构造三角形中位线的方法

构造三角形中位线的方法

方法1 连接两点构造三角形的中位线

1.已知：如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作两个正△ABM和△CAN，D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF

证明:连接、，

和是等边三角形，

，，，

，

即，

在与中

，

，

，

、、分别是、、的中点，

，，

.

方法2利用角平分线+垂直构造三角形的中位线

2.已知点M为△ABC的边BC的中点，AB=12，AC=18，BD⊥AD于D，连DM．

（1）如图1，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长；

（2）如图，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．

解：（1）如图，延长BD 交AC 于E ，

∵AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD ，

∴BD=DE ，AB=AE=12，

∴CE=AC -AE=18-12=6，

又∵M 为△ABC 的边BC 的中点，

∴DM 是△BCE 的中位线，

∴MD=1/2CE=3

（2）延长BD 交CA 的延长线于E ，

∵AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD ，

∴BD=DE ，AB=AE=12，

∴CE=AC+AE=18+12=30，

又∵M 为△ABC 的边BC 的中点，

∴DM 是△BCE 的中位线，

∴MD=1/2CE=15．

3.如图 , 在 Rt △ABC 中 ,∠ACB=90∘,D 为 △ABC 外一点 , 使 ∠DAC=∠BAC,E 为 BD 的中点 ,∠ABC=60∘ ，求 ∠ACE 的度数。

解：延长 AD 、 BC 交于F.

∵ 在 △ABC 与 △ACF 中，

∠DAC=∠BAC ，AC=AC ，∠ACB=∠ACF=90∘ ，

∴△ABC ≌ △ACF(ASA) ，

∴BC=FC,∠F=∠ABC=60∘ ，

∴∠CAF=30∘ ，

∵E 为 BD 的中点，

∴EC ∥ AF ，

∴∠ACE=∠CAF=30∘.

方法3倍长法构造三角形的中位线 4.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，△BEF 为等腰直角三角形，

∠BEF ＝90°，M 为AF 的中点，求证：CF ME 2

1 .

证明：如图，延长EF 到D ，使DE=EF ，连接AD 、BD ，

∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF=90°，

∴∠BFE=45°，BE ⊥DF ，

∴BE 垂直平分DF ，

∴∠BDE=45°，

∴△BDF 是等腰直角三角形，

∴BD=BF ，∠DBF=90°，

∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，

∠ABD+∠ABF=∠DBF=90°，

∴∠CBF=∠ABD ，

在△ABD 和△CBF 中，

AB=BC

∠CBF=∠ABD

BD=BF

∴△ABD ≌△CBF （SAS ），

∴AD=CF ，

∵M 为AF 的中点，DE=EF ，

∴ME 是△ADF 的中位线，

∴ME=1/2AD ，

∴ME=1/2CF ． 方法4已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线 5.如图，在四边形ABCD 中，M,N 分别为AD,BC 的中点，连BD,若AB=10，CD=8.求MN 的取值范围.

解:作BD 中点E ，连接ME 、NE 。

∵M,N 分别为AD,BCc 的中点

∴ME=1/2AB=5 NE=1/2CD=4

∵ME-NE

∴1

6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 的中点，延长

BP 交AC 于点N ，求证：AC AN 3

1 .

证明：作DM ∥BN 交AC 于M ，

∵AB=AC ，AD ⊥BC ，

∴BD=DC ，又DM ∥BN ，

∴NM=MC ，

∵点P 是AD 的中点，DM ∥BN ，

∴AN=NM ，

∴AN=NM=MC ，即AN=1/3AC ．