积分方法总结

积分方法总结

李利霞

摘要：微积分是大学一年级学的基础课，而在以后的课程中，我们会慢慢

发现微积分几乎随处都用的到。所以，在这里对积分方法做一个简单的总结。

关键字：二重积分 三重积分 曲面积分 曲线积分 散度 旋度 一：二重积分

对于二重积分比较常用也比较简单，我在这里给出定限方法：如果是X 型，则将积分区域全部投影到x 轴上，确定x 的范围；在x 范围内取一点作平行于y 轴的射线，与区域的边界的两交点()()x 2x 1,ϕϕ则为对y 积分的上下限。同理，可得y 型定限方法。对于极坐标要定r ，θ的上下限。二重积分是积分问题的基础，以后提到的各种积分方法最终都是通过某种方法换做二重积分。下面给出二重积分的例子：dxdy y ⎰⎰=D

2x I ；积分区域由2y 2-==x y x 与围成；

将积分区域对x 轴投影可得x 的上下限为[0 ,4]。在[0,1]间，做平行与y 轴的射线得y 轴的范围[]x ,x -；在[1,4]间，同理得y 的范围[]

x 2-x ，。从而积分式子可以写作：

dy y xdx dy x

x ⎰

⎰⎰⎰

-+=2

210

41

x

x

-2

y xdx I

同理，也可以对x 先积分，将积分区域投影到y 轴上，做平行于x 的射线，定x 的上下限为[]

2,y 2+y ；y 的范围[-1,2]。

对于极坐标，应先画出在xy 坐标上的积分区域，把边界值方程化为极坐标下的方程，定r 与θ，定r 时同样用发射法，从坐标原点发射。（以上方法简称为投影发射法）。

二：三重积分

（1）在直坐标系中

定限法一：将积分区域投影到其中的一个坐标平面，如xoy 面上，得到

xy D ,x 的积分面范围y ；做平行与z 轴的射线，穿过积分区域时，进入和出来所

经过的面分别为()()y x z z s y x z z ,:;,:s 2211==；从而三重积分可化为二重积分：

()()()

()

dz z y x f dxdy dxdydz z y x y x z y x z D xy

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

=Ω

,,21,,,,f 。对z 积分时将x,y 看做常数。

定限法二：“先二后一”；将积分区域在z 轴投影得到z 的取值范围21c z c ≤≤；用平行与xoy 面的平面去截积分区域得关于z 的面区域z D 。从而三重积分可以化为()()dxdy z y x f dz dxdydz z y x z

D c c ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω

,,,,f 2

1

。在对x ，y 积分时将z 看作常数。

（2）柱坐标计算

柱坐标可以看作是直坐标系的一种特殊情况，同样是对一个坐标面投影，柱坐标选用xoy 面，只不过得到的区域用极坐标表示，而z 坐标不变。

()()(

)

()

dz z r r f dr rd dxdydz z y x r r z r r z D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω

θθθθθθθθsin ,cos sin ,cos 21r

,sin ,cos ,,f

（3）球坐标计算

首先给出点P 的球坐标()ρϕθ,,与直角坐标()z y ,,x 的关系：

⎪⎩

⎪⎨⎧===ϕ

ρθϕρθϕρcos sin sin cos sin x z y 其中，∞≤≤≤≤≤≤ρπϕπθ,0,020。

定限方法：先画出积分区域，把积分区域投影到xoy 面上，得到投影区域定θ的范围；

定ϕ时只有看颈项与z 轴正向的夹角范围（过原点的射线顺时针旋转）；定ρ时，从原点发出射线，进入积分区域与穿出来得到的数值即为上下限21ρρ，。从而得到球坐标下的三重积分：

()()()()()

()

ρ

ρϕρθϕρθϕρϕθϕρ

ϕθϕρϕρθϕρθϕρϕθρϕθρϕθd f d d d d d f dv s ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω

Ω

,

,

2

,

2

2

1

1

cos ,sin sin ,cos sin sin sin cos ,sin sin ,cos sin p f 三，曲线积分

（1）标量函数曲线积分（第一型曲线积分）

用ds 表示弧长，则()()dt t y t x dt r r d s 2

2d '+'='== ；若为极坐标，则

θd r r 22ds '+=。若()()()()βα≤≤=t t y t x t r ,,

，是平面曲线，则

()()()()()dt t y t x t y t x f ds p f l

22][][],['+'=⎰⎰

βα

。若()()()()()βα≤≤=t t z t y t x t r ,,,

，是

空间曲线，则()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds p f l

222][][][],,['+'+'=⎰⎰β

α

。

()()()dt t z t y t x ds l

222][][]['+'+'=⎰

⎰

β

α

用表示弧长。

（2）向量值函数曲线积分（第二型曲线积分）

()r d p f l

⋅⎰具有方向性；()()()()),,,,,,,,(,,321z y x f z y x f z y x f z y x f = ，

()()()()t z t y ,,t x r =

；所以

()()()()dt t z f t y f t x f dz f dy f dx f r d p f l

l

l

][321321'+'+'=++=⋅⎰⎰⎰

曲线l 的单位切向量为()()()()22]

[][1

]

,[t y t x t y t x ds r d '+'''==

τ，指向参数()t 增大的方向。