人教A版高中数学选修2-2课件-演绎推理

[解] (1)大前提：平行四边形的对角线互相平分， 小前提：菱形是平行四边形， 结论：菱形的对角线互相平分． (2)大前提：等腰三角形的两底角相等， 小前提：∠A，∠B 是等腰三角形的底角， 结论： ∠A＝∠B.
(3)大前提：数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则{an} 为等差数列，
(2)连接 GE.∵EG∥A1A，∴GE⊥平面 ABC. ∵DC⊥平面 ABC，∴GE∥DC， ∵GE＝DC＝12a，∴四边形 GECD 为平行四边形，∴CE∥GD. 又∵CE⊄平面 AB1D，DG⊂平面 AB1D，∴CE∥平面 AB1D.
1．用“三段论”证明命题的格式
××××××
(大前提)
××××××
t2lg 3－3lg lg 2×lg 3
2
＝lg
tlg 9－lg lg 2×lg 3
8＞0，
∴2x＞3y.
2x－5z＝2lglg2t－5lglg5t＝lg
t2lg 5－5lg lg 2×lg 5
2
＝lg
tlg lg
25－lg 2×lg 5
32＜0，
∴2x＜5z，
∴3y＜2x＜5z.
故选 D.]
(2)[解] 法一：(定义法)任取 x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f (x2)－f (x1) ＝ax2＋xx22－ ＋21－ax1－xx11－ ＋21 ＝ax2－ax1＋xx22－ ＋21－xx11－ ＋21
法二：(导数法)f (x)＝ax＋x＋x＋1－1 3＝ax＋1－x＋3 1. 所以 f ′(x)＝axln a＋x＋312. 因为 x＞－1，所以(x＋1)2＞0， 所以x＋312＞0.
又因为 a＞1，所以 ln a＞0，ax＞0， 所以 axln a＞0.所以 f ′(x)＞0. 于是得 f (x)＝ax＋xx－ ＋21在(－1，＋∞)上是增函数．
五类代数问题中的三段论 (1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性 等． (2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值 和最值，证明与函数有关的不等式等． (3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明 三角恒等式．
(4)数列问题：数列的通项公式，前 n 项和公式的应用，证明等 差数列和等比数列．
合作 探究 释疑 难
演绎推理与三段论
【例 1】 (1)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理 正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无理数； 结论：π 是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无限不循 环小数；结论：π 是无理数
C．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是 无理数；结论：π 是无理数
小前提：通项公式为 an＝2n＋3 时，若 n≥2， 则 an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)， 结论：通项公式为 an＝2n＋3 的数列{an}为等差数列.
用三段论证明几何问题
【例 2】 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的棱长均为 a，D，E 分别为 C1C 与 AB 的中点，A1B 交 AB1 于点 G.
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理
学习目标
核心素养
1．理解演绎推理的含义．(重点) 1．通过演绎推理的学习，培养学
2．掌握演绎推理的模式，会利 生逻辑推理的核心素养．
用“三段论”进行简单的推 2．借助“三段论”的应用，培养
理．(重点、易混点)
学生逻辑推理的核心素养.
自主 预习 探新 知
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出_某_个_特_殊_情_况_下_______的结论，
我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由_一_般_到_特_殊_____的推理．
2．“三段论”
一般模式
大前提
_已_知_的_一_般_原_理_______
小前提
_所_研_究_的_特_殊_情__况_______
D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论： 无限不循环小数是无理数
(2)将下列推理写成“三段论”的形式： ①向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
·
②0.332是有理数； ③y＝sin x(x∈R)是周期函数．
(1)B [对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理 三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于 C， 大、小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于 D，大、小前提 及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．]
把演绎推理写成“三段论”的一般方法 (1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段 论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两 个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系． (2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结 论成立的充分条件作为大前提．
[跟进训练] 1．正弦函数是奇函数，f (x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f (x) ＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的________是错误 的．
小前提 [f (x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．]
2．将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱 形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B 是等腰三角形的底角， 则∠A＝∠B； (3)通项公式为 an＝2n＋3所以四边形 ABCD 的对角线相等”，
补充该推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等 D．矩形的对边平行且相等
B [得出“四边形 ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的 对角线相等”．]
2．三段论： “①小宏在 2019 年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在 2019 年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在 2019 年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．
即 f (－x)＝－f (x)，所以 f (x)是奇函数． 任取 x1，x2∈R，且 x1<x2. 则 f (x1)－f (x2)＝1－2x12＋1－1－2x22＋1 ＝22x21＋1－2x11＋1＝2·2x2＋2x11－22xx12＋1.
③ [在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．]
3．下列几种推理过程是演绎推理的是________． ①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导 电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④ 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不 等式的应用问题.
[跟进训练] 4．已知 2a＝3，2b＝6，2c＝12，则 a，b，c 的关系是( ) A．成等差数列但不成等比数列 B．成等差数列且成等比数列 C．成等比数列但不成等差数列 D．不成等比数列也不成等差数列
A [由条件可知 a＝log23， b＝log26，c＝log212. 因为 a＋c＝log23＋log212 ＝log2 36＝2log2 6＝2b， 所以 a，b，c 成等差数列． 又因为 ac＝log2 3log2 12≠(log2 6)2＝b2， 所以 a，b，c 不成等比数列．故选 A.]
5．已知函数 f (x)＝22xx－ ＋11，求证：函数 f (x)是奇函数，且在定义 域上是增函数．
[证明] f (x)＝2x2＋x＋11－2＝1－2x＋2 1， 所以 f (x)的定义域为 R. f (－x)＋f (x)＝1－2－x2＋1＋1－2x＋2 1 ＝2－2x＋2 1＋2－x2＋1 ＝2－2x＋2 1＋22x＋·2x1 ＝2－222xx＋＋11＝2－2＝0.
① [①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．]
4．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于 0，因为 a 是实 数，所以 a2>0”，你认为这个推理的错误是________．
大前提 [这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于 0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a2>0”．显然这是个错误的 推理，究其原因，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但是结论 是错误的．]
＝ax1 (ax2－x1－1)＋x1＋1x2x－2＋21－x1x＋1－12 x2＋1 ＝ax1 (ax2－x1－1)＋x23＋x12－xx1＋1 1. 因为 x2－x1＞0，且 a＞1， 所以 ax2－x1＞1.
而－1＜x1＜x2， 所以 x1＋1＞0，x2＋1＞0， 所以 f (x2)－f (x1)＞0， 所以 f (x)在(－1，＋∞)上为增函数．
用三段论证明代数问题
[探究问题] 1．数的大小比较常见方法有哪些？
[提示] 作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图 象法、中间量法(常取 0 或 1 作为媒介)等．
2．证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么？试 以函数单调性给予说明．
[提示] 证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数 性质的相关定义及有关的知识原理．如函数单调性的证明常依据函数 单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明．
∞)上为增函数．
思路探究：(1)借助于指对互化及不等式大小的比较方法求解；(2) 利用函数的单调性或导数法求解．
(1)D [令 t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z 为正数，∴t＞1.
则
x＝log2t＝llgg
2t ，同理，y＝llgg
3t ，z＝llgg
t 5.
∴2x－3y＝2lglg2t－3lglg3t＝lg
求证：(1)A1B⊥AD； (2)CE∥平面 AB1D.