四边形常见辅助线练习题AB
相似四边形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)
相似四边形中几种常见的辅助线作法(有
辅助线)
相似四边形中常见的辅助线作法（有辅助线）
相似四边形是指具有相同比例关系的四边形。
在研究相似四边形时，可以利用一些常见的辅助线作法来简化问题的分析和解决。
以下是几种常见的辅助线作法：
1. 完全相似定理：如果两个四边形的所有对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个四边形是相似的。
根据这个定理，我们可以直接判断两个四边形是否相似，而无需计算其边长和角度。
2. 高度定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的高度之比等于对应边的比例。
通过测量两个四边形的高度，我们可以推导出它们的边长比例。
3. 中线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的中线之比等于对应边的比例。
通过测量两个四边形的中线，我们可以推导出它们的边长比例。
4. 角平分线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的角平分线之比等于对应边的比例。
通过测量两个四边形的角平分线，我们可以推导出它们的边长比例。
这些辅助线作法可以帮助我们在研究相似四边形时更加简化问题，减少计算量，并且提供了直接判断相似性的方法。
在实际应用中，可以根据具体问题的需求选择合适的辅助线作法。
希望以上内容对您有帮助！如有其他问题，请随时提问。
苏科版八年级数学下册有关四边形添加辅助线的综合练习试题
有关四边形添加辅助线的综合练习题1.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B．2.已知：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC．3.已知：如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE．求证：AD＋BC ＝AB．5.已知：如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点．证：MN ∥BC ，MN ＝12（BC－AD ）．6.已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ＋BC ＝AB ，E 是CD 的中点．求证：AE ⊥BE ．7.已知：如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，M 、N 分别是DC 、AB 的中点．求证：MN ＝12（AB －CD ）．8.已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，求下底的长。
9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长.10.如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1各边中点，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n,求证下列结论：①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A5B5C5D5的周长是；③四边形A n B n C n D n的面积是。
11.如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥CA，且作AE=AC又CF∥AE，求证∠BCF=1∠AEB212.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分参考答案1.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B．证明：分别过D、C作AB的垂线，垂足分别为E、F．∵AB∥CD，∴DE＝CF．又AD＝BC，∴Rt△ADE全等于Rt△BCF．∴∠A＝∠B．2.已知：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC．求证：AB＝2CD．证明：过D作DE∥CB，交AB于E．∵AB平行于CD，且BC＝DC，∴四边形DEBC是菱形．∴DE＝BC＝AD．又∠A＝60°，∴△DAE为等边三角形．∴AE＝DE，又DE＝EB＝CD，∴AE＝EB＝CD，∴AB＝2CD．3.已知：如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．证明：过D作DE∥CA，交BA延长线于E．则四边形DEAC是平行四边形．∴DE＝AC＝DB，∴∠E＝∠DBA．又∠CAB＝∠E，∴∠DBA＝∠CAB．于是，可得△DAB≌△CBA，∴AD＝BC，∴梯形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE．求证：AD ＋BC＝AB．证明：取AB的中点F，连结FE．则AD＋BC＝2EF，∵∠AEB＝90°，∴AB＝2EF．∴AD＋BC＝AB.5.已知：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是BD、AC的中点．求证：MN∥BC，MN＝12（BC－AD）．证明：连结并延长AM，交BC于E．则△AMD≌△EMB．∴AM＝ME，AD＝BE，又N是AC的中点，∴MN＝12 EC，故MN∥BC, MN＝12（BC－AD）．6.已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD＋BC＝AB，E是CD的中点．求证：AE⊥BE．证明：延长AE、BC相交于点F．易证△AED≌△FEC．∴AD＝CF，AE＝EF，∵AD＋BC＝AB，∴CF＋BC＝AB，即BF＝BA．∴BE是等腰△BAF底边上的高．∴AE⊥BE．7.已知：如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，M、N分别是DC、AB的中点．求证：MN＝12（AB－CD）．证明：过M作ME∥DA、MF∥CB，分别交AB于E、F．则∠MEF＝∠A，∠MFE＝∠B.而∠A＋∠B＝90°，∴∠MEF＋∠MFE＝90°，∴∠EMF＝90°，又AE＝DM＝MC＝FB，AN＝NB,∴EN＝NF，MN＝12 EF，即MN＝12（AB－CD）8.如图，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=AB=2 cm。
2020年九年级数学典型中考压轴题训练《四边形》(含答案)
16．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 AOBC 的顶点 C 的坐标是（2，4），动点 P 从点 A 出发，沿线段 AO 向终点 O 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 向终点 C 运动．点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，过点 P 作 PE⊥AO 交 AB 于点 E，一点到达，另一点 即停．设点 P 的运动时间为 t 秒（t＞0）．
学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G．使 DG＝BE．连结 AG，先证明△ABE≌△ADG．再
证明
≌
，可得出结论，他的结论应是
．请你按照小王同学的思路
写出完整的证明过程．
实际应用
（2）如图 2，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30°的一处，舰艇
乙在指挥中心南偏东 70°的 B 处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰
4．（1）【问题发现】如图 1，在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的中
点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系
为
；
（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，当点 B，E，F 三点
ABDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值并说明理由；若不存在，请说明理
由；
创新应用：
（3）如图④，四边形 ABCE 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，CE＝2，AE＝4，连接 BE，请求出
BE 的最大值，并说明理由．
（4）如图⑤，BE、AC 为四边形 ABCE 的对角线，CE＝2，∠CAE＝60°，∠CAB＝90°，∠
已知∠MDN＝∠BAD＝60°，AC＝6． （1）如图 1，当 DE⊥AB，DF⊥BC 时， ①求证：△ADE≌△CDF；②求线段 GH 的长； （2）如图 2，当∠MDN 绕点 D 旋转时，线段 AG，GH，HC 的长度都在变化．设线段 AG＝m， GH＝p，HC＝n，试探究 p 与 mn 的等量关系，并说明理由．
平行四边形几何辅助线专题详解
平行四边形几何辅助线专题详解1 平行四边形知识框架{分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段 方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果 （1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。
例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。
二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。
（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。
因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。
因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。
例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。
例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。
2020春浙教版八年级数学下册课件：四边形中常用辅助线专题训练(共43张PPT)
(2)作 AH⊥BD 于点 H，由题意知∠AGB＝60°，
∠ABG＝45°，∴△ABH 为等腰直角三角形，
△AGH 为含 30°角的直角三角形，∵AB＝1，
∴AH＝BH＝
2 2
，HG＝
6 6
，∴BG＝
2 2
＋
6 6
.
14．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线 上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF， CE，CF，如图所示． (1)求证：△ABE≌△ADF； (2)试判断四边形AECF的形状， 并说明理由．
8．如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的 边AB，BC，CD，DA(不包括端点)上运动，且 满足AE＝CG，AH＝CF. (1)求证：△AEH≌△CGF； (2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形 ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由 ．
14．证明：(1)∵正方形ABCD，∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，可证 △ABE≌△ADF(SAS)；
(2)连接AC，四边形AECF是菱形． 理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC， OB＝OD，AC⊥EF，∴OB＋BE＝OD＋DF， 即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形．
八年级数学(下)——测试卷(二十四)
四边形中常用辅助线专题训练
一、平行四边形有关的辅助线作法 1．如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角 线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形． 求证：OE与AD互相平分．
1．证明：连结AE、OD， 因为四边形OCDE是平行四边形， 所以OC∥DE，OC＝DE，因为O是AC的中点 ，所以AO∥ED，AO＝ED，所以四边形 AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分 ．
四边形辅助线的经典例题
四边形辅助线的经典例题1.问题描述在几何学中，我们通常使用辅助线来帮助解决问题，特别是在研究四边形时。
本文将介绍一些经典的四边形辅助线例题，并提供解答和解题思路。
2.题目一题目描述如图所示，在四边形A BC D中，连结A C和B D的交点为P。
证明：四边形AB CD是平行四边形的充分必要条件是A P=CP。
A_______B||||D__|_______|__C解答和解题思路解答设四边形AB CD为平行四边形，即AB∥CD，AD∥B C。
通过观察可以发现，△A PC与△CP D相似（共边、共角、共角），因此我们有：A P/P C=AC/C D=AB/BC同理，△AP B与△B CP相似，可得：A P/P B=AB/B C=AC/CD由上述两个等式可知：A P/P C=AP/P B即A P=CP，得证。
解题思路在证明这个结论时，我们需要利用平行四边形的性质和相似三角形的性质。
通过观察和推理，我们可以发现△A P C与△C PD相似，△A PB与△B CP相似。
利用相似三角形的性质，我们可以得出A P=CP的结论。
3.题目二题目描述如图所示，在四边形A BC D中，连结A C和B D的交点为P。
证明：当且仅当四边形AB CD的对角线互相平分时，四边形AB CD为矩形。
A_______B||||D__|_______|__C解答和解题思路解答设四边形AB CD的对角线AC和B D相交于P点。
先证明四边形A BC D 是矩形的充分条件是A P=CP且B P=DP。
由题意可知，四边形A BC D是矩形，则A B∥C D且AD∥B C。
根据平行线性质，我们可以得到以下结论：A D/D C=AP/P C(1)A B/B C=BP/P D(2)由(1)式得到A P/PC=A D/DC，即AP/P C=A D/B D，再结合(2)式得到：A P/P C=AD/B D=AB/BD=AB/B C即A P/PC=A B/BC，从而得到AP=C P。
初中几何常见辅助线及题型
一、角平分线半垂直，补全垂直试试看，角平分线加垂线，三线合一试试看1、已知，△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD延长线于点E，EF∥AC交AB于点F.求证：AF =FB2、已知，如图△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D.求证：∠BAD=∠CAD +∠C3、已知，如图Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD⊥BE交BE延长线于点D.求证：BE=2CD4、已知，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AD，∠EAD=∠BAD.求证：AB=AE+CE5、已知，如图△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 于E . 求证：)(21AB AC BE -=6、(2011•大连25)已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ,点D 在线段BC 上，∠C=2∠EDB ，BE ⊥DE ，垂足为点E ，DE 与AB 相交于点F . (1)求∠EBF .(2)探究BE 与FD 的数量关系，并证明.二、证明线段和差倍，截长补短试试看1、如图，在△ABC 中，81BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+.求ABC ∠的度数.2、已知△ABC 中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．3、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，试判断DM 与MN 有怎样的数量关系，并证明.4、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？并证明你的结论.5、已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .6、如图所示，△ABC 是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上. 求AMN ∆的周长．7、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°. 求证：AD 平分∠CDE .8、已知：如图，ABCD 是正方形，∠EAF=45°，且∠EAF 两边交BC 、CD 分别于E 、F 两点.求证：BE +DF =EF .9、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=8，点E 为BC 边上一点，且BE=2，∠EAD=45°. 求DE 的长.10、如图，在△OAB 和△O ′CD 中(O ′ 在线段OA 上)，∠A ＜90°，OB=O ′D ，∠AOB=∠CO ′D ，∠OAB 与∠O ′CD 互补，试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论.11、已知：∠BAC=90°，AB=AC ，AD=DC ，AE ⊥BD . 求证：∠ADB=∠CDE12、(2006•大连模拟26)如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 、E 是线段AC 上两动点，且AD=EC ，AM ⊥BD ，垂足为M ，AM 的延长线交BC 于点N ，直线BD 与直线NE 相交于点F .试判断△DEF 的形状，并加以证明.13、如图1-1，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在边BC 上，且BD=CE ，连结AD ，当∠BAD=13∠BAC ， CF ⊥AD ，交AB 于点F ，点G 为垂足，直线EF 交直线AD 、AC 分别于点H 、M . (1)在图1-1中，∠BAD= °，∠DAC= °. (2)如图1-1，猜想△HDE 的形状，并证明你的结论.(3)若点D 、E 在直线BC 上，如图1-2，其它条件不变，试判断△HAM 与(2)中△HDE 的形状是否相同，若不相同，说明理由；若相同，请证明.14、(2012•大连25)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=2∠BCD=2a ，点E在AD 上，点F 在DC 上，且∠BEF=∠A .（1）∠BEF=_____(用含a 的代数式表示)；（2）当AB=AD 时，猜想线段EB 、EF 的数量关系，并证明你的猜想；（图1-2）七、要想证明是切线，半径垂线仔细添1、已知：如图，⊙O 的直径AB=8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数．2、已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC=BC ，OB AC 21． (1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长． (3)在(2)的条件下，求图中的阴影面积.3、如图，以等腰△ABC 中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于点D ，交AC 边于点E ．过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ． (1)求证：DF 为⊙O 的切线； (2)若∠A=60°，AB=8，求DF 的长. (3)在(2)的条件下，求图中的阴影面积.4、如图，点A 、B 、F 在⊙O 上，∠AFB=30°，OB 的延长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∠CBD=60°，连接AB . (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若BC=3，求⊙O 的直径.5、如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.6、已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作⊙O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若PC 是⊙O 的切线，BC = 8，求DE 的长．7、已知：如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF ⊥AC 于F 交AB 的延长线于G . (1)求证：FG 是⊙O 的切线； (2)求AD 的长.8、如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . (1)求证：PD 是⊙O 的切线； (2)若AE =5，BE =6，求DC 的长.9、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于E ，DA 平分∠BDE . (1)求证：AE 是⊙O 的切线； (2)若∠DBC=30°，DE=1cm ，求BD 的长.10、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)联结EF，求BDAC的值.11、如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC，E是垂足.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)如果AB=5，12DECE，求CE的长.12、已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D.(1)求证：FD是⊙O的切线；(2)设OC与BE相交于点G，若OG=2，求⊙O半径的长；(3)在（2）的条件下，当OE=3时，求图中阴影部分的面积.与相似有关13、已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .(1)判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若⊙O 的半径等于5，AB=8，求CD 的长.14、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB 于点E ，过B 、D 、E 三点作⊙O ． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，若BC =9，CA =12.求EFAC的值.15、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是AB 延长线上的一点，D 是⊙O 上的一点，且AD 平分∠F AE ，ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C ．(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若AF ∶FC =5∶3，AE =16，求⊙O 的直径AB 的长．16、如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF=9，BF：AF=32，求EF的长．17、(2012•大连23) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB=6，AD=5，求AF的长.八、有k倍，比线段，截图相似平行线1、如图，点E是BC上一点，BE=k•EC，∠BAE=∠CDE.猜想AB、CD的数量关系，加以证明.2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB= k •AC ，CD ∥BA ，点P 是BC 上一点，连结AP ，过点P 做PE ⊥AP 交CD 于E .探究PE 与P A 的数量关系，并加以证明.3、如图，在△ABC 中， AB= k •AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 交BC 于点P .探究PE 与PD 的数量关系，并加以证明.4、如图，在△ABC 中，∠DBC +∠ECB=∠A ，BD 、CE 交于点P ，P B= k •PC . 探究BE 与CD 的数量关系，并加以证明.5、如图，BD 平分∠EBC ，D ′是BD 上一点，且BD= k •BD ′，连结D ′C 、DE ，并延长DE 至点A ，使得EA=ED ，且∠ABE=∠C .探究AB 与CD ′的数量关系，并加以证明.6、如图，CB=CD ，∠ABC +∠CDE=180°，AB= k •DE . 探究AF 与EF 的数量关系，并加以证明.7、如图，在△ABC 中，AC=BC ，P 为AB 上一点，且AP= k •PB ，∠EPF +∠C=180°. 探究PE 与PF 的数量关系，并加以证明.8、如图，AD是△ABC的中线，AB= k•AC，点E是AC延长线上一点，且∠AEF=∠BAD，EF交BA延长线于点F.探究AE与AF的数量关系，并加以证明.9、(2012•大连25)如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2a，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.（1）∠BEF=_____(用含a的代数式表示)；（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图2），求EBEF的值（用含m、n的代数式表示）。
初中数学四边形复习--
∴四边形COBP是菱形 ．
A
D
O
B
C
P
精讲点拨 A
例1：①如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点
B作 BP∥OC，且 BP=OC，连结CP，试说明：四边形COBP
的形状。
B
②如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？
③如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？
(B)对角线相等。
（C）对角线平分一组对角。 (D)对角线互相垂直。
3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
D
(A)矩形。 (B)正方形。(C ) 菱形。(D)平行四边形
4.内角和等于外角和的多边形是（ ）
B
(A) 三角形。(B)四边形。(C )五边形。(D)六边形。
5.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
__________,
面积为__________，BD的长度__________
尝试练习（三） 1、在 ABCD中，∠1= ∠B=50°，则∠2= _______
A
D
B 80°
2 1
C
2、正方形边长与对角线之比是________
1: 2
S=对角线积的一半
3、菱形的两条对角线长分别为2，3。则菱形的面积为______
3
4、如图，菱形有一个内角是120°，有一条对角线长是8，则
B
8或 8 3
3
D
A
O
C
菱形边长为_________ C
D
A
B
5、如图，在平行四边形ABCD中， ∠B=45 °，CA⊥BA,AC=2，则平行四边形ABCD的周长为
初二辅助线练习题推荐
初二辅助线练习题推荐作为初二学生，在数学学习中，掌握线段的辅助线绘制方法是非常重要的。
辅助线不仅能够帮助我们解题，还能够提高我们的思维能力和解题的灵活性。
下面我将向大家推荐一些初二辅助线练习题，希望对大家的学习有所帮助。
一、平行四边形的辅助线题目1：已知平行四边形ABCD中，AB=10cm, BC=8cm，以点A 为起点，用适当的辅助线绘制的正方形BEFG，连接DG，求DG的长度。
解题思路：首先，我们可以将平行四边形ABCD绘制出来，并连接对角线AC，形成等腰直角三角形ADC。
然后，我们通过画辅助线，将正方形BEFG绘制出来。
最后，连接DG，并求出其长度。
通过这道题目的练习，我们可以锻炼辅助线的运用能力和平行四边形的性质。
题目2：在平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，以点A为起点，用适当的辅助线绘制的矩形AEFG，连接CG，求CG的长度。
解题思路：我们可以利用平行四边形的性质，绘制出矩形AEFG，进而连接CG，并求出其长度。
通过这道题目的练习，可以加深对平行四边形及其性质的理解，提高画辅助线的技巧。
二、三角形的辅助线题目3：在三角形ABC中，已知AC=12cm，BC=9cm，以BC为底边，作一个正方形BCDE，连接AE，求AE的长度。
解题思路：我们可以从直角三角形ABC出发，先绘制正方形BCDE，然后连接AE，并求出AE的长度。
这道题目可以帮助我们熟练运用辅助线的方法，加深对三角形性质和直角三角形的理解。
题目4：在三角形ABC中，已知AB=8cm，AC=10cm，以AC为底边，作一个矩形ACDE，连接BE，求BE的长度。
解题思路：我们可以通过绘制矩形ACDE，连接BE，并求出BE的长度。
这道题目可以帮助我们巩固辅助线的方法，加深对三角形的认识，提高解题的灵活性。
三、数形结合的辅助线题目5：在平行四边形ABCD中，已知AD=12cm，同时AB是一条边长为6cm的正方形ABEF的对角线，求平行四边形ABCD的面积。
平行四边形全等之辅助线——截长缩短类经典习题讲解
平行四边形全等之辅助线——截长缩短类
经典习题讲解
本文将介绍平行四边形全等中的辅助线截长缩短类经典题解析。
1. 问题描述
设ABCD是一个平行四边形，点E是AB延长线上的一个点，连接EC，交AD于点F，使得AF=DC。
证明：EF=BF。
2. 解题思路
首先，根据题目中给出的条件，我们可以发现ABCD是一个平行四边形且AF=DC。
我们要证明EF=BF。
接下来，我们将使用辅助线来辅助证明。
我们在平行四边形ABCD中引入一条辅助线BG，使其与AE平行，并交CD于点G。
由于AE和BG互相平行，根据平行线截取等比例定理，我们可以得到AF/FC = BG/GC。
由于AF=DC，我们可以将等式重写为DC/FC = BG/GC。
同样地，由于平行四边形ABCD的性质，我们有DC/FC = AB/BF。
将上述两个等式结合起来，我们可以得到AB/BF = BG/GC。
由于AE和BG是平行的，所以三角形AEB与三角形BGC是全等的，从而可以推导出AB/EA = BG/GC。
由于AB/EA = BG/GC，根据等比例定理，我们可以得到
EF=BF。
综上所述，我们通过引入辅助线BG，证明了EF=BF。
3. 总结
在本文中，我们通过使用辅助线截长缩短的方法，证明了平行四边形全等中的一个经典题。
通过引入辅助线并运用平行线截取等比例定理，能够简化问题并得出结论。
希望本文对你理解平行四边形全等中的辅助线截长缩短类经典习题有所帮助！。
特殊四边形的辅助线之欧阳音创编
特殊四边形的辅助线时间：2021.03.11 创作：欧阳音一、分割面积1.（2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．二、补全线段补全线段，如三角形中的五线（角平分线，中线，中垂线，垂线，中位线），四边形的对角线。
2.（2008•山西）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．3.（2007•常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求△FCG的面积；（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．4.（2007•莆田）在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD 于P，Q．探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．中线5.在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，∠AEF=54°，则∠B=．6.（2011•鞍山）已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．求证：DE=DF．中位线7.（2013•沙坪坝区模拟）如图，□ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于点E．（1）若∠ADB=25°，求∠BAE的度数；（2）求证：AB=2OE．垂线8.（2013•宁夏）在□ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．（2）试探究当△CPE≌△CPB时，□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？角平分线9.（2007•哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD 于点F．（1）求证：EF+AC=AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．正方形对角线10.（2005•湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=．（结果不取近似值）11.（2009•广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．12.（2011•防城港）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的长．13.（2014•安徽）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．（1）①∠MPN=；②求证：PM+PN=3a；（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．三、制造全等三角形14.（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．15.（2014•南平）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为°．②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为°．（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．16.已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF=DE．（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC与BD交于点O．BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．①求证：OG=OH；②连接OP，若AP=4，OP=，求AB的长．17.已知Rt△ABC和Rt△ADE，∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，P为线段BD的中点，连接PC，PE．（1）如图1，若AC=AE，C、A、E依次在同一条直线上，则∠CPE=；PC与PE存在的等量关系是；（2）如图2，若AC≠AE，C、A、E依次在同一条直线上，猜想∠CPE的度数及PC与PE存在的等量关系，并写出你的结论；（不需要证明）；（3）如图3，在图2的基础上，若将Rt△ADE绕点A逆时针任意旋转一个角度，使C、A、E不在一条直线上，试探究∠CPE的度数及PC与PE存在的等量关系，写出你的结论并说明理由．18.（2009•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．19.（2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为7．四、构造四边形，等腰三角形构造平行四边形20.（2008•旅顺口区）两个全等的三角形如下图所示放置，点B、A、D在同一直线上．操作：在图中，在CB边上截取CM=AB，连接DM，交AC 于N．请探究∠AND的大小，并证明你的结论．21.则在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．75°22.如图，已知□ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．23.（2010•本溪）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．参考答案一、分割面积7．（2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB 上一点（E不与A、B重合）．（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．考点：正方形的性质；矩形的性质；梯形．专题：压轴题；探究型．分析：正方形，矩形，平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形，它们的面积关系，就要看底边系了，由于AE+EB=CD，所以S△ADE+S△BCE=S△CDE在这三个图形中都成立；梯形不具备这一特征不一定成立．解：①S△ADE+S△BCE=S△CDE方法1：同底同高S△ADE+S△BCE=．方法2：因为过E作EF∥BC交DC于F，则四边形AEFD和EBCF是矩形所以S△AED=S△EFD，S△EBC=S△EFC，所以S△ADE+S△BCE=S△EFD+S△EFC=S△DEC．②四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立．③当四边形ABCD是梯形时，①中结论当E点为AB中点时成立，其它情况不成立不成立．理由如下：设S△ADE=S1，S△BCE=S2，S△DEC=S3，梯形ABCD上底为a，下底为b面积为S，如图．则=如果S△ADE+S△BCE=S△DEC，则有，a（h1﹣h2）=b（h1﹣h2）如果h1=h2，则E为AB中点，如果h1≠h2，则a=b，四边形ABCD是平行四边形．二、补全线段补全线段，如三角形中的五线（角平分线，中线，中垂线，垂线，中位线），四边形的对角线。
《四边形》复习资料
平行四边形◆考点1．平行四边形的两组对边分别平行且相等 推论：平行四边形一组邻边的和为周长的一半对边平行 内错角相等（有“角平分线”会产生“等腰三角形” ） 练习：1．平行四边形ABCD 的周长为34cm ，且AB=7cm ，则BC= cm 。
2．平行四边形ABCD 的周长为26cm ，相邻两边相差3cm ，则AB= cm 。
3．如图，BM=6，∠NDC=∠MDA ，则平行四边形ABCD 的周长为 。
4．如图，平行四边形ABCD 中，BN=DM,试判断线段AM 与CN 的关系，并说明理由。
5．如图，平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，BG 平分∠ABC ，BG 与CE 交于点F 。
(1)求证：AB=AG ； (2)求证：AE=DG ； (3)求证：CE ⊥BG 。
CB ADMN B CDAGE FC N MBDA◆考点2．平行四边形的两组对角分别相等 推论：平行四边形的邻角互补 1．平行四边形的一个角为50度，则其余三个角分别为 。
2．平行四边形相邻两个角相差40度，则相邻两角度数分别为 。
3．平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 可能是（ ）A ．1：2：3：4B ．2：3：3：2C ．2：3：2：3D ．2：2：3：3 4．如图，M ，N 是平行四边形ABCD 两边的中点，求证：∠DAN=∠BCM 。
◆考点3．平行四边形的对角线互相平分推论1：经过平行四边形对角线交点的直线具备双重平分作用： ①该直线平分平行四边形的面积；②该直线在平行四边形内的部分被对角线平分。
推论2：在平面直角坐标系中，设平行四边形ABCD 四个顶点的横坐标分别A x 、B x 、C x 、D x ，纵坐标分别为A y 、B y 、C y 、D y ，则有如下关系：①D B C A x x x x +=+；②D B C A y y y y +=+。
1．如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，△AOB 与△BOC 的周长相差2，且AB=5，则BC= 。
小学数学几何辅助线练习题
小学数学几何辅助线练习题数学是小学学科中的重要组成部分，而几何是数学中的一个重要分支。
在学习几何的过程中，辅助线的使用是一个非常有用的方法。
辅助线可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。
以下是一些小学数学几何辅助线练习题，通过这些练习题的学习，我们可以提高解决几何问题的能力。
1. 画一条辅助线，使得一个三角形 ABC 中的角 A 和角 C 的角平分线相交于点 D。
要求证明 AD = CD。
解答：首先，画出三角形 ABC。
B/\/ \/ \A______C然后，通过角 A 和角 C 的角平分线相交于点 D，连接 AD 和 CD。
B/\/ \A______C\\D由于角 A 和角 C 的角平分线相交于点 D，所以 AD = CD。
2. 画一条辅助线，使得一个三角形 ABC 中的角 A 的角平分线与边BC 相交于点 D，角 B 的角平分线与边 AC 相交于点 E。
要求证明 BD = CE。
解答：首先，画出三角形 ABC。
B/\/ \/ \A______C然后，画角 A 的角平分线和角 B 的角平分线，分别与边 BC 和边AC 相交于点 D 和点 E。
B/ \/ \A______C\ |\ |D E利用角平分线的性质，可知角 ADB = 角 CDA 和角 ADB = 角 BEC，所以角 CDA = 角 BEC。
因此，由三角形的内角和公式可得，角 ADC = 角 BAE = 180度。
根据等角的定义，我们可以得出 AA 两点重合的结论。
由于 BD = DA 和 CE = EA，根据等量代换原理，可得 BD = CE。
通过这个练习题，我们学习了如何利用辅助线证明两边相等的方法。
3. 利用辅助线，证明一个平行四边形的对角线互相平分。
解答：首先，画出一个平行四边形 ABCD。
A______B| || || |D______C然后，连接对角线 AC 和 BD。
A______B| /\ || / \ ||/ \|D______C由于平行四边形的对边平行且相等，可以得知 AB = CD 和 BC = DA。
常见四边形辅助线
一.和平行四边形有关的辅助线作法1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图，已知点0是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:0E与AD互相平分.EBC2.利用两组对边平行构造平行四边形例2如图，在4ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证:ED+FG=AC.3.利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图，已知人口是4ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE二EF.求证BF二AC.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图，在AABC中，NACB=90°,NBAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点，且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证：四边形CDEF是菱形.CBB例5如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.（3）与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.1例7如图，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE.求证：NBCF=2NAEB.5.与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例8已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=AC,ZBAC=90°,BD=BC,BD交AC于点0.求证：CO=CD.例9如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AC±BD,AD+BC=10,DELBC于E.求DE的长.6.和中位线有关辅助线的作法例10如图H,在四边形ABCD中，AC于BD交于点0,AOBD,E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.1.(1)如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD,AC与BD相交于点O,E、F分别是AD.BC的中点，联结EF，分别交AC、BD于点M、N,试判断^OMN的形状，并加以证明；(2)如图2,在四边形ABCD中，若AB■CD,E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：;图1图2图3练习1、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方,政府又新建了几处广场,工人师傅在铺设地面时,准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖,其中不能进行平面镶嵌的是．．()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线8口重合，折痕为DG,则AG的长为()A．1 B．C．D．23、把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H（如图）.试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．4、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=x cm（x丰0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2:m.（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．题45.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是（）A.AD=BCB.CD=BFC.A A=/CD./F=/CDE6.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5.过对角线交点。
初中几何辅助线——四边形辅助线大全
初中几何辅助线——四边形辅助线大全题型1.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例1已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，求这个四边形各边长.解：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB = CD，AD = CB，AO = CO∵AB＋CD＋DA＋CB = 60AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8∴AB＋BC = 30，AB－BC =8∴AB = CD = 19，BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.题型 2.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.（例题如上）题型3.有平行线时常作平行线构造平行四边形.例2已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F 作FH∥AB交BC于H求证：CE = BH证明：过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH 为平行四边形∴∠B =∠FP A，BH = FP∵∠ACB = 90o，CD⊥AB∴∠5＋∠CAB = 45o，∠B＋∠CAB = 90o∴∠5 =∠B∴∠5 =∠FP A又∵∠1 =∠2，AF = AF∴△CAF≌△P AF∴CF = FP∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B∴∠3 =∠4∴CF = CE∴CE = BH练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC求证：AB = EF＋GH54321PHFEDCB AGHFEB AC题型4.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.例3已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点求证：CM⊥DM证明：延长DM、CB交于N∵四边形ABCD为平行四边形∴AD = BC，AD∥BC∴∠A = ∠NBA∠ADN=∠N又∵AM = BM∴△AMD≌△BMN∴AD = BN∴BN = BC∵AB = 2BC，AM = BM∴BM = BC = BN∴∠1 =∠2，∠3 =∠N∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180o，∴∠1＋∠3 = 90o∴CM⊥DM题型5.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.例4如图：OE=OF题型 6.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.例5如图：S△BEC= 12S□ABCD题型7.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.例6如图：S△AOB＋S△DOC= S△BOC＋S△AOD = 12S□ABCDEDCBAODCBA321NM BAD CFEODCBA题型8.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 例7如图：AO 2＋OC 2 = BO 2 ＋DO 2题型9.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.例8如图：四边形GHMN 是矩形（题型5～题型9请自己证明）题型10.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例9已知，如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE = ED ，P 为对角线BD 上一点，PF ⊥BE 于F ，PG ⊥AD 于G 求证：PF ＋PG = AB证明：证法一：过P 作PH ⊥AB 于H ，则四边形AHPG 为矩形∴AH = GP PH ∥AD ∴∠ADB =∠HPB∵BE = DE ∴∠EBD = ∠ADB ∴∠HPB =∠EBD 又∵∠PFB =∠BHP = 90o∴△PFB ≌△BHP∴HB = FP∴AH ＋HB = PG ＋PF 即AB = PG ＋PF证法二：延长GP 交BC 于N ，则四边形ABNG 为矩形，（证明略）NP H G FE D C B AN M HG DCBAA DC B OO B CD A题型11.直角三角形常用辅助线方法⑴作斜边上的高例10已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E 求证：AC = CE证明：过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG∴∠F AE = ∠AEG∵四边形ABCD为矩形∴∠BAD = 90o OA = OD∴∠BDA =∠CAD∵AF⊥BD∴∠ABD＋∠ADB= ∠ABD＋∠BAF= 90o∴∠BAF =∠ADB =∠CAD∵AE为∠BAD的平分线∴∠BAE =∠DAE∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC即∠F AE =∠CAE∴∠CAE =∠AEG∴AC = EC⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线①有斜边中点时例11已知，如图，AD、BE是△ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点求证：GF⊥DE证明：连结GE、GD∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点∴GE = 12AB，GD =12AB∴GE = GD∵F是DE的中点∴GF⊥DE②有和斜边倍分关系的线段时例12已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC = 12 BD求证：∠ACB = 2∠B证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE = 12 BD∴∠1 =∠BGOFEDCBAFEDCBA∵AC =12BD ∴AC = AE∴∠ACB =∠2 ∵∠2 =∠1＋∠B ∴∠2 = 2∠B ∴∠ACB = 2∠B题型12.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例13已知，如图，过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F 求证：AP = EF证明:连结AC 、PC∵四边形ABCD 为正方形∴BD 垂直平分AC ，∠BCD = 90o∴AP = CP∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠BCD = 90o ∴四边形PECF 为矩形 ∴PC = EF ∴AP = EF 题型13.有正方形一边中点时常取另一边中点.例14已知,如图，正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N求证：MD = MN证明：取AD 的中点P ，连结PM ，则DP = P A =12AD ∵四边形ABCD 为正方形 ∴AD = AB , ∠A =∠ABC = 90o∴∠1＋∠AMD = 90o ，又DM ⊥MN ∴∠2＋∠AMD = 90o ∴∠1 =∠2 ∵M 为AB 中点∴AM = MB = 12AB∴DP = MB AP = AM ∴∠APM =∠AMP = 45o ∴∠DPM =135o ∵BN 平分∠CBE ∴∠CBN = 45o∴∠MBN =∠MBC ＋∠CBN = 90o ＋45o = 135o 即∠DPM =∠MBN ∴△DPM ≌△MBN21EDCBAP F ED CB A21P NEDCA∴DM = MN注意：把M 改为AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。
初中三角形四边形常见辅助线做法
►三角形中常见辅助线的添加 3. 与等腰等边三角形相关的
（1）考虑三线合一
►三角形中常见辅助线的添加 3. 与等腰等边三角形相关的
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °
3. 和菱形有关的辅助线的作法
（1）作菱形的高 （2）连结菱形的对角线
►四边形中常见辅助线的添加 3. 和菱形有关的辅助线的作法
（1）作菱形的高
►四边形中常见辅助线的添加 3. 和菱形有关的辅助线的作法
（2）连结菱形的对角线
►四边形中常见辅助线的添加
4. 与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又 是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正 方形的问 题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的 常用辅助线
►三角形中常见辅助线的添加 2. 与线段长度相关的
（1） 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一 段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
►三角形中常见辅助线的添加
2. 与线段长度相关的
（2） 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长 一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段 等于那一条长线段即可
初中 三角形四边形 辅助线典型用法
►三角形中常见辅助线的添加
1. 与角平分线有关的
（1）向两边作垂线 （2）作平行线，构造等腰三角形 （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
►三角形中常见辅助线的添加
辅助线之倍长中线和中位线
常见辅助线做法 1、如图，已知AD 为△ABC 中线，求证AB+AC ＞2AD2、△ABC 中，D 为BC 中点，AD 平分∠BAC ，求证：AB=ACDBC3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC21FE DCBA4、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论．FDEBA C5、如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点，BF ，CE 相交于点M ，求证：AM ＝ABEMDCBA6、（10分）在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ,AB ⊥BC ，AB =2CD ，E 为AB 的中点，若△EBC 沿CE 折叠，使B 点落在AD 上的F 点，连结EF 、CE 、CF . （1）判断四边形AECD 的形状，并证明； （2）若ADBCFE S 四边形=32,求△ECB 的周长。
EA1、如图所示，多边形ABCDE 中，AB BC CD DE ⊥⊥，，AB=BC ，CD=DE ，F 是AE 的中点， 求证：A+E BCD ∠∠=∠ 求证：BF ⊥FDB2、如图，△ABC ≌△BDE ，M 、M′分别为AB 、DB 中点，直线MM′交CE 于K ．试探索CK 与EK 的数量关系．B3、已知正方形ABCD 中，F 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论并证明？EF4、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE 的长； （2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k ，使得∠EFD=k ∠AEF ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF ，当CE 2-CF 2取最大值时，求tan ∠DCF 的值．1、如图，已知AD 为△ABC 中线，求证AB+AC ＞2AD2、△ABC 中，D 为BC 中点，AD 平分∠BAC ，求证：AB=ACDB3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC21FE DCBA4、如图，AE ∶AD =1∶3，D 为BC 的中点，求AF ∶FC ＝_______。
与角平分线有关的常用结论、辅助线总结与练习(有答案)
与角平分线有关的常用结论、辅助线总结角平分线是我们常见的几何条件，合理的把角平分线和其它条件相结合可以形成新的结论。
一、总结下面我们来看一下常见的和角平分线有关结论或辅助线。
1、如图1，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DE ∥OB 交OE 于点E∵OP 平分∠AOB ∴∠DOE =∠EOB∵DE ∥OB ∴∠BOE =∠DEO ∴∠DOE =∠DEO∴OD =DE由此可知，当角平分线和与角的一边平行的直线相交后可以形成等腰三角形。
例题：（2016·四川南充）如图2，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平；再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处，并使折痕经过点A ，展平纸片后∠DAG 的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°分析：由题意可得：∠1=∠2，AN =MN ，∠MG A =90°，则NG =12AM ，故AN =NG ，则∠2=∠4，∵EF ∥AB ，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=13×90°=30°，∴∠DAG =60°．故选：C ．2、角平分线遇到垂线：如图3，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DP ⊥OP 于点P 。
遇到这种情况，我们可以作辅助线： 延长DP 交OB 于点E ，∵OP 平分∠AOB∴∠DOP =∠EOP ∵DP ⊥OP ∴∠ODP =∠OEP∴OD =OE ∴DP =PE通过上述证明我们可以发现，当角平分线遇到垂线后，可以将垂线延长与角的两边相交，构成等腰三角形，同时，垂足即为等腰三角形底边中点。
例题：如图4，在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ．求证：AE =BE 分析：由已知，AD ∥BC ，ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，可得DE ⊥EC ，延长DE 交CB 延长线于F ，有上述结论可知，E 为DF 中点，可证△ADE ≌△BFE3、从角平分线做角一边的垂线ED BAO 图1 图2E D P B AO图3 F图4 DPA如图3，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D 。
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四边形常见题型辅助线作法（1）
1、 构造矩形、菱形、全等形、建立直角坐标系等。
2、 有线段中点时，再构造中点；有特殊角时，构造 Rt 、等边三角形。
3、 有梯形，就做高或平移对角线。
题型一求线段相等
1. 已知：如图，正方形 ABCD 中，/ ACE=30 °,ED //AC ;求证：AE=AF
2已知，如图：在梯形 ABCD 中，AD //BC , EF 与MN 互相垂直平分， E 、F 、M 、N 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中 点•求证：AB=CD.
3.如图，在正方形 ABCD 中，/EAF=45 ° ,AH 丄EF ,垂足为 H ，求证：AH=AB.
求梯形ABCD 的高.
题型二求角相等
连结 EF ,求证：/ FED= /BAD.
题型三 求线段或角的倍分关系
8、如图，过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF 丄AC 分别交AB 、DC 于E 、F ,点G 为AE 的中点，若/AOG=30
1
求证：OG= 3 DC 。
4、已知：如图，正方形 ABCD 中，E 、F 分别是CD 、DA 的中点, BE 与CF 交于P 点。
求证: AP=AB 。
5、已知：如图，梯形 ABCD 中，DC //AB , AD=BC ，对角线 AC 、
BD 交于点 O , Z COD=60
,右CD=3 , AB=8 ,
D
Cr
F
'2V
C
J
6.如图，在"ABC 中,
AD
平分/ BAC ，交BC 于点D ，过C 作AD
的垂线，交AD 的延长线于点 E , F 为BC 的中点,
7,已知点O 是平行四边形 ABCD 的对角线AC 的中点,
:OE 与AD 互相平分
1
9、如图，过正方形ABCD的顶点B作BE //AC，且AE=AC，又CF//AE。
求证：/ BCF= 2/AEB。
S
四边形常见题型辅助线作法(2)
题型四求线段的和或差
1.如图，已知：正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分/ EAD.
求证：AE=DF+BE.
2，在△ABC 中，E、F 为AB 上两点，AE=BF , ED//AC , FG//AC 交BC 分别为D , G,求证：ED+FG=AC.
1
3.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ( BC > AD ), E、F 分别是对角线BD、AC的中点求证: EF= 2 ( BC—AD )
4.如图，在等腰梯形ABCD中，AD //BC, AC丄BD，过顶点D作DN丄BC ,点N为垂足，求证:DN= 2(AD+BC )
D
C
题型五探究题
5、如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P,作PE丄BC于E,作PF丄CD于F,连结AP、EF。
(1)试说明AP=EF 的道理；
(2)猜想AP与EF有怎样的位置关系，并说明理由。
F
6、如图，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样速度向B、
C、D、A各点移动。
(1) 试判断四边形PQEF是正方形，并证明；
(2) PE是否总过某一定点，并说明理由；
(3) 四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小？最大？各是多少?
7、如图，已知△ ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE 和CF。
(1 )请在图中找出一对全等三角形，用符号“也”表示，并加以证明;
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
(3)若AB=6 , BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
辅助线做法(1 )答案
1、连接AC过E作EG垂直于AC于G,证AC=AE，得角AEC=角AFE=75 度，既得AE=AF
2、分别连接E、M、F、N，贝U EMFN 是菱形，得ME=MF=1/2AB=1/2CD, 所以AB=CD
3、将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，使AD与AB重合，得三角形ABC，则三角形ADF全等于三角形ABC,
即可得AH=AB
4、延长CF、BA交于点M，证三角形AMF全等于三角形DCF,得AM=CD=AB, 再得PA是直角三角形BPM斜边上的中线，
即可得AP=AB.
5、过点C作CE //DB，交AB的延长线于点E,过点C作CH丄AE于点H , CH =11 ——
2
6、延长AB、CE交于G点，则得E为GC中点，从而得到FE平行于AG ,即可得/ FED= /BAD.
7、连接0D、AE则四边形AEDO是平行四边形，所以0E与AD互相平分
1 1
8、连接OB，可得OG=AG=GE=EB= 3 AB= 3 DC。
AG=AO=丄=-,又AG 丄GE,所以，/ AEG=30
CFB= / AEG=30 ° , E6C= ZFBA+ / ABC=135 ° ,
/ BCF=180 -°ZCFB- / FBC=15 ° ,
1
/BCF=二/AEB.
辅助线(2)答案
9、解：过A作AG丄BE于G，AC，BD交于0 ,_则AGBO是正方形,
1、证明：延长CB至U G,使GB=DF ,连接AG (如图)，证△ADF幻^ABG ,
再证EA=EG 即得AE-BE=DF
2、过E作EP//BC交AC于p，证△ AEP幻ZBFG即可
3、解答:证明方法如图所示，连接AE并延长，交BC于点G.
证Z\AED幻zGEB. •••BG=AD , AE=EG.再证FE是A AGC 的为中位线即得
EF=1/2(BC-AD).
方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于G.易得A GED幻△EB.再证E，
点,•EF=1/2GA=1/2(GD-AD)=1/2(BC-AD) ，即EF=1/2(BC-AD).
4、过D作DF //AC交BC的延长线于F，易得平行四边形ACFD 和等腰直角三角形BDF，从而DN=1/2(AD+BC)
5、( 1 ) AP=EF 理由如下：连接PC，证A APB幻△:PB 得AP=CP 即得AP=EF
(2)AP丄EF理由如下：延长AP交EF于点H,由(1 )的结论及Rt △两锐角互余即得AP丄EF
6、:解:(1)证A AFP幻^PQ ^/CQE幻ZDEF.得FP=PQ=QE=EF ，即得四边形
PQEF为正方形
.即得PE总过AC的中点⑶⑵连接PE交AC于0，连接PC、AE，证四边形APCE为平行四边形
当正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，
当P OP丄AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半,
与顶点B重合时，面积最大，其最大面积等于正方形ABCD的面积7、
(1)答：△ BDE 幻△EC,ABCE幻^DC，△ABE^zACF ;
(2)四边形ABDF是平行四边形，
(3)过A作AH丄BC，求出AH即可求面积.。