对流—扩散问题的有限体积法
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流体仿真与应用
第八讲
对流-扩散问题的有限体积法
◆一维无源项的稳态对流-扩散
◆流动过程同时必须满足连续性方程
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛Γ=dx d dx d u dx d φρφ()0=u dx
d ρ
◆中心差分格式（例子）
◆离散格式的性质
在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。
在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。
通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。
主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。
◆离散格式的性质——守恒性
满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。
◆离散格式的性质——迁移性
x
u D F Pe δρ/Γ=
=在对流-扩散问题中，引入一个控制容积的Peclet 数，它表征对流与扩散的相对大小
◆离散格式的性质——迁移性
③当Pe 为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。随着Pe 的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。
① ，即纯扩散，无对流。
②
，即纯对流，无扩散。 0=Pe ∞=Pe
◆迎风格式
迎风格式（Upw ind Differencing Scheme ）在确定控制容积界面上
的
值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的
值，称之为第二类迎风格式。中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上 的值取相邻上、下游节点的平均值。当对流作用较强时，这样的处理就与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。
φφφ
◆迎风格式
◆迎风格式
在控制容积界面上对流项的取其 上游节点处的值
E
W →φW
w φφ=P
e φφ=()()
W P w P E e W w P e D D F F φφφφφφ---=-()()[]()E
e W w w P w e e w w D F D F F D F D φφφ++=-+++W
E →P
w φφ=E
e φφ=()()[]()E
e e W w P w e e e w F D D F F F D D φφφ-+=-+-+
◆迎风格式
通用形式
W
W E E P P a a a φφφ+=()
w e E W P F F a a a -++=E
W →w
w W F D a +=e
E D a =W E →w W D a =e
e E F D a -=
◆迎风格式的特点
迎风格式满足守恒性。
离散方程的系数均为正，满足有界性条件，同时也满足迁移性要求。因此，它能够取得比较好的解。
其主要缺点是精度较低，为一阶截断误差格式。
当流动方向和网格线不一致时计算误差较大，此时它的解类似于扩散问题，因而被称为伪扩散。
◆混合格式
中心差分格式精度较高，但不具有迁移性。迎风格式满足离散方程的3个性质要求，但精度较低。
Spalding （1972）把这2种格式结合起来，提出了混合格式（Hybrid Differencing Scheme ）：
在
时应用具有二阶精度的中心差分格式，在
时应用迎风格式。2 ◆混合格式的特点 混合格式兼具中心差分格式和迎风差分格式的优点，具 有守恒性、有界性和迁移性。 其缺点是按Taylor级数展开后截断误差为一阶，精度不高。 ◆幂指数格式 Patankar （1981）提出了一种幂指数格式（Pow er-law Differencing Scheme ）对一维问题，它比混合格式精度高。 扩散项取0 10>Pe 10 0< 量，如左侧单位面积的净通量计算 ()[]W P w W w w F q φφβφ-+=10 0< -=βW w w F q φ=10 >Pe ◆对流-扩散问题的高阶差分格式——QUICK 格式 QUICK （Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics ）格式，它采用了上游三点加权的二次插值来计算控制界面容积界面上的 值，即界面上的 值由界面两侧的2个节点及其上游的另一个节点的二次插值来计算。 对于均匀网格，节点i 和i-1之间的界面处（记作i-1/2）的值可按下式计算 φφ212/18 18386----+=i i i i φφφφ ◆QUICK格式的特点 QUICK格式满足守恒性，因为它在计算控制容积界面上的值都采用了相同形式的二次插值表达式。它的Taylor级数截断误差具有三阶精度。此外，满足迁移性和有界性的充分条件。 对于有界性的必要条件它有条件地满足 由于QUICK格式涉及4个相邻节点，因此它离散后的线性方程组的 系数矩阵不是三角阵，TDM A算法不能应用。