一元函数的导数及其应用作业手册答案

课时作业(十四)

1.D [解析] 依题意有f'(x )=

1x ·√2x -2×1

2

×(2x )-12·lnx 2x

,故f'

1

2

=

2+ln2

1

=2+ln 2,故选D .

2.A [解析] 当x=1时,f (1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),由题得f'(x )=-2+1x

,所以f'(1)=-2+11

=-1,所以切线方程为y+2=-1×(x-1),即x+y+1=0,故选A .

3.A [解析] 由题意,f'(x )=2x+2f'(1),则f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=-2,故f (x )=x 2-4x.故选A .

4.B [解析] f'(x )=-sin x-f'

π2

,令x=π2,得f'

π2

=-12,即f (x )=cos x+12x.f (0)=1,f'(0)=12

,所以l 的方程为

y=12

x+1,结合选项可知直线2x+y+1=0与直线l 垂直.故选B . 5.32

[解析] ∵f'(x )=2x -x ,f'(1)=-1

2

,又∵f (1)=1,∴切点是(1,1),∴切线方程是y-1=-1

2

(x-1),将点(0,a )代入,

解得a=12

+1=32

.

6.D [解析] 令f (x )=x 3-4x+4,则f'(x )=3x 2-4,f'(1)=-1,设切线的倾斜角为α,则tan α=-1,可得α=135°.故选D .

7.A [解析] 由题意,得f'(x )=ln x+1,∴f'(1)=1,又f (1)=a ,∴切线方程为y=x-1+a.∵切线过原点,∴0=0-1+a ,解得a=1.故选A .

8.A [解析] 由题意知,函数f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (0)=0,即f (0)=-m=0,解得m=0,即当x ≤0时,函数f (x )=x 3-2x ,则f'(x )=3x 2-2,所以f'(-2)=3×(-2)2-2=10,由奇函数的导函数为偶函数,可知f'(-2)=f'(2)=10,即曲线y=f (x )在点P (2,f (2))处的切线斜率为10.故选A .

9.B [解析] 由y=2x ln x ,得y'=2×ln x+2x×1x

=2ln x+2,所以y'|x=e =2+2=4,且y|x=e =2e,所以切线方程为y-2e =4(x-e),即y=4x-2e,此切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为e 2

,0,(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三

角形面积S=12×e 2

×2e =e 22

.故选B .

10.C [解析] 设直线与曲线切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),则切线的斜率k=

y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1

=x 02

+x 0+1,又∵y'=3x 2,∴y'|x=x 0

=3x 02,∴2x 02

-x 0-1=0,解得x 0=1或x 0=-12

,∴过点P (1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或

3x-4y+1=0.故选C .

11.C [解析] y'=1+1x

,当x=1时,切线的斜率k=2,切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1,因为它与抛物线相切.所以ax 2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解,即ax 2+ax+2=0,故{a ≠0,a 2-8a =0,解得a=8.故选C .

12.3 [解析] ∵f (x )=(x 2-a )ln x ,∴f'(x )=2x ln x+

x 2-a

x

,∴f'(1)=1-a=-2,得a=3.

13.5 [解析] 将点P (1,4)代入y=ax+b x 2,得a+b=4.函数y=ax+b x 2的导函数为y'=a-2b x

3,由曲线在点P 处的切线与直线x+y+3=0垂直,得曲线在点P 处的切线的斜率k=y'|x=1=a-2b=1,联立{a +b =4,a -2b =1,

得{

a =3,

b =1,所以a+2b=5.

14.解:(1)由题意得f'(x )=x 2-4x+3, 则f'(x )=(x-2)2-1≥-1,

即过曲线C 上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ,

则由(2)中条件并结合(1)中结论可知{k ≥-1,

-1k

≥-1,

解得-1≤k<0或k ≥1,

所以-1≤x 2-4x+3<0或x 2-4x+3≥1, 解得x ∈(-∞,2-√2]∪(1,3)∪[2+√2,+∞). 15.解:(1)由题意,知f'(x )=1x +1x

2,

所以f'(1)=2,所以切线方程为y+1=2(x-1), 即2x-y-3=0.

(2)由已知,得g (x )=x ln x ,切点坐标为(e,e), 由g'(x )=ln x+1,得g'(e)=2,

所以l 2的方程为y-e =2(x-e),即y=2x-e ①.

所以直线l 1的斜率为-12

,故l 1的方程为y=-12

x+2e ②,

联立①②,得直线l 1与l 2交点的坐标为65e,75

e ,

又l 2与x 轴的交点为

e 2

,0,l 1与x 轴的交点为(4e,0),

此封闭图形为三角形,底边m=4e -e 2=7e 2,高h=75

e, 所以三角形面积S=12mh=12×7e 2×75

e =4920

e 2.

16.B [解析] 设P 1(x 1,f (x 1)),P 2(x 2,f (x 2)),当01时,f'(x )=1x

,故不妨设x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞),故l 1:y=-1x 1(x-x 1)-ln x 1,整理得到l 1:y=-1x 1x-ln x 1+1,l 2:y=1x 2(x-x 2)+ln x 2,整理得到l 2:y=1x 2

x+ln x 2-1,所以A (0,1-ln x 1),B (0,ln x 2-1),所以|AB|=|2-ln(x 1x 2)|.因为l 1⊥l 2,所以-1x 1·1x 2

=-1,即x 1x 2=1,所以|AB|=2.故选B . 17.2√e [解析] 设P (x 0,y 0),f'(x )=2x+2a ,g'(x )=

4a 2x

.由题意知,f (x 0)=g (x 0),f'(x 0)=g'(x 0),即x 02

+2ax 0=4a 2ln x 0+b ,①2x 0+2a=4a 2

x 0

,②由②得x 0=a 或x 0=-2a (舍),将x 0=a 代入①,得b=3a 2-4a 2ln a ,a ∈(0,+∞).令h (a )=3a 2-