S域分析极点与零点

m
k(s zj)
H (s)
j 1 n
(s pi)
i 1
j
p1
z1
p0
z0
p2
z2
3
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
m
k(s zj)
H(s)
j 1 n
(s pi)
i 1
反变换
h(t)
L1
n
i1
ki s pi
n
n
kie pit
s
n0
1 s
(1 es ) (1 esT )
26
（2）求系统函数H(s)
j
H (s)
1 Cs
1
RC
R 1
s
Cs
（3）求系统完全响应的拉氏变换V0 (s)
V0 (s)
E(s).H (s)
(1 es ) s(s )(1 esT
)
V 0(s) V0t (s) V0s (s)
暂态
稳态
27
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
j
h(t)
j1 p1
0
0
t
j1 p2
H (s)
(S
1 )2
12
h(t) sin1t.u(t)
11
（3） 有二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
j
h(t)
0
t
H (s)
1 S2
h(t) t
12
（3） 有二重极点分布—— (b)在负实轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
1
)2
h(t) tet
第五章 S域分析、极 点与零点
决定系统的时域响应 决定系统频率响应 决定系统稳定性
1
系统函数的定义
• 系统零状态下，响应的拉氏变换与激励 拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).
H (s) R(s) E(s)
• 可以是电压传输比、电流传输比、转移 阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
2
系统函数的极零点分布
H2 (s)
(s
s a)2
2
零点移动
z0
到原点
z0
h(t) eat cost
h(t) eat 1 a 2 cos(t )
tg1( a )
19
（4） 零点的影响
• 零点的分布只影响时域函数的幅度 和相移，不影响振荡频率
h(t) eat cost
幅度多了
一个因子 h(t) eat 1 a 2 cos(t )
V0t
(s)
K1
s
K1
V0 (s)(s
)
s
1 1
e eT
固定常数
v0t (t)
1 1
e eT
.e t
衰减因子
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
V01(s)
H
(s).E1(s)
(1 es s(s )
)
28
（7）求第一周期的稳态响应
23
激励E(s)的极点影响
• 激励E(s)的极点也可能是复数
• 增幅，在稳定系统的作
用下稳下来，或与系统 Re[ pk ] 0
某零点相抵消
• 等幅，稳态
Re[ pk ] 0
• 衰减趋势，暂态
Re[ pk ] 0
24
稳态响应和暂态响应
• 对于稳定系统：H（S）极点的实部都小 于0
• 自由响应就是暂态响应 • 若激励E(s)的极点的实部大于或等于0，
13
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
2S 2 12 )2
h(t) t sin1t
14
（3） 有二重极点分布——
(d)在左半平面有二重共轭极点
j
j1
h(t)
0
t
j1
H
(s)
[(
2 (S ) S )2 12
]2
h(t) tet sin1t
15
j
一阶极点
16
j
二重极点 17
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋 势
• 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣 势
• 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点
• 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
18
（4） 零点的影响
H1(s)
(s
sa
a)2 2
• 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 极点相消将使某固有频率丢失。
22
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Re pi 0 增幅
• 临界稳定系统 Re pi 0 等幅
• 稳定系统 Re pi 0 衰减
来自E(s) 的极点
自由响应
n
v
r(t) kie pit kk e pkt
i 1
k 1
强迫响应
21
结论
• H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率， 与激励无关
• 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 点有关，即零点影响 K i , K k 系数
• E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 与H(s) 无关
j
0
p1
h(t)
0
et t
H (s) 1
S
h(t) et
7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p2 j1
H (s) 1
h(t) sin1t.u(t)
S 2 12
8
（2） 几种典型的极点分布——
(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点
j
p1 j1
强迫响应就是稳态响应
• 正弦稳态响应：正弦信号作用下的强迫 响应
• 若激励本身为衰减函数，强迫响应与只 有响应一起组成暂态响应，稳态响应为0
25
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。
e(t)
e(t) R
t
C
v0 (t)
T
（1）求e(t)的拉氏变换
E
(s)
1 (1 es ) esnT
tg1( a )
多了相移
20
§5.2-1 自由响应与强迫响应
u
m
(s zl ) (s z j )
R(s) E(s).H (s)
l 1 v
.
j 1 n
(s pk ) (s pi )
k 1
i 1
来自H(s) 的极点
n
R(s)
ki
v
kk
i1 s pi k 1 s pk
hi (t)
i 1
i 1
总特性
第 i个极点决定
4
（2） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点
j
h(t)
0 p1
t
H (s) 1 S
h(t) u(t)
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H (s) 1
S
h(t) et
6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
h(t)
0
0
t
p2 j1
H (s) S
h(t) cos1t.u(t)
S 2 12
9
（2） 几种典型的极点分布——
(f)共轭极点在左半平面
j
p1
j1
h(t)
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0
0
t
p2
j1
H
(s)
(S
1 )2
12
h(t) et sin1t.u(t)
10
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面