一元函数的导数及其应用作业手册答案

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高中数学5一元函数的导数及其应用5.2.2导数的四则运算法则课时作业含解析第二册

课时作业(十五）导数的四则运算法则［练基础]1．(多选题)下列运算中正确的是()A．(ax2＋bx＋c）′＝2ax＋bB．（sin x－2x2)′＝cos x－4xC．（错误!)′＝错误!＝错误!D．（cos x·sin x）′＝－sin 2x＋cos2x2．已知函数f（x)＝x－sin x，且f（x）的导数为f′（x)，若a ＝f′错误!,b＝f′错误!，c＝f′错误!，则a，b，c的大小关系为（）A．c<b〈a B．a〉b>cC．a〈b<c D．b〈a〈c3．曲线f（x）＝－x3＋2x在横坐标为－1的点处的切线为l,则点(3,2）到l的距离是(）A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2）处切线的斜率为8，则a＝________。

5．函数f(x)＝错误!在x＝1处的切线方程为________．6．(1)曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0,1)处的切线为l1：y ＝x＋1，在点(3,4）处的切线为l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．(2）求曲线S：y＝2x－x3过点A(1，1）的切线方程．［提能力]7．已知f(x)＝错误!x2＋cos x，f′（x）为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是()8．已知函数f(x)＝错误!x2－a ln x．若函数f(x)的图象在点(1，f(1））处的切线不过第四象限且不过原点，则实数a的取值范围为________．9．已知函数f(x）＝x－错误!，g（x)＝a（2－ln x）(1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率相同,求a的值．（2)若存在一点，使得曲线y＝f（x)与曲线y＝g(x）在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围．[战疑难]10．对于三次函数f（x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，现给出定义：设f′（x)是函数f(x)的导数，f″(x）是f′（x）的导数，若方程f″(x）＝0有实数解x0,则称点（x0，f(x0)）为函数f(x）＝ax3＋bx2＋cx ＋d（a≠0)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点"就是对称中心．设函数g（x）＝2x3－3x2＋1，则g错误!＋g错误!＋…＋g错误!＝__________。

深圳市上沙中学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试(答案解析)

一、选择题1．若函数21()f x x ax x =++在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，则a 的取值范围是（） A ．[1,0]-B ．[1,)-+∞C ．[0,3]D ．[3,)+∞2．已知函数ln ,1()1,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，则12x x ⋅的取值范围是（） A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(],42ln2-∞-D ．[)42ln2,-+∞3．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 4．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（） A ．1B ．eC ．2eD ．1e5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x xf'x 0->（x 0>），则（）A ．()()()6f 13f 22f 3->->-B ．()()()2f 33f 26f 1->->-C ．()()()6f 12f 33f 2->->-D ．()()()3f 22f 36f 1->->-6．已知函数f (x )在x =x 0处的导数为12，则000()()lim3x f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．-4B ．4C ．-36D ．367．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f '+的值为（）A ．0B ．1C ．－1D ．28．函数()22xx f x e-=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．(]1,4- B ．()1,4- C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（） A ．1B ．2C ．2D ．311．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x y e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()1,212．已知奇函数()f x 在R 上是增函数且当0x ≥时()0f x ≥ ，()()g x xf x =．若()2log 5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <，则()2ln 2a f =，()1b ef =，()0c f =的大小关系为_____15．如图，C 、D 是两所学校所在地，C 、D 到一条公路的垂直距离分别为8,27CA km DB km ==.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB 上找一点P ，分别向C 、D修建两条互相垂直的公路PC 和PD ，设02APC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则当PC PD +最小时，AP =_______km .16．已知函数()1ln f x x x =--，对定义域内的任意x 都有()2f x kx ≥-，则实数k 的取值范围是______.17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有()()0x f x f x '⋅->成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是______.18．已知函数()32331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范围为__________．19．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e =__________．20．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则(3)f '＝______．参考答案三、解答题21．已知函数ln ()1xf x x=+．（1）求()f x 的最大值；（2）设实数0a >，求函数()(()1)F x a f x =-在[,2]a a 上的最小值．22．已知函数()(ln )xe f x a x x x=--，a R ∈．（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性：（2）当1a =-时，函数1()()xg x f x x e mx x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数()2()(2,)xf x x ax a e a x R =++≤∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使()f x 的极大值为3；若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.24．已知函数()1ln f x ax x =--，a ∈R . （1）当a =2时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在x =1处取得极值，对x ∀∈(0，+∞)，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1x y e >>-时，求证：ln(1)e ln(1)x yx y -+>+.25．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．26．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先求出()32221212x ax f x x a x x +-=+-='，由()f x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦是增函数，则()0f x '≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，也即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，【详解】()32221212x ax f x x a x x+-=+-='，令32()21g x x ax =+-，要使函数21()f x x ax x =++在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，则有()32210g x x ax =+-≥在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，令21()2h x x x =-+，32()20h x x '=--<，所以()h x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故1()32h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以3a ≥ 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数单调性求参数的范围，解答本题的关键是()f x 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数转化为()0f x '≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，分离参数即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，属于中档题.2．A解析：A 【分析】根据题中条件，得到()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <；令112m t e -=->，得到()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，对其求导，判定其单调性，求出值域，即可得出结果. 【详解】当1≥x 时，()ln 0f x x =>，∴()11f x +≥，当1x <时，()1122x f x ->=，()312f x +>； ∴()()1ln 1f f x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，等价于方程()()1ln 10F f x f x m +=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦有两个根1x ，2x ，则()1mf x e-+=，即()1mf x e-=-有两个根1x ，2x （不妨设12x x <），则1≥x 时，2ln 1mx e -=-；当1x <时，1112m x e --=-，令112mt e-=->，则2ln x t =，112x t -=；所以2tx e =，122x t =-；则()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，12t >，则()2tg t te '=-，当1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g t '<显然恒成立，所以函数()g t 单调递减，则()12g t g ⎛⎫<=⎪⎝⎭所以()g x 的值域为(-∞，即12x x 的取值范围为(-∞. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到()1mf x e-=-有两个根为1x 和2x ，再构造函数，利用导数的方法求解即可.3．B解析：B 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=，由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ，所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-，则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.4．B解析：B 【分析】令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可．【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b<，()a b <，令ln xy x=，则函数在(0,)t 递增，故21ln 0xy x -'=>，解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集，可得0t e <≤，故t 的最大值是e ，故选：B ．【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．5．B解析：B 【分析】根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可．【详解】设g （x ）=()2x f x ，定义在R 上的奇函数f （x ），所以g （x ）是奇函数，x ＞0时，g′（x ）=()()()()22'x f x xf x f x -，因为函数f （x ）满足2f （x ）﹣xf'（x ）＞0（x ＞0），所以g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，g (g =()11f -，可得：((()2361f f f -＞＞．故选B ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数()()2x g x f x =，利用导数得到函数()g x 的单调性，利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6．A解析：A 【分析】根据题意，由极限的性质可得则000000()()()()1lim =lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→-∆---∆-∆∆，结合导数的定义计算可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 在0x x =处的导数为12，则000000()()()()112lim=lim 4333x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→-∆---∆-=-=-∆∆；故选：A ．【点睛】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于容易题．7．C解析：C 【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果. 【详解】切线方程为：29y x =-+，当4,1x y ==，()4-2'=f 则()41=f ，()(4)4-1'+=f f 故选：C 【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8．D解析：D 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项.【详解】()f x 的定义域为R ，()()22x x f x f x e--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.当0x >时，()22xx f x e -=， ()2'22xx x f x e-++=，令'0f x 解得31x =+，所以()f x 在()0,31+递增，在()31,++∞上递减.所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.9．C解析：C 【分析】对函数()f x 进行求导，可得函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，可得()f x 的图像，由函数在区间()5,21a a -+上有最小值，数形结合可得关于a的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由3()3f x x x =-，可得()2333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+，解得：112a -<，故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据函数()xf x e =与函数()lng x x =互为反函数，将问题转化为求函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()xf x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()xf x e '=，所以函数()xf x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离2d ==，所以||MN 故选：B. 【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性，考查了导数的几何意义，属于中档题.11．B解析：B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤，所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.12．C解析：C 【分析】可判断函数()g x 为偶函数，再利用导数可证明()g x 在[)0,+∞为增函数，利用指数函数和对数函数的单调性可得0.823log 5.12>>，从而可得三个函数值之间的大小关系.【详解】因为()()()g x xf x xf x -=--=，故()f x 为偶函数，当0x ≥时，因为()()()0g x f x f x ''=+≥（不恒为零），故()g x 在[)0,+∞为增函数，又()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，因为0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，所以c a b >>，故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题.二、填空题13．【分析】求出函数的定义域利用导数求出函数的极值点由题意可知函数的极值点在区间内结合题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】函数的定义域为令可得列表如下：极解析：()1,2【分析】求出函数()f x 的定义域，利用导数求出函数()f x 的极值点，由题意可知，函数()f x 的极值点在区间()1,1k k -+内，结合题意可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】函数()2ln 2x f x x =-的定义域为()0,∞+，()211x f x x x x ='-=-. 令()0f x '=，0x ，可得1x =，列表如下：所以，函数f x 在1x =处取得极小值，由于函数()2ln 2x f x x =-在其定义域内的一个子区间[]1,1k k -+内不是单调函数，则()11,1k k ∈-+，由题意可得111110k k k -<⎧⎪+>⎨⎪->⎩，解得12k <<.因此，实数k 的取值范围是()1,2. 故答案为：()1,2. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 内存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.14．【分析】令则可以判断出在上单调递增再由根据单调性即可比较大小【详解】令则因为对于恒成立所以所以在上单调递增因为所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数利用导数判断出在上单调递增更关解析：c a b <<【分析】令()()xg x f x e =，则()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，可以判断出()()xg x f x e =在R上单调递增，再由()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =根据单调性即可比较大小. 【详解】令()()xg x f x e =，则()()()()()xxxg x f x e f x e e f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，因为()()0f x f x +'>对于x ∈R 恒成立，所以()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()()xg x f x e =在R 上单调递增，()()()ln22ln 2ln 2ln 2a f e f g ===，()()()1111b ef e f g ===， ()()()0000c f e f g ===，因为0ln 21<<，所以()()()0ln 21g g g <<，所以c a b <<，故答案为：c a b << 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()xg x f x e =，利用导数判断出()g x 在R 上单调递增，更关键的一点要能够得出()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =，根据单调性即可比较大小.15．12【分析】由题意得：再利用导数求函数的最小值即可；【详解】由题意得：当时当得：当得：当时取得最小值故答案为：12【点睛】利用导数求函数的最值注意不一定要把的值求出直接利用复合函数的性质可简化计算量解析：12 【分析】由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，再利用导数求函数的最小值即可；【详解】由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，33'228cos 27sin sin cos y θθθθ-=-，当'0y =时，2tan 3θ=，当'0y >得：2tan 3θ>，当'0y <得：2tan 3θ<， ∴当2tan 3θ=时，y 取得最小值， ∴8122tan 3AC AP θ===，故答案为：12. 【点睛】利用导数求函数的最值，注意不一定要把θ的值求出，直接利用复合函数的性质，可简化计算量.16．【分析】不等式分离变量等价变形为构造函数函数求导求出单调区间可得函数最小值【详解】∵∴也即在时恒成立令则令易知在上单调递减在上单调递增故∴故答案为：【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为解析：21(,1]e -∞-【分析】不等式()2f x kx ≥-分离变量,等价变形为1ln 1x k x x≤+-，构造函数()1ln 1x g x x-=+，函数求导()2ln 2x g x x -'=，求出单调区间，可得函数最小值.【详解】∵()1ln 2f x x x kx =--≥-，∴1ln kx x x ≤+-，0x >，也即1ln 1xk x x≤+-在0x >时恒成立.令()1ln 1x g x x-=+，0x >，则()2ln 2x g x x -'=，0x >，令()20g x x e '=⇒=.易知()g x 在()20,x e ∈上单调递减，()g x 在()2,x e ∈+∞上单调递增，故()()22min 11g x g ee ==-，∴211k e ≤-. 故答案为：21(,1]e -∞- 【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数最值问题.不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x λ≥，(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.17．【分析】令可证为偶函数且为上的增函数考虑当时的解及当时的解它们的并是所求不等式的解集【详解】等价于令则当时有故为上的增函数而故当时的解为故当时的解为因故为偶函数当时等价于因为偶函数故当时的解为即当时解析：(1,0)(1,)【分析】令()()f xg x x=，可证()g x 为偶函数且为()0,∞+上的增函数，考虑当0x >时，()0g x >的解及当0x <时，()0g x <的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】2()0x f x ⋅>等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令()()f x g x x =，则()()()2''xf x f x g x x-=，当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =，故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞，故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞，因()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数，当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，2()0x f x ⋅>的解集是(1,0)(1,)，填(1,0)(1,).【点睛】如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.18．【解析】【分析】由在区间中至少有一个极值点等价与方程在其判别式的条件下在区间有解即可求解【详解】因为而在区间中至少有一个极值点等价于方程在其判别式的条件下在区间有解所以由可得令求导数可得所以在上单调解析：55,43⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，等价与方程()0f x '=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解，即可求解．【详解】因为()22363f x x ax =-+'，而()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，等价于方程223630x ax -+=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解，所以由223630x ax -+=可得11()2a x x=+，令()11()2g x x x =+，求导数可得()211(1)2g x x=-'，所以()g x 在(2,3)上单调递增，所以5115()423x x <+<，解得5543a <<，此时满足>0∆，故实数a 的取值范围是55(,)43．【点睛】本题主要考查了利用导数在函数中的应用，解题的关键是()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点转化为方程()0f x '=在判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．19．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：-1. 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.20．【解析】结合导数的运算法则可得：则导函数的解析式为：据此可得：解析：105【解析】结合导数的运算法则可得：()()2'152'1f x x f =+，则()()()'1152'1,'115f f f =+∴=-，导函数的解析式为：()2'1530f x x =-，据此可得：()2'315330105f =⨯-=.三、解答题21．（1）11e+，（2）02a <≤时，min ()()ln F x F a a ==，当2a >时，，min 1()(2)ln 22F x F a a ==【分析】（1）令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值（2）利用（1）的结论，判断出函数的最大值在e 处取得，最小值在端点处取得，通过对a 的分类讨论比较出两个端点值的大小，求出最小值【详解】解：（1）因为ln ()1x f x x =+，所以'21ln ()xf x x -=（0x >），令'()0f x =，得x e =，因为当0x e <<时，'()0f x >，当x e >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以max ln 1()()11e f x f e e e==+=+，（2）ln ()(()1)xF x a f x a x=-=⋅，因为0a >，由（1）知()F x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以{}min ()min (),(2)F x F a F a =，因为ln ln 21()(2)ln 222a a aF a F a a a a a -=⋅-⋅=，所以当02a <≤时，()(2)0F a F a -≤，min ()()ln F x F a a ==，当2a >时，()(2)0F a F a ->，min 1()(2)ln 22F x F a a == 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，考查计算能力和分类讨论思想，属于中档题22．（1）函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）[2,)-+∞. 【分析】（1）先对函数求导，令()0f x '=求出1x =，根据导数的方法，即可得到函数单调性；（2）先由1a =-，得到()ln (1)xg x xe x m x =-++，由分离参数法方法，将原不等式化为1ln 1x x m e x +≥--，构造函数1ln ()1xx h x e x+=--，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，()22(1)()x x x ax e x a xe e f x a x x x+--'=--= ∵0a >，0x >，0x ax e ∴+>，令()0f x '=，得1x =，所以01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （2）当1a =-时，1()()ln (1)x xg x f x x e mx xe x m x x ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭由()1g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，得1ln 1xx m e x+≥--，设1ln ()1x x h x e x +=--，则222ln ln ()x x x x e xh x e x x-+'=-=-，设2()ln xx x e x ϕ=+，则0x >时，()21()20xx x x e xϕ'=++>，所以()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0e ϕ=>，1ln 2024ϕ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以函数()ϕx 在(0,)+∞上有唯一的零点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭当00x x <<时，()0x ϕ<，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '<，()h x 单调递减，所以0x >时，()00max 001ln ()1x x h x h x e x +==-- 所以001ln 1x x m e x +≥--， ()02000ln 0xx x e x ϕ=+=，000011ln x x e x x ∴=，即000011ln ln ln ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为ln y x x =+是增函数，所以0001lnln x x x ==-， 000000001ln 11122x x x x x x m e e e e x x +-∴≥--=--=--=-，即m 的取值范围为[2,)-+∞. 【点睛】思路点睛：导数的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.23．（1）()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-．【分析】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得出函数()f x 的单调区间；（2）求导，分2a =和2a <两种情况得出导函数的正负，得出函数()f x 的单调性，从而得函数的极大值，建立方程，解之可得答案．【详解】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，所以()()()'2()3212x x f x e x x e x x =++=++，令'()0f x =，得1x =-或2-，所以当2x <-或>1x -时，'()>0f x ；当21x -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-，理由如下：()()()'2()2+22x x f x e x a x a e x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦，令'()0f x =，得x a =-或2-，因为2,a ≤所以2,a -≥-所以当2a =时，'()>0f x 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 不存在极值，所以2a ≠；当2a <时，>2a --，所以当2x <-或>x a -时，'()>0f x ；当2x a -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()a -+∞，上单调递增，在()2a --，上单调递减，所以函数()f x 在2x =-时，取得极大值，所以()23f -=，即()2(2)243f a a e --=+=-，解得2432a e =-<，所以存在，243a e =-，使()f x 的极大值为3．【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间． 24．（1）函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞；（2）b ≤211e -；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间即可；（2）根据极值点得出1a =，再将题设不等式化为1ln 1x b x x≤+-，求出1ln ()1xg x x x=+-的最小值，即可得出实数b 的取值范围；（3）将1x y e >>-变形为ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=，结合分析法要证ln(1)ln(1)x yx ey -+>+只需证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++，构造函数()ln(1)x e h x x =+，利用导数证明其在(1,)e -+∞上是增函数，从而得出()()h x h y >，即ln(1)e ln(1)x yx y -+>+.【详解】解：（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，其中0x > 所以121()2x f x x x-'=-= 令()0f x '<，则210x x -<，即102x << 令()0f x '>，则210x x ->，即12x >所以函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞ （2）因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()01f '= 又1()f x a x'=-，所以10a -=，1a = 因为()2f x bx -≥对x ∀∈(0，+∞)恒成立即()1ln 2f x x x bx =--≥-对x ∀∈(0，+∞)恒成立1ln 1x b x x≤+-对x ∀∈(0，+∞)恒成立令1ln ()1xg x x x=+-，则min ()b g x ≤ 22211ln ln 2()x x g x x x x--'=--=，由()0g x '=得2x e = 所以()g x 在2(0,]e 上是递减，2[,)e +∞上是递增，所以()()22min 11g x g ee ==-所以b ≤211e - （3）因为1x y e >>-，所以+1+1x y e >>，ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+等价于ln(1)ln(1)x y e x e y +>+，即ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 要证明ln(1)ln(1)x yx ey -+>+，只要证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 令()ln(1)x e h x x =+，只要证明()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又21[ln(1)]1()ln (1)x e x x h x x +-+'=+，易知1ln(1)1x x +-+在(1,)e -+∞上是增函数所以111ln(1)ln 101x e x e e+->-=->+，所以21[ln(1)]1()0ln (1)x e x x h x x +-+'=>+ 所以()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又1x y e >>-，所以()()h x h y >，即ln(1)ln(1)x ye e x y >++，所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+.【点睛】本题的第三问中，关键是利用分析法从结论入手，构造函数结合导数证明单调性，从而利用单调性的性质证明不等式.25．（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【分析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->．所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--= 令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设，因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+ 所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x x a +-≥-，(0,)x ∈+∞ 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴324366x x x +--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设．【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．26．（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【分析】（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '=，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（2）根据导数可知()f x 在2x =-处取得极大值，即可求出c ，再求出端点处的函数值，即可判断.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩；（2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数，当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数．由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-，因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．。

人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（）A ．12B ．1CD ．23．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞4．已知函数()=x e xf x x+，1(ln )a f e =，1()2b f =，1()c f e =，则（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,∞+ D ．()(),10,-∞-+∞7．已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =，且()f x 的导函数'()41f x x <-，则不等式2()21f x x x <-+的解集为（） A ．{}|33x x -<- C ．{}|3x x >D ．{|3x x <-或3x10．已知函数()f x 的导函数()f x ，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=（） A ．5B ．6C ．7D ．-1211．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为（） A ．(,)e +∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．1(0,)(1,)e e12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（） A ．()()21ln 2f f - C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数，()()()()220,xf x f x g x x f x '+<=，则不等式()(12x g g ->的解集为______ 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 15．函数32()22=-f x x x 在区间[1,2]-上的最大值是___________.16．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______． 17．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020,若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ,则实数a ＝_______. 18．已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--的值为_______.19．已知函数()f x axlnx =，()x 0,∞∈+，其中a 为实数，()f'x 为()f x 的导函数，若()f'e 2(e 2.71828==⋯是自然对数的底数)，则a 的值为______．20．函数sin x y x e =+在点(0,1)处的切线方程是__________．三、解答题21．已知函数()1ex f x a +=，()ln1xg x a=-，其中0a >. （1）若1a =，在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点O 分别作函数()y f x =与()y g x =的图象的切线1l ，2l ，求1l ，2l 的斜率之积；（2）若()()f x g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，求a 的最小值. 22．已知函数()331f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.（3）求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.23．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值；（2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值；（3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.24．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.25．已知函数()ln f x ax x b =+，()23g x x kx =++，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，a ，b ，R k ∈．（1）若函数()f x 在(),b m 上有最小值，求a ，b 的值及m 的取值范围；（2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，其中 2.718e =⋅⋅⋅，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式()()20f x g x +≥有解，求k 的取值范围．26．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．D解析：D 【分析】()y f x =的所有切线的斜率即为()2af x x x'=+（0x >）的值域，由题意知当1x =时()f x '取得最小值，由基本不等式可知()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2ax x =即22a x =时()f x '取得最小值，可得2a = 【详解】因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2af x x x'=+，由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值，因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值，又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当1x =时()2af x x x'=+取得最小值，再利用基本不等式求()f x '取得最小值时满足2ax x=即22a x =，即可求出a 的值. 3．D解析：D 【分析】根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立，分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1，故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 4．B解析：B 【分析】求出()f x 的导数，根据导数判断出函数的单调性，再根据111ln ,,2e e的大小关系即可判断. 【详解】()=x e xf x x+，0x ≠()()()()2211xx x e x e x e x f x x x+-+-'∴==，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，11012e <<<，112f f e ⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1112f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 1ln 10e =-<，()11ln 111f f e e ⎛⎫∴=-=-< ⎪⎝⎭，111ln 2f f f e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，注意函数的定义域为{}0x x ≠，故单调区间有3个，故在判断1(ln )a f e=的大小的时候应从函数值判断，而不能直接利用单调性.5．C解析：C 【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =， ()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.6．B解析：B 【详解】()21ln 2f x x ax bx =--,,,由得，()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-', 若,由,得,当时,,此时单调递增；1x > 时,,此时单调递减；所以是的极大值点．若,则由,得或．时的极大值点, ,解得．综上：,的取值范围时．故选B ．【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-',接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．7．A解析：A 【分析】利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=，由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以当1x =时，()()min 10g x g ==，于是对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C.【点睛】本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.8．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线，当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，则原不等式可以转化为()()3g x g <，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，其导数()()41g x f x x '='-+，又由()41f x x '<-，即()410f x x '-+<，则()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，又由f （3）16=，则g （3）f =（3）18310-+-=， ()()22()21()2103f x x x f x x x g x g <-+⇒-+-<⇒<，又由函数()g x 为减函数，则有3x >，则不等式2()21f x x x <-+的解集为{|3}x x >；故选：C ．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．10．B解析：B 【分析】将()2f '看出常数利用导数的运算法则求出()f x '，令2x =求出()2f '代入()f x '，令5x =求出()5f '即可．【详解】解：()2()322f x x xf '=+，()()622f x x f '∴=+'， ()(2)1222f f '∴=+'(2)12f '∴=- ()624f x x '∴=- (5)65246f '∴=⨯-=故选B ．【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清()2f '是常数，属于基础题．11．C解析：C 【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R上的偶函数，又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即：(ln )(1)f x f <，()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,，故选C.【点睛】对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x fx f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．12．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．详解：令()(),0g x f x lnx x =->， ∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->．故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．二、填空题13．【分析】根据条件可得函数为偶函数且在单调递减从而可得不等式【详解】当时且为偶函数在单调递减解得：故答案为：【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数再利用导数研究函数的单调性进而将不等式进行等价转化解析：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件可得函数()g x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，从而可得不等式. 【详解】当0x >时，()''(()2())0g x x xf x f x =+<，且()g x 为偶函数，∴()g x 在(0,)+∞单调递减， ∴()(()111122222x x x g g g g--->⇔>⇔<112x ⇔-<，解得：1322x <<，故答案为：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等价转化.14．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根解析：()()1,00,1-【分析】令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=，因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．15．8【分析】对函数求导由导数确定单调区间由单调性确定极值再比较极值与函数端点值即可确定函数最值【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2）已知x ∈-12当2≥x>或-1≤x<0时f′(x)>0f解析：8 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值. 【详解】f ′(x )=6x 2-4x = 2x (3x -2），已知x ∈[-1，2]，当2 ≥ x >23或-1 ≤ x <0时， f ′(x )>0， f （x ）单调递增区间是2[1,0),(,2]3-，当0<x <23时，f ′(x )<0， f （x ）单调递减区间是2(0,)3，故函数在0x =处取极大值，f （0）=0，又f (2)=8，故 f （x ）的最大值是8. 故答案为：8 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了计算能力，属于基础题目.16．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>，因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x . 又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>，故()()min 11g t g e=-=-，故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.17．0【分析】结合所求式子与已知的式子特点可以对原函数求导然后利用赋值法求解即可【详解】对已知的式子两边同时求导可得：2020a （1+ax ）2019令x ＝1则：2020a （1+a ）2019＝a1+2a2解析：0 【分析】结合所求式子与已知的式子特点,可以对原函数求导,然后利用赋值法求解即可. 【详解】对已知的式子两边同时求导可得：2020a （1+ax ）2019220191232020232020a a x a x a x =++++,令x ＝1则：2020a （1+a ）2019＝a 1+2a 2+3a 3+…+2020a 2020, 又因为：a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a , 所以（1+a ）2019＝1,所以a ＝0. 故答案为：0. 【点睛】本题考查了二项式定理的系数的性质、赋值法的应用.同时考查了学生的运算能力,属于中档题.18．3【分析】根据解析式可得到解析式可求得；求导后可得到从而代入的值可求得结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题涉及到导数的运算关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的解析：3 【分析】根据()f x 解析式可得到()f x -解析式，可求得()()3f x f x -+=；求导后可得到()()f x f x ''-=，从而代入x 的值可求得结果.【详解】()333311x x x e f x x x e e --=-=-++ ()()3f x f x ∴-+=()()202020203f f ∴+-=()()222223333332121xx x x x x x e e f x x x x e e e e e ---'=+=+=-++++++ ()()f x f x ''∴-= ()()201920190f f ''∴--= ()()()()20202020201920193f f f f ''∴+-+--=故答案为：3 【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，涉及到导数的运算，关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的性质.19．1【分析】根据题意求出函数的导数将代入计算可得解可得a 的值即可得答案【详解】根据题意函数则函数若则解可得；故答案为1【点睛】本题考查导数的计算关键是掌握导数的计算公式属于基础题解析：1 【分析】根据题意，求出函数()'f x 的导数，将x e =代入计算可得()'ln 22f e a e a a =+==，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数()ln f x ax x =，则函数()()()''ln ln 'ln f x a x x ax x a x a =+=+，若()'2f e =，则()'ln 22f e a e a a =+==，解可得1a =；故答案为1．【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．20．【解析】分析：求出函数的导数求得切线的斜率由斜截式方程即可得到所求切线的方程详解：的导数为在点（01）处的切线斜率为即有在点（01）处的切线方程为故答案为点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有利用解析：210x y -+=【解析】分析：求出函数sin xy x e =+的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.详解：sin x y x e =+的导数为'cos x y x e =+，在点（0,1）处的切线斜率为0cos02k e =+=，即有在点（0,1）处的切线方程为210x y -+=. 故答案为210x y -+=.点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线()y f x =在点0x 的导数0'()f x 就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.三、解答题21．（1）1；（2）21e. 【分析】（1）利用导数的运算法则和公式求得1()e x f x +'=，1()g x x'=，得到切线1l ，2l 的斜率∴111ex l k +=，221l k x =，根据两切线都经过原点，求得121,e x x ==，进而求得两直线的斜率之积;（2）问中是典型的无法分离参数的情况，进行转化并构造函数，1()e x F x x +=，转化为()ln 1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，分类讨论，并注意利用导数进一步研究函数()F x 的单调性，当ln 10,x a ->转化为1max ln 1e x x x x a a +⎛⎫≥-⇒≥ ⎪⎝⎭，进而再次造函数令1()ex x x ϕ+=，利用导数研究单调性并求得其最大值，即得a 的最小值. 【详解】解：（1）当1a =时，()1x f x e=＋，()ln 1g x x =-设过原点O 的直线分别切()f x ，()g x 于点()111,P x y ，()222,P x y1()e x f x +'=，1()g x x'=， ∴111e x l k +=，221l k x =且11111122222e e 1e ln 11x x x x x x x x ++⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ ∴12221e 1el l k k ⋅=⋅=．（2）由1eln 1x xa a+≥-在(0,)+∞上恒成立得∵0a >，∴111eln x x a a a+≥- ln 1eln 1ln 1e (*)xx ax x x x a a a +⎛⎫⎛⎫≥-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1()e x F x x +=，∴()ln1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭①当ln 10xa-≤时，(*)左边0,>右边0,≤显然成立 ②当ln10,xa->注意到1()(1)e 0x F x x +'=+> ∴()F x 在(0,)+∞上∴1maxln1e x x x x a a +⎛⎫≥-⇒≥ ⎪⎝⎭ 令1()e x x x ϕ+=，11221e e 1()e ex x x x x x x ϕ++++--'==，令()0x ϕ'= 得01x <<时，()0x ϕ'>，()x ϕ↗；当1x >时，()0x ϕ'<，()x ϕ↘ ∴max 21()(1)x e ϕϕ==，∴21a e ≥．【点睛】本题考查求曲线上某点处的切线的斜率问题和利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题，难度一般.关键是要熟练掌握导数的运算法则和求导公式，这是一切导数问题的基础，第（2）问中将不等式整理为为ln 1eln 1ln 1e (*)xx ax x x x a a a +⎛⎫⎛⎫≥-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1()e x F x x +=，转化为()ln 1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，是难点也是解决问题的关键点，多次构造函数，并利用函数思想进行转化和求解是本题的显著特点，值得好好体会.22．（1）310x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-；（3）最大值为3，最小值为1-. 【分析】（1）对()f x 求导， ()0k f '=，计算()0f 求切点，利用点斜式即可写出切线方程；（2）令()0f x '>可得单调递增区间，令()0f x '<可得单调递减区间；（3）求出()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，即可利用单调性求出最值.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，()03k f '==-，因为()01f =，所以切点为()0,1，所以切线方程为()130y x -=--，即310x y +-=，（2）由()()()2333110f x x x x '=-=+->可得1x >或1x <-，由()()()2333110f x x x x '=-=+-<可得11x -<<，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-，（3）由（2）知()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[]1,2单调递增，所以31113312228f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3223213f =-⨯+=， ()3113111f =-⨯+=-，所以()()min 11f x f ==- ，()()max 23f x f == ，所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-，【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.23．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞.（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案；（3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案. 【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-，解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值，所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意. （3）令()6()(1)0f x x a x '=--=，得1x a =，21x =. 当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数，故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意，当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数，从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题. 24．（1）54a =；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'，由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =，知()3124f a '=--=-，解得54a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x'--=，令()0f x '=，解得1x =-或5x =，因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去. 当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减；当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增. 故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.25．（1）1,0,a b =⎧⎨=⎩；1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）2321e e k e -+≥-. 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，进而可得m 的取值范围；（2）问题等价于不等式22ln 3x x x k x++≥-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，设()22ln 3x x x h x x ++=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导可得函数的最值，进而可得k 的取值范围．【详解】（1）()()ln 1f x a x '=+，由题意得()()1011f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，解得：10a b =⎧⎨=⎩，故()ln 1f x x '=+，当()0f x '>，即1x e>时，()f x 单调递增，当()0f x '<，即10x e<<时，()f x 单调递减，因为()f x 在()0,m 上有最小值，所以m 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）关于x 的不等式()()20f x g x +≥在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即232ln 0x x x kx ++≥+在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，等价于不等式22ln 3x x x k x++≥-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，设()22ln 3x x x h x x ++=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()2223x x h x x+-'∴=-，当()0h x '>，即11x e<<时，()h x 单调递增，当()0h x '<，即1x e <<时，()h x 单调递减，又21321e h e e e -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2e 2e 3e e h ++=-，所以()()22222211233212420e e e e e e e e h h e e e e e e ---++-+-++⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭，故()2min 1321e e h x h e e -+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2321e e k e-+≥-．【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.26．（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【分析】（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '=，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（2）根据导数可知()f x 在2x =-处取得极大值，即可求出c ，再求出端点处的函数值，即可判断.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩；（2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数，当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数．由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-，因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．。

2022届新高考(全国I卷)地区优质数学分项解析15一元函数导数及其应用(解答题)解析版.docx

2022届新高考(全国I卷)地区优质数学试卷分项解析专S 15 一元函数导数及其近用(解答题)36. (2021-湖南师大附中高三月考)已知函数/(^) = %lnx-|(x2-l).(1)若/'(x)在(0,+<»)内是减函数，求a的取值范围；(2)已知lim —= 0,若0<G<1,求/'(%)的零点个数.%—>+<» 尤【答案】(1) [1,+8)； (2) 3个.【分析】(1)将/'(》)是减函数转化为广(x)MO恒成立，再分离参数求函数的最值.(2)在0<。

<1的条件下分析函数f(x)的单调性，求出/'⑴的极值和极限值，结合/'(X)的图象在各单调区间内与x轴相交进而确定零点的个数.【详解】(1)f'(x) = lnx+l-ax.因为/'(%)在(0,+初内是减函数，则当x>0时，r(x)<0恒成立，即lnx+l-ar<0,即恒成立.设g(》)=电，则g,(x)=或n=-性.由g'(x)>0,得lnx<0,即O<X<1,所以g⑴在(0,1)上单调递增，在(1，+°°)上单调递减，从而g(X)ma=g (1)=1.因为aZg(x)恒成立，所以。

的取值范围是[1,+8).(2)由(1)知，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+°°)上单调递减.又当0<x<(时，g(x)<0；当x—时，g(x)>0,则函数y = g(x)的大致图象如图所示.因为0<a<l,贝U直线> =a与函数y = g(x)的图象有两个不同的交点，从而广(X)有两个变号零点，所以/'(》)有两个不同的极值点.设/'⑴的两个极值点为X],如且而 <习.则4<吐<1<工2.e当Ovxv^i 或工>尤2时，因为<>g(.) =血尤 + 1,贝ij/r(x) = lnx+l-av<0, 所以/'(x)在(0,西)，(工2，+°°)上单调递减：当X,<x<x2时，因为a<g(x) = ln：+l , 则f\x) = \nx+\-ax>Q,所以/'(x)在(也,与)上单调递增，从而/'(x)的极小值点为％,极大值点为工2 .因为气<1<习，则/(^)</(1) = 0, /(^)>/(1) = 0,所以，(力在(气,互)内有一个零点.因为lim 归4 =。

第三章一元函数的导数及其应用第1节变化率与导数、导数的计算

故切线方程为y＋1＝－2(x－π),即2x＋y－2π＋1＝0.
答案 C
5.(2019·重庆一中月考)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x,则f′(0)＝________. 解析 f′(x)＝－3－22x－2sin 2x，所以 f′(0)＝－23. 答案－23
6.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________. 解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1), 所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3,所以所求切线方程为y＝3x. 答案 y＝3x
＝2f′(1)＝2.
(3)由 f(x)＝(x2－a)ln x，得 f′(x)＝2xln x＋x2－x a. ∴f′(1)＝1－a＝－2,解得a＝3.
答案
4 (1)4x2－1
(2)B
(3)3
考点二导数的几何意义
【例 2】 (1)(2020·安徽江南十校联考)曲线 f(x)＝1－2xln x在点 P(1，f(1))处的切
【训练 2】 (1)(多填题)(2020·潍坊调研)已知函数 y＝f(x)对任意的 x∈R 都有 f(1 －x)－2f(x)＝x2－1，则 f(－1)＝________，曲线 y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为________. (2)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为________.
线 l 的方程为( )
A.x＋y－2＝0
B.2x＋y－3＝0
C.3x＋y＋2＝0
D.3x＋y－4＝0
(2)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y＝ln x 上，且该曲线

高二数学(必修二)一元函数的导数及其应用练习题及答案

高二数学（必修二）一元函数的导数及其应用练习题及答案一、单选题1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c ）随开窗通风换气时间（t ）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（）A ．[5,10]B ．[5,15]C ．[5,20]D ．[5,35]2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是2()10 4.98h t t t =-+（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（） A ．6.75米/秒B ．6.55米/秒C ．5.75米/秒D ．5.55米/秒3．若过点(,)a b 可以作曲线1(0)y x x x=->的两条切线，则（） A ．0b a >>B ．1a b a a>>-C ．10a b a a <-<<D ．10a b a a-<<<4．已知3()f x x =，则0(1)(1)lim x f x f x∆→-+∆--=∆（）A ．0B ．3-C ．2D ．35．函数()()e sin cos xf x x x =+在点()0,1处切线方程为（）A ．41y x =+B ．31y xC ．21y x =+D ．1y x =+6．下列求导运算过程中，正确的是（）． A ．()()22()ax bx c a x b x '''++=+ B ．()()22cos 2(cos )2x x x x ''''-=- C ．(sin 2)(sin )cos (cos )sin x x x x x '''=+D ．()2212(2)x x x x -'⎛⎫''-=+ ⎪⎝⎭7．当121x x <<时，不等式1221e e 0x xx x -<成立.若e e a b >>，则（）A ．e 1e e b b -8．已知过点()2,b 不可能作曲线2e x y =的切线．对于满足上述条件的任意的b ，函数()()22ln e 112x a b f x x a a x =-++>恒有两个不同的极值点，则a 的取值范围是（）A ．(21,e ⎤⎦B ．(2e,e ⎤⎦ C ．)2e,e ⎡⎣D ．()21,e二、多选题9．已知点()11,A x y ，()22,B x y 在函数()y f x =的图像上，若函数()f x 从1x 到2x 3则下面叙述正确的是（） A ．曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为6πB ．曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC ．曲线()y f x =的割线AB 3D ．曲线()y f x =的割线AB 310．（多选）下列说法中错误的是（） A ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在0x x =处没有切线 B ．若曲线()y f x =在0x x =处有切线，则()0f x '必存在 C ．若()0f x '存在，则曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率存在D ．若曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处没有切钱11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x =-B ．()ln 4f x x x =-C ．()321f x x x =-+-D ．()e xf x x =12．已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0R a b >∈，，则下列结论正确的是（）A ．()f x 必有两个极值点B ．()y f x =有且仅有3个零点时，b 的范围是()0,4aC ．当2b a =时，点1,02⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心D ．当56a b a <<时，过点()2,A a 可以作曲线()y f x =的3条切线三、填空题13．函数()1e x f x x=+在其图象上的点()1,e 1+处的切线方程为________．14．设点P 是曲线e e e ex xx x y ---=+上任意一点，直线l 过点P 与曲线相切，则直线l 的倾斜角的取值范围为______.15．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，若()14f =，且()23f x x '-<对任意的x ∈R 恒成立，则不等式()()23223f x x x -<-的解集为________．16．已知函数1e 1,1()ln(1),1x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩则函数1()[()]2()2F x f f x f x =--的零点个数为___________．四、解答题17．在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度(单位：弧度)由函数φ(t )＝4t －0.3t 2(单位：秒)给出.（1）求t ＝2秒时，P 点转过的角度；（2）求在2≤t ≤2＋Δt 时间段内P 点转过的平均角速度，其中①Δt ＝1，②Δt ＝0.1，③Δt ＝0.01.18．已知函数2()()f x x x a =-.(1)当(0,1)x ∈时，函数()f x 的图像上任意一点处的切线斜率为k ，若3k ≥-，求实数a 的取值范围；(2)若2a =-，求曲线()y f x =过点(1,(1))M f --的切线方程.19．求下列函数的导函数： (1)sin y x x =(2)2ln x y x=(3)tan 2ln y x x x =-20．已知函数2()(,)mxf x m n x n=∈+R ，在1x =处取得极小值2． (1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的极值；(3)设函数2()2g x x ax a =-+，若对于任意1x ∈R ，总存在[]21,1x ∈-，使得21()()g x f x ≤，求实数a的取值范围．21．已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R ． (1)若2a =-，求函数()f x 的单调区间；(2)若1a ≥，且()1f x >在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求a 的取值范围；(3)若1e>a ，判断函数()[()1]g x x f x a =++的零点的个数．22．已知函数()e x ax f x =和函数()ln xg x ax=有相同的最大值，直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为123,,x x x . (1)求实数a 的值； (2)求证：2132x x x =.参考答案1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．A 9．BC 10．ABD 11．AD 12．ABD 13．()e 12y x =-+ 14．π0,4⎛⎤⎥⎦⎝15．(2,)+∞ 16．517.解析 (1)当t ＝2时，φ(2)＝4×2－0.3×22＝8－1.2＝6.8(弧度). (2)∵tϕ∆∆＝(2)(2)t t +∆-∆ϕϕ＝24(2)0.3(2) 6.8t t t+∆-+∆-∆＝4－1.2－0.3Δt ＝2.8－0.3Δt ， ∴①当Δt ＝1时，平均角速度为tϕ∆∆＝2.8－0.3×1＝2.5(弧度/秒)； ②当Δt ＝0.1时，平均角速度为tϕ∆∆＝2.8－0.3×0.1＝2.77(弧度/秒)； ③当Δt ＝0.01时，平均角速度为tϕ∆∆＝2.8－0.3×0.01＝2.797(弧度/秒). 18．（1）函数2()()f x x x a =-的导数为22()2()32f x x x a x x ax '=-+=-，由题意可得当()0,1x ∈时，2323x ax -≥-恒成立，即有123a x x⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由勾函数的性质知，函数13y x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递增，在(1,0)-和(0,1)上单调递减，所以113()3(1)61x x +>+=，即有26a ≤，则3a ≤，所以a 的取值范围是(],3-∞.（2）函数2()(2)f x x x =+的导数为2()34f x x x '=+，设切点为(),m n ，则322n m m =+，()f x 在x m =处的斜率为234k m m =+，即有切线方程为()234()y n m m x m -=+-，将()1,1M -代入可得()3221234(1)m m m m m --=+--，整理可得2(1)(21)0m m ++=，解得1m =-或12m =-，即有所求切线的方程为()11y x -=-+或51(1)4y x -=-+，即y x =-或5144y x =--. 19．（1）12sin sin y x x x x ==⋅，()111122221sin sin sin cos 22y x x x x x x x x x x x '-'⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅= ⎪⎝⎭'.（2）2ln x y x=，()()()22222212ln ln ln (2ln 1)ln ln ln x x x x x x x x x x y xxx ''⋅-⋅⋅-='-⋅==.（3）tan 2ln y x x x =-，()()()22222sin cos sin cos sin cos sin 1tan cos cos cos cos x x x x x x xx x x x x ''''-+⎛⎫==== ⎪⎝⎭， ()()22tan tan 2ln tan cos x y x x x x x x x x''=⋅+⋅-=+-''. 20．（1）∵2()mxf x x n=+，则2222222()2()()()m x n mx mn mx f x x n x n +--'==++，由题意可得()()()2121101m f n mn m f n ⎧==⎪+⎪⎨-==+'⎪⎪⎩，解得41m n =⎧⎨=⎩，则函数()f x 的解析式为24()1x f x x =+，且224(1)(1)()(1)x x f x x --+'=+，令()0f x '=，解得：1x =±，则当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x()1-∞-，1-()11-，1()1+∞，()f x '-+-()f x减极小值2- 增极大值2减故41m n =⎧⎨=⎩符合题意，即24()1x f x x =+.（2）由（1）可得：当=1x -时，函数()f x 有极小值2-；当1x =时，函数()f x 有极大值2. （3）∵函数24()1xf x x =+在0x >时，()0f x >，在0x <时，()0f x <且(0)0f =， ∴由（1）知：当=1x -时，函数()f x 有最小值2-，又∵对任意1x ∈R 总存在[]21,1x ∈-，使得21()()g x f x ≤，则当[]1,1x ∈-时，()g x 的最小值不大于2-，对于222()2()g x x ax a x a a a =-+=-+-开口向上，对称轴为x a =，当1a ≤-时，则()g x 在[]1,1-上单调递增，故()g x 的最小值为(1)132g a -=+≤-，得1a ≤-；当1a ≥时，则()g x 在[]1,1-上单调递减，故()g x 的最小值为(1)12g a =-≤，得3a ≥；当11a -<<时，则()g x 在[)1,a -上单调递减，在[],1a 上单调递增，()g x 的最小值为2(2)g a a a =-≤-，得1a ≤-或2a ≥，不合题意，舍去；综上所述：a 的取值范围是(][),13,-∞-+∞.21．（1）若2a =-，则1()2ln ,(0,)f x x x x x=--+∈+∞，2(21)(1)()x x f x x -+-'=由()0f x '>得，01x <<；由()0f x '<得，1x >．所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1,)+∞．（2）依题意，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上min ()1f x >．222(1)1(1)(1)(),1ax a x ax x f x a x x -++--==≥'．令()0f x '=得，1x =或1x a=．若e a ≥即11e a ≤，则由()0f x '>得，1e x <≤，()f x 递增；由()0f x '<得，11ex ≤<，()f x 递减．所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件；若1e a <<，则由()0f x '>得1e1x a≤<或1e x <≤，在1e1x a≤<时()f x 递增或1e x <≤时()f x 递增；由()0f x '<得11x a <<，()f x 递减．min 1()min ,(1)e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，依题意11e (1)1f f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<．若1a =，则()0f x '≥．所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，min 1()1e f x f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，不满足条件；综上，2a >．（3）2(0,),()(1)ln (1)1x g x ax a x x a x ∈+∞=-+++-．所以()2(1)ln g x ax a x '=-+．设()2(1)ln m x ax a x =-+，12(1)()2a ax a m x a x x-='++=-．令()0m x '=得12a x a+=．当102a x a+<<时，()0m x '<；当12a x a +>时，()0m x '>．所以()g x '在102,a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，在12,a a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()g x '的最小值为11(1)1ln 22a a g a a a ++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'．因为1e>a ，所以111122222ee a a a +=+<+<．所以()g x '的最小值11(1)1ln 022a a g a a a ++⎛⎫⎛⎫=+->⎭⎝'⎪⎪⎝⎭．从而，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．又5210352111(62ln )1e e e a g a a a a+⎛⎫=++-⎪⎝⎭，设3()e (2ln 6)h a a a =-+．则32()e h a a ='-．令()0h a '=得32e a =．由()0h a '<，得320e a <<；由()0'>h a ，得32e a >．所以()h a 在320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以min 32()22ln 20e h a h ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭．所以()0>h a 恒成立．所以332ln 6e 2ln 6,1e a a a a+>+<．所以5272722721111111111110e e e e e e e e e a g a a a +⎛⎫<+-=++-<++-<⎪⎝⎭．又(1)20g a =>，所以当1e>a 时，函数()g x 恰有1个零点． 22.（1）()()(1)e ex xax a x f x f x -'=⇒=，()()2ln 1ln x x g x g x ax ax -'=⇒=，当a<0时，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当1x <时，()()0,f x f x '<单调递减，所以当1x =时，函数()f x 有最小值，没有最大值，不符合题意；当0a >时，当1x >时，()()0,f x f x '<单调递减，当1x <时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当1x =时，函数()f x 有最大值，即()()max 1ea f x f ==；当0a >时，当e x >时，()()0,g x g x '<单调递减，当0e x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当e x =时，函数()g x 有最大值，即()()max 1e eg x g a ==；于是有11,0,1ea a a a ae=⇒=±>∴=，（2）两个函数大致图象如下：设()(),f x g x 图象的交点为M ，第 11 页共 11 页当直线y m =经过点M 时，此时直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，不妨设12301e x x x <<<<<，且12312223ln ln e e x x xx x x m x x ==== （*）由()()1212212ln 2ln ln ln e e x x x x xf x f x x ==⇒=，又121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以12ln x x =，又()()3233223ln 3ln ln ln e e x x x xx f x f x x ==⇒=，又231,ln ln e 1x x >>=，又当1x >时，()f x 单调递减，所以23ln x x =，由（*）可得：332222ln 1ln ln x x x x x x m ===， 22121ln x x x x m==，于是有23213212x x x x x x x =⇒=.。

高二数学《一元函数的导数及其应用》(解析版)

一元函数的导数及其应用【学习目标】1. 掌握导数的概念和导数的基本运算。

2. 体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想。

【基础知识】一、导数的概念及运算 1．导数的概念一般地，函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′0|x x =即f′(x 0)＝0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆. 称函数f′(x)＝000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f(x)的导函数．2．导数的几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)2()'()()()'()'()[()]f x f x g x g x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(g(x)≠0)．5.常用结论1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.1()f x⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝－2'()[()]f xf x.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．三、利用导数解决函数的极值最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点. 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x 0)＝0”是“函数f(x)在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.四、利用导数研究生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是什么？答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问题.【考点剖析】考点一：导数的概念及其意义例1．曲线x y e =上的点到直线10x y --=的距离的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【详解】解：x y e =，所以e x y '=，设曲线在()00,xP x e 处的切线与直线10x y --=平行，则01x e =，所以00x =，切点(0,1)P ，曲线x y e =上的点到直线10x y --=的最短距离，即为切点P 到直线10x y --=的距离|011|22d --==，故选：C ．考点二：导数的运算例2．求下列函数的导数：（1）41y x =（2）34y x （3）3x y = （4）1()2xy =（5）4log y x = （6）12log y x =【答案】（1）解：因为441y x x-==，所以()454y x x --''==-；（2）解：因为4343y x x ==，所以413343y x x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭；（3）解：因为3x y =，所以3ln 3x y '=；（4）解：因为1()2x y =，所以21()12ln x y '=；（5）解：因为4log y x =，所以1ln 4y x '=；（6）解：因为12log y x=，所以111ln 2ln2y x x '==-；考点三：导数在研究函数中的应用例3．若函数()3231f x x x mx =+-+在[]2,2-上为单调增函数，则m 的取值范围（）A ．[)24,∞-+B ．[)1,∞-+C ．(],3∞--D ．(],0∞-【答案】C 【详解】由函数()3231f x x x mx =+-+在[]22-,上为单调增函数，可得()2360f x x x m '=+-≥在[]22-,上恒成立，即236m x x ≤+在[]22-,上恒成立，即()2min 36m x x ≤+，令22363(1)3t x x x =+=+-，[]2,2x ∈-．所以当1x =-时，min 3t =-，所以3m ≤-．故选：C ．【真题演练】1. 已知函数()f x 在0x x =处可导，若000()()lim12x f x x f x x→+∆-=∆，则0()f x '=____________．【答案】2 【详解】 000000()()()()1limlim 122x x f x x f x f x x f x x x →→+∆-+∆-==∆∆，所以000()()lim 2x f x x f x x→+∆-=∆0000()()()lim2x f x x f x f x x→+∆-'==∆．故答案为：2．2. 已知函数3C :()ln f x x x =+，则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为___________．【答案】430x y --= 【详解】解：因为21()3f x x x'=+，所以(1)4k f '==，又(1)1,f =故切线方程为14(1)y x -=-，整理为430x y --=，故答案为：430x y --=3. 若函数()f x 的导函数为偶函数，则函数()f x 的解析式可能是（） A ．()1cos f x x =+ B ．()2f x x x =+C ．()sin 2f x x =D ．()xf x e x =-【答案】C 【详解】()1cos f x x =+，则()sin f x x '=-，为奇函数，A 排除； ()2f x x x =+，则()21f x x =+，为非奇非偶函数，B 排除；()sin 2f x x =，则()2cos2f x x '=，为偶函数，C 满足；()e x f x x =-，则()e 1x f x '=-，为非奇非偶函数，D 排除.故选：C. 4. 已知4ln 4a a -=，3ln 3-=bb ，22ln -=c c ，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（）A ．c b a <>'f x x ，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C5. 下列求导运算正确的是（） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．()e e x x --'=- C ．()555log xx x '=D ．()2cos sin cos cos x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【详解】对于A ，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，A 错；对于B ，()e e x x --'=-，B 对；对于C ，()'55ln 5x x =，C 错；对于D ，()2cos sin cos cos x x x xx x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 错. 故选：B.6. 设()()sin cos xf x e x x =-，其中 02019x π≤≤，则 ()f x 的极大值点个数是（）A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020【答案】A 【详解】由题意，函数()()sin cos xf x e x x =-，可得()()()'sin cos cos sin 2sin x x xf x e x x e x x e x =-++=，令()0f x '>，即sin 0x >，解得22,k x k k Z πππ<<+∈，令()0f x '<，即sin 0x <，解得222,k x k k Z ππππ+<<+∈，所以函数()f x 在(2,2)k k πππ+递增，在(2,22),k k k Z ππππ++∈递减，故函数()f x 的极大值点为2,x k k Z ππ=+∈，因为02019x π≤≤，即,3,5,7,2017x πππππ=，共1009个.故选：A.7. （多选）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()0,1C ．()1,0-D ．()1,+∞【答案】AB 【详解】解：设()()f xg x x=，则()()()2''xf x f x g x x -=，当0x >时总有()()'xf x f x <成立，即当0x >时， ()'g x <0恒成立，∴当0x >时，函数()()f xg x x=为减函数，又()()()()f x f x g x g x x x---===--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，又()()1101f g --==-，所以不等式()0f x >等价于()·0x g x >，即()00x g x >⎧⎨>⎩或()00x g x <⎧⎨<⎩，即01x <<或1x <-，所以()0f x > 成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃．故选：AB ．8. 已知函数()ln af x x x=+，()sin x g x e x =+，其中a ∈R . （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，证明：()()g x f x x<. 【答案】（1）()ln af x x x =+的定义域为(0,)+∞221()a x a f x x x x-'=-=当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得x a >；令()0f x '<，解得0x a <<；综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无减区间；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（2）1a =，1()ln f x x x ∴=+，即证：1sin ln x e xx x x ++<0x，即证：sin ln 10x e x x x +-->当(0,1)x ∈时，e 1x >，sin 0x >，ln 0x x <sin ln 1110x e x x x ∴+-->-=当[1,)x ∈+∞时，令()sin ln 1x g x e x x x =+--，则()e cos ln 1x g x x x '=+--1()sin 110x g x e x e x''=--≥--> ()cos ln 1x g x e x x '∴=+--在[1,)+∞上单调递增()(1)cos1010g x g e ''∴≥=+-->()sin ln 1x g x e x x x ∴=+--在[1,)+∞上单调递增()(1)sin1010g x g e ∴≥=+-->综上所述：sin ()x e xf x x+<，即()()g x f x x <【过关检测】1. 若曲线3ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线斜率为2，则=a ___________. 【答案】1 【详解】213y ax x'=-，132|1x y a ==-∴='，解得1a =. 故答案为：12. 已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--．（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）解：当0a =时， ()2x f x e x =--，则()21xf x e '=--.所以()00213f e '=--=-，而(0)2f =-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3++20x y =. （2）解：因为()f x 有两个零点，所以方程()0f x =有两个不同的根，即关于x 的方程()22x x xa e +x e e +=，即22x x x +x e a e +e=有两个不同的解，令()2+2+x x x e x g x e e =，则y a =与()2+2+xx x e xg x e e=的图象有两个交点，且()()()()22++1+21x x x x x e e e g x e e x -'=-.令()+1x x h x e --=，则()'10x h x e --<=，且()0+010h e x --==，所以当()0x ∈-∞，时，()>0h x ，即()>0g x '，()g x 单调递增，当()0+x ∈∞，时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()000+2001+e g x g e e ≤==，且()()12112110+e g e e---⨯--=<，当+x →∞时，()0g x →，所以要使y a =与()2+2+xx x e xg x e e=的图象有两个交点，则a 的取值范围是()0,1.3. 已知()21πsin 42f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】∵()221π1sin cos 424f x x x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， ∴()1sin 2f x x x '=- 易知()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 和D ，由ππ106122f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ，所以A 正确. 故选：A.4. 已知()f x '是函数()f x 的导数，且对任意的实数x 都有()()()e 22x f x x f x -'=--，()08f =则不等式()0f x <的解集是（）A ．()2,4-B ．()(),02,-∞+∞C ．()(),42,-∞-+∞ D ．()(),24,-∞-+∞【答案】D【详解】设()()x g x e f x =，000)e )8((f g ==，因为()()()e 22x f x x f x -'=--，所以()()e (22)x f x f x x -'+=-，所以()e ()e ()e (()())22x x x g x f x f x f x f x x '''=+=+=-．因此2()2g x x x c =-+，(0)8g c ==，所以2()28g x x x =-++，228()e xx x f x -++=，不等式()0f x <即为2280ex x x -++< ，2280x x -->，解得2x <-或4x >．故选：D ． 5. （多选）已知函数()2ln 2x ax f x x +=+.，若()f x 的图象存在两条相互垂直的切线.则a 的值可以是（）A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-【答案】AB【详解】∵函数()2ln 2x ax f x x +=+，定义域为()0,∞+，∴()12a f x x x '=++， ∴()1222a a f x x x '=++≥+，当且仅当1x x =时，取等号，要使()f x 的图象存在两条相互垂直的切线，则()12,0,x x ∃∈+∞，()()121f x f x ''=-，所以()12a f x x x'=++的值必有一正一负，当3a =-时，()1122a f x x x '=++≥，不合题意，当4a =-时，()102a f x x x '=++≥，不合题意，当5a =-时，()152f x x x =+-'，则()12,0,x x ∃∈+∞，()()121f x f x ''=-，例如()12,0,x x ∃∈+∞，()()11221215115,4242f x x f x x x x ''=+-=-=+-=，故a 的值可以是5-，当6a =-时，()13f x x x'=+-，则()12,0,x x ∃∈+∞，()()121f x f x ''=-，例如()12,0,x x ∃∈+∞，()()1122121113,344f x x f x x x x ''=+-=-=+-=，故a 的值可以是6-. 所以a 的值可以是5-或6-.故选：AB.6. 已知函数()f x 的解析式唯一，且满足()()()e ,12e x xf x f x f +=='.则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为___________.【详解】由()()()'[]xf x f x xf x +='，可得()'[]e x xf x =，设()e x xf x m =+，又由()12e f =，有()1e 2e f m =+=，得e m =，可得()()()()()'22e e e 1e e e e ,,1e x x x x x x f x f x f x x x -+--+='===-，故所求切线方程为()2e e 1y x -=--，整理为e 3e y x =-+.故答案为：3y ex e =-+7. 已知函数()()2ln 1f x x ax x =-+-+.（1）函数()f x 在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是减函数，求实数a 的取值范围：（2）已知函数()f x 既存在极大值点又存在极小值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 定义域为()1,-+∞，()121f x x a x '=-+-+，由题意1201x a x -+-≤+在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上恒成立，即()12121x a x ++≥++在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上恒成立，令110,2t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，由对勾函数知：()12g t t t =+在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，()132g t g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以23a +≤，得1a ≤，所以实数a 的取值范围为(],1-∞.（2）()()22211211x a x a f x x a x x -+-+-'=-+-=++， ()f x 既存在极大值又存在极小值等价于方程()22210x a x a -+-+-=在区间()1,-+∞上有两个不相等的实数根，需满足()()222102142810a a a a a ⎧-+-+-<⎪-⎪>-⎨-⎪⎪-+->⎩解得:2a >-+所求实数a的取值范围为()2-++∞8. 若函数()3231f x x x mx =+-+在[]2,2-上为单调增函数，则m 的取值范围（） A ．[)24,∞-+B ．[)1,∞-+C ．(],3∞--D ．(],0∞-【答案】C【详解】由函数()3231f x x x mx =+-+在[]22-,上为单调增函数，可得()2360f x x x m '=+-≥在[]22-,上恒成立，即236m x x ≤+在[]22-,上恒成立，即()2min 36m x x ≤+，令22363(1)3t x x x =+=+-，[]2,2x ∈-．所以当1x =-时，min 3t =-，所以3m ≤-．故选：C ．9. 已知函数()()ln 1f x a x x a R =+-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()e 1x y f ax =-+与()e ln a y x a =+的图像有两个不同的公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()()ln 1f x a x x a R =+-∈，()1a x a f x x x+'∴=+=，()0x >. ①、当0a ≥，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；②、当0a <，令()0f x '=，得x a =-，∴()0,x a ∈-时，()0f x '<；(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，∴()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.综上所述：当0a ≥，()f x 的单调递增为()0,+∞，无单调递减区间；当0a <，()f x 的单调递增为(),a -+∞，()f x 的单调递减为()0,a -.（2）根据题意可知：方程()()e 1e ln x a f ax x a -+=+，即()e e ln x a x a =+有两个不同的实根.由()e e ln x a x a =+可得：()ln e eln x a x x x a +=+. 令()e x g x x =，0x 时，()()1e 0x g x x '=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，要使()()ln g x g x a =+有两个不同的实根，则需ln x x a =+有两个不同的实根.令()ln h x x x a =--，则()111x h x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， ()()min 11h x h a ∴==-.①、若1a <，则()0h x >，()h x 没有零点；②、若1a =，则()0h x ≥，当且仅当1x =时取等号，()h x 只有一个零点；③、若1a >，则()110h a =-<，()e e 0a a h --=>，()e e 2a a h a =-.令()e 2a a a ϕ=-，则当1a >时，()e 2e 20a a ϕ'=->->，即()a ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 20a ϕϕ>=->，即()e 0a h >.故此时()h x 在()0,1上有一个零点，在()1,+∞上有一个零点，符合条件. 综上可知，实数a 的取值范围是()1,+∞.10. 已知()2123ln 2f x x x x =--，()321ln 6g x x x a x =+-．（1）求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）已知()31()6F x g x x =-的两个零点为1212,()x x x x <，且0x 为()F x 的唯一极值点． ①求实数a 的取值范围；②求证：12034x x x +>．【答案】（1）解：因为21()23ln 2f x x x x =--，所以定义域为(0,)+∞ 所以33()2,(1)4,(1)2=--=-=-''f x x f f x ，所以切线方程为8250x y +-=；（2）①证明：2()ln F x x a x =-，若0a ≤，则函数2()ln F x x a x =-在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点，所以0a >,由()20a F x x x '=-==，得0x =当x ⎛∈ ⎝，()0F x '<；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0F x '>；所以()F x 在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，因为当x 趋近+∞时，()F x 趋近+∞；当x 趋近0时，()F x 趋近+∞，要使()F x 有两个零点，只要满足()00F x <，即202e =-<⇒>F a a ；②因为120x x <<>21(1)x t t x =>，由()()12F x F x =，所以221122ln ln -=-x a x x a x ，即2221111ln ln x a x t x a tx -=-，因此212ln 1a t x t =-，而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>即证221(31)8t x a +>，即证22ln (31)81a t t a t +>-，由0,1a t >>，只需证22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88p t t t t =+-+，则1()(186)ln 76p t t t t t'=+-++，令1()(186)ln 76n t t t t t=+-++，则261()18ln 110(1)t n t t t t -'=++>>，故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=，故()p t 在(1,)+∞上递增，()(1)0p t p >=，所以12034x x x +>。

专题4 一元函数导数及其应用(含答案解析)

专题4一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（）A ．1(,)3+∞B ．1(,3-∞C ．1[,)3+∞D ．1(,3-∞2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（）A ．y x=-B ．2y x =-+C ．y x=D ．2y x =-3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则()A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1254．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()()()2sin xx e e x f x x eππ-+=-≤≤的图象大致为()A ．B ．C ．D ．5．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值7．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多选题8．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设函数()()ln ,01,0x x x f x e x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零，则实数b 可取的值可能是()A ．0B ．12C ．1D ．29．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．MB ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =三、填空题11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a =12．（2020届山东省烟台市高三模拟）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．14．（2020·山东高三模拟）已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则2m a +=________.15．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x =共点处有共同的切线，则实数a 的值为______．16．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.17．（2020届山东省淄博市高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.四、解答题18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+．19．（2019·宁德市高级中学高三月考（理））已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.20．（2020·山东高三模拟）已知函数()21()1ln ()2f x m x x m =--∈R .（1）若1m =，求证：()0f x ≥.（2）讨论函数()f x 的极值；（3）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.21．（2020届山东省高考模拟）已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()1xf x ax e a R =-∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在一个正实数a ，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.23．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin x g x x =-，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．24．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n ni n =-->+∑成立.25．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由.27．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（1）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（2）若存在01x >-，使得当()01,x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.28．（2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中，11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.29．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知函数()()2ln 12a f x x x xb =---，,R a b ∈.（1）当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值.30．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<．31．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数()22()xf x e ax x a =++在1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈2.236≈）32．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()ln 1f x x x =-，()()22g x ax a x =--.（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；（2）设函数()()()2G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有()11A x y ，，()22B x y ，两个不同的交点，证明：()12ln 2ln 2x x >+.33．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.（1）讨论()f x 的单调性（2）求实数0x 和a 的值（3）证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N 34．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()()20f x lnx ax x a =--+≥．()1讨论函数()f x 的极值点的个数；()2若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12322f x f x ln +>-．专题4一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2021年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（）A ．1(,)3+∞B ．1(,3-∞C ．1[,)3+∞D ．1(,3-∞【答案】C 【解析】若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，只需2320y x x m '=++≥恒成立，即141203m m =-≤∴≥ ，．故选：C ．2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（）A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x=D ．2y x =-【答案】A 【解析】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则()A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为125【答案】B 【解析】由题意，()()221212M x x y y =-+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方.ln 2y x x =-+，得11y x'=-，与直线242ln 20x y +--=平行的直线斜率为12-，令1112x -=-，解得2x =，所以切点的坐标为()2ln 2，切点到直线242ln 20x y +--=的距离5d ==即()()221212M x x y y =-+-的最小值为45.故选：B4．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()()()2sin xx ee xf x x eππ-+=-≤≤的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称，据此可排除B 选项，考查函数()x x g x e e -=+，则()()21'x x x xe g x e e e--=-=，当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此有：344f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可排除C 选项；当0πx <<时，0,sin 0x x e e x -+>>，则()0f x >，据此可排除D 选项；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数．因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<．故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ．6．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值【答案】BC 【解析】对于A ，函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内有增有减，故A 不正确；对于B ，当2x =-时，函数()y f x =取得极小值，故B 正确；对于C ，当()2,2x ∈-时，恒有()0f x '>，则函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增，故C 正确；对于D ，当3x =时，()0f x '≠，故D 不正确.故选：BC7．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数．因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<．故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ．二、多选题8．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设函数()()ln ,01,0x x x f x e x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零，则实数b 可取的值可能是()A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】BC 【解析】由题意，函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根，当0x ≤时，()()1xf x ex =+，则()()()12x x x e x e x x e f =++=+'由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数，由()0f x '>得20x +>，即20x -<≤，此时()f x 为增函数，即当2x =-时，()f x 取得极小值()212f e-=-，作出()f x 的图象如图：要使()f x b =有三个根，则01b <≤，则实数b 可取的值可能是12，1故选：BC9．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()xg x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．【答案】BCD 【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<，()T x ∴在(],0-∞上单调递减，()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈- ，∴得00()(1)T x T x - ，001x x - ，即012x，()x g x e a =-- ；1(2x，0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '= ，∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g e⎛=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2a ，a ∴的取值范围为,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选：BCD ．10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．MB ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =【答案】BC 【解析】由111ln 20x x y --+=，得：111ln 2y x x =-+，()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由ln 2y x x =-+得：11y x'=-，与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-，则令1112x -=-，解得：2x =，∴切点坐标为()2,ln 2，()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离5d ==.即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值为5.()()221212M x x y y ∴=-+-的最小值为245d =，过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-，即24ln 20x y --+=.由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x =.故选：BC.三、填空题11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a =【答案】3【解析】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+．所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案为3．12．（2020届山东省烟台市高三模拟）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞【解析】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增．∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】2-【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得33sin ,sin222x x =-=-代入求得函数的最小值.详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin ,sin222x x =-=-，所以()min 2222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是2-.14．（2020·山东高三模拟）已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则2m a +=________.【答案】0【解析】()1ln f x x '=+，(1)1f '=，(1)2f a =-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，()ln 1f x x x =+，1()ln g x x x =+，22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.故函数()()f x g x x=的最小值(1)1g =，所以1,20m m a =+=.故答案为:0.15．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x =共点处有共同的切线，则实数a 的值为______．【答案】2e 【解析】函数()ln f x a x =的定义域为()0,+∞，()af x x '=，()g x '=设曲线()ln f x a x =与曲线()g x =()00,x y ，由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，0a >．由()()00f x g x =，可得0ln a x =联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2e a =．故答案为：2e．16．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.【答案】3227π【解析】由题意，设小圆柱体底面半径为cos θ，则高为1sin 0,2πθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，小圆柱体体积()2cos 1sin V πθθ=⋅⋅+，设()sin 0,1t t θ=∈，，则()()()232111V tt tt t ππ=⋅-+=⋅--++则()()()2321311V t t t t ππ'=⋅--+=⋅-++当13t =时，max 3227V π=故答案为：3227π17．（2020届山东省淄博市高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.【答案】,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+，令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减，则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）()1xf x ae ='+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增．当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）证明：（法一）设()()231xg x f x x e x =+=-+-，则()3xg x e =-+'，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()max ln33ln340g x g ==-<从而得()()20g x f x x =+<，()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+< ，即12124x x e->-+．（法二）()()1212125,3xxf x f x x e e x +=-∴=+-- ，12122233x x x x e e x ∴-=+--，设()3xg x e x =-，则()3xg x e '=-，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()min ln333ln3g x g ==-．1210,0x x -< ，1121233ln33ln3x x e e-∴->+-=-，3ln3ln274=< ，12124x x e ∴->-+．19．（2019·宁德市高级中学高三月考（理））已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121xx x x f x aea e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+.①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<.又()()4222e2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为()0,1.20．（2020·山东高三模拟）已知函数()21()1ln ()2f x m x x m =--∈R .（1）若1m =，求证：()0f x ≥.（2）讨论函数()f x 的极值；（3）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【解析】（1）1m =，()21()1ln (0)2f x x x x =-->，211()x f x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴min ()(1)0f x f ==，故()0f x ≥.（2）由题知，0x >，211()mx f x mx x x -'=-+=，①当0m ≤时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；②当0m >时，21()0mx f xx-'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭上单调递增.故()f x 在x=111ln 222f m m =+-，无极大值.（3）不妨令11111()x x x e xh x x e xe----=-=，设11(),(1,),()10x x u x e x x u x e --'=-∈+∞=->在(1,)+∞恒成立，()u x 在[1,)+∞单调递增，()(1)0u x u ∴>=，10x e x -∴-≥在(1,)+∞恒成立，所以，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（2）知，当0,1m x ≤>时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >.当01m <<1>，由（1）知()f x 在⎛ ⎝上单调递减，所以(1)0f f<=，不满足题意.当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e-=---+，因为1,1m x ≥>，所以11111,1,01,10x x x mx x e e e---≥><<-<-<，322122111111()1x x x x F x mx x x x e x x x---+'=-++->-++-=，即()22(1)1()0x x F x x--'>>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在m 1≥，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，此时m 的最小值是1.21．（2020届山东省高考模拟）已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.【答案】（1）当4a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，()f x 在160,4a ⎛- ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,44a a ⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）12e e-+【解析】（1）由2()2ln f x x ax x =-+得2()2f x x a x'=-+；因为0x >，所以224x x+≥；因此，当4a ≤时，2()20f x x a x'=-+≥在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，由2()20f x x a x '=-+>得2220x ax -+>，解得164a a x >或1604a a x <<；由2()20f x x a x '=-+<得161644a a x -+<<；所以()f x在0,4a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,44a a ⎛-+⎝⎭上单调递减；综上，当4a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，()f x在0,4a ⎛- ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,44a a ⎛-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，由（1）可得，12,x x 是方程2220x ax -+=的两不等实根，所以122ax x +=，121x x =，因此()()2221222111(2ln )(2ln )f x f x x ax x x ax x -=-+--+222222211212122222211212()()2ln2ln 2ln x x x x x x x x x x x x x x x -++=-+=-+=+-，令22t x =，则2222222111()()2ln 2ln f x f x t t x x x t-=-+=-+；由（1）可知24a x =，当a ≥24x a +=≥=，所以[)22,e t x ∈=+∞，令1()2ln g t t t t=-+，[),t e ∈+∞，则222221221(1)()10t t t g t t t t t-+-'=--+=-=-<在[),t e ∈+∞上恒成立；所以1()2ln g t t t t=-+在[),t e ∈+∞上单调递减，故max 1()()2g t g e e e==-+.即()()21f x f x -的最大值为12e e-+.22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()1xf x ax e a R =-∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在一个正实数a ，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）0a =时，()f x 的增函数区间为(),-∞+∞，无减函数区间；0a >时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；0a <时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）存在，1.【解析】（1）函数()(),1xx R f x ax e ∈=-的定义域为R ，()()()11x x x f x ae ax e e ax a '=-+-=-+-①若()()0,,xa f x e f x ==在(),-∞+∞上为增函数；②若0a >，∵0x e >，∴当1a x a -<时，()0f x '>；当1ax a->时，()0f x '<；所以()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；③若0a <，∵0x e >，∴当1a x a -<时，()0f x '<；当1ax a->时，()0f x '>；所以()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数综上可知，0a =时，()f x 的增函数区间为(),-∞+∞，无减函数区间；0a >时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；0a <时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，0a >时，()f x 的最大值为11aaa f aea --⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意实数x ，()1f x ≤恒成立，只须使11a aae -≤即可.又因为0a >，所以不等式11a aae -≤等价于：1ln 0aaae-⎛⎫≤⎪⎝⎭，即：1ln 0aa a-+≤，设()()1ln 0ag a a a a -=+>，则()()22111a a a g a a a a----'=+=，∴当01a <<时，()'0g a <；当1a >时，()0g a '>所以，()g a 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，∴当01a <<时，()()10g a g >=，不等式1ln 0aa a-+≤不成立，当1a >时，()()10g a g >=，不等式1ln 0aa a -+≤不成立，当1a =时，()()10g a g ==，不等式1ln 0aa a-+≤成立，∴存在正实数a 且1a =时，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立.23．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin xg x x =-，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．【答案】（Ⅰ）)1,++∞；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，等价于[]1max 2max ()()f x mg x ≤+．1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sin x x x f x e x x x x x e x x e x =----+'+=，当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最大值1．即max ()1f x =又当π[0,]2x ∈时，()cos xg x x =-'，()sin 0xg x x '-'=-<所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()010g x g ≤=-'<'，故()g x 在区间π[0,2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)g x g ==．所以1m ≤，则1m ≥+．实数m的取值范围是)1,++∞．（Ⅱ）当1x >-时，要证，只要证e cos sin sin 0x x x x x x -->，即证(()ecos 1sin xx x x +>+，由于cos 0,10x x +>+>，只要证e 1x x >+．下面证明1x >-时，不等式e 1x x >+令()()e11xh x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x xxx x h x x x =+'+-=+，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1．法一：k =cos sin k x x =，即sin cos x k x -=，即sin()x ϕ-=1≤，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k>≥所以，maxmin e 1x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即e 1x x >+综上所述，当1x >-时，成立．法二：令()x ϕ=()cos ,sin A x x与点()B 连线的斜率k ，所以直线AB的方程为：(y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切，当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥．所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1x x >+综上所述，当1x >-时，成立．法三：令()x ϕ=()x ϕ'=，当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1x x >+综上所述，当1x >-时，成立．24．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n n i n =-->+∑成立.【答案】（1）(1)1y k x =+-（2）k 2≤（3）证明见解析【解析】（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1ln f x x k '=++，(1)1f k '=+，∵(1)f k =，∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y k k x -=+-，即(1)1y k x =+-.（2）由2()f x x x ≤+，()ln f x x x kx =+，则2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，设()ln 1g x x x k =-+-，1()1g x x'=-，()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∵不等式2()f x x x ≤+恒成立，且0x >，∴ln 10x x k -+-≤，∴max ()(1)20g x g k ==-≤即可，故k 2≤.（3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立，令2141x i =--，由于*i N ∈，21041i >-.故，2211ln 14141i i <---，整理得：()221ln 41141i i ->--，变形得：()21ln 411(21)(21)i i i ->-+-，即：()211ln 41122121i i i ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭1,2,3,,i n = 时，11ln31123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，11ln51123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭……，()2111ln 41122121n n n ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭两边同时相加得：()22211122ln 4112212121ni n n ni n n n n =-⎛⎫->--=> ⎪+++⎝⎭∑，所以不等式在*n N ∈上恒成立.25．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)设()()112cos g x f x x x'==-+，当()0,x π∈时，()212sin 0g x x x'=--<，所以()g x 在()0,π上单调递减，又因为31103g ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭所以()g x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点α，所以命题得证．(2)①由(1)知：当()0,x α∈时，()0f x '>，()f x 在()0,α上单调递增;当(),x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(),απ上单调递减;所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<<⎪⎝⎭所以()ln 2202222f f ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220f e e e e ⎛⎫=--+<--+<⎪⎝⎭所以()f x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20fππππ=-<-<所以()f x 在(),απ上也恰有一个零点．②当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤-设()ln h x x x =-，()110h x x'=-<所以()h x 在[),2ππ上单调递减，所以()()0h x h π≤<所以当[),2x ππ∈时，()()()0f x h x h π≤≤<恒成立所以()f x 在[),2ππ上没有零点．③当[)2,x π∈+∞时，()ln 2f x x x ≤-+设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-<所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20f x x ϕϕπ≤≤<恒成立所以()f x 在[)2,π+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由.【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在2(0,)a 单调递增，在2(,)a+∞上单调递减.（Ⅱ）不是，理由见解析【解析】（Ⅰ）依题意知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()2f x a x'=-,（1）当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.（2）当0a >时，由()0f x '=得：2x a=，则当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>；当2,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<.所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（Ⅱ）122x x +不是导函数()g x '的零点.证明如下：当1a =-时，()()222ln g x x f x x x x =-=--.∵1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<，22111111222222222ln 02ln 2ln 02ln x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--=-=∴⇒⎨⎨--=-=⎩⎩，两式相减得：()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-即：()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-，又()221g x x x-'=-.则()()()121212121212*********ln ln 24421ln ln 2x x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+⎛⎫=+--=-=--'⎢⎥⎪+-+-+⎝⎭⎣⎦.设12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<，令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，()()()()22211411t t tt t t ϕ-=-=+'+.又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増函数，则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时，()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦，故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点.27．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（1）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（2）若存在01x >-，使得当()01,x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(,2)-∞【解析】（1）证明：当2k =时，()2(1)g x x =+。

一元函数的导数及其应用(解析版)高考数学习题与解析

第五章一元函数的导数及其应用一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数()sin cos f x x x =+，()π,2πx ∈．若()00f x '=，，则0x =（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．5π4A ．330x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y -+=D ．310x y -+=【答案】C 【详解】sin e x y x =+的导数为cos x y x e '=+，在点(0,1)处的切线斜率为0cos 0e 2k =+=，即有在点(0,1)处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=.故选：C 3．已知函数2()ln 2a f x xb x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是210x y --=，则ab 等于（）A ．2B ．1C ．0D ．﹣24．已知()a f x x x =-，()0,x ∈+∞，对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有12210x x -<，则实数a 的取值范围是（）.A ．12,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．()2,e -∞D ．13e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】设()()2e x g x xf x a x ==-，()e 2xg x a x '=-，对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有()()12210f x f x x x -<，即()()12g x g x <，()g x 在()0,∞+上单调递增，故()e 20xg x a x '=-≥恒成立，即2e x x a ≥，设()2e x x F x =，()22e xxF x -'=，当()0,1x ∈时，()0F x '>，函数单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0F x '≤，函数单调递减；故()()max 21e F x F ==，即2ea ≥.故选：B5．已知sin1sin11e e a =+，tan 2tan 21ee b =+，cos3cos31ee c =+，则（）A ．b a c>>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>【答案】B 【详解】令()e e x xf x -=+，其定义域为R ，且()()f x f x -=，故为偶函数；又()f x 'e e x x -=-，sin112分别满足112212（）A ．3e B ．4e C ．5e D ．6e7．已知f x '（）是函数f x （）的导数，202e '+>=（）（），（），f x f x f 则不等式ln f x x<（）的解集是（）A ．∞（2，+）B ．2e +∞（，）C ．20e （，）D ．2（0，）8．定义在0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,3436a f b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a b c>>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．已知函数3()1f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线C ．()f x 有一个零点D ．过点()1,0与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条的极值点分别为1212，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线对选项A ．()0f x ≤恒成立B ．()f x 是()0,+∞上的减函数C ．()f x 在12e x -=得到极大值12eD ．()f x 在区间⎫⎪⎭内只有一个零点，则关于x 的不等式()0f x <的解集可能为（）A ．()(),10,1-∞-B ．()(),e 0,e --∞C ．()(),40,4--∞ D ．()(),3e 0,3e --∞ 【答案】BC 【详解】因为当0x >时，()()ln 1<+1e 4xx f x x --'<，且()0=0f ，而可以令1ln 2y x x x =-，则1ln 1y x '=-，可以令2e 4x y x x =-，则()2+1e 4x y x -'=，所以()()ln 2e 40x x x x f x x x x --<<>，因为1ln 1y x '=-，所以令1ln 10y x '=->，则e x >，令1ln 10y x '=-<，则e x <，所以1ln 2y x x x =-在(0,e)上递减，在(e,)+∞上递增，且当2e x =时，10y =，所以当)2e ,+x ⎡∈∞⎣时，()ln 20f x x x x ->≥，因为2e 4x y x x =-()0x >，()2+1e 4x y x -'=，故令()+14()e x m x x -=，则()e (2)x m x x '=+，又因为0x >，所以()e (2)0x m x x '=+>，故()m x 在(0,)+∞上递增，设0()0m x =，所以2e 4x y x x =-在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，且当20y =时，=0x （舍）或ln 4x =，所以当(]0,ln4x ∈时，()e 40xf x x x -<≤，所以当0x >时，()0f x <的解集可能为()0,t ，其中()2ln4,e t ∈，又因为()f x 是奇函数，所以()0f x ＜的解集可能为()(),0,t t --∞ .而()2ln4,e t ∈，所以()21ln4,e ∉，故A 错误；()2e ln4,e ∈，故B 正确；()24ln4,e ∈，故C正确；()2ln 3e 4,e ∉，故D 错误.故选：BC第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，直线l 是曲线()y f x =在点(4,(4))f 处的切线，则(4)(4)f f '+的值等于______．'是函数的导函数，且R 1e f x f x x f <∈=，，则不等式的解集为________．的最小距离为___________.【解析】由已知，设点00(,)Q x y 曲线2ln 1y x x =--上一点，则有0002ln 1y x x =--，因为2ln 1y x x =--，所以12y x x'=-00012|x x y x x ='-=，所以曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q x y 处的切线斜率为0012k x x =-，则曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q xy 处的切线方程为020000(ln 1)()12y x x x x x x ---=--，即20000()12ln y x x x x x =---．要求得曲线2ln 1y x x =--上任意一点，到直线3y x =-的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即00121k x x =-=，解得0=1x 或012x =-（舍去），此时，以点(1,0)Q 为切点，曲线的切线方程为：1y x =-，此时，切点(1,0)Q 为曲线上距离直线3y x =-最近的点，即点P 与点Q 重合，最小距离为直线3y x =-与直线1y x =-之间的距离，设最小距离为d ，所以d ==.16．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1 x ，2x ，则实数a 的取值范围是______；若不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，则实数t 的取值范围是______．17．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径．已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm ．(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．189.已知函数()()1e xx f x a x =++．(1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <，求证：21e e x x a ->-【详解】（1）由()()21e xx f x a x +=++得()1e x x f x a +'=-+，由()f x 单调递增，则()0f x '≥，得1e x a x +≥，设()1ex x g x +=，则()e x xg x '=-，可知0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x =时，()g x 取得极大值()01g =，也为最大值，则1a ≥,所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）由题，函数()f x 有两个极值点，则()0f x '=即1e xx a +=有两个不相等实数根，由（1）可知0x =时，()g x 取得极大值()01g =，(1)0g -=，x 趋向+∞时()g x 趋向于0.故()g x a =有两个不相等实根时，01a <<，且1210x x -<<<，过点()0,1与(),0c 的直线方程为11e y x =-+，构造函数()()11111,(0)e ee x x h x g x x x x +⎛⎫=--+=+-> ⎪⎝⎭，()1e e x x h x '=-+，令()()x1,(0)e ex u x h x x '==-+>，则()()1,0e x x u x x -'=>，则01x <<时，()0u x '<，()u x 即()h x '单调递减；1x >时，()0u x '>，()u x 即()h x '单调递增，所以0x >时，()u x 极小值为()()110u h '==所以0x >时，()()0u x h x '=≥，则()()00h x h >=，即()()110e h x g x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，故当0x >时，()11e g x x >-+，设方程11e x a -+=的根为4x ，则4e e x a =-，构造函数()21,10y x x =--<<，令()()()21,t x g x x =--则()()21111e e e xx x x x t x x x ++⎡⎤=+-=+-⎣⎦，令()()()11e ,10x v x x x =+--<<，则()e 0x v x x '=<，故10x -<<时，()v x 单调递减，则()()00v x v >=，又10x +>，所以，当10x -<<时，()0t x >，故有()21g x x >-，令方程()21,10x a x -=-<<的根为3x ，则3x =，于是有134210x x x x -<<<<<，如图，所以2143e e x x x x a ->-=-+，证毕19．已知函数sin ()e (1)a x f x x =-+，()sin ln(1)g x a x x =-+(1)1a =时，求函数()y g x =在(1,0]-上的单调区间；(2)1a >时，试讨论()y f x =在区间[π,π]-上的零点个数.【详解】（1）1a =时，()sin ln(1)g x x x =-+，∴1()cos 1g x x x '=-+，而()g x '在(1,0]-上单调递增，而(0)0g '=，∴(1,0]x ∈-，()(0)0g x g ''=.∴()g x 在(1,0]-上单调递减，（2）当1a >时：①[π,1]x ∈--时，sin 0a x e >，10x +<∴()0f x >∴()f x 在区间[π,1]--上无零点，②1x >-时，方程()0f x =的解等价于方程()0g x =的解.[1,0]x ∈-时，1()cos 1g x a x x '=-+在[1,0]-单调递增，(0)1g a '=-，而111cos 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴∃唯一0[1,0]x ∈-使得()00g x '=且()g x 在(]01,x -单调递减，[]0,0x 单调递增，而111sin 110g a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(0)0g =，∴()g x 在(1,0]-上有两个零点，③π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()cos 1g x a x x '=-+，(0)10g a '=->，令1()()cos 1t x g x a x x ='=-+，则21()sin (1)t x a x x '=-++在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，(0)1t '=，2π102π12t a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∃唯一1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10t x '=，∴()g x '在()10,x 单调递增，1π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而(0)1g a '=-，π100π212g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭+，∴∃唯一2π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()20g x '=，∴()g x 在()20,x 单调递增，1π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而(0)0g =，π02g ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴()g x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点.④π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()0g x '<，∴()g x 在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，而ππln 1022g a ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(π)ln(π1)0g =-+<，∴∃唯一3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()30g x =，综上所述：1a >时，()f x 在区间[π,π]-有三个零点.20．21．设函数()2ln +f x x x ax =+，=1x 是函数()f x 的极值点．(1)求实数a 的值，并求函数()f x 的单调递减区间；(2)设函数()()23g x f x x x =-+，求证：当2x ≥时，()()2114g x x <-；(3)在（2）的条件下，求证：对*n ∈N ，()()()21213512n k n ng k n n +=+>++∑．【解析】（1）因为()2ln +f x x x ax =+，所以()12f x x a x'=++，依题意()1120f a '=++=，解得=3a -，经检验符合题意，()2=ln +3f x x x x ∴-，()0,+x ∈∞，所以()()()221123+1==x x x x f x xx---'，令()0f x '<，解得112x <<，所以原函数的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）证明：因为()()222=+3=ln +3+3=ln g x f x x x x x x x x x ---，要证()()21<14g x x -，[)2,+x ∈∞，即证()21ln <14x x -，[)2,+x ∈∞，构造函数()2=4ln +1h x x x -，[)2,+x ∈∞，只需证()0h x <在[)2,+x ∈∞上恒成立，当2x ≥时，()()222=<0x h x x--'，所以函数()2=4ln +1h x x x -在区间[)2,∞+单调递减，故3max ()=4ln23=ln16lne <0h x --，不等式成立，结论得证；（3）证明：由（2）知：当2x ≥时，()21ln <14x x -，所以21411>=2ln 11+1x x x x ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，即当2k ≥时，()111>21+1g k x x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2n ≥时：()()()()2+1=211111113+5=++...+>21+=ln2ln3ln +12+1+2+1+2n k n n g k n n n n n --⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，又当=1n 时上式也能成立，原命题得证．21．已知函数()(2)e (ln )x f x x k x x =---.(1)当0k =时，求()f x 的极值；(2)证明：当e,1k x >>时，2()f x k >-.．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[ 1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．)。

一元函数的导数及其应用(利用导函数研究单调性(含参)问题)(解答题压轴题)(解析版)高考数学必刷题

专题05一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）利用导函数研究单调性（含参）问题①导函数有效部分为一次型（或类一次型）②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）③导函数有效部分为不可因式分解的二次型①导函数有效部分为一次型（或类一次型）角度1：导函数有效部分为一次型1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数()()ln f x x ax a R =+∈.判断函数()f x 的单调性：解()ln f x x ax =+的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x'+=+=当0a ≥时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a <时，令()0f x '>，10x a<<-.令()0f x '<，1x a >-，所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.2．（2022·江苏南通·高二期中）已知函数()ln a f x x x =-，()()e sin x g x x a =+∈R 讨论函数()f x 的单调性；解由题意知：()f x 定义域为()0,∞+，()221a x a f x x x x +'=--=-；当0a ≥时，()0f x '<恒成立，()f x ∴在()0,∞+上单调递减；当0a <时，令()0f x '=，解得：x a =-；∴当()0,x a ∈-时，()0f x '>；当(),x a ∈-+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减；综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减.3．（2022·广东·东涌中学高二期中）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）.求函数()f x 的单调区间：解由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x'-=-=；当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=，解得：x a =；∴当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴的单调递增区间为(),a +∞；单调递减区间为()0,a ；综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞；单调递减区间为()0,a .4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()1ln f x ax x a =--∈R ．讨论函数()f x 的单调性；()11ax f x a x x-'=-=，()0x >．当0a ≤时，10ax -<，从而()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，若10x a<<，则10ax -<，从而()0f x '<，若1x a >，则10ax ->，从而()0f x '>，从而函数在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．5．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数()ln e a f x x x=+讨论函数()f x 的单调性；解：因为()ln e a f x x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2e e x a f x x -='.①当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，若0,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，若,e a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，∴()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.角度2：导函数有效部分为类一次型1．（2022·河南驻马店·高二期中（理））已知函数()e x f x ax a =-+，a 为常数．讨论函数()f x 的单调性；解：因为()f x 定义域为R ，()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，当0a >时，由()0f x '=解得ln x a =，(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增综上知：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，当0a >，()f x 的单调递减区间为(,ln )a -∞，单调递增区间为(ln ,)a +∞．2．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）设函数()ax f x x =-ｅ，R a ∈．讨论函数()f x 的单调性；【解析】()f x 的定义域为R ，()1ax f x a '=-ｅ当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在R 上递减．当0a >时，令()0f x '>得ln a x a >-，令()0f x '<得ln a x a<-综上可知：0a ≤时，()f x 在R 上单调递减0a >时，()f x 在ln ,a a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增3．（2022·四川德阳·三模（文））已知函数() e x f x ax a =++，判定函数()f x 的单调性；【答案】(1)当0a ≥时，函数在R 上单调递增；当0a <时，函数的单调递增区间为(ln(),)a -+∞，单调递减区间为(,ln())a -∞-；解：由题得() e x f x a '=+，当0a ≥时，()0f x '>，所以函数在R 上单调递增；当0a <时，令e 0,x a +>所以ln(),x a >-令e 0,x a +<所以ln(),x a <-所以此时函数的单调递增区间为(ln(),)a -+∞，单调递减区间为(,ln())a -∞-.综上所述，当0a ≥时，函数在R 上单调递增；当0a <时，函数的单调递增区间为(ln(),)a -+∞，单调递减区间为(,ln())a -∞-.4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数()(1ln )1()f x x a x a =-+∈R ．讨论()f x 的单调性；因为()(1ln )1f x x a x =-+，定义域为(0,)+∞，所以()1ln f x a a x '=--．①当0a >时，令1()1ln 0ln a f x a a x x a-=--=⇔='，解得1e a a x -=即当10,e a a x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增：当1e ,a a x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减；②当0a =时()10,()f x f x =>'在(0,)+∞单调递增；③当0a <时令1()1ln 0ln a f x a x x aα-=--=⇔='，解得1e a a x -=，即当10,e a a x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减；当1e ,a a x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增；综上：当0a >时，()f x 在10,e a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1e ,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在10,e a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1e ,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()1e 3e x xa f x a =++-，其中e 为自然对数的底数，R a ∈．讨论函数()f x 的单调性；函数()f x 的定义域R ，求导得：()()()21e 1e e e x xx x a a a f x a +-'=+-=，若1a <-，由()()1e e 0e x x x a f x ⎛++- ⎝⎭⎝⎭'==，得x =当,ln x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，当x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x在⎛-∞ ⎝上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，若10a -≤≤，则对任意R x ∈都有()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，若0a >，当x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '<，当x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x在⎛-∞ ⎝上单调递减，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，当1a <-时，()f x在,ln ⎛-∞ ⎝上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；当10a -≤≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x在⎛-∞ ⎝上单调递减，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增．②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）角度1：导函数有效部分为可因式分解的二次型1．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈(1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.【答案】(1)4230--=x y (2)答案见解析(1)解：当1a =-时，21()2ln 2f x x x x =-++，所以2()1f x x x '=-++，所以()12f '=，()112f =，故()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是()1212y x -=-，即4230--=x y ；(2)解：因为()()21212ln 2f x ax a x x =-++定义域为()0,∞+，所以2(1)(2)()(21)ax x f x ax a x x --'=-++=，因为0a >，当102a <<，即当12a >时，由()0f x '>，解得10x a<<或2x >，当12a =时，11(2)2()0x x f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=≥恒成立，当12a >，即当102a <<时，由()0f x '>，解得02x <<或1x a>，综上，当12a >时，()f x 的递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,)+∞，当12a =时，()f x 的递增区间是(0,)+∞，当102a <<时，()f x 的递增区间是(0,2)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数()()212ln 22f x x a x ax =---．讨论()f x 的单调性；【答案】函数()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()()221122212f x a ax a x ax x ax x x x⎡⎤'=---=---=--+⎣⎦．当0a 时，若01x <<，则()0f x ¢>；若1x >，则()()0.f x f x '<在区间()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减．当2a =-时()(),0,f x f x ' 在()0,+∞单调递增．当20a -<<时，21a ->，若01x <<或2x a >-，则()0f x '>；若21x a<<-，则()0f x ¢<．所以()f x 在区间()20,1,,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在区间21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．当2a <-时，201a<-<，若20x a <<-或1x >，则()0f x ¢>；若21x a -<<，则()0f x ¢<．所以()f x 在()20,,1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在2,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．综上所述，0a 时，()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减．2a =-时，()f x 在()0,+∞单调递增．20a -<<时，()f x 在()20,1,,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．2a <-时，()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，在2,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．3．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）已知函数2()ln (1)()2=+-+∈R a f x x x a x a ，2()()(1)2=-++a g x f x x a x .讨论()f x 的单调性；【答案】1(1)(1)()(1)(0)--=+-+=>'ax x f x ax a x x x .当0a ≤时，10ax -<，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.当101a <<，即1a >时，令()0f x '>，得10x a<<或1x >；令()0f x '<，得11x a <<.所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当11a =，即1a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.当11a >，即01a <<时，令()0f x '>，得01x <<或1x a>；令()0f x '<，得11x a <<.所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；4．（2022·江苏省苏州实验中学高二期中）已知函数()2ln 21x f x x x m m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中m R ∈.讨论函数f (x )的单调性；【答案】()f x 的定义域为(0,)+∞，依题意可知，0m ≠，12()21f x x mx m '=-+-22(2)1mx m x mx-+-+=(21)(1)x mx mx +-+=，当0m >时，由()0f x '>，得10x m <<，由()0f x '<，得1x m >，所以()f x 在1(0,)m 上单调递增，在1(,)m+∞上单调递减.当0m <时，由()0f x '<恒成立，所以()f x 在定义域(0,)+∞上单调递减，综上所述：当0m >时，()f x 在1(0,)m 上单调递增，在1(,)m +∞上单调递减；当0m <时，()f x 在定义域(0,)+∞上单调递减.5．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数()ln 2f x x x =-，R a ∈．(1)求()f x 在x ＝1处的切线方程；(2)设()()2g x f x ax ax =-+，试讨论函数()g x 的单调性．【答案】(1)1y x =--；(2)答案见解析.(1)因为()ln 2f x x x =-，则()12f =-，所以()12f x x'=-，在x ＝1处()1121f '=-=-．在x ＝1处切线方程：()21y x +=--，即1y x =--．(2)因为()()()22ln 2g x f x ax ax x ax a x =-+=-+-，所以()()()()1210ax x g x x x +-'=->，①若0a ≥，则当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x ¢>，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢<，()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．②若0a <，()()()1210a x x a g x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=->，当2a <-时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0g x ¢>，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0g x ¢<，所以()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当2a =-时，()0g x ¢³恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增；当20a -<<时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0g x ¢>，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0g x ¢<，所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．综上，0a ≥，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；20a -<<，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；2a =-，()g x 在()0,+∞上单调递增；2a <-，()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数()()21ln a f x a x x x +=+++讨论()f x 的单调性；解：由题意可得()f x 的定义域为()0,+∞()()()()()22222112121x a x x a x a a a f x x x x x ----⎡⎤++-+++⎣⎦'=-+==①当21a --=时，即3a =-，()f x 在()0,+∞单调递增．②当21a -->时，即3a <-，()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,2x a ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x a ∈--+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③当021a <--<时，即32a -<<-，()0,2x a ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增，()2,1x a ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，④当20a --≤时，即2a ≥-，()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上可得：当3a <-时，()f x 在()0,1和()2,a --+∞上单调递增，在()1,2a --上单调递减；当3a =-时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当32a -<<-时，()f x 在()0,2a --和()1,+∞上单调递增，在()2,1a --上单调递减；当2a ≥-时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；角度2：导函数有效部分为可因式分解的类二次型1．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知函数()()()e 12e x xa f x a x a =+---∈R 求函数()f x 的单调区间.【答案】由题意，得()()()()e 1e e 1,e e x x x x x a af x a x +-=---='∈R 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,ln )a -∞，单调递增区间为(ln ,)a +∞；2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数()()213e 242x f x x ax ax =--++．(1)当a ＝1时，求()f x 零点的个数；(2)讨论()f x 的单调性．【答案】(1)有3个零点；(2)答案见解析.(1)当a ＝1时，()()213e 242x f x x x x =--++，则()()()()2e 22e 1x x f x x x x '=--+=--，由()0f x '>，得x <0或x >2，由()0f x '<，得0<x <2，则()f x 在（0，2）上单调递减，在（－∞，0）和（2，+∞）上单调递增，因为()25220e f -=--<，()03410f =-+=>，()22e 60f =-+<，()911310022f =-+=>，所以()f x 有3个零点．(2)由题意可得()()()()2e 22e x x f x x ax a x a '=--+=--，①当a ≤0时，由()0f x '>，得x >2，由()0f x '<，得x <2，则()f x 在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，②当20e a <<时，由()0f x '>，得1x na <或x >2，由()0f x '<，得ln a <x <2，则()f x 在（ln a ，2）上单调递减，在（－∞，ln a ）和（2，+∞）上单调递增，③当2e a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在（－∞，+∞）上单调递增，④当2e a >时，由()0f x '>，得x <2或x >ln a ，由()0f x '<，得2<x <ln a ，则()f x 在（2，ln a ）上单调递减，在（－∞，2）和（ln a ，+∞）上单调递增，综上，当a ≤0时，f （x ）在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；当20<e a <时，()f x 在（ln a ，2）上单调递减，在（－∞，ln a ）和（2，+∞）上单调递增；当2e a =时，()f x 在（－∞，+∞）上单调递增；当2e a >时，()f x 在（2，ln a ）上单调递减，在（－∞，2）和（ln a ，+∞）上单调递增．3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数()()1e e 12x x f x a a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭讨论()f x 的单调性；【答案】()()1e e 12x x f x a a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭的定义域为R,()()()e 1e 1x x f x a '=-++.i.当a ≥-1时,e 10x a ++>.令()0f x '>,解得,()0x ∈+∞；令()0f x '<,解得(,0)x ∈-∞.所以()f x 的单增区间为(0,)+∞,单减区间为(,0)-∞.ii.当1a <-时,令()0f x '=,解得：x =0或x =ln(-a -1).（i ）当ln(-a -1)=0,即a =-2时,()()2e 1xf x '=-≥0,所以()f x 在(-∞,+∞)单增.（ii ）当ln(-a -1)>0,即a <-2时,由()0f x '>解得：()()(),0ln 1,x a ∈-∞⋃--+∞；由()0f x '<解得：()()0,ln 1x a ∈--.所以()f x 的单增区间为()()(),0,ln 1,a -∞--+∞,()f x 单减区为()()0,ln 1a --.（iii ）当ln(-a -1)<0,即-2<a <-1时,由()0f x '>解得：()()(),ln 10,x a ∈-∞--⋃+∞；由()0f x '<解得：()()ln 1,0x a ∈--.所以()f x 的单增区间为()()(),ln 1,0,a -∞--+∞，()f x 的单减区间为()()ln 1,0a --.4．（2022·湖北荆州·高二期中）已知函数()()()1211e 02x f x x a x ax x -=---+>．讨论()f x 的极值．【答案】因为()()()1211e 02x f x x a x ax x -=---+>，所以()()()()1e 10xf x x a x -'=-->．令()0f x '=，得x a =或1x =．①当0a ≤时，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<．则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以函数有极小值()112f =-，没有极大值.②当01a <<时，由()0f x '>，得0x a <<或1x >，由()0f x '<，得1<<a x ．则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增，所以函数有极大值()211e 2a f a a -=-，极小值()112f =-．③当1a =时，()0f x '>恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增，函数无极值．④当1a >时，由()0f x '>，得01x <<或x a >，由()0f x '<，得1x a <<．则()f x 在()1,a 上单调递减，在()0,1和(),a +∞上单调递增，所以函数有极大值()112f =-，极小值()211e 2a f a a -=-.综上，当0a ≤时，函数有极小值()112f =-，无极大值；当01a <<时，函数有极大值()211e 2a f a a -=-，极小值()112f =-；当1a =时，函数无极值；当1a >时，函数有极大值()112f =-，极小值()211e2a f a a -=-.5．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）已知函数()()2e 2e xx f x k kx =+--．其中k 为实数．(1)当0k >时，若()f x 两个零点，求k 的取值范围；(2)讨论()f x 的单调性．【答案】(1)01k <<(2)答案不唯一，具体见解析(1)解：因为()()2e 2e xx f x k kx =+--，R x ∈，0k >所以()()22e 2e x xf x k k =+--'，令()()()2e e 10x x f x k '=-=+得e 1x =或e 2xk=-（舍去），所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x '>故()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，()()min 01f x f k ==-，要使()f x 有两个零点，则()min 0f x <，即100k k -<⎧⎨>⎩，解得01k <<，∴01k <<．(2)解：由（1）得()()22e 2e x xf x k k =+--'，令()()()2e e 10x x f x k '=-=+解得e 1x =或e 2xk =-，当()0,12k-∈时，即()2,0k ∈-x ,ln 2k ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ln 2k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ln ,02k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0()0,∞+()f x '＋0－0＋所以()f x 的单调递增区间为,ln 2k ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+，单调递减区间为ln ,02k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12k-=时，即2k =-，()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为R ．当12k->时，即2k <-，x (),0∞-00,ln 2k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 2k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ln ,2k ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x '＋0－0＋所以()f x 的单调递增区间为(),0∞-和ln ,2k ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为0,ln 2k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当0k ≥时，x 0x <00x >()f x '－＋所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-．6．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知函数2()e (2)e (0)x x f x a ax a =-++>．设02a <<，求函数()f x 的单调区间；【答案】(1)单调增区间是,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调减区间是ln ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭由题意，函数2()e (2)e (0)x x f x a ax a =-++>，则()()2()2e (2)e 2e e 1x x x x f x a a a =+=-'-+-，当02a <<时，则12a <，令()0f x '>，解得0x >或ln 2a x <；令()0f x '<，解得，ln 02ax <<．故()f x 的单调增区间是,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调减区间是ln ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭．7．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()()()221ln 1ln 02f x x x a x a a =--+>.讨论函数()f x 的单调性；【答案】由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln x a x f x x-'=，令()0f x '=，得1x =或x a =，①若01a <<，则当()0,x a ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,a 上单调递增；当(),1x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(),1a 上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增.②若1a =，则()0f x '≥（当且仅当1x =时取“=”），()f x 在()0,∞+上单调递增.③若1a >，则当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,1上单调递增；当()1,x a ∈时，()0f x '<，()f x 在()1,a 上单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.综上所述，当01a <<时，()f x 在()0,a ，()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减.8．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()21ln 6ln 12f x x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，a 为常数，R a ∈.讨论函数()f x 的单调性；【答案】()()21ln 6ln 12f x x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()2(3)ln f x x a x '∴=-且,()0x ∈+∞当0a ≤时，在(0,1)x ∈上()0f x '<，(1,)x ∈+∞上()0f x '>，当103a <<时，在(0,3)x a ∈上()0f x '>，(3,1)x a ∈上()0f x '<，(1,)x ∈+∞上()0f x '>，当13a =时，在,()0x ∈+∞上()0f x '>，当13a >时，在(0,1)x ∈上()0f x '>，(1,3)x a ∈上()0f x '<，(3,)x a ∈+∞上()0f x '>，综上，0a ≤时()f x 在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增，103a <<时()f x 在(0,3)a 上递增，(3,1)a 上递减，(1,)+∞上递增，13a =时()f x 在(0,)+∞上递增，13a >时()f x 在(0,1)上递增，(1,3)a 上递减，(3,)a +∞上递增③导函数有效部分为不可因式分解的二次型1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x ，讨论()g x 的单调性；【答案】解：由已知可得()1ln g x x a x x =--，故可得()222111a x ax g x x x x -='+=+-．当(]2a ∈-∞，时，()0g x '≥，故()g x 在()0,∞+单调递增；当()2,a ∈+∞时，由()0g x '=，解得x ，或2a +，记1ξ=2ξ=x 变化时，()(),g x g x '的变化情况如下表：x()10,ξ1ξ()12,ξξ2ξ()2,ξ∞+()g x '+0-0+()g x极大值极小值所以，函数()g x 在区间⎛ ⎝⎭单调递增，在区间⎫⎪⎪⎝⎭单调递减，在区间42a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知函数()2ln 2a f x x x ax =+-，a R ∈．讨论函数()f x 的单调性；【答案】显然，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax f x ax a x x-+'=+-=，①若0a =，显然()f x 单调递增．②若0a <，令()'0f x =，有x =易知022a a a a <<，当0,2a x a ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当,2a x a ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．③若04a <≤，则()0f x '≥，()f x 单调递增，④若4a >，令()0f x '=，有x =易知0<<当x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增；当44,22a a x a a ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当,2a x a ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，若0a <，()f x 的增区间为420,a a ⎛ ⎪ ⎝⎭⎪，减区间为2a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；若04a ≤≤，()f x 的增区间为()0,∞+；若4a >，()f x 的增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭，减区间为⎝⎭．3．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ．讨论函数()f x 的单调性；【答案】由2()4ln f x x x a x =-+得，函数的定义域为(0,)+∞，且224()24a x x af x x x x-+'=-+=，令()0f x '>，即2240x x a -+>，①当Δ1680a =-≤，即2a ≥时，2240x x a -+≥恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增；②当Δ0>，即2a <时，令12x x ==当02a <<时，120x x <<，()0f x ¢>的解10x x <<或2x x >，故()f x 在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减；当0a ≤时，120x x ≤<，同理()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增．4．（2022·河南郑州·三模（理））设函数()()2ln 0f x x x a x a =-+>．求函数()f x 的单调区间；【答案】()f x 的定义域为()0+∞，，()2221a x x af x x x x-+'=-+=，令220x x a -+=，当Δ18a =-≤0时，即a ≥18时，()()0f x f x '≥，在()0+∞，上递增，当180a ∆=->时，即108a <<时，220x x a -+=，解得114x =，214x =，当()0f x '>时解得，104x <<或14x >+，所以函数在104⎛ ⎝⎭，，14∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，当()0f x '<时解得，144x -<<，所以函数()f x 在⎝⎭上单调递减.综上，当a ≥18时，函数的单调增区间为()0+∞，；当108a <<时，函数的单调递增区间为0⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭.5．（2022·河南新乡·高二期中（理））已知函数()()2e e x g xf x =+．若函数()24a x x x f =-+，讨论()g x 的单调性．【答案】若()24f x x x a =-+，则()()224e ,R e x g x x x a x -++∈=，()()()2224e 15e x x g x x x a x a ⎡⎤'=-+-=-+-⎣⎦．当5a ≥时，()0g x ¢³，()g x 在定义域R 上单调递增．当5a <时，令()0g x ¢=．解得11x =21x =若1x <1x >+，()0g x '>，则()g x 在(,1-∞和()1++∞上单调递增；若11x <<()0g x '<，则()g x 在(1上单调递减;6．（2022·全国·模拟预测）已知函数()32f x ax x x =+-.当0a <时，讨论函数()f x 的单调性.【答案】由()32f x ax x x =+-，得()2321f x ax x '=+-.令()23210f x ax x '=+-=，当13a ≤-时，4120a ∆=+≤，因此()23210f x ax x '=+-≤，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当103-<<a 时，4120a ∆=+>，解得x =所以函数()f x 在⎛-∞ ⎝⎭上单调递减，在⎝⎭上单调递增，在13a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当13a ≤-时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当103-<<a 时，函数()f x 在⎛-∞ ⎝⎭上单调递减，在⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减.7．（2022·四川南充·三模（理））已知函数()()2112ln 2f x a x ax x =-+-．讨论()f x 的单调性；【答案】解：()()2112ln 2f x a x ax x =-+-的定义域为()0,∞+，且()()()21221a x ax f x a x a x x-+-'=-+-=，当1a =时，()2x f x x-'=，则()f x 在()0,2单调递减，()2,+∞单调递增；当1a >时，由()0f x '=得0x =，()021a x a -+=-，所以()f x 在()0,21a a ⎛-+ ⎪ ⎪-⎝⎭单调递减，()21a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭单调递增；当1a <时，①当0a ≤时，()f x 在()0,∞+单调递减；②当01a <<时，当()()22814240a a a ∆=+-=+-≤时，即04a <≤-+()f x 在()0,∞+单调递减；当()()22814240a a a ∆=+-=+->时，即41a -+<时，由()0f x '=得120x x ==，所以()f x 在⎛ ⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，在()(),2121a a a a ⎛-+--⎪ ⎪--⎝⎭单调递增；综上所述：①当1a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减，在(),21a a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪-⎝⎭单调递增；②当1a =时，()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增；③4a ≤-+()f x 在()0,∞+单调递减；④当41a -+<时，()f x 在()0,21a a ⎛- ⎪ ⎪-⎝⎭、(),21a a ⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭单调递减，在()()2121a a a a ⎛---⎪ ⎪--⎝⎭单调递增；8．（2022·浙江·模拟预测）设函数1()ln ()f x x a x a x=--∈R .讨论()f x 的单调性；【答案】()()2211ln ,x ax f x x a x f x x x '-+=--=①当2a ≤时，221210x ax x x -+≥-+≥，所以()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上递增②当2a >时，记210x ax -+=的两根为(0,1),(1,)22a a m n ==∈+∞则当0x m <<时，()0f x '>；当m x n <<时，()0f x '<；当x n >时，()0f x '>综上可知，当2a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增当2a >时，()f x 在(0,)m 上递增，在(,)m n 上递减，在(,)n +∞上递。

一元函数的导数及其应用(利用导数研究双变量问题)(全题型压轴题)(解析版)-高考数学高分必刷必过题

【详解】（1） f (x) 在区间 (0, 2) 上为减函数.任取 0 x1 x2 2 ，
f
x1
f
x2
x12 x1 2
x22 x2 2
x12 x2 2 x22 x1 2 x1 2 x2 2
x1x2 x1 x22
x1x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 2 x2 2
【详解】由题意，
当
x
0,
1 2
时，
f
x
1 3
x
1 6
0,
1 6
，
当
x
1 2
,1
时，f
x
2x3 ，f x
21
6x2 x 1 2x3 x 12
4x3 6x2
x 1 2
2x2 2x 3 x 1 2
0 ，恒成立，
所以
f
x
在
x
1 2
,1
上单调递增，所以
f
x
1 6
,1
，
所以函数 f x 在0,1上的值域为 A 0,1，
f
x 有极大值，也为最大值且
f
x
max
f
1 ln11 1.
（2）
设 f x x 1, 2 的值域为 A, g x x 1, 2 的值域为 B ,
由题意“对于任意的 x1 1, 2 ，总存在 x2 1, 2 使得 f x1 g x2 0 ”，
等价于 A B ，
由（1）知
f
x
2
,
令 t cos x ， y t2 t 1 a (t 1 )2 5 a ， t 1, 0 ，
24
函数
y
(t
1)2 2

专题20 一元函数的导数及其应用(解答题)(11月)(人教A版2021)(解析版)

专题20 一元函数的导数及其应用（解答题）1．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；（3）sincos 22x y x x =-；【试题来源】陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理）【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln +='+x y x x ；（3）11cos 2y x '=-．【解析】（1）因为23cos =+y x x ，所以6sin =-'y x x ；（2）因为()1ln =+y x x ，所以1ln +='+x y x x；（3）因为1sincos sin 222y x x x x x =-=-，所以11cos 2y x '=-. 2．已知函数()22f x x x =-及点P ，过点P 作直线l 与曲线()y f x =相切（1）求曲线在点()1,1P 处的切线l 方程；（2）求曲线过点()1,0P 的切线l 的斜率．【试题来源】湖南省张家界市民族中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】（1）320x y --=（2）3+3-【解析】（1）因为()22f x x x =-，所以()41f x x '=-，所以切线l 的斜率为(1)413f '=-=，又(1)211f =-=，所以切线l 方程为13(1)y x -=-，即320x y --=．（2）设切点为2000(,2)x x x -，则2000020411x x x x ---=-，整理得2002410x x -+=，解得01x =或012x =-，所以切线l的斜率为3+或3-，综上所述：切线l的斜率为3+或3-. 3．已知函数213(1)222f x x x +=++，()ln g x a x =且(1)2g '=．（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）令()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间．【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考【答案】（1）21()2f x x x =+，()2lng x x =；（2）()h x 的单调增区间为(1,)+∞，单调递减区间为()0,1．【解析】（1）213()[(1)1](1)2(1)22f x f x x x =-+=-+-+，整理得21()2f x x x =+， ()ag x x'=，由()12g '=得2a =，故()2ln g x x =；（2）21()2ln 2h x x x x =+-，此函数的定义域为(0,)+∞，222(1)(2)()1x x x x h x x x x x+--+'=+-==，因为0x >，所以20x +>，故()0h x '>解得1x >，()0h x '<，解得01x <<，所以()h x 的单调增区间为(1,)+∞，单调递减区间为()0,1． 4．已知函数()af x x 经过点(2,4)P ，2()xe g x x=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()F x f x g x =⋅，求()F x 在点(1,(1))Q F 处的切线方程．【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考（文）【答案】（1）2()f x x =；（2）0ex y -=．【分析】（1）将(2,4)P 代入可得2a =，即得()f x 的解析式；（2）可得()x F x e =，求出()F x 在1x =处的导数值即切线斜率，求出()1F ，即可求出切线方程．【解析】（1）函数()a f x x 经过点(2,4)P ，24a ∴=，解得2a =，2()f x x ∴=；（2）22()()()x x e F x f x g x x e x=⋅=⋅=，()xF x e '∴=，()1F e '∴=，()1F e =，则切线方程为()1y e e x -=-，即0ex y -=．5．已知曲线()(3)(2ln )x f x x e a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1) y e x b =-+．（1）求a ，b 值；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()0215e f x --<<-．【试题来源】四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（（文））（四模）试题【答案】（1）1a =，2b e =--；（2）证明见详解【解析】（1）()f x 在1x =处切线方程为(1)y e x b =-+，而2()(2)(1)x f x x e a x'=-+-所以(1)1f e a e '=-+=-，即1a =，而(1)21f e =--，故切点为(1,21)e --，所以121e b e -+=--，即2b e =--，故有1a =，2b e =--；（2）由（1）知()(3)2ln xf x x e x x =-+-且定义域(0,)x ∈+∞，所以(2)2(1)(2)()x x x x e x xe x f x x x--+--'==，若()(2)(1)xg x x xe =-- ，令()1xh x xe =-，即()(1)xh x x e '=+在(0,)x ∈+∞有()0h x '>恒成立，所以()h x 单调增，又(0)10h =-<，(1)10h e =->：即()h x 的零点1x 在(0,1)内，所以1(0,)x 上()0h x <，1(,)x +∞上()0h x >，故在()g x 中1(0,1)x ∈，(0,)x ∈+∞上有，当10x x <<时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增，当12x x <<时，()0<g x ，即()0f x '<，()f x 单调减，当2x >时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增，所以()f x 存在唯一的极大值点0x =1(0,1)x ∈，又有01()()(1)21f x f x f e =>=--，而001xx e =，000000003()32ln 13x x f x x e e x x x x =-+-=--且0(0,1)x ∈，所以0()5f x <-(利用均值不等式，但等号不成立，因为0x 无法取1)，综上，得证：021()5e f x --<<-.【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，及利用导数讨论函数的单调区间进而证明极值点的唯一性，依据单调性及应用均值不等式确定极值点处函数值的范围.6．已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求a ，b 的值；（2）证明：．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知得，所以．，．（2）设，则，由得；由得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，所以当时，，所以，所以要使在上成立，只需使在上成立，即在上成立，设，则，由得，由得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，即在上成立，所以原不等式成立． 7．已知函数()af x x 经过点(2,4)P ，2()xbe g x x=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()F x f x g x =⋅，若()F x 的图象与直线:l y ex =相切，求b 值．【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三第一学期10月月考（理）()ln 1x f x ax =+()y f x =()()1,1f 12y x b =+21()x f x e x>-1a =12b =-1(1)02f b ==+12b =-21(1)ln ()(1)ax a x x f x ax +-'=+211(1),1(1)2a f a a +'===+()1xg x e x =--()1x g x e '=-()0g x '>0x >()0g x '<0x <()g x (,0)-∞(0,)+∞()g x 0x =(0)0g =0x >1x e x >+221x e x <+21()xf x e x >-(0,)+∞ln 2111x x x x≥-++(0,)+∞1ln 10x x+-≥(0,)+∞1()ln 1h x x x =+-21()x h x x-'=()0h x '>1x >()0h x '<01x <<()h x (0,1)(1,)+∞()h x 1x =(1)0h =1ln 10x x+-≥(0,)+∞【答案】（1）2()f x x =；（2）1．【解析】（1）由题意(2)24af ==，2a =，所以2()f x x =；（2）由（1）()x g x be =，设切点为00(,)Q x y ，()x g x be '=，所以00()xg x be e '==，又000()x g x be ex ==，两者结合可解得01x =，1b =．【名师点睛】本题导数的几何意义．求函数()y f x =的切线方程的方法：（1）若求函数()f x 的图象在00(,)P x y 处的切线，则只要求得()'f x ，由0()f x '是切线斜率可得切线方程；（2）若求过00(,)P x y 的切线方程，则一般设切点为11(,)Q x y ，由（1）求出在Q 点的切线方程111()()y y f x x x '-=-，由切线过点00(,)P x y 求出切点坐标，得切线方程．已知切线方程也是同样求解． 8．已知函数21()ln 2f x x x =+．（1）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值；（2）若()21()f x a x >-有解，求实数a 的取值范围．【试题来源】广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测（理）【答案】（1）最大值为2112e +，最小值为12；（2）11,22e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【解析】（1）由题可知()f x 的定义域为()0,∞+，函数21()ln 2f x x x =+，1()0f x x x '=+>，所以函数()f x 在区间[1,]e 上是增函数．()f x 在区间[1,]e 上的最大值为()2112f e e =+，最小值为1(1)2f =．（2）2()(1)f x a x >-，令221()()(1)ln 2g x f x a x x a x ⎛⎫=--=+-⎪⎝⎭， ()1(21)g a x x x '=-+．当12a ≥时，()0g x '>．1(1)02g a =-≥，显然()0g x >有解．当12a <时，由()1(21)0g x a x x '=-+=得x =当x ⎛∈ ⎝时，()0g x '>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '<，故()g x 在x =11ln(12)22g a =---．若使()0g x >有解，只需11ln(12)022a --->，解得1122a e>-．结合12a <，此时a 的取值范围为111,222e ⎛⎫-⎪⎝⎭．综上所述，a 的取值范围为11,22e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭． 9．已知函数()πsin 02f x a x x b x ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭在π3x =处有极值．（2）若不等式()sin cos f x x x >+对于任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求b 的取值范围．【试题来源】湖南省、河北省新高考联考2020-2021学年高三上学期10月质量检测【答案】（1）2a =，π3x =是()f x 的极大值点；（2）1b >．【解析】（1）由()sin f x a x x b =-+，得()cos 1f x a x '=-，由题意，得π03f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，即πcos 103a -=，解得2a =．当2a =时，()12cos 12cos 2f x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，得1cos 2x =，结合π02x ≤≤，解得π3x =．当π03x ≤<时，()0f x '>；当ππ32x <≤时，()0f x '<，所以π3x =是()f x 的极大值点．（2）本题等价于cos sin b x x x >+-对于一切π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．记()cos sin g x x x x =+-，则()max b g x >，()π1sin cos 14g x x x x ⎛⎫'=--=+⎪⎝⎭．由π02x ≤≤，得ππ3π444x ≤+≤，所以πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即π14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()0g x '≤．从而()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以()()max 01g x g ==，故1b >.【名师点睛】本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：（1）若()a f x >恒成立，则()max a f x >；（2）若()a f x <恒成立，则()min a f x <． 10．已知函数()e cos 2xf x x =+-(其中0x ≥)，()f x '为()f x 的导数．（1）求导数()f x '的最小值；（2）若不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测（文）【答案】（1）1；（2）1a ≤．【解析】（1）()e sin xf x x '=-，令()e sin xg x x =-，当0x ≥时，则()e cos 1cos 0xg x x x '=-≥-≥．故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即导数()f x '的最小值为1．（2）令()e cos 2xh x x ax =+--，()e sin xh x x a '=--，当1a ≤时，若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即1a ≤．当1a >时，由（1）可知()e sin xh x x a '=--在[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，()()()ln(2)2sin ln(2)2sin ln(2)0h a a a a a '+=+-+-=-+>，故存在唯一()00x ∈+∞,，使得()00h x '=．则当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时与()0h x ≥恒成立矛盾．综上所述，1a ≤．【名师点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，解题关键是构造函数()e cos 2x h x x ax =+--，通过求()min 0h x ≥进而得解，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 11．已知函数()xf x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >-时，()()2f x a x x >+，求a 的取值范围．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（文）【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1e ⎡⎫-⎢⎣．【解析】（1）()xf x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 单调递增；若0a >，由()0f x '<得ln x a <，由()0f x '>得ln x a >，此时()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．（2）由()2()f x a x x >+得()22xa x x e +<，当0x =时，显然成立；当(1,0)x ∈-时，220x x +<，22x e a x x >+，令2()2x e g x x x=+，则()()()()2222222(22)2()022x xx e x x x e x e g x xx xx +-+-'==<++，()g x 在(1,0)-上单调递减，1()(1)g x g e<-=-，此时1a e ≥-；当(0,)x ∈+∞时，220x x +>，22xe a x x<+，由()()2222()02x x e g x x x -'==+知()g x在x =时取得最小值，()g x g ≥=，此时a <a的取值范围是1e ⎡-⎢⎣．【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 12．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-；（1）若12a <≤，求函数()f x 的单调递减区间；（2）求证：若15a <<，则对任意的120x x >>，有1212()()1f x f x x x ->--．【试题来源】宁夏固原市五原中学补习部2021届高三上学期期中考试（文）【答案】（1）{}|11x a x -<<；（2）证明见解析．【解析】（1）21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-的定义域为(0+)∞，， [](1)(1)1()x x a a f x x a x x----'=-+=，因为12a <≤，所以011a <-≤，当11a -=即2a =时，()f x 在(0+)∞，单调递增，当011a <-<时，即02a <<，令()0f x '<得11a x -<<，所以()f x 单调递减，单调递减区间为{}|11x a x -<<，综上所述，2a =时，()f x 无单调递减区间；02a <<时， ()f x 单调递减区间为{}|11x a x -<<．（2）设21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+()0x >，则21(1)1()1a x a x a g x x a x x-+-+-'=-++=，令2()(1)1M x x a x a =+-+-，所以2(1)4(1)(1)(5)a a a a ∆=---=--，因为15a <<，所以(1)(5)0a a ∆=--<，所以()0M x >，即()0g x '>，所以()g x 在(0+)∞，上单调递增，对任意120x x >>，12()()g x g x >，即1122()()f x x f x x +>+，1212()()()f x f x x x ->--，所以1212()()1f x f x x x ->--．13．已知函数3()(2)f x x a x b =-+++，32()ln g x x x a x =-++．（1）当1a =时，若()f x 在[)3,2x ∈-上的最大值为10，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,e x ∈，都有()()g x b f x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测（理）（三）【答案】（1）-8；（2）1a ≤-．【解析】（1）当1a =时，由3()3f x x x b =-++，得2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-，令()0f x '=，得1x =-或1x =．当x 变化时()'f x ，()f x 在[)3,2x ∈-的变化情况如下：所以()f x 在[)3,2x ∈-上的最大值为(3)1810f b -=+=，得8b =-．（2）由()()g x b f x +≥，得2(ln )2x x a x x -≤-，因为[]1,e x ∈，ln 1x x ≤≤且等号不能同时取得，所以ln x x <，即ln 0x x ->，所以22ln -≤-x xa x x 恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭．令22()ln -=-x x h x x x，[]1,e x ∈，则2(1)(22ln )()(ln )-+-=-'x x x h x x x ，当[]1,e x ∈时，ln 1x ≤，22ln 0x x +->，从而()0h x '≥，所以()h x 在[]1,e 上为增函数，所以min ()(1)1h x h ==-，所以1a ≤-．【名师点睛】恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<．若能分离常数，即将问题转化为()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<． 14．已知函数()316f x x x =+-．（1）求()f x '；（2）求曲线()y f x =过点()2,14-的切线的方程．【试题来源】吉林省吉林市蛟河市第一中学校2020-2021学年高三第一次月考（理）【答案】（1）()231f x x ='+；（2）16y x =-或2870y x =-．【解析】（1）()316f x x x =+-，则()231f x x ='+；（2）设切点为()3000,16x x x +-，()231f x x ='+，所以，切线的斜率为2031k x =+，所求切线方程为()()()3200001631y x x x x x -+-=+-．将2x =，14y =-代入切线方程，得()()()3200001416312x x x x --+-=+-．整理得()20030x x -=，解得00x =或3．当00x =时，1k =，切线方程为()142y x --=-，化简得16y x =-；当03x =时，28k =，切线方程为()()14282y x --=-，化简得2870y x =-．综上所述，曲线()y f x =过点()2,14-的切线的方程为16y x =-或2870y x =-． 15．已知函数()1()x f x e ax a R =+-∈ （1）判断函数f (x )的单调性；（2）若()ln(1)g x x =+当(0,)x ∈+∞时，不等式(())()f g x f x <恒成立，求实数a 的取值范围．【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试（理）【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增；（2）[)1,-+∞．【解析】（1）因为函数()1()x f x e ax a R =+-∈，所以()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e x f x a ，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-，所以()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增．综上所述，当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增．（2）当()0,x ∈+∞时，11x +>，所以()ln(1)0g x x ．设()ln(1)h x x x =-+(0)x >，则1()111xh x x x '=-=++，当0x >时，()0h x '>，()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()(0)0h x h >=，所以ln(1)x x >+，故0()g x x ．由（1）可知，当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以(())()f g x f x <成立；当10a -≤<时，ln()0a ，且()f x 在ln(),a 上单调递增，所以(())()f g x f x <成立；当1a <-时，()f x 在0,ln()a 上单调递减；则有(())()f g x f x >，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为[)1,-+∞． 16．已知函数()()()()ln 11f x x a x a x =+-+-．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；【试题来源】北京市人大附中2021届高三年级10月数学月考试题【答案】（1）0y =；（2）存在实数1a =，使得()f x 在()0,∞+单调递增，理由见解析．【分析】（1）由题得()10f =，求导得()'10f =，进而得切线方程为0y =；（2）令()()'g x f x =，结合()()1'10g f ==，研究()g x 在()0,∞+上的单调性即可得答案．【解析】（1）求导得()()'ln 1x af x x a x+=+-+，所以()'10f =，又()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为0y =．（2）存在实数1a =，使得()f x 在()0,∞+单调递增，理由如下：由（1）得()()'ln 1ln x a af x x a x a x x+=+-+=+-，令()()'g x f x =，则()221'a x ag x x x x--=+=，故当0a ≤时，()'0g x >在()0,∞+上恒成立，故()()'g x f x =在()0,∞+上单调递增，由于()'10f =，故()0,1x ∈时()'0f x <，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时()'0f x >，()f x 单调递增．当0a >时，令()'0g x =得x a =，所以当()0,x a ∈时，()'0g x <，()()'g x f x =单调递减，当(),x a ∈+∞时，()'0g x >，()()'g x f x =单调递增，由于()()1'10g f ==，所以当()()0,11,a ∈+∞时，()()'0g a f a =<，所以不可能使得()0g x >在()0,∞+恒成立，所以当()()0,11,a ∈+∞时，均不能使得()f x 在()0,∞+具有单调性．当1a =时，()()1'10g f ==，此时()0,1x ∈时，()()'g x f x =单调递减，()1,x ∈+∞时，()()'g x f x =单调递增，所以()()()()min min 10'1'g x g f f x ====，所以()'0f x ≥在在()0,∞+恒成立，此时函数()f x 在()0,∞+单调递增．故存在实数1a =，使得()f x 在()0,∞+具有单调性． 17．定义在实数集上的函数231(),()23f x x xg x x x m =+=-+．（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()()f x g x >对任意的[]4,4x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【试题来源】新疆呼图壁县第一中学2021届高三上学期第二次月考（理）【答案】（1）310x y --=；（2）5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【解析】（1）()2f x x x =+，当1x =时，()12f =，因为()21f x x '=+，()13f '=，所以所求切线方程为()231y x -=-，即310x y --=；（2）令()()()32133h x g x f x x x x m =-=--+，则()()()22331h x x x x x '=--=-+，所以当41x -<<-时，()0h x '>；当13x 时，()0h x '<；当34x <<时，()0h x '>；要使()()f x g x >恒成立，即()max 0h x <．由上知()h x 的最大值在1x =-或4x =取得．而()513h m -=+，()2043h m =-，()max 503h x m ∴=+<，解得53m <-．所以实数m 的取值范围5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．18．已知函数()e x f x x =，2()(1)ln g x e x x x x =-++．（1）求曲线()y f x =在点(1,)e 处的切线方程；（2）证明：()()f x g x ≥．【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（（文））第三次质检试题【答案】（1）20ex y e --=（2）见解析【解析】（1）()()1xf x x e '=+，切点坐标为(1,)e ，则有(1)2f e '=．所以切线方程为2(1)y e e x -=-，即20ex y e --=．（2）要证：()21ln xxe e x x x x ≥-++，即证e 1ln 1x x e x x+≥+-．令()e (0)xh x x x =>，则()()2e 1x x h x x-'=，当()0,1x ∈时，()()'0,h x h x <单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()'0,h x h x >单调递增所以()()1h x h e ≥=．令()1ln 1xx e x ϕ+=+-，()2ln x x xϕ-'=，当()0,1x ∈时，()()'0,x x ϕϕ>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()'0,x x ϕϕ<单调递减所以，()()1x e ϕϕ≤=．所以()()h x x ϕ≥，即()()f x g x ≥． 19．已知函数()()2xx ax a f x e+-=，其中a R ∈．（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程；（2）求证：若()f x 有极值，则极大值必大于0．【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考【答案】（1）1y x e=；（2）证明见解析．【解析】（1）()()()()2222x xx a x a x a x f x e e---+-+-'==，当0a =时，()11f e '=，()11f e =，则()f x 在()()1,1f 的切线方程为1y x e=；（2）证明：令()0f x '=，解得2x =或x a =-，①当2a =-时，()0f x '≤恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递减，所以()f x 无极值； ②当2a >-时，令()0f x '>，解得2a x -<<，令()0f x '<，解得x a <-或2x >，所以函数()f x 在(),2a -上单调递增，在(),a -∞-，()2,+∞上单调递减，所以()()2420a f x f e+==>极大值； ③当2a <-时，令()0f x '>，解得2x a <<-，令()0f x '<，解得2x <或x a >-，所以函数()f x 在()2,a -上单调递增，在(),2-∞，(),a -+∞上单调递减，所以()()0a af x f a e-=-=>极大值，综上，函数()f x 的极大值恒大于0． 20．已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a R =-++∈其中 2.71828e ≈… （1）当1a =时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最小值．【试题来源】安徽省安庆市宿松县程集中学2020-2021学年高三上学期9月月考（理）【答案】（1）32y =；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1）当1a =时，()212ln 2f x x x x =-++，又()21f x x x '=-++，以()312f =，()10f '=，故切线方程为32y =；（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2222x a x a x ax a f x x x+-+-'==当0a <时，()f x 在区间()02a -，单调递减，在区间()2a -+∞，上单调递增．（1）当2a e -≥，即2a ≤-时，()f x 在区间()1,2a -单调递减，所以，()()22min122f x f e a ea e ==-++⎡⎤⎣⎦；（2）当12a e <-<，即122e a -<<-时，()f x 在区间()1,2a -单调递减，在区间()2,a e -单调递增，所以()()()2min 22ln 2f x f a a a =-=--⎡⎤⎣⎦，（3）当21a -≤，即102a -≤<时，()f x 在区间[]1,e 单调递增，所以()()min112f x f a ==+⎡⎤⎣⎦． 21．已知函数()2ln f x x a x =+（1）若()f x 的图象在点 (2, (2) ) f 处的切线与直线210x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若2()()g x f x x=+在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围．【试题来源】湖南省张家界市民族中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】（1）12a =-（2）12a ≤-【分析】（1）求导后，根据导数的几何意义可得1(2)12f a '=+=，可得12a =-；（2）转化为22a x x≤-在[]1,2上恒成立，根据单调性求出最小值，代入可得结果．【解析】（1）因为()2ln f x x a x =+，所以2()1af x x'=+，依题意可得1(2)12f a '=+=，所以12a =-．（2）2()()g x f x x =+22ln x a x x =++，222()1ag x x x'=-++，依题意可得222()1ag x x x'=-++0≤在[]1,2上恒成立，所以22a x x≤-在[]1,2上恒成立，因为2=-y x x 在[]1,2上为递减函数，所以当2x =时，2x x-取得最小值1-，所以2.1a ≤-，即12a ≤-．22．已知函数()31()33f x x ax a R =-+∈，且()f x 在2x =处的切线为73y =-．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．【试题来源】陕西省渭南市大荔县同州中学2020-2021学年高三上学期第一次月考【答案】（1）4a =；（2）min 7()3f x =-，max 25()3f x =．【分析】（1）求出导函数，代入2x =得到斜率，在求出在2x =的函数值，由点斜式方程得解；（2）求出导函数，利用表格法求得单调性从而得到区间上的最值．．【解析】（1）由已知31()3()3f x x ax a R =-+∈，所以2()f x x a '=-，因为()f x 在2x =处的切线为73y =-，所以(2)0f '=，故40a -=，所以4a =．（2）由31()43f x x x =-+，可得2()40f x x '=-=，解得2x =±，列表如下：所以min ()3f x =-，max ()3f x =． 23．设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）证明：()2x x f x e e->．【试题来源】北京市西城区2020届高三数学二模试题【答案】（1）1a =；（2）极小值11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析．【解析】（1）()ln f x a x a '+=，则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得1a =；（2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>，易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时，()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值，（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>，由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①，所以21ln x x x x x x e e e e -+≥-，故只要证明10x xe e-≥即可，（需验证等号不同时成立）设()1x xg x e e =-，0x >，则()1x x g x e-'=，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增，所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，② 因为①②等号不同时成立，所以当0x >时，()2x x f x e e->． 24．已知函数2()f x alnx bx =-，a ，b R ∈．若()f x 在1x =处与直线12y 相切．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1[e，]e 上的最大值．【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期10月月考【答案】（1）112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）12- ．【分析】（1）对()f x 进行求导，先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a ，b 的方程求得a ，b 的值．（2）判定函数的单调性，可得函数的极大值就是最大值，求出函数的极值可确定出最大值．【解析】（1）函数2()(0)f x alnx bx x =->，()2af x bx x∴'=-，函数()f x 在1x =处与直线12y相切，∴(1)201(1)2f a b f b '=-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）21()2f x lnx x =-，21()x f x x-'=，当1x e e 时，令()0f x '>得11x e<，令()0f x '<，得1x e <，()f x ∴在1[e，1]，上单调递增，在[1，]e 上单调递减，所以函数的极大值就是最大值，()max f x f ∴=（1）12=-．【名师点睛】本题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题． 25．已知函数2()xx m f x e -=（其中m 为常数）．（1）若0m =且直线y kx =与曲线()y f x =相切，求实数k 的值；（2）若()y f x =在[]1,2上的最大值为22e，求m 的值．【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）考试【答案】（1）2；（2）2．【分析】（1）代入0m =，得到()f x ，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据()f x 在()1,2的单调性求出最大值等于22e，从而求出m ．【解析】（1）0m =时，()222222()()x x x x x x e xe xf x f x e e e --'=⇒==，设切点为0002,x x x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线方程为()00000222x x x x y x x e e--=- ()0,0点代入，()00000222x x x x x e e --=-化简解得0(0)02k x f '⇒===．（2）22()xx m f x e -++'=，①当24m +≥即2m ≥时，()0f x '>在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递增，()f x 在[]1,2的最大值为2242(2)m f e e-==，故2m =，满足2m ≥； ②当22m +≤即0m ≤时，()0f x '<在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递减，()f x 在[]1,2的最大值为222(1)m f e e-==，故22m e =-，不满足0m ≤，舍去； ③当224m <+<即02m <<时，由22()0x x m f x e-++'==得22m x +=， 22m x +<时()0f x '>，22m x +>时()0f x '<，即()f x 在21,2m +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,22m +⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 的最大值为 22222222m m m m mf e e ++++-⎛⎫== ⎪⎝⎭，即22222m e e +=，所以2m =，不满足02m <<，舍去，综上所述， 2m =．26．已知函数()322312f x x x x m =--+．（1）若1m =，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围．【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上期教学指导卷一（文）【答案】（1）12y x =-；（2）()7,20-．【分析】（1）求出()f x 的导数，求出()1f '即为切线斜率，再求出()1f ，即可利用点斜式求出切线方程；（2）利用导数讨论()f x 的变化情况，求出极大值和极小值，即可根据题意建立不等式，求出m 的取值范围．【解析】（1）由题意，()26612f x x x '=--，故()112f '=-，又当1m =时，()12312112f =--+=-，故所求的切线方程为()12121y x +=--，即12y x =-．（2）由题意，()()()()22661262612f x x x x x x x '=--=--=+-，令()0f x '=，得1x =-或2x =，故当(),1x ∈-∞-时()0f x '>，当()1,2x ∈-时()0f x '<，当()2,x ∈+∞时()0f x '>，故当1x =-时，函数()f x 有极大值()()()121311217f m m -=⨯--⨯-⨯-+=+，当2x =时，函数()f x 有极小值()2283412220f m m =⨯-⨯-⨯+=-．若函数()f x 有3个零点，实数m 满足70200m m +>⎧⎨-<⎩，解得720m -<<，即实数m 的取值范围为()7,20-．27．已知函数1()ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，设函数()eg x x=，若在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．【试题来源】江西省赣州市十五县（市）2021届高三上学期期中联考数学（文）试题【答案】（1）1y x =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）22,1e e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭．【解析】（1）当1a =时，函数1()ln f x x x x=--，所以(1)11ln10f =--=，211()1f x x x'=+-，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为11(1)1111f '=+-=．从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，（2）2221()a ax x af x a x x x-+'=+-=．．要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0f x '≥在(0,)+∞内恒成立．即20ax x a -+≥得2111x a x x x≥=++恒成立．因为12x x +≥，所以1112x x≤+，所以12a ≥．所以()f x 在(0,)+∞内为增函数，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭法二：2221()a ax x af x a x x x -+'=+-=，当0a ≤时，()0f x '<在定义域内恒成立，不合题意舍，当0a >时，2140a ∆=->即102a <<方程20ax x a -+=有两解1x ，2x ， 1210x x a+=>，1210x x =>，故20ax x a -+=在(0,)+∞恒有两解，()0f x '≥不恒成立，不合题意舍去； 2140a ∆=-≤即12a ≥，20ax x a -+≥即22()0ax x a f x x-+'=≥在(0,)+∞内恒成立，函数()f x 在其定义域内为增函数，所以实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）因为()eg x x=在[1,]e 上是减函数，所以x e =时，min ()1g x =，1x =时，max ()g x e =，即()[1,]g x e ∈ ，由（2）知，当12a ≥；在定义域(0,)+∞内是增函数，即1()1,1f x a e e ⎡⎤⎛⎫∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，存在0[1,]x e ∈，()()00f x g x ≥只需满足max min ()()f x g x ≥，[1,e]x ∈，即1ln 1a e e e ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，解得221e a e ≥- ．所以实数a 的取值范围是22,1e e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 28．已知函数()()11ln ax a x xf x =++-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若0a ≤，讨论函数()f x 的单调性．【试题来源】山东省实验中学2020-2021学年高三第一次诊断考试（10月）【答案】（1）3y =；（2）答案见解析．【解析】（1）当2a =时，()12ln f x x x x =+-，()2112x f xx -'=-，又()10f '=，()13f =，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为3y =．（2）()()()()2222111111ax a x x ax a a x x x x f x +---+-=-+='=（0x >），①当0a =时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； ②当10a -<<时，()f x 在()0,1和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；③当1a =-时，()f x 在()0,∞+上单调递减；④当1a <-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递减，在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．【名师点睛】本题考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图象法，通过图象得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性． 29．已知函数cos ()e 1sin x xf x x=++．（1）求函数()f x 的定义域；（2）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（3）求证：当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥．【试题来源】北京市朝阳区2020届高三年级学业水平等级性考试练习二（二模）【答案】（1）|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭；（2）2y =；（3）见解析．【解析】（1）由1sin 0x +≠得，22x k ππ≠-+，k Z ∈，所以()f x 的定义域为|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭．（2）由()()()2sin 1sin cos cos 11sin 1sin x x x x x xf x e e xx -+-⋅-=='++++得()00f '=，又()02f =，所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为2y =．（3）由（2）得，()11sin x f x e x -=++'．当ππ(,)22x ∈-时，11sin y x-=+与xy e =单调递增，所以()11sin x f x e x -=++'在ππ(,)22-上单调递增．又()00f '=，所以()f x 在π(,0)2-上单调递减，在(0,)2π上单调递增．故()()()min 02f x f x f ≥==． 30．已知函数()2ln xf x e x x e ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()g x ax =，a ∈Z ，其中e 是自然对数的底数．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，()()f x g x >恒成立，求a 的最大值．【试题来源】湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020届高三（5月）数学（理）【答案】（1）()20e x y e +--=；（2）1．【解析】因为()2ln ln 1x f x e x x x e ⎛⎫'=+++⎪⎝⎭，所以()12f e '=+，因为()12f =，所以所求切线方程为()()221y e x -=+-，即()20e x y e +--=；（2）由()()11f g >得2a <，现证明不等式2ln xe x x x e ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即证2ln xx x x e e +>，令()2ln m x x x e =+，()()0x xh x x e=>，因为()ln 1m x x '=+，所以当10x e<<时，()0m x '<，()m x 递减；当1x e >时，()0m x '>，()m x 递增．所以()min 11m x m e e ⎛⎫==⎪⎝⎭．因为()1x x h x e-'= 所以当01x <<时，()0h x '>，()h x 递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 递减．所以()()max 11h x h e ==，所以()()1m x h x e≥≥且等号不同时取得．所以2ln x x x x e e +>，即2ln x e x x x e ⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立．综上，max 1a =．31．已知函数()21xax x f x e+-=，0a >．（1）求证：曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程与实数a 的取值无关；（2）若()2f x ≥-对[]1,1x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围．【试题来源】北京大学附属中学2021届上学期高三阶段性检测【答案】（1）证明见详解；（2）1,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求出导函数，并求出()0f '以及()0f ，求出切线方程即可证出．（2）讨论0x =或0x ≠，分离参数，转化为求函数的最值，利用导数求出函数的最值即可求解．【解析】（1）由()21x ax x f x e +-=，则()()2212xax a x f x e-+-+'=， ()02f '=，由()01f =-，所以()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =-，所以在点()()0,0f 处的切线方程与实数a 的取值无关，即证．（2）()212xax x f x e+-=≥-对[]1,1x ∈-恒成立，即2120x ax x e +-+≥对[]1,1x ∈-恒成立，212x ax x e ∴≥--对[]1,1x ∈-恒成立，当0x =时，恒成立，当0x ≠时，212xx e a x--≥对[)(]1,00,1x ∈-恒成立，令()212xx e g x x--=，则()()()()()()244212122212xx x e x e x xx x e g x xx+-+++-⋅--'==，令()0g x '=，解得ln2x =-，()g x ∴在[]1,ln 2--，(]0,1上单调递增，在[)ln 2,0-上单调递减，()()(){}11max ln 2,1max ,2ln 2ln 2g x g g e ⎧⎫∴=-=-=⎨⎬⎩⎭， ()max 1ln 2a g x ∴≥=，故实数a 的取值范围为1,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 32．已知函数()ln f x x a x =+在1x =的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-．（1）求实数a 的值；（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；【试题来源】新疆和田地区第二中学2020届高三11月月考（理）【答案】（1）1a =；（2）3b >【分析】（1）求导，计算(1)1k f a '==+，利用直线垂直关系得解．（2）函数()g x 存在单调递减区间，则()110g x x b x'=++-≤在(0,)+∞上成立，转化为11b x x ≥++，在(0,)+∞上成立，即求11y x x=++最小值得解．【解析】（1）()()ln ,1af x x a x f x x'=+∴=+(1)1k f a '==+ ，又函数()ln f x x a x =+在1x =的切线与直线20x y +=垂直1(1)()112a a +⨯-=-⇒=（2）()212g x x lnx x bx =++-，()11g x x b x'=++-函数()g x 存在单调递减区间，则()110g x x b x'=++-≤在(0,)+∞上成立，即11b x x ≥++在(0,)+∞上成立，113y x x=++≥（当且仅当1x =时等号成立），3b ∴≥，检验当3b =时函数在(0,)+∞单增，不满足题意，3b ∴>.33．已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->．（1）若曲线()y f x =在点()()11P f ，处的切线与直线220x y +-=垂直，求a 的值．（2）若对于任意(0,)x ∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（3）记()()()g x f x x b b R =+-∈．当1a =时，函数()g x 在区间1e e -⎡⎤⎣⎦，上有两个零点，求实数b 的取值范围．【试题来源】天津市南开中学2021届高三（上）第一次月考【答案】（1）4；（2）20e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（3）21,1e e ⎛⎤+- ⎥⎝⎦．【解析】（1）直线220x y +-=的斜率为12-，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()af x x x '=-+，所以()221211a f '=-+=，所以4a =．（2）2222()a ax f x x x x-'=-+=，0a > 由()0f x '>解得2x a >，由()0f x '<解得20x a<<，所以()f x 在区间2(a ，)+∞上单调递增，在区间2(0,)a上单调递减，。

新教材高中数学5一元函数的导数及其应用5.1.1变化率问题课时作业含解析新人教A版选择性必修第二册

课时功课(十二) 转变率题目[练根底]1．质点活动纪律为s (t )＝t 2＋3 , 那么从3到3＋Δt 的均匀速率为( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt2．一木块沿一平滑斜面自由下滑 , 测得下滑的程度间隔s (单元 : m)与时候t (单元 :s)之间的函数干系式为s (t )＝18t 2, 当t ＝2时 , 此木块在程度偏向的刹那速率为( )A ．2B ．1 C.12 D.143．一向线活动的物体 , 从时候t 到t ＋Δt 时 , 物体的位移为Δs , 那么li m Δt →0ΔsΔt为( ) A ．从时候t 到t ＋Δt 一段时候内物体的均匀速率 B ．在t 时候时该物体的刹那速率 C ．其时候为Δt 时物体的速率D ．在时候t ＋Δt 时候物体的刹那速率4．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3) , B (2＋Δx,3＋Δy ) , 当Δx ＝1时 , 直线AB 的斜率是________ ; 当Δx ＝0.1时 , 直线AB 的斜率是________．5．一物体的活动方程为s ＝7t 2＋8 , 那么该物体在t ＝________时的刹那速率为1.6．求抛物线y ＝x 2＋2x ＋3在点(1,6)处的切线方程． [提本领]7．(多项选择题)一球沿某一斜面自由滚下 , 测得滚下的垂直间隔h (单元 : m)与时候t (单元 : s)之间的函数干系为h (t )＝2t 2＋2t , 那么以下说法准确的选项是( )A ．前3 s 内球滚下的垂直间隔的增量Δh ＝24 mB ．在时候[2,3]内球滚下的垂直间隔的增量Δh ＝12 mC ．前3 s 内球的均匀速率为8 m/sD ．在时候[2,3]内球的均匀速率为12 m/s8．在高台跳水活动中 , 运发动相对付水面的高度h (单元 : m)与起跳后的时候t (单元 : s)存在函数干系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10 , 那么刹那速率为0 m/s 的时候是________s.9．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10. (1)求它们的交点 ;(2)抛物线在交点处的切线方程．[战疑难]10．假设一物体活动方程以下 :s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2t ≥3 29＋3t －320≤t <3个中位移s 的单元 : m , 时候t 的单元 : s.求 : (1)物体在t ∈[3,5]内的均匀速率 ; (2)物体的初速率 ;(3)物体在t ＝1时的刹那速率．课时功课(十二) 转变率题目1．剖析 : v －＝Δs Δt ＝[3＋Δt2＋3]－32＋3Δt＝6Δt ＋Δt 2Δt＝6＋Δt .谜底 : A2．剖析 : Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝18[4＋4Δt ＋(Δt )2－4] ＝18[(Δt )2＋4Δt ] ∴Δs Δt ＝18Δt ＋12∴lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18Δt ＋12＝12.故此木块在程度偏向的刹那速率为12m/s.应选C.谜底 : C3．剖析 : 由刹那速率的求法可知li m Δt →0ΔsΔt表现在t 时候时该物体的刹那速率．谜底 : B4．剖析 : 当Δx ＝1时 , 直线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝2＋Δx 2－1－22＋1Δx ＝2＋12－221＝5.当Δx ＝0.1时 , 直线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝2＋0.12－1－22＋10.1＝4.1谜底 : 5 4.15．剖析 : 设物体在t 0时的刹那速率为1 ,那么Δs Δt ＝7t 0＋Δt 2－7t 20＋8Δt＝7Δt ＋14t 0∴lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(7Δt ＋14t 0)＝14t 0令14t 0＝1 , 得t 0＝114 , 即在t ＝114时的刹那速率为1.谜底 : 1146．剖析 : Δy ＝[(1＋Δx )2＋2(1＋Δx )＋3]－(12＋1×2＋3)＝4Δx ＋(Δx )2, ∴Δy Δx ＝4Δx ＋Δx 2Δx＝4＋Δx ,∴k ＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(4＋Δx )＝4 ∴在点(1,6)处的切线方程为 : y －6＝4(x －1) 即4x －y ＋2＝0.7．剖析 : 前 3 s 内 , Δt ＝3 s , Δh ＝h (3)－h (0)＝24(m) , 此时均匀速率为Δh Δt＝243＝8(m/s) , 故AC 准确 ; 在时候[2,3]内 , Δt ＝3－2＝1(s) , Δh ＝h (3)－h (2)＝12(m) , 故均匀速率为ΔhΔt＝12(m/s) , 以是BD 准确．综上 , ABCD 都准确．谜底 : ABCD8．剖析 : 设t ＝t 0时候的刹那速率为0 m/s , 那么Δh ＝h (t 0＋Δt )－h (t 0)＝－9.8t 0·Δt ＋6.5Δt －4.9(Δt )2, ∴Δh Δt ＝－9.8t 0＋6.5－4.9Δt , 那么h ′(t 0)＝lim Δt →0Δh Δt ＝－9.8t 0＋6.5 , ∴－9.8t 0＋6.5＝0 , 解得t 0＝6598s.谜底 : 65989．剖析 : (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4y ＝x ＋10得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13以是抛物线与直线的交点坐标为(－2,8) , (3,13)．(2)假设交点坐标为(－2,8) ,那么k ＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[－2＋Δx2＋4]－[－22＋4]Δx＝lim Δx →0(－4＋Δx )＝－4.∴在点(－2,8)处的切线方程为 : y －8＝－4(x ＋2) , 即4x ＋y ＝0. 假设交点坐标为(3,13) ,那么k ＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[3＋Δx 2＋4]－32＋4Δx＝lim Δx →06Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(6＋Δx )＝6.∴在点(3,13)处的切线方程为 : y －13＝6(x －3) 即6x －y －5＝0.10．剖析 : (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时候转变量为Δt ＝5－3＝2 , 物体在t ∈[3,5]内的位移转变量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48 ,∴物体在t ∈[3,5]内的均匀速率为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速率v 0 , 即求物体在t ＝0时的刹那速率． ∵物体在t ＝0四周的均匀转变率为 Δs Δt＝s 0＋Δt －s 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－3×0－32Δt＝3Δt －18 ,∴物体在t ＝0时的刹那转变率为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18 , 即物体的初速率为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的刹那速率即为函数在t ＝1处的刹那转变率． ∵物体在t ＝1四周的均匀转变率为Δs Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－3×1－32Δt＝3Δt －12 ,∴物体在t ＝1处的刹那转变率为 lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的刹那速率为－12 m/s.。

2020-2021学年新教材高中数学 5 一元函数的导数及其应用 5.2.1 基本初等函数的导数

人教A 版选择性必修第二册课时作业(十四) 基本初等函数的导数[练基础]1．(多选题)下列结论正确的是( )A ．(sin x )′＝cos xB.⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3C ．(2e x )′＝2e xD ．若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝227. 2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 3．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 24．曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．eB ．1C ．－1D ．－e5．若曲线y ＝x α(α∈Q *)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝________.6．已知曲线y ＝x ，求：(1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程；(2)求过点P (0,1)且与曲线相切的切线方程．[提能力]7．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 8．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.9．已知两条曲线y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．人教A 版选择性必修第二册[战疑难]10．(多选题)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中是“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x课时作业(十四) 基本初等函数的导数1．解析：因为(sin x )′＝cos x ，A 正确；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，B 错误；(2e x )′＝2e x ，C 正确；∵f ′(x )＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227，D 错误，故选AC. 答案：AC2．解析：y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．答案：B3．解析：因为y ＝ln x 的导数y ′＝1x，所以令1x ＝12，得x ＝2，所以切点为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1. 答案：C4．解析：因为y ′＝e x ，所以y ′|x ＝0＝e 0＝1，所以切线方程为y －1＝x 即y ＝x ＋1，令x ＝0，则y ＝1.答案：B5．解析：y ′＝αx α－1，所以y ′|x ＝1＝α，所以切线方程为y －2＝α(x －1)，即y ＝αx －α＋2，该直线过(0,0)，所以α＝2.答案：2人教A 版选择性必修第二册6．解析：(1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝x 得y ′|x ＝x 0＝12x 0. 因为切线与y ＝2x －4平行，所以12x 0＝2，所以x 0＝116，所以y 0＝14，所以切点为⎝⎛⎭⎫116，14. 则所求切线方程为y －14＝2⎝⎛⎭⎫x －116，即16x －8y ＋1＝0. (2)设切点P 1(x 1，x 1)，则切线斜率为y ′|x ＝x 1＝12x 1，所以切线方程为y －x 1＝12x 1(x －x 1)，又切线过点P (0,1)，所以1－x 1＝12x 1(－x 1)，即x 1＝2，x 1＝4. 所以切线方程为y －2＝14(x －4)，即x －4y ＋4＝0. 7．解析：因为y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．所以直线l 的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：A8．解析：导函数y ′＝(n ＋1)x n ，切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，所以切线方程为y ＝(n ＋1)x －n ，可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1，0，则a n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，所以有a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.答案：－29．解析：不存在，理由如下：由于y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，所以y ′1＝cos x ，y ′2＝－sin x .设两条曲线的一个公共点为点P (x 0，y 0)，∴两条曲线在点P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若两条切线互相垂直，则cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，∴sin 2x 0＝2，显然不成立，∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．10．解析：A 中，f ′(x )＝e x ，有无数个解，所以f (x )有无数个“巧值点”，A 符合；B中，f ′(x )＝1x ，则ln x ＝1x ，令g (x )＝ln x －1x(x >0)，易知g (x )的图象为(0，＋∞)上一条连续不断的曲线，且g (1)＝－1<0，g (e)＝1－1e>0，由函数零点存在性定理可知g (x )在(1，e)上必有零点，所以f (x )有“巧值点”，B 符合；C 中，f ′(x )＝cos x ，由sin x ＝cos x 得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，人教A 版选择性必修第二册所以f (x )有“巧值点”，C 符合；D 中，f ′(x )＝－12x ，x ＝－12x 无实数解，所以f (x )无“巧值点”，D 不符合，故选ABC.答案：ABC。

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课时作业(十四)1.D [解析] 依题意有f'(x )=1x ·√2x -2×12×(2x )-12·lnx 2x,故f'12=2+ln21=2+ln 2,故选D .2.A [解析] 当x=1时,f (1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),由题得f'(x )=-2+1x,所以f'(1)=-2+11=-1,所以切线方程为y+2=-1×(x-1),即x+y+1=0,故选A .3.A [解析] 由题意,f'(x )=2x+2f'(1),则f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=-2,故f (x )=x 2-4x.故选A .4.B [解析] f'(x )=-sin x-f'π2,令x=π2,得f'π2=-12,即f (x )=cos x+12x.f (0)=1,f'(0)=12,所以l 的方程为y=12x+1,结合选项可知直线2x+y+1=0与直线l 垂直.故选B . 5.32[解析] ∵f'(x )=2x -x ,f'(1)=-12,又∵f (1)=1,∴切点是(1,1),∴切线方程是y-1=-12(x-1),将点(0,a )代入,解得a=12+1=32.6.D [解析] 令f (x )=x 3-4x+4,则f'(x )=3x 2-4,f'(1)=-1,设切线的倾斜角为α,则tan α=-1,可得α=135°.故选D .7.A [解析] 由题意,得f'(x )=ln x+1,∴f'(1)=1,又f (1)=a ,∴切线方程为y=x-1+a.∵切线过原点,∴0=0-1+a ,解得a=1.故选A .8.A [解析] 由题意知,函数f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (0)=0,即f (0)=-m=0,解得m=0,即当x ≤0时,函数f (x )=x 3-2x ,则f'(x )=3x 2-2,所以f'(-2)=3×(-2)2-2=10,由奇函数的导函数为偶函数,可知f'(-2)=f'(2)=10,即曲线y=f (x )在点P (2,f (2))处的切线斜率为10.故选A .9.B [解析] 由y=2x ln x ,得y'=2×ln x+2x×1x=2ln x+2,所以y'|x=e =2+2=4,且y|x=e =2e,所以切线方程为y-2e =4(x-e),即y=4x-2e,此切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为e 2,0,(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三角形面积S=12×e 2×2e =e 22.故选B .10.C [解析] 设直线与曲线切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),则切线的斜率k=y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1=x 02+x 0+1,又∵y'=3x 2,∴y'|x=x 0=3x 02,∴2x 02-x 0-1=0,解得x 0=1或x 0=-12,∴过点P (1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.故选C .11.C [解析] y'=1+1x,当x=1时,切线的斜率k=2,切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1,因为它与抛物线相切.所以ax 2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解,即ax 2+ax+2=0,故{a ≠0,a 2-8a =0,解得a=8.故选C .12.3 [解析] ∵f (x )=(x 2-a )ln x ,∴f'(x )=2x ln x+x 2-ax,∴f'(1)=1-a=-2,得a=3.13.5 [解析] 将点P (1,4)代入y=ax+b x 2,得a+b=4.函数y=ax+b x 2的导函数为y'=a-2b x3,由曲线在点P 处的切线与直线x+y+3=0垂直,得曲线在点P 处的切线的斜率k=y'|x=1=a-2b=1,联立{a +b =4,a -2b =1,得{a =3,b =1,所以a+2b=5.14.解:(1)由题意得f'(x )=x 2-4x+3, 则f'(x )=(x-2)2-1≥-1,即过曲线C 上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知{k ≥-1,-1k≥-1,解得-1≤k<0或k ≥1,所以-1≤x 2-4x+3<0或x 2-4x+3≥1, 解得x ∈(-∞,2-√2]∪(1,3)∪[2+√2,+∞). 15.解:(1)由题意,知f'(x )=1x +1x2,所以f'(1)=2,所以切线方程为y+1=2(x-1), 即2x-y-3=0.(2)由已知,得g (x )=x ln x ,切点坐标为(e,e), 由g'(x )=ln x+1,得g'(e)=2,所以l 2的方程为y-e =2(x-e),即y=2x-e ①.所以直线l 1的斜率为-12,故l 1的方程为y=-12x+2e ②,联立①②,得直线l 1与l 2交点的坐标为65e,75e ,又l 2与x 轴的交点为e 2,0,l 1与x 轴的交点为(4e,0),此封闭图形为三角形,底边m=4e -e 2=7e 2,高h=75e, 所以三角形面积S=12mh=12×7e 2×75e =4920e 2.16.B [解析] 设P 1(x 1,f (x 1)),P 2(x 2,f (x 2)),当0<x<1时,f'(x )=-1x ,当x>1时,f'(x )=1x,故不妨设x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞),故l 1:y=-1x 1(x-x 1)-ln x 1,整理得到l 1:y=-1x 1x-ln x 1+1,l 2:y=1x 2(x-x 2)+ln x 2,整理得到l 2:y=1x 2x+ln x 2-1,所以A (0,1-ln x 1),B (0,ln x 2-1),所以|AB|=|2-ln(x 1x 2)|.因为l 1⊥l 2,所以-1x 1·1x 2=-1,即x 1x 2=1,所以|AB|=2.故选B . 17.2√e [解析] 设P (x 0,y 0),f'(x )=2x+2a ,g'(x )=4a 2x.由题意知,f (x 0)=g (x 0),f'(x 0)=g'(x 0),即x 02+2ax 0=4a 2ln x 0+b ,①2x 0+2a=4a 2x 0,②由②得x 0=a 或x 0=-2a (舍),将x 0=a 代入①,得b=3a 2-4a 2ln a ,a ∈(0,+∞).令h (a )=3a 2-4a 2ln a ,a ∈(0,+∞),则h'(a )=6a-8a ln a-4a=2a (1-4ln a ),当a ∈(0,e 14)时,h'(a )>0,当a ∈(e 14,+∞)时,h'(a )<0.∴h (a )的最大值是h (e 14)=3√e -4√e ln e 14=2√e ,即实数b 的最大值为2√e .课时作业(十五)1.D [解析] 由函数y=12x 2-4ln x ,得y'=x-4x =x 2-4x,x>0.令y'>0,即x 2-4>0且x>0,解得x>2,所以函数y=12x 2-4ln x 的单调递增区间为[2,+∞),故D 正确.2.A [解析] 由题意,函数f (x )=x e|x |,可得其定义域为R,又由f (-x )=-x e |-x |=-xe|x |=-f (x ),即f (-x )=-f (x ),所以函数f (x )是奇函数.当x ∈(-∞,-1)时,f (x )=x e -x =x ·e x ,则f'(x )=e x +x e x =(1+x )e x ,则f'(x )<0,所以函数f (x )在(-∞,-1)上单调递减,故选A .3.C [解析] 由题意可知当x ∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x )>0,函数f (x )是增函数;当x ∈(0,2)时,f'(x )<0,函数f (x )是减函数.结合选项知函数f (x )的图像只能是C .4.B [解析] ∵f (-x )=(-x )2-cos(-x )=x 2-cos x=f (x ),∴f (x )为偶函数,∴f (0.5)=f (-0.5).f'(x )=2x+sin x ,当0<x<π2时,f'(x )=2x+sin x>0,∴函数f (x )在0,π2上单调递增,又0<0.5<0.6<π2,∴f (0)<f (0.5)<f (0.6),即f (0)<f (-0.5)<f (0.6).故选B .5.[0,+∞) [解析] 由题得f'(x )=3x 2+a ≥0在R 上恒成立,即a ≥-3x 2恒成立,故a ≥0,所以a 的取值范围是[0,+∞).6.C [解析] 由题意,得f'(x )=6x 2-6mx+6,由已知条件知当x ∈[1,+∞)时,f'(x )≥0恒成立,设g (x )=6x 2-6mx+6,则g (x )≥0在[1,+∞)上恒成立.方法一:当Δ=36(m 2-4)≤0,即-2≤m ≤2时,g (x )≥0在[1,+∞)上恒成立;当Δ=36(m 2-4)>0,即m<-2或m>2时,则需{m2<1,g (1)=12-6m ≥0,解得m<2,∴m<-2.∴综上,得m ≤2,∴实数m的取值范围是(-∞,2].方法二:问题转化为m ≤x+1x在[1,+∞)上恒成立,而函数y=x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,故m ≤2,故选C . 7.A [解析] 构造函数g (x )=f (x )x,则g'(x )=xf '(x )-f (x )x 2.由题意知当x>0时,g'(x )>0,∴函数y=g (x )在(0,+∞)上单调递增.∵π>e,∴g (π)>g (e),即f (π)π>f (e )e,即e f (π)>πf (e).故选A .8.B [解析] 整理f (x )=x [f'(x )-ln x ],得f'(x )=f (x )x+ln x ,因为函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x )≥0在(0,+∞)上恒成立,即f (x )x +ln x ≥0,所以f(1e )1e+ln 1e≥0,整理得f1e≥1e.故选B .9.C [解析] 由题意,∀x ∈-π2,π2,f'(x )=e x (-sin x+cos x-a )≤0恒成立,即a ≥cos x-sin x=√2cos x+π4恒成立.当x ∈-π2,π2时,x+π4∈-π4,3π4,∴cos x+π4∈-√22,1,∴√2cos x+π4∈-1,√2,∴实数a 的取值范围是[√2,+∞).故选C .10.B [解析] 函数f (x )=e x -e -x +sin 2x ,定义域为R,f (-x )=e -x -e x +sin(- 2x )=-(e x -e -x +sin 2x )=-f (x ),∴f (x )为R 上的奇函数.又f'(x )=e x +e -x +2cos 2x ≥2+2cos 2x ,当且仅当e x =1,即x=0时等号成立,又2+2cos 2x ≥0恒成立,∴f'(x )≥0恒成立,∴f (x )为R 上的增函数,又f (2x 2-1)+f (x )>0,得f (2x 2-1)>-f (x )=f (-x ),∴2x 2-1>-x ,即2x 2+x-1>0,解得x<-1或x>12,∴x 的取值范围是(-∞,-1)∪12,+∞.故选B .11.C [解析] 不等式e x f (x )>e x -1⇒e x f (x )-e x +1>0,设g (x )=e x f (x )-e x +1,则求不等式e x f (x )>e x -1的解集等价于求不等式g (x )>0的解集.∵g'(x )=e x f (x )+e x f'(x )-e x =e x [f (x )+f'(x )-1],由f (x )>1-f'(x ),得f (x )+f'(x )-1>0,∴g'(x )>0,∴函数g (x )是R 上的增函数.∵f (0)=0,∴g (0)=0,则g (x )>0=g (0),∴x>0.故选C . 12.(-∞,e] [解析] 由题意,得f'(x )=e x -a x≥0在[1,2]上恒成立,则a ≤(x e x )min .令g (x )=x e x ,x ∈[1,2],则g'(x )=(x+1)e x ,当x ∈[1,2]时,g'(x )>0,∴g (x )在[1,2]上单调递增,∴g (x )min =g (1)=e,故a ≤e .13.0,215∪13,+∞ [解析] ∵f (x )=xa -2x 2+ln x ,∴f'(x )=1a -4x+1x .①当函数f (x )在区间[1,2]上单调递增时,不等式f'(x )≥0在[1,2]上恒成立,即1a-4x+1x≥0,1a≥4x-1x在[1,2]上恒成立,由于函数y=4x-1x在区间[1,2]上单调递增,∴y max =4×2-12=152,∴1a ≥152,∵a>0,∴0<a ≤215;②当函数f (x )在区间[1,2]上单调递减时,不等式f'(x )≤0在区间[1,2]上恒成立,即1a-4x+1x≤0,1a≤4x-1x在[1,2]上恒成立,由于函数y=4x-1x在区间[1,2]上单调递增,∴y min =4×1-11=3,∴1a≤3,∵a>0,∴a ≥13.综上,实数a 的取值范围是0,215∪13,+∞.14.解:(1)由题意可得f'(x )=x-a+a -1x ,∵f'(2)=2-a+a -12=0,∴a=3. (2)∵函数f (x )=12x 2-ax+(a-1)ln x ,其中a>1,∴f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=x-a+a -1x =(x -1)(x+1-a )x =(x -1)[x -(a -1)]x. 令f'(x )=0,得x 1=1,x 2=a-1.①当a-1=1,即a=2时,f'(x )=(x -1)2x≥0恒成立,故f (x )在(0,+∞)上单调递增.②当0<a-1<1,即1<a<2时, 由f'(x )<0,得a-1<x<1; 由f'(x )>0,得0<x<a-1或x>1.故f (x )在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增.③当a-1>1,即a>2时,由f'(x )<0,得1<x<a-1;由f'(x )>0,得0<x<1,或x>a-1. 故f (x )在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增. 综上可得,当a=2时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当1<a<2时,f (x )在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增; 当a>2时,f (x )在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增. 15.解:(1)由题意得f (x )的定义域为(0,+∞). 当a=-1时,f (x )=-ln x+12x 2+1,则f'(x )=-1x+x=x 2-1x(x>0), 令f'(x )>0,解得x>1,∴f (x )的单调递增区间为(1,+∞). (2)f'(x )=a x+x+(a+1)=x 2+(a+1)x+a x =(x+a )(x+1)x(x>0). ①当a ≥0时,f'(x )>0在(0,+∞)上恒成立,∴f (x )在(0,+∞)上单调递增,可知a ≥0满足题意; ②当a<0时,-a>0,∴当x ∈(0,-a )时,f'(x )<0,当x ∈(-a ,+∞)时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,-a )上单调递减,在(-a ,+∞)上单调递增,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为[0,+∞). 16.解:(1)由题意得f'(x )=e ax +1-2x+1,x ∈(-1,+∞), 由f'(1)=e,知e a =e,∴a=1.(2)由题知,当x ∈(0,+∞)时,f'(x )=e ax +1-2x+1<0有解, 当x ∈[1,+∞)时,f'(x )=e ax +1-2x+1>0恒成立, 不存在单调递减区间; 当x ∈(0,1)时,f'(x )=e ax +1-2x+1<0有解等价于ln1-x1+x-ax>0有解. 设φ(x )=ln 1-x1+x-ax ,x ∈(0,1),则φ'(x )=2x 2-1-a ,x ∈(0,1), 当x ∈(0,1)时,2x 2-1<-2. ①当a ≥-2时,φ'(x )=2x 2-1-a<0恒成立, 则φ(x )=ln1-x1+x-ax 在(0,1)上单调递减, 所以φ(x )<0恒成立,不符合题意;②当a<-2时,0<a+2a<1,当x ∈0,√a+2a时,φ'(x )=2x 2-1-a>0, 则φ(x )=ln1-x1+x-ax 在0,√a+2a上单调递增,所以φ(x )>0,即ln 1-x1+x-ax>0. 综上所述,a<-2.课时作业(十六)1.A [解析] 当x<-2时,f'(x )<0,当-2<x<12时,f'(x )>0,当12<x<2时,f'(x )<0,当x>2时,f'(x )>0,所以-2为f (x )的极小值点,12为f (x )的极大值点,2为f (x )的极小值点,所以只有A 正确. 2.D [解析] 由题意得f'(x )=1-lnxx 2,令f'(x )>0得0<x<e,令f'(x )<0得x>e,故f (x )在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以f (x )有极大值,也是最大值,最大值为f (e)=1e,无极小值和最小值,故选D .3.C [解析] f'(x )=1-2sin x ,令f'(x )=0,得x=π6或x=5π6,所以f (x )=x+2cos x 在区间0,π6上是增函数,在区间π6,5π6上是减函数,在5π6,π上是增函数.故x=5π6是函数f (x )的极小值点,故选C .4.B [解析] f'(x )=3x 2-6,令f'(x )>0,解得x>√2或x<-√2,令f'(x )<0,解得-√2<x<√2,所以f (x )在(-∞,-√2)上单调递增,在(-√2,√2)上单调递减,在(√2,+∞)上单调递增,故x=√2是函数f (x )的极小值点,故a=√2,故选B .5.2-2ln 2 [解析] f'(x )=e x -2,令f'(x )=0,得x=ln 2,所以f (x )在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,所以f (x )min =f (ln 2)=2-2ln 2.6.C [解析] 因为f (x )=kx-ln x ,所以f'(x )=k-1x,又f (x )=kx-ln x 的极值点为x=2,所以f'(2)=0,即k=12.经验证可知,k=12符合题意,故选C .7.A [解析] 由题意知,当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为-1.当x ∈(0,2)时,f'(x )=1x-a ,令f'(x )=0,得x=1a,当0<x<1a时,f'(x )>0;当x>1a时,f'(x )<0.所以f (x )max =f 1a=-ln a-1=-1,解得a=1.8.AB [解析]由f'(x )的图像知,当-1≤x<0或2<x<4时,f'(x )>0,函数f (x )为增函数,当0<x<2或4<x ≤5时,f'(x )<0,函数f (x )为减函数,故当x=0时,函数f (x )取得极大值,当x=4时,函数f (x )取得极大值,即函数f (x )有2个极大值点,故A 正确;函数f (x )在[0,2]上是减函数,故B 正确;若x ∈[-1,t ]时,f (x )的最大值是2,则t 满足0≤t ≤5,即t 的最大值是5,故C 错误;由y=f (x )-a=0得f (x )=a ,若f (2)≤1,则当1<a<2时,f (x )=a 有4个根,若1<f (2)<2,则当1<a<2时,f (x )=a 不一定有4个根,还有可能有2个或3个根,故函数y=f (x )-a 有4个零点不一定正确,故D 错误.故选AB .9.C [解析] 存在x 1,x 2∈R,使得f (x 2)≤g (x 1)成立,则f (x )min ≤g (x )max ,由题得f'(x )=e x +x e x =(x+1)e x ,所以函数f (x )在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以f (x )min =f (-1)=-1e.又g (x )max =g (-1)=a ,所以a ≥-1e.故选C .10.(e -1)x+y+1=0 [解析] 由题得f'(x )=1x-k ,则f'1e=e -k=0,所以k=e .f'(1)=1-k=1-e,f (1)=-k=-e,故切点为(1,-e),所以所求切线方程为y+e =(1-e)(x-1),即(e -1)x+y+1=0.11.e 2 [解析] f'(x )=a-1x ,x ∈(0,e],当a ≤1e时,f'(x )≤0,∴f (x )在(0,e]上是减函数,f (x )最小值=f (e)=a e -1=3,解得a=4e(舍去).当a>1e时,当0<x<1a时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当1a<x ≤e 时,f'(x )>0,f (x )单调递增,∴f (x )最小值=f (x )极小值=f 1a=1-ln 1a=3,得a=e 2,符合题意.故答案为e 2.12.e -1 [解析] 由题得k ≤e x -lnx -1x,令h (x )=e x -lnx -1x(x>0),则h'(x )=e x (x -1)+lnxx 2,可知当x ∈(0,1)时,h (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,h (x )单调递增,故当x=1时,h (x )取到最小值e -1,故k 的最大值为e -1. 13.(-∞,e +1e -14] [2e -2+ln22,3e -92+ln33) [解析] 若对于任意的x 1∈[12,e],存在x 2∈[12,e],使f'(x 1)≤g (x 2),则只需函数f'(x )在[12,e]上的最大值小于等于函数g (x )在[12,e]上的最大值.f'(x )=x 2-2e x+a 的图像的对称轴为直线x=e,易知函数f'(x )在[12,e]上的最大值为f'(12)=14-e +a.g'(x )=1-lnxx 2,令g'(x )=0,解得x=e,当x ∈(0,e)时,g'(x )>0,g (x )为增函数,故函数g (x )在[12,e]上的最大值为g (e)=1e,∴14-e +a ≤1e,∴a ≤e+1e -14,即实数a 的取值范围为(-∞,e +1e -14].不等式f (x )+16x 3<xg (x ),即为12x 3-e x 2+ax<ln x ,∴a<lnx x +e x-12x 2有且仅有一个整数解.令h (x )=lnx x +e x-12x 2,则h'(x )=1-lnxx 2+e -x ,易知函数h'(x )在(0,+∞)上为减函数,且h'(e)=0,∴当x ∈(0,e)时,h'(x )>0,函数h (x )单调递增,当x ∈(e,+∞)时,h'(x )<0,函数h (x )单调递减,∴函数h (x )在x=e 处取得最大值,易知h (4)<h (2)<h (3),结合函数h (x )的图像可知,要使a<lnx x +e x-12x 2有且仅有一个整数解,只需h (2)≤a<h (3),可得2e -2+ln22≤a<3e -92+ln33. 14.解:(1)由题可知f'(x )=2a+b x 2+1x ,∵函数f (x )在x=1,x=12处取得极值,∴f'(1)=0,f'12=0,即{2a +b +1=0,2a +4b +2=0,解得{a =-13,b =-13.(2)由(1)可得f (x )=-23x+13x+ln x , 令f'(x )=-23-13x 2+1x>0,得-(2x-1)(x-1)>0, 即(2x-1)(x-1)<0,∴12<x<1,∴f(x)在12,1上单调递增,在0,12,(1,+∞)上单调递减.又∵x∈[14,1],∴f(x)在[14,12]上单调递减,在12,1上单调递增,∴f(x)在[14,1]上的极小值为f12=13-ln 2,又f14=76-ln 4,f(1)=-13,且f14-f(1)=96-ln 4>0,∴f(x)max=f14=76-ln 4,∴要使对任意x∈[14,1],f(x)<c恒成立,则c>76-ln 4.15.解:(1)当a=1时,g(x)=f(x)x=x ln x,可得g'(x)=1+ln x,令g'(x)=0,可得x=1e.当x∈0,1e 时,g'(x)<0,g(x)单调递减,∴单调递减区间为0,1e;当x∈1e ,+∞时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴单调递增区间为1e,+∞.∴当x=1e 时,g(x)取得极小值-1e.(2)f'(x)=2x(ln x+ln a)+x,f'(x)x2=2x(lnx+lna)+xx2≤1,即2ln x+2ln a+1≤x,2ln a≤x-2ln x-1对任意的x>0恒成立,设m(x)=x-2ln x-1(x>0),可得m'(x)=x-2x,令m'(x)=0,可得x=2,当0<x<2时,m'(x)<0,函数单调递减,当x>2时,m'(x)>0,函数单调递增,∴当x=2时,m(x)有最小值,且最小值为m(2)=1-2ln 2,∴2ln a≤1-2ln 2,得0<a≤√e2.16.解:(1)f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=a ln(x+1)-2x.由f(x)是减函数,得对任意的x∈(-1,+∞),f'(x)=a ln(x+1)-2x≤0恒成立.设g(x)=a ln(x+1)-2x,则g'(x)=-2[x-(a2-1)]x+1,由a>0知a2-1>-1.当x∈(-1,a2-1)时,g'(x)>0;当x∈(a2-1,+∞)时,g'(x)<0.∴g(x)在(-1,a2-1)上单调递增,在(a2-1,+∞)上单调递减,∴当x=a2-1时g(x)取得最大值.又∵g(0)=0,∴对任意的x∈(-1,+∞),g(x)≤g(0)恒成立,即g(x)的最大值为g(0),∴a2-1=0,解得a=2.(2)证明:由f (x )是减函数,且f (0)=0,可得当x>0时,f (x )<0,∴f (n )<0(n ∈N *),即2(n+1)ln(n+1)<n 2+2n , 两边同除以2(n+1)2,得ln (n+1)n+1<12·n n+1·n+2n+1,即a n <12·n n+1·n+2n+1. 故T n =a 1a 2a 3…a n <12n ·(12×23×34×…×n n+1)(32×43×54×…×n+2n+1)=12n+1·n+2n+1, ∴ln[(n+2)T n ]<ln [(n+2)22n+1(n+1)]=2ln(n+2)-ln(n+1)-(n+1)ln 2①.记h (x )=2ln(x+2)-ln(x+1)-(x+1)ln 2+x 2-1,x ∈[1,+∞), 则h'(x )=2x+2-1x+1-ln 2+12=x x 2+3x+2-ln 2+12=1x+2x+3-ln 2+12. ∵y=x+2x 在[2,+∞)上单调递增, ∴h'(x )在[2,+∞)上单调递减.又h'(2)=16-ln 2+12=13×(2-3ln 2)=13×(2-ln 8)<0,∴当x ∈[2,+∞)时,h'(x )<0恒成立, ∴h (x )在[2,+∞)上单调递减,即当x ∈[2,+∞)时,h (x )≤h (2)=2ln 4-ln 3-3ln 2=ln 2-ln 3<0,∴当n ≥2时,h (n )<0.又∵h (1)=2ln 3-ln 2-2ln 2-12=ln 98-ln √e <0,∴当n ∈N *时,h (n )<0,即2ln(n+2)-ln(n+1)-(n+1)ln 2<1-n2②. 由①②可得,ln[(n+2)T n ]<1-n 2.专题突破训练(一)1.解:(1)当a=-12时,f'(x )=-x+1-lnxx 2,所以切线的斜率k=f'(e)=-1e,又因为f (e)=-1+1e ,所以切线方程为y=-1ex+1e. (2)由题意知当x ∈(0,+∞)时,f'(x )=2ax+1-lnxx 2≥0,即2a ≥lnx -1x, 令g (x )=lnx -1x(x>0),则g'(x )=2-lnxx 2,令g'(x )>0,得x ∈(0,e 2),令g'(x )<0,得x ∈(e 2,+∞),所以g (x )max =g (e 2)=1e2, 所以a ≥12e -2.2.解:(1)依题意,f (x )=e x -mx ,f'(x )=e x -m.①若m ≤0,则f'(x )>0,函数f (x )在R 上单调递增. ②若m>0,令f'(x )=0,得x=ln m.当x<ln m 时,f'(x )<0,函数f (x )在(-∞,ln m )上单调递减, 当x>ln m 时,f'(x )>0,函数f (x )在(ln m ,+∞)上单调递增.综上所述,当m ≤0时,函数f (x )在R 上单调递增;当m>0时,函数f (x )在(-∞,ln m )上单调递减,在(ln m ,+∞)上单调递增. (2)依题意,当x>0时,e x -mx ≥x 2+1恒成立,即 m ≤e x x-x-1x对任意x>0恒成立. 令g (x )=e x x-x-1x(x>0),则 g'(x )=e x (x -1)x 2-1+1x 2=(e x -x -1)(x -1)x 2. 由(1)可知,当m=1时,f (x )=e x -x 在(0,+∞)上单调递增, 故f (x )>f (0)=1,即e x -x>1,得e x -x-1>0, 所以方程g'(x )=0有唯一解x=1.当0<x<1时,g'(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减, 当x>1时,g'(x )>0,g (x )在(1,+∞)上单调递增, 所以g (x )min =g (1)=e -2,所以m ≤e -2. 3.解:(1)函数f (x )可化为f (x )={x -lnx -a ,x ≥a ,a -x -lnx ,0<x <a ,当0<x<a 时,f'(x )=-1-1x<0,从而f (x )在(0,a )上单调递减. 当x ≥a 时,f'(x )=1-1x =x -1x,此时要考虑a 与1的大小.若a ≥1,则f'(x )≥0,故f (x )在[a ,+∞)上单调递增,若0<a<1,则当a ≤x<1时,f'(x )<0,当x>1时,f'(x )>0,故f (x )在[a ,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,而f (x )在x=a 处连续,所以当a>0时,f (x )在(0,a )上单调递减,当a ≥1时,f (x )在[a ,+∞)上单调递增,当0<a<1时,f (x )在[a ,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)由(1)可知当a=1,x>1时,x-1-ln x>0,即ln x<x-1,所以lnx x <1-1x,所以 ln 2222+ln 3232+…+ln n 2n 2<1-122+1-132+…+1-1n 2=n-1-122+132+…+1n 2<n-1-12×3+13×4+…+1n (n+1)=n-1-12-1n+1=(n-1)-n -12(n+1)=2n 2-2-n+12(n+1)=(n -1)(2n+1)2(n+1),即ln2222+ln 3232+…+ln n 2n 2<(n -1)(2n+1)2(n+1). 4.解:(1)由f (x )=e x -ax 2,得f'(x )=e x -2ax.因为曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线x+(e -2)y=0垂直,所以f'(1)=e -2a=e -2,所以a=1,即f (x )=e x -x 2,f'(x )=e x -2x.令g (x )=e x -2x ,则g'(x )=e x -2.当x ∈(-∞,ln 2)时,g'(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(ln 2,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增. 所以g (x )min =g (ln 2)=2-2ln 2>0, 所以f'(x )>0,f (x )单调递增.所以f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞),无减区间.(2)证明:由(1)知f (x )=e x -x 2,f (1)=e -1,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的方程为y-(e -1)=(e -2)(x-1),即y=(e -2)x+1.令h (x )=e x -x 2-(e -2)x-1,则h'(x )=e x -2x-(e -2)=e x -e -2(x-1), 易知h'(1)=0,令m (x )=h'(x ),则m'(x )=e x -2, 当x ∈(-∞,ln 2)时,m'(x )<0,h'(x )单调递减; 当x ∈(ln 2,+∞)时,m'(x )>0,h'(x )单调递增.因为h'(1)=0,所以h'(x )min =h'(ln 2)=4-e -2ln 2<0,因为h'(0)=3-e >0,所以存在x 0∈(0,1),当x ∈(0,x 0)时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈(x 0,1)时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,h'(x )>0,h (x )单调递增. 又h (0)=h (1)=0,所以当x>0时,h (x )≥0,即e x -x 2-(e -2)x-1≥0, 所以e x -(e -2)x-1≥x 2. 令φ(x )=ln x-x ,则φ'(x )=1x-1=1-xx,所以当x ∈(0,1)时,φ'(x )>0,φ(x )单调递增,当x ∈(1,+∞)时,φ'(x )<0,φ(x )单调递减,所以φ(x )≤φ(1)=-1,即ln x+1≤x.因为x>0,所以x (ln x+1)≤x 2,所以当x>0时,e x -(e -2)x-1≥x (ln x+1), 即当x>0时,e x -e x-1≥x (ln x-1). 5.解:(1)∵F (x )=g (x )f (x )=ax 2+x+1e x, ∴F'(x )=-ax 2+(2a -1)x e x =-ax(x -2a -1a )e x.①若a=12,则F'(x )=-ax 2e x≤0,∴F (x )在R 上单调递减.②若a>12,则2a -1a>0, 当x<0或x>2a -1a时,F'(x )<0,当0<x<2a -1a时,F'(x )>0, ∴F (x )在(-∞,0),2a -1a,+∞上单调递减,在0,2a -1a上单调递增.③若0<a<12,则2a -1a<0, 当x<2a -1a或x>0时,F'(x )<0,当2a -1a<x<0时,F'(x )>0, ∴F (x )在-∞,2a -1a ,(0,+∞)上单调递减,在2a -1a,0上单调递增.(2)证明:∵0<a ≤12,∴ax 2+x+1≤12x 2+x+1. 设h (x )=e x -12x 2-x-1,则h'(x )=e x -x-1.设p (x )=h'(x )=e x -x-1,则p'(x )=e x -1,当x ∈(0,+∞)时,p'(x )>0恒成立.∴h'(x )在(0,+∞)上单调递增.又∵h'(0)=0,∴当x ∈(0,+∞)时,h'(x )>0,∴h (x )在(0,+∞)上单调递增, ∴h (x )>h (0)=0,∴e x -12x 2-x-1>0,即e x >12x 2+x+1. ∴e x >12x 2+x+1≥ax 2+x+1,∴所以f (x )>g (x )在(0,+∞)上恒成立. 6.解:(1)由题得f'(x )=x-2+a x =x 2-2x+ax,其中x>0.令g (x )=x 2-2x+a ,x>0,其图像的对称轴为x=1,Δ=4-4a. 若a ≥1,则Δ≤0,此时g (x )≥0,则f'(x )≥0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.若0<a<1,则Δ>0,此时x2-2x+a=0在R上有两个根x1=1-√1-a,x2=1+√1-a,且0<x1<1<x2,所以当x∈(0,x1)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≥1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 0<a<1时,f(x)在(0,1-√1-a)上单调递增,在(1-√1-a,1+√1-a)上单调递减,在(1+√1-a,+∞)上单调递增.(2)证明:由(1)知,当0<a<1时,f(x)有两个极值点x1,x2,且x1+x2=2,x1x2=a,所以f(x1)+f(x2)=12x12-2x1+a ln x1+12x22-2x2+a ln x2=12(x12+x22)-2(x1+x2)+a(ln x1+ln x2)=12[(x1+x2)2-2x1x2]-2(x1+x2)+a ln(x1x2)=12(22-2a)-4+a ln a=a ln a-a-2.令h(x)=x ln x-x-2,0<x<1,则只需证明-3<h(x)<-2,由于h'(x)=ln x<0,故h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)>h(1)=-3.又当0<x<1时,ln x-1<-1,x(ln x-1)<0,故h(x)=x ln x-x-2=x(ln x-1)-2<-2,所以对任意的0<x<1,-3<h(x)<-2.综上,-3<f(x1)+f(x2)<-2.专题突破训练(二)1.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(x+√m)(x-√m)x.当0<x<√m时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>√m时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.综上,函数f(x)的单调递增区间是(√m,+∞),单调递减区间是(0,√m).(2)令F(x)=f(x)-g(x)=-12x2+(m+1)x-m ln x,x>0,题中问题等价于求函数F(x)的零点个数.易知F'(x)=-(x-1)(x-m)x,当m=1时,F'(x)≤0,函数F(x)为减函数,因为F(1)=32>0,F(4)=-ln 4<0,所以F(x)有唯一零点;当m>1时,0<x<1或x>m时,F'(x)<0,1<x<m时,F'(x)>0,所以函数F(x)在(0,1),(m,+∞)上单调递减,在(1,m)上单调递增,因为F(1)=m+12>0,F(2m+2)=-m ln(2m+2)<0,所以F(x)有唯一零点.综上,函数F(x)有唯一零点,即函数f(x)与g(x)的图像总有一个交点.2.解:(1)由f (x )=e x +ax-a ,得f'(x )=e x +a.∵函数f (x )在x=0处取得极值,∴f'(0)=e 0+a=0,∴a=-1,∴f (x )=e x -x+1,f'(x )=e x -1.∴当x ∈(-∞,0)时,f'(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增.易知f (x )在[-2,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,且f (-2)=1e2+3,f (1)=e,f (-2)>f (1),∴f (x )在[-2,1]上的最大值是1e 2+3.(2)f'(x )=e x +a.①当a>0时,f'(x )>0,f (x )在R 上单调递增,且当x>1时,f (x )=e x +a (x-1)>0, 当x<0时,取x=-1a,则f -1a<1+a -1a-1=-a<0,∴函数f (x )存在零点,不满足题意.②当a<0时,令f'(x )=e x +a=0,则x=ln(-a ). 当x ∈(-∞,ln(-a ))时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(ln(-a ),+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增. ∴当x=ln(-a )时,f (x )取得极小值,也是最小值.函数f (x )不存在零点,等价于f [ln(-a )]=e ln(-a )+a ln(-a )-a=-2a+a ln(-a )>0,解得-e 2<a<0. 综上所述,所求实数a 的取值范围是(-e 2,0). 3.解:(1)证明:当a=0时,f (x )=e x -x. 令g (x )=f (x )-x=e x -x-x=e x -2x , 则g'(x )=e x -2,当g'(x )=0时,x=ln 2,当x<ln 2时,g'(x )<0,当x>ln 2时,g'(x )>0, 所以g (x )在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增, 所以x=ln 2是g (x )的极小值点,也是最小值点, 即g (x )min =g (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2ln e 2>0, 故当a=0时,f (x )>x 恒成立. (2)f'(x )=e x -1,由f'(x )=0得x=0.当x<0时,f'(x )<0,当x>0时,f'(x )>0,所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 所以x=0是函数f (x )的极小值点,也是最小值点, 即f (x )min =f (0)=1-a.当1-a>0,即a<1时,f (x )没有零点. 当1-a=0,即a=1时,f (x )只有一个零点.当1-a<0,即a>1时,因为f (-a )=e -a -(-a )-a=e -a >0,所以f (x )在(-a ,0)上有一个零点; 由(1)得e x >2x ,令x=a ,得e a >2a ,所以f (a )=e a -a-a=e a -2a>0,于是f (x )在(0,a )上有一个零点, 因此,当a>1时,f (x )有两个零点. 综上,当a<1时,f (x )没有零点; 当a=1时,f (x )只有一个零点; 当a>1时,f (x )有两个零点.4.解:(1)当a=2时,f (x )=(2x 2+x+2)e x ,则f'(x )=(2x 2+5x+3)e x =(x+1)(2x+3)e x . 令f'(x )=0,解得x=-1或x=-32.当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表所示:x-∞,-32-32-32,-1-1 (-1,+∞)f'(x ) + 0 - 0 + f (x ) 单调递增极大单调递减极小单调递增值值∴f (x )极大值=f -32=5e -32,f (x )极小值=f (-1)=3e -1.(2)∵a=1,∴f (x )=(x 2+x+2)e x ,设h (x )=f (x )-x-4=(x 2+x+2)e x -x-4,则h'(x )=(x 2+3x+3)e x -1, 令φ(x )=(x 2+3x+3)e x -1,则φ'(x )=(x 2+5x+6)e x , 令φ'(x )=(x 2+5x+6)e x =0,解得x=-2或x=-3. 当x 变化时,φ'(x ),φ(x )的变化情况如下表所示:x (-∞,-3) -3 (-3,-2)-2 (-2,+∞) φ'(x ) + 0- 0 +φ(x ) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 ∴φ(x )极大值=φ(-3)=3e 3-1<0,φ(x )极小值=φ(-2)=1e 2-1<0. ∵φ(-1)=1e -1<0,φ(0)=2>0,∴存在x 0∈(-1,0),使得φ(x 0)=0,∴当x ∈(-∞,x 0)时,φ(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,φ(x )>0,∴h (x )在(-∞,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增. ∵h (-4)=14e 4>0,h (-3)=8e 3-1<0,h (0)=-2<0,h (1)=4e -5>0,由零点的存在性定理可知,h (x )=0的根x 1∈(-4,-3),x 2∈(0,1),∴t=-4,0. 5.证明:(1)当a=1时,f (x )=(x-2)ln x+x-1,∴f'(x )=ln x+x -2x +1, 若f (x )的图像与x 轴相切,设切点为(x 0,0),∴f (x 0)=(x 0-2)ln x 0+x 0-1=0, f'(x 0)=ln x 0+x 0-2x 0+1=0, 解得x 0=1或x 0=4(舍去),∴x 0=1,∴切点为(1,0),故f (x )的图像与x 轴相切. (2)令f (x )=(x-2)ln x+ax-1=0,∴a=1x -(x -2)lnx x =1x -ln x+2lnxx, 设g (x )=1x-ln x+2lnxx,x>0, ∴g'(x )=-1x 2-1x +2(1-lnx )x 2=1-x -2lnxx2, 令h (x )=1-x-2ln x ,易知h (x )在(0,+∞)上为减函数.∵h (1)=1-1-2ln 1=0,∴当x ∈(0,1)时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增, 当x ∈(1,+∞)时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减,∴g (x )max =g (1)=1,当x →0时,g (x )→-∞,当x →+∞时,g (x )→-∞,∴当a<1时,y=g (x )的图像与直线y=a 有两个交点, 即当a<1时,f (x )存在两个零点.6.解:(1)由题可得g (x )=1x-2a ln x+3x ,定义域为(0,+∞),∴g'(x )=-1x 2-2ax +3=3x 2-2ax -1x 2. ∵a=1, ∴g'(x )=3x 2-2x -1x 2, 令g'(x )=3x 2-2x -1x 2=0,得x=1或x=-13(舍去).令g'(x )=3x 2-2x -1x 2>0,得x>1或x<-13,结合定义域得x>1,令g'(x )=3x 2-2x -1x 2<0得-13<x<1,结合定义域得0<x<1.∴g (x )的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). (2)函数f (x )有唯一的零点等价于1x=2a ln x 有唯一的实数根,显然a ≠0,则1x=2a ln x 有唯一的实数根等价于关于x 的方程1a=2x ln x 有唯一的实数根. 构造函数φ(x )=2x ln x (x>0),则φ'(x )=2(1+ln x ), 令φ'(x )=2(1+ln x )=0,解得x=1e;令φ'(x )>0,解得x>1e,则函数φ(x )在1e,+∞上单调递增; 令φ'(x )<0,解得0<x<1e,则函数φ(x )在0,1e上单调递减;∴φ(x )的极小值为φ1e=-2e.如图,作出函数φ(x )的大致图像,则要使方程1a=2x ln x 有唯一实数根,只需要直线y=1a与φ(x )的图像有唯一交点,∴1a =-2e 或1a >0,解得a=-e2或a>0, 故实数a 的取值范围为{-e 2}∪(0,+∞)。