解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题

1、在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，求cos C 的最小值。

【解析】由余弦定理知2

14242)

(21

2cos 2222222

2

2

=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，

2、在ABC ∆中，60,3B AC ==，求2AB BC +的最大值。

3、在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ，且,sin 32sin a b A A B ≥+=。 （1）求角C 的大小；（2）求

a b

c

+的最大值。 解析：（1）由sin 32sin A A B +=得2sin 2sin 3A B π⎛⎫

+

= ⎪⎝

⎭，则sin sin 3A B π⎛

⎫+= ⎪⎝⎭

，因为,a b ≥则A B ≥，所以3

A B π

π+

=-，故2,33

A B C ππ+=

=。 （2）由正弦定理及（1）得sin sin =sin sin 3cos 2sin sin 363a b A B A A A A A c C ππ++⎤⎛⎫⎛

⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦

所以当3

A π

=

时，

a b

c

+取得最大值2. 4、△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (1)求B ;(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值.

【答案】

5、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 解：

6、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且满足2)a c BA BC cCB CA -⋅=⋅。

（1）求角B 的大小；

（2）若||6BA BC -=，求ABC ∆面积的最大值。

答案：（1）)cos cos c B b C -=，由正弦定理得sin )cos sin cos ,A C B B C -=

cos sin()A B C B =+cos sin A B A =，所以cos 2B =

，即4

B π

=。

（2）因为||6BA BC -=

||6CA =，即b =

2

2

2

2(2b a c ac ac =+≥-=-，即3(2ac ≤+

13

sin 242

S ac B =

=≤ 7、已知()

()2cos 23sin ,1,,cos a x x b y x =+=，且a ⫽b 。（1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）记()f x 的最大值为M ，,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若2A f M ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，且2a =，求bc 的最大值。

答案：（1）由a ⫽b 得2

2cos cos 0,x x x y +-=即

2

2cos cos cos 2212sin 216y x x x x x x π⎛

⎫=+=+=++ ⎪⎝

⎭

所以()2sin 216f x x π⎛

⎫

=+

+ ⎪⎝

⎭

，所以函数()f x 的最小正周期为π。 （2）由（1）易得3M =，于是有3,2A f M ⎛⎫==

⎪⎝⎭即2sin 136A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以sin 16A π⎛

⎫+= ⎪

⎝

⎭，故3A π=。 由余弦定理2

2

2

2cos a b c bc A =+-得2

2

42b c bc bc bc bc =+-≥-=解得4bc ≤

8、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，不等式2

cos 4sin 60x C x C ++≥对于一切实数x 恒成立。

（1）求角C 的最大值；（2）当角C 取得最大值时，若2a b +=，求c 的最大值。 答案：（1）因为max

2

cos 01

cos ,16sin 24cos 0

23

C C C

C C π

>⎧⇒≥∴=

⎨

∆=-≤⎩

（2）222

2cos ,c a b ab C =+-由（1）得2

2

2

()34312a b c a b ab +⎛⎫=+-≥-= ⎪⎝⎭

，所以c 的最小值为1.