系统中：序数n与离散时刻关联，称为 时不变特性
❖ 意义：保证对于一个给定的输入信号，系统 相应的输出独立于输入信号的时刻
❖ P60 例2.17 时变系统
因果系统
❖ 在系统中，第n0个输出样本y[n0]仅仅依赖于 所有n<=n0的输入样本x[n]，而不依赖于n>n0 的输入样本。
❖ 在因果系统中输出的变化并不先于输入的变 化（输入和输出的抽样率相同）
❖ 中值滤波器：在输入序列上滑动的一个长度 为奇数的窗口来实现
❖ 使用方法 ❖ 用途：处理加性随机突发噪声 程序2_5
离散时间系统的分类
❖ 线性系统 ❖ 移不变系统 ❖ 因果系统 ❖ 稳定系统 ❖ 无源和无损系统
本书讨论的离散时间系统
线性系统
❖ 叠加原理：对于线性离散时间系统，若输入为x1[n] 和x2[n]，系统输出为y1[n]和y2[n]，则当输入为
n0
滑动平均滤波器
❖ 重复测量可以较低噪声对测量的干扰
❖ 在无法重复测量的情况下：
利用n-M+1<=l<=n的M个检测的受到噪声影响的数 据x[l]按照下式求M点均值y[n]：
y[n]
1
M 1
x[n l]
M l0
滑动平均滤波器
❖ 误差估计：标准方差
n
M 1
(x[n l] y[n])2
k 0,1,2,
可以产生相同的抽样信号！
❖ 混叠：由较高频的连续正弦信号和较低 频的连续正弦信号抽样可以得到相同的 离散时间序列。 例2.12
离散时间系统
❖ 功能：对给定的输入序列进行处理得到输出 序列
❖ 处理过程：从时间序号n开始，随着n值的增 加，顺序产生输出序列： y[k] y[k+1] y[k+2] ……
❖ 在LTI系统中：若知道了冲激响应h[n]，就可以知道 系统对任意输入的输出响应
❖ 输入输出的卷积公式 （P63推导）
y[n] x[n] h[n]
❖ P63 例2.24 ❖ P64 例2.25
卷积和
卷积运算的性质
❖ 交换率 ❖ 结合率 ❖ 分配率
x1[n] x2[n] x2[n] x1[n]
❖ P62 例2.21 例2.22 例2.23
LTI离散时间系统的时域特性
❖ LTI两大特性：线性和时不变 ❖ LTI离散时间系统可以看成多个简单子系统的
互连 ❖ 讨论步骤：
输出序列可表示成冲激响应序列与输入序列的卷 积和
利用列表法计算有限长序列的卷积和 用冲激响应表示稳定性和因果性条件
输入输出关系
稳定系统
❖ 系统是稳定的，当有界的输入产生有界的输出时 ❖ BIBO：有界输入产生有界输出 ❖ 即：
当对于所有的n，有|x[n]|<Bx, 则对于所有的n，有|y[n]|<By ❖ P61 例2.18 例2.19
无源和无损系统
❖ 无源离散系统：输出序列的能量不能超过输入序列 的能量
线性内插器
❖ 用于估计离散序列中相邻的一对样本值之间的样 本值得大小
❖ 做法：
上抽样 将上抽样的零值处填入线性内插值
❖ 双线性内插
y[n]
x [n]
x [n
1]
2
x [n
1]
❖ 应用：图像放大
中值滤波器
❖ 中值的定义： 在大小为2k+1的数据集合中，存在这样一个 数据，有k个数据大于该数，剩下k个数据小 于该数。
❖ 即：
y[n] 2 xn2
n
n
❖ 无损系统：上式等号成立 ❖ P62 例2.20
冲激和阶跃响应
❖ 单位抽样响应：输入单位抽样序列时数字滤 波器的输出，简称冲激响应——{ h[n] }
❖ 单位阶跃响应：输入单位阶跃序列时数字滤 波器的输出，简称阶跃响应——{ s[n] }
❖ LTI（线性时不变系统）数字滤波器在时域中 可以通过冲激响应或阶跃响应完全描述
第n个样本
冲激响应
❖ 在时域中，用冲激响应{h[n]}可以完全描述LTI 离散时间系统的特性
❖ 可以利用卷积公式计算任何给定输入产生的 输出
❖ 输入序列和冲激响应一般是有限长的 ❖ 当冲激响应是无限序列时，利用等效系统来
分析 ❖ P64 例2.26 例2.27
用matlab计算卷积
❖ 函数：
conv input length disp stem
l 0
M
❖ 有界性：原序列的取值有界 ❖ M的大小对处理结果的影响
滑动平均滤波器
❖ 化简： y[n] y[n 1] 1 (x[n] x[n M ]) M
❖ 例2.13
指数加权的移动平均滤波器
❖ 加权原则：权值的大小和距离成反比
y[n] y[n 1] x[n] 0 1
❖ 加权原则的证明
❖ 数字滤波器：处理数字信号的离散时间系统
离散时间系统举例
❖ 累加器 ❖ 滑动平均滤波器 ❖ 指数加权的移动平均滤波器 ❖ 线形内插器 ❖ 中值滤波器
累加器
n
y[n] x[l] y[n 1] x[n] l
1
n
n
y[n] x[l] x[l] y[1] x[l]
l
l0
l0
❖ y[-1]称为初始条件
x1[n] x2[n] x3[n] x1[n] x2[n] x3[n]
x1[n] x[n]2 x3[n] x1[n] x2[n] x1[n] x3[n]
卷积运算的操作
y[n] x[k]h[n k] k
1. 将h[k]时间反转得到h[-k] 2. 将h[-k]平移形成序列h[ 3. 形成乘积序列v[k]=x[k]h[n-k] 4. 将v[k]的全部样本值求和得到卷积和y[n]的
第二章 离散时间 信号与系统
（二）
抽样过程
x[n] xa (t) tnT xa (nT)
FT
1 T
t nT n 2n
FT T
2F
xa t Acos0t
x[n] Acos(0n )
P52 例2.11 演示
混叠
❖ 连续时间正弦族：
xa,k t Acos(0t kTt)
x[n] x1[n] x2[n]
系统输出为：
y[n] y1[n] y2[n]
❖ 意义：在处理复杂序列时，可以将其砍成简单序 列的加权组合，然后分别进行处理
❖ P59 例2.15线性系统和有条件线性系统 例2.16非线性系统
移不变特性
❖ 若y1[n]是输入x1[n]的响应，则当输入为 x[n]=x1[n-n0]时，对应的响应为y[n]=y1[n-n0]
❖ 在离散系统中：序数n与离散时刻关联，称为 时不变特性
❖ 意义：保证对于一个给定的输入信号，系统 相应的输出独立于输入信号的时刻
❖ P60 例2.17 时变系统
因果系统
❖ 在系统中，第n0个输出样本y[n0]仅仅依赖于 所有n<=n0的输入样本x[n]，而不依赖于n>n0 的输入样本。
❖ 在因果系统中输出的变化并不先于输入的变 化（输入和输出的抽样率相同）
❖ 中值滤波器：在输入序列上滑动的一个长度 为奇数的窗口来实现
❖ 使用方法 ❖ 用途：处理加性随机突发噪声 程序2_5
离散时间系统的分类
❖ 线性系统 ❖ 移不变系统 ❖ 因果系统 ❖ 稳定系统 ❖ 无源和无损系统
本书讨论的离散时间系统
线性系统
❖ 叠加原理：对于线性离散时间系统，若输入为x1[n] 和x2[n]，系统输出为y1[n]和y2[n]，则当输入为
n0
滑动平均滤波器
❖ 重复测量可以较低噪声对测量的干扰
❖ 在无法重复测量的情况下：
利用n-M+1<=l<=n的M个检测的受到噪声影响的数 据x[l]按照下式求M点均值y[n]：
y[n]
1
M 1
x[n l]
M l0
滑动平均滤波器
❖ 误差估计：标准方差
n
M 1
(x[n l] y[n])2
k 0,1,2,
可以产生相同的抽样信号！
❖ 混叠：由较高频的连续正弦信号和较低 频的连续正弦信号抽样可以得到相同的 离散时间序列。 例2.12
离散时间系统
❖ 功能：对给定的输入序列进行处理得到输出 序列
❖ 处理过程：从时间序号n开始，随着n值的增 加，顺序产生输出序列： y[k] y[k+1] y[k+2] ……
❖ 在LTI系统中：若知道了冲激响应h[n]，就可以知道 系统对任意输入的输出响应
❖ 输入输出的卷积公式 （P63推导）
y[n] x[n] h[n]
❖ P63 例2.24 ❖ P64 例2.25
卷积和
卷积运算的性质
❖ 交换率 ❖ 结合率 ❖ 分配率
x1[n] x2[n] x2[n] x1[n]
❖ P62 例2.21 例2.22 例2.23
LTI离散时间系统的时域特性
❖ LTI两大特性：线性和时不变 ❖ LTI离散时间系统可以看成多个简单子系统的
互连 ❖ 讨论步骤：
输出序列可表示成冲激响应序列与输入序列的卷 积和
利用列表法计算有限长序列的卷积和 用冲激响应表示稳定性和因果性条件
输入输出关系