对流—扩散问题的有限体积法
第五章——对流-扩散问题的有限体积法
混合格式兼具中心差分格式和迎风差分格式的优 点，具有守恒性、有界性和迁移性，其缺点是按 Taylor级数展开后截断误差为一阶，精度不高
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
边界条件处理：
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
上机课：高速流计算
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
一维稳态对流-扩散问题的有限体积法 举例：考虑一维无源项的稳态对流-扩散问题： （核心区的稳态能量方程） d d d d ( u ) ( ) ( u ) 0 dx dx dx dx
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
W
uw
w
P
x
xwp
ue
e
E
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
P点中心差分
d ( u ) 0 dx
x pe
xWP
xPE
d d ( uA ) e ( uA ) w (A ) e (A ) w dx dx
设： F u
D x
w e De 有： Fw ( u) w Fe ( u ) e Dw xWP xPE
aPP aWW aEE
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
当速度较大时，采用中心差分格式处理边界值， 下游边界条件对数值计算法
离散格式的性质： （1）在数学上，一个离散格式必须要引起很小 的误差才能收敛于精确解，即要求离散格式必 须稳定或网格必须满足稳定性条件。 （2）在物理上，离散格式所计算出的解必须要 具有物理意义，对于得到物理上不真实的解的 离散方程，其数学上精度再高也没有价值
FeE FwP De (E P ) Dw (P W )
[(Dw ) ( De Fw ) ( Fe Fw )]P DwW ( De Fw )E
二维对流扩散方程有限体积法
二维对流扩散方程有限体积法嘿，朋友们！今天咱们来唠唠这个二维对流扩散方程有限体积法，这就像是一场在二维世界里的奇妙冒险呢！你看啊，这个二维对流扩散方程，就像一个神秘的魔法公式。
∂φ/∂t+∂(uφ)/∂x + ∂(vφ)/∂y = ∂/∂x(Γ∂φ/∂x)+ ∂/∂y(Γ∂φ/∂y)+S，这里面的φ就像是一个调皮的小精灵，在时间t的长河里，被u和v这两个大力士一样的速度分量，在x和y方向上推来推去。
而那个Γ呢，就像是一个控制小精灵活动范围的魔法结界，S就像是时不时冒出来捣乱或者帮忙的小怪兽。
那有限体积法呢，就像是一群聪明的小侦探。
他们把整个计算区域划分成一个个小格子，这些小格子就像是一个个小房间。
小侦探们要搞清楚在每个小房间里小精灵φ到底发生了什么。
想象一下，每个小房间都有自己的小秘密。
小侦探们要先看看这个房间的边界上，那些大力士u和v把小精灵φ是怎么送进来或者送出去的，就像在门口盯着谁进来谁出去一样。
然后呢，还要看看那个魔法结界Γ在房间里是怎么限制小精灵活动的。
这个过程啊，有时候就像在解一个超级复杂的迷宫。
小侦探们在每个小房间里转来转去，寻找线索。
要是哪个环节算错了，那就像是在迷宫里走错了路，可能就会被传送到一个完全错误的地方，得到一个莫名其妙的结果。
在这个二维的世界里，对流就像是一阵大风，呼呼地吹着小精灵φ到处跑。
扩散呢，就像是小精灵φ自己在慢慢地散开，就像一团彩色的烟雾慢慢变淡。
而有限体积法就是要把这风的力量和烟雾散开的速度都精确地计算出来。
有时候啊，这个方程就像一个任性的小孩子。
你觉得你已经把一切都搞清楚了，它却突然给你一个意想不到的结果，就像小孩子突然耍起了小脾气。
这时候，你就得像哄小孩一样，重新检查你的计算步骤，看看是不是哪个小房间里的情况被你遗漏了。
而且呢，这个有限体积法在处理这个方程的时候，就像是一场盛大的音乐会。
每个小房间里的计算就像是一个小乐器在演奏，只有每个乐器都演奏正确，整个音乐会才能完美地呈现出正确的结果。
对流方程及其解法
对流方程及其解法对流方程是描述流体运动的最基本方程之一，涉及热、动量、物质等的传递现象，对于各种物理问题的研究都具有重要意义。
本文将从对流方程的基本形式和意义出发，探讨其常见解法及相关应用。
一、对流方程的基本形式与意义对流方程是描述流体中质量、热量和动量传递的方程，其基本形式可以写作：$$ \frac{\partial\phi}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\phi =\nabla\cdot(\Gamma\nabla\phi) $$其中，$\phi$为描述流体量的变量，如温度、密度、浓度等；$\mathbf{v}$为流体的流速，$\Gamma$为扩散系数。
对该方程的解析求解较为困难，故通常采用数值方法进行求解。
下面介绍几种常见的数值解法。
二、有限差分法有限差分法是在连续方程的基础上，利用有限差分代替导数，将微分方程变为代数方程组，从而利用计算机求解的方法。
其基本思想是将求解区域划分为有限个网格，对每个网格内的量用差分代替导数，从而得到有限差分方程。
以简单的二维对流扩散为例，其对流方程为：$$ \frac{\partial\phi}{\partial t} + u\frac{\partial\phi}{\partial x} + v\frac{\partial\phi}{\partial y} = \Gamma\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \Gamma\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} $$其中，$u$和$v$分别代表$x$和$y$方向的流速。
对该方程进行离散，假设$\phi_{i,j}$为$x=i\Delta x$，$y=j\Delta y$处的$\phi$值，则可以得到：$$ \frac{\phi^{k+1}_{i,j} - \phi^k_{i,j}}{\Delta t} +u\frac{\phi^k_{i+1,j} - \phi^k_{i-1,j}}{2\Delta x} +v\frac{\phi^k_{i,j+1} - \phi^k_{i,j-1}}{2\Delta y} $$$$ = \frac{\Gamma\Delta t}{(\Delta x)^2}(\phi^k_{i+1,j} -2\phi^k_{i,j} + \phi^k_{i-1,j}) + \frac{\Gamma\Delta t}{(\Deltay)^2}(\phi^k_{i,j+1} - 2\phi^k_{i,j} + \phi^k_{i,j-1}) $$其中，$k$为时刻，$\Delta x$和$\Delta y$分别为$x$和$y$方向的网格间距。
第五章 有限体积法
（5.2.3）
利用式（5.2-3）可将式（5.2-2）改写成
( dV ) n ( u)dA n ( grad )dA S dV t V A A V
（5.2.4）
这里我们将等号左端第一项中积分和微分的顺序变换了一下， 以方便说明其 物理意义。这一项表明特征变量 的总量在控制容积 V 内随时间的变化量。而 在左端第二项中左端第二项中 n ( u) 意为特征变量 由于对流流动沿控制容 积表面外法线方向 n 的流动率（流出） 。因此方程左端第二项表示在控制容积中 由于边界对流引起的 的净减少量。等式右端第一项是扩散项的积分。扩散流的 正方向应为 的负梯度方向。例如热量是沿着负的温度梯度方向传导的。而 n 为 控制容积表面外法线方向，因此 n ( grad ) 是 向控制容积外的扩散率。所以
5.2 有限体积法的基本思想和特点
5.2.1 通用变量方程
在前面建立的连续方程、运动方程、能量方程、湍动能输运方程、湍动耗散 率方程中，尽管变量不同，但它们都有相似的形式，若我们用一个通用的变量 来表示，以上方程都可以写成统一的形式，即
( ) div( u) div.1b）
式(5.1-1)是用一阶向前差分所表示的一阶导数或二阶导数，类似的可以有一 阶向后差分，或中央差分等，当然也可以用二阶差分（三点差分）来表示差商。 将表示场变量一阶导数和二阶导数的差商近似式代入微分方程， 就可以得到关于 各网格点处的差分方程。求解这一组代数方程，可得各节点处的场变量数值解。 有限差分法形式简单， 对任意复杂的偏微分方程都可以写出其对应的差分方 程。但有限差分方程的获得只是用差商代替微分方程中的微商（导数） ，而微分 方程中各项的物理意义和微分方程所反映的物理定律（守恒定律）在微分方程中 并无体现。 因此差分方程只能认为是对微分方程的数学近似，基本没有反映其物 理特征。差分方程的结果有可能表现出某些不合理现象。 2、有限元法 有限元法是 20 世纪 60 年代出现的一种数值计算方法。 它最初用于固体力学 问题的数值计算，如杆系结构，梁系结构，板、壳、体结构的受力和变形问题。
有限体积法1
P=
ρuδx = F/D 为 Peclet 数，代表了对流项与扩散项之间 Γ
的比值。 显然有 A(0) =1，A(∞) = 0。
16
◆函数 A 可用较简单的逼近式――乘方律公式
(1 − 0.1 P A( P ) = 0
)
5
P ≤ 10 P ≥ 10
当∣P∣> 10 时扩散项可以不计。 其他逼近式 中心差分格式：相当于取 A(|P|)=1－0.5 |P| 迎风格式（逆风格式） ：相当于取 A(|P|)=1 混合格式：取 A(|P|)=max( 0, 1－0.5 |P| )
是单位时间内通过垂直于 xi 轴的单位面积的该物理量的大小。
2
对流项 ρui φ = 随流动输移的物理量通量， 其方向取决于流 动方向，下游对上游没有影响。 扩散项 − Γ
∂φ =物理量由于粘性、分子扩散或紊动等原因 ∂x i
而产生的扩散通量，其方向指向φ小的一侧。Γ为扩散系数， 与动力粘性系数μ具有同样的量纲。
3
将通量式代入控制方程中得: 物理量在流体中随流输移和扩散过程通用形式基本微分方程
∂ ∂ρφ ∂ (ρu j φ) = + ∂x j ∂x j ∂t ∂φ Γ ∂x j +S
例 1：当物理量为流体自身质量时，φ=1，Γ= 0,S = 0（不 存在质量源项时） ，得到连续性方程
(不可压缩流体ρP0 =ρ = 常数；恒定问题，aP0 = 0。)
22
2．边界条件的处理 出、入流边界（有法向流速分量） ， 固体边界和没有法向流速分量的水域边界， 等。
23
(1)
入流边界的φ值应该给定。
φB = φ
作为边界点 B 点的方程。 (2) 出流边界结点:可以同内部结点一样建立离散方程， 而不必特地给定边界条件。
计算流体力学 有限体积法基础及其应用
一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义1.2 计算流体力学的研究对象1.3 计算流体力学的发展历史二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理2.1.2 有限体积法的数学模型2.2 有限体积法的数值求解2.2.1 离散化2.2.2 迭代求解三、有限体积法在计算流体力学中的应用3.1 有限体积法在流体流动模拟中的应用 3.1.1 管道流动模拟3.1.2 自由表面流动模拟3.2 有限体积法在传热问题中的应用3.2.1 对流传热3.2.2 辐射传热四、有限体积法在工程领域中的应用4.1 有限体积法在航空航天领域中的应用 4.2 有限体积法在汽车工程中的应用4.3 有限体积法在建筑工程中的应用五、有限体积法的发展趋势5.1 高性能计算技术对有限体积法的影响5.2 多物理场耦合对有限体积法的挑战5.3 人工智能在有限体积法中的应用六、结论一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是利用计算机模拟流体力学问题的一门学科。
它通过对流动流体的数值解，来研究流体在各种情况下的运动规律和性质。
1.2 计算流体力学的研究对象计算流体力学的研究对象包括流体的流动、传热、传质、振动等现象，以及与流体相关的各种工程问题，如飞机、汽车、建筑等的气动特性分析与设计。
1.3 计算流体力学的发展历史计算流体力学的发展可以追溯到20世纪50年代，当时计算机技术的进步为流体力学问题的数值模拟提供了可能。
随着计算机硬件和软件的不断发展，CFD的应用领域不断扩大，成为现代工程领域不可或缺的工具之一。
二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理有限体积法是求解流体动力学问题的数值方法之一，它基于质量、动量和能量守恒的控制方程，将求解域离散化为有限数量的体积单元，通过对控制方程进行积分，将方程转化为代数方程组。
对流扩散方程的特征有限体积两重网格算法与误差估计
有 限体 积 法 （ ｉｉ ｏｕ ｅＭ ｔｏｓ 是 求 解 偏 Ｆｎｔ Ｖ ｌｍ ｅ ｄ ） ｅ ｈ 微 分方程 的新 技术 ， １８ 被 提 出 ， 自 ９ ２年 至今 已获 得 很 大发展 ¨ ， 种 方 法 国 内也 被 称 为 广 义 差 分 法 引 这
ｓｍｐ ｉ ｅ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ｄ ｉ ｒ ｖ ｅ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ｆ ｃｅ ｃ ． ｉ ｌ ｙ ｔ ｏ ｕ ａｉｎ ａ ｍｐ ｅ ｔ ｏ ｕ ａｉｎ ｅ ｉ ｎ ｙ ｆ ｈ ｎ ｏ ｈ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄ ｍ ｎ ｔ ｄ ｄｆ ｓ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ； ｃ ａ ａ ｔｒｓ ｃ ｎ ｔ ｏｕ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｖ ｃｉ ｏ ｏ ｉ ａｅ － ｉ ｕ ｉ ｑ ａ ｉ ｏ ｏ ｈ ｒ ｃｅ ｔ ｓ ｆ ｉ ｖ ｌ ｍｅ ｍｅ ｄ；ｔ —ｒ ｉｉ ｉ ｅ ｈ ｗｏ ｇｉ ｄ
网格 △ 上的近似解 （ 。理论分析及数值例子的计算结果均表明， Ｈ＞ ） 在收敛阶保持 不变的情 况下 ， 算法既 可消除 非线性对 流 占优 扩散 问题 数值震 荡现 象 ， 可 简化 计算 ， 高计 算效 率。 此 又 提
关键 词 ： 对流 占优 扩散 方程 ； 特征 有 限体 积 法 ；两重 网格 算法 ； 差估 计 误
ｔｒｓｉ ｎ ｔ ｏｕ ｏｕ ｉｎ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｉ ｉ ｔ ｄ ．Ｔ ｏ ｌｎ ａｉ ｅ ｅ ｅ ｐ ｎ ｅ ｂ ｕｔｔ ｅ ｃ ｓ ｓ ｅｉｔｃ ｆ ｉｅ ｖ ｌ ｍｅ ｓ ｌ ｔ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｎ ｔ ｓｓｕ ｙ ｈｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｔ ｓａ ｘ ａ ｄ ｄ ａ ｏ ｏ ｘ ｅ ｉ ｏ ｈ ｉ ｒ ｈ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｏ ｏ ｖｎ ｏ ｌ ｅ ｒｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄｆ ｓｏ ｑ ａ ｏ ｓｒ ｃ ：Ｆ ｒｓ ｌｉ ｇ ａ ｎ ｎ ｉ ａ ｏ ｖ ｃｉ ｉ ｕ ｉｎ ｅ ｕ ｔ ｎ，ａｔ —ｒｄ ｍｅ ｈ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｃ ａ ａ — ｎ ｏ ｉ ｗｏ ｇ ｉ ｔ ｏ ａ ｅ ｎ ｔ ｈ ｒ ｃ ｈ
MATLAB语言在对流_扩散问题中的简单应用
2
A s ) <P + ( Dn A n +
2
A n ) <P - S P <P = ( Dw Aw +
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
Fw
2
Aw ) <W + ( De A e Fn
Fe
2
A e ) <E + ( Ds A s +
Fs
2
A s ) <S +
( DnA n -
2
A n ) <N + S u Fw
( 16)
Fe
( DwAw +
图1 网格划分
Fig11 Grid plotting
2
Aw ) <P + ( DeAe Fn
xi yi zi 4 结语
5 <) 5 <) 5 <) 5 <) - (Γ A ] + [ (Γ A - (Γ A ] 5x e 5x w 5x n 5x s ( 3) + SΔV
数即可完成 ,其编程是非常简单和快捷的 。
参考文献 :
[1 ] 卢佐潮 ,等 . 计算机辅助机械设计 [ M] . 广州 : 华南理工大学出版
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
2004 年第 6 期 MATLAB 语言在对流 — 扩散问题中的简单应用 — — — 黄家友 ,等 ・5 7 ・
有限体积法在二维稳态对流扩散方程中的稳定性分析
有限体积法在二维稳态对流扩散方程中的稳定性分析赵文娟;李春光;杨程【摘要】基于非饱和土壤水盐运移模型属于对流扩散方程,将有限体积法应用到求解二维稳态对流扩散问题中.模拟结果表明,采用该数值方法在细密网格下可计算得到高精度的数值解,在稀疏网格条件下数值解与精确值吻合较好且稳定性强.这说明采用有限体积法模拟计算二维对流扩散方程是可行的,并且可将该方法应用到求解非饱和土壤水盐运移模型中.【期刊名称】《安徽农业科学》【年(卷),期】2014(000)035【总页数】3页(P12413-12414,12417)【关键词】有限体积法;对流扩散方程;二维;水盐运移【作者】赵文娟;李春光;杨程【作者单位】宁夏大学土木与水利工程学院,宁夏银川750021;宁夏节水灌溉与水资源调控工程技术研究中心,宁夏银川750021;北方民族大学土木工程学院,宁夏银川750021;北方民族大学土木工程学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】S152.7随着计算机技术的提升，近几年土壤水盐运移模型的研究工作已从一维逐渐过渡到多维。
而求解这类模型的计算方法成为研究的重点。
传统有限差分法中常规离散格式会对土壤水盐运移方程中的扩散项产生较大的影响，使得离散后方程组系数矩阵极易呈现病态，计算结果呈现出不稳定的伪振荡现象［1］。
笔者利用有限体积法求解二维稳态对流扩散方程，通过数值模拟计算分析研究该数值方法的数学稳定性，为模拟计算土壤水盐运移过程提供前提条件。
1 有限体积法有限体积法［2］(Finite volume method)是将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并且使每个网格点周围有一个控制体积;将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。
积分方程中每项都有明确的物理意义，从而使得方程离散时，对各离散项给出一定的物理解释。
现就二维非饱和土壤水分运动方程为例，对其采用有限体积方法进行线性离散。
对式(1)在图1所示的控制体内积分，可得图1 网格节点控制体图由于全隐式格式可以在较大时间步长保持计算结果的稳定性［3］，采用全隐格式对扩散项进行时间上的积分，即按节点场内的变量重新整理，可得划分的网格节点构成的方程组再利用相应的迭代法进行计算求解。
非线性对流扩散问题特征-有限体积法及其误差估计
ｌ ｅ ｕ ｔ ｎ ． ｈ ｓ ｗｏ ｍｅｈ ｒ ｏ ｉ ｅ ｎ ｔ ｓ ａ ｅ ｏ ｆ ｍ ｕ ｌ ｄ ｓ ｅｅ ｈ ｃｅ ｉｔ — ｎ ｔ ｖ ｌ ｍｅ ｍｅｈ ｄ ｆ ａ ｑ ａ ｏ ｓ Ｔ ｅ ｅ ｔ ｔｏ ｓ ａ ｅ ｃ ｍｂ ｎ ｄ ｉ ｉ ｐ ｐ ｒｔ ｒ ａ ｆ ｌ ｉ ｒ ｔ ｃ ａａ ｔｒｓｉｓｆ ｉ ｏｕ ｔ ｏ ｒ ｉ ｄ ｈ ｏ ｙ ｃ ｒ ｃ ｉ ｅ ｏ ｎ ｎ ｉｅ ｏ ｖ ｃｉｎ ｄ ｍｉ ａｅ ｉ ｕ ｉｎ ｐ ｏ ｌｍ． ｙ ｄ ｍｉ ｄ ｔ ｅ ｒｔ ａ ｎ ｙ ｉ ， ｐ ｉ ｌ ｒ ｅ ｏ ｌ ａ ｃ ｎ ｅ ｔ ． ｏ ｎ ｔｄ ｄｆ ｓｏ ｒ ｂｅ Ｂ ｅ ｌ ｏｅ ｉｌ ａ ａ ｓｓ ｏ ｔ ｎｒ ｏ ｅ ｈ ｃ ｌ ｍａ ｏ ｄ ｒＨ ｎ ｒ ｅＴ ｒｅ ｔ ｔ ｓａ ｅ ｏ ｍ ｌｏ ｓｉ ｅ ｒ ｍａ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｌｎ ａ ；ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄ ｆ ｓ ｎ；ｃ ａ ａ ｔｒ ｔ ｓ ｉ ｉ ｏｕ ｌｍｅ ｔ ｒｏ ｓｉ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ：ｎ ｎ ｉｅ ｒ ｏ ｖ ｃｉ ｉ ｕ ｉ ｏ ｆ ｏ ｈ ｃｅ ｓｉ ；ｆ ｔ ｖ ｌ ｍｅ ｅｅ ｎ ；ｅ ｒ ｒｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｎｅ ｍａｅ
维普资讯
第２卷 ３
第２ 期
天
津
理
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大
学
学
报
Ｖｏ ． ３ Ｎ ． １２ ｏ ２ Ａｐ ． ０ ７ ｒ２ ０
扩散问题的有限体积法
流体仿真与应用
第七讲
扩散问题的有限体积法
◆稳态纯扩散
()0
=+ΓφφS grad div 0
)(=+Γ∫∫CV
CV
dV S dV grad div φφ0)(=+Γ•∫
∫
CV
A
dV S dA grad n φφG
▼控制容积的取法
方法A：一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点中间（先划分节点）
方法B：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（先划分控制容积）
◆方程离散的步骤
首先将微分方程在控制容积上进行积分，利用高斯定理把体
积分转化为控制容积边界界面上的面积分，然后通过对界面
上的参数的近似而得到最终的离散方程。
对界面上的有关参数的近似方法是确定最终离散格式的核心
◆方程的求解（举例）
在每个节点都建立上述离散（对于内部节点，并不需要在每个节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线
φ
性方程组。
求解该方程组即可得每个节点的值。
◆三维非稳态问题
不同情况下的控制容积各界面面积计算。
基于有限体积法处理分数阶对流扩散方程
分数阶扩散方程基于分数阶微积分提出的。在传统的整数阶微积 分中，我们知道某一点的导数值是由相近两点的函数值做差然后比上 间距取极限。这种方法求得的导数值具有局部性。也就是说，传统的整 数阶微积分具有局部性，仅仅与相邻两点有关系。而分数阶微积分则 与该点之前的所有点都有关系。在一些诸如不满足Fick第二定律的反 常扩散就可以用分数阶扩散方程很好的进行刻画。有限体积法，又称 为有限容积法，她是从物理量守恒这一基本要求出发的。其以守恒型 方程为出发点，通过对划分后的已知区域的子区域进行积分离散来构 造离散方程。
教研探索
基于有限体积法处理分数阶对流扩散方程
郭秀惠，左晨，杜茂啸
（中国石油大学(华东) 理学院，山东青岛 266000）
摘 要：建立了在一维空间中分数阶对流扩散方程的有限体积逼近格式。有限体积方法被证明是无条件稳定的，并且在时间步长和 空间方面具有二阶精度。同时，在计算时采用了快速算法，加快了计算效率。
参考文献： [1] Ervin, V.J, Heuer, N., Roop, J.P.Regularity of the solution to 1-d fractional order diffusion equations. [2] Diethelm,K., Ford, N.J.: Numerical analysis for distributed-order differential equations. J Comput. Appl.Math. 2009(225):96–104. [3] del-Castillo-Negrete, D., Carreras, B.A., Lynch, V.E.: Fractional diffusion in plasma turbulence. Phys.Plasmas 2004(11):3854. [4] Zheng X.C.Liu H., Wang H., Fu H.F. An Efficient Finite Volume Method for Nonlinear Distributed-Order Space-Fractional Diffusion Equations in Three Space Dimensions[J]. Journal of Scientific Computing,2019(3):1395-1418. [5] 张俊俊，张隽 . 非线性对流扩散方程的守恒律 [J]. 纯粹数学与应用数学， 2016（3）：68. [6] 陆俊卿，张小峰 . 一种计算二维对流扩散方程的数值格式 [J]. 水利水运 工程学报，2005（1）：36.
有限体积法()ppt课件
*1980年Patankar教授的名著“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”出版。
这本书内容精炼，说理透彻，注重物理概念的阐述，深 受全世界数值传热的研究者与使用者的欢迎。出版后 不久，被相继译成俄文、日文、波兰文及中文等，成 为数值传热学领域中的一本经典著作
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精选ppt
非结构网格在有限体积法中的应用
●非结构网格最早用于FEM； ●但题水流使流体得（流基如动于浅是F水E高流M度动的非，非线水结性波构问运网题动格，等技而）术且计未F算E能M 上在得计对到算流重量问视较题；大为，主这的些地面问 ●八了十广年泛代的以发来展，和基应于用F；VM 的非结构网格技术在空气动力学得到 ●九十年代开始一些专家学者根据浅水流动特征，将这些算法引
4
精选ppt
发展情况
1980年，S.V.Patanker在其专著《Numericacl Heat Transfer and Fluid Flow》中对有限体积 法作了全面的阐述。
此后，该方法得到了广泛应用，是目前CFD 应用最广的一种方法。
FLUENT、PHOENIX等软件都基于有限体积 法
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精选ppt
解:
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精选ppt
对中间节点2,3,4:
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精选ppt
边界节点1:
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精选ppt
整理得到:
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精选ppt
边界节点5:
整理得到:
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精选ppt
工况1
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精选ppt
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精选ppt
工况2
改进办法:需要增加网格数
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精选ppt
工况3
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精选ppt
差分格式问题
有限体积法1
J e = Fe φ P + [D e A ( Pe ) + max(− Fe ,0)] (φ P − φ E ) J w = Fw φP + [Dw A ( Pw ) + max(Fw ,0)] (φW − φP )
其中
De=Γe/(δx)e， 函数
A( P ) =
Dw=Γw/(δx)w
P exp( P ) − 1
等
= (ρu )e (φP + φE ) / 2 + (Γ δx )e (φP − φE )
问题：流速较大时计算结果出现假振。 u、Γ为常数，且 S = 0 时，恒定问题有解析解，在区 间[ xP，xE ]上
exp [Pe x (δ x )e ] φ − φP = exp (Pe ) − 1 φE − φP
∂ ∂ρφ ∂ (ρu j φ) = + ∂x j ∂x j ∂t ∂φ Γ ∂x j +S
例 1：当物理量为流体自身质量时，φ=1，Γ= 0,S = 0（不 存在质量源项时） ，得到连续性方程
∂ρ ∂ (ρu j ) + =0 ∂t ∂x j
4
例 2：物理量为不可压缩流体的动量， 在 xi 方向上φ=ui，Γ=μ，源项 S = ρg i − 得到 Navier-Stokes 方程
(不可压缩流体ρP0 =ρ = 常数；恒定问题，aP0 = 0。)
22
2．边界条件的处理 出、入流边界（有法向流速分量） ， 固体边界和没有法向流速分量的水域边界， 等。
23
(1)
入流边界的φ值应该给定。
φB = φ
作为边界点 B 点的方程。 (2) 出流边界结点:可以同内部结点一样建立离散方程， 而不必特地给定边界条件。
一类对流-扩散方程源项反问题的数值解法
一类对流-扩散方程源项反问题的数值解法
一类对流-扩散方程源项反问题是指求解一类对流-
扩散方程的源项，即求解源项函数$f(x,t)$，使得方程
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(u\cdot
f(x,t))=0$$
的解满足给定的初始条件和边界条件。
解决一类对流-
扩散方程源项反问题的数值解法主要有以下几种：
（1）有限差分法：有限差分法是一种基于差分格式的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
（2）有限元法：有限元法是一种基于有限元的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
（3）有限体积法：有限体积法是一种基于有限体积的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
（4）有限元素法：有限元素法是一种基于有限元素的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
（5）积分变换法：积分变换法是一种基于积分变换的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
一类半线性对流扩散问题特征-有限体积法H 1模误差估计
（ｃ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｎ ｎ ａ Ｕ ｉｅｓ ｙ Ｔ ａ ｊ ０ ０ １ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｈ ｍａｉ ， ａ ｋ ｉ ｎｖ ｒ ｔ， ｉ ｉ ３０ ７ ） Ｍａ ｃ ｉ ｎｎ
Ａ ｂｓ ｒ ｔ Ｔｈ ｎｉｅ ｖ ｌ ｍｅ ｍｅ ｈｏ ｎ ｔ ｅ ｍ ｅ ｈｏ ｆ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓ ａ ｅ ｔ ｔ ａｃ ｅ ｆ ｔ ｏ ｕ ｔ ｄ ａ ｄ ｈ ｔ ｄ ｏ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｒ ｗｏ ｉ ｉ ｍｐｏ ｔ ｎｔｍｅ ｈｏ ｏ ｏ ｖ ｎｇ ｔ ｒ ｔａ ｉ ｅ ｅ ｔａ ｑｕ ｔｏ ．Ｔｈｅ ｅ ｔ ｔ ｒ ａ ｔ ｄｓｆ ｒｓ ｌ ｉ ｈｅｐａ ｉｌｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ａ ｉ ｎｓ ｓ ｗｏ ｍｅ ｈ・ ｏ ｅｃ ｍｂ ｎ ｄ ｉ ｈ ｓｐ ｐｅ ｏ ｆ ｒ ａ ｆ ｌｙ ｄｉｃ ｅ ｅ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓｆｎ ｔ ｏ ｕ ｅ ｄｓａ ｏ ｉ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｒｔ ｍ ｕ ｌ ｓ ｒ ｔ ｈ ｃ ｅ ｉｔｃ ・ ｉｅｖ ｌ ｍ ｒ ｏ ｒ ｉ ｍ ｅ ｈｏ ｒ ａ ｃａ ｓｏ ｅ －ｉ ｅ ｏ ｖ ｃ ｉ ｎ ｄ ｆ ｉｎ ｒ ｂｌｍ ．Ｂｙ ｄ ｔ ｉ ｄ ｔ ｅ － ｔ ｄ ｆ ｌｓ ｆｓ ｍｉｌｎ ａ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｉ ｕｓｏ ｐ ｏ ｅ ｏ ｒ ｅ ａｌ ｈ ｏ ｅ ｒ ｔｃ ｌａ ａ ｙ ｉ，ｏ ｉ ａ ｒ ｒ Ｈ ｎ ｒ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｓａ ｅ ｏ ａｎｅ ｂ ｔ ｅ ｔ ｅ ｉａ ｎ ｌ ｓｓ ｐｔｍ ｌｏ ｄｅ ｏ ｍ ｒｏｒｅ ｔｍａ ｅ ｂｔ ｒ ｉ ｄ ｅ ｗｅ ｎ ｈｅ ｅ ｃ ｔ ｓ ｌ ｔｏ ｆ ｔ ｅ ｏ ｉｉ ｌｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｒ ｂｌｍ ｄ ｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｆ ｔ ｓ ｕｌ ｘａ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｈ ｒｇｎａ ｉ ｒ ｎ ｉ ｌｐ ｏ ｅ ａ ｈ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ｅ ｆ ｌ ｎ ｙ ｄ ｓ ｒ ｔ ｃ ｅ ｓ ｉｃ ｅ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ． Ｋ ｅ ｗｏｒ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｆｕｓｏ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓ ｆｎ ｔ ｏ ｕ ｌ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｒｅ ｏ ｙ ｄｓ ｏ ｖ ｃ ｉ ｎ ｄｉ ｉ ｎ， ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ， ｉｅ ｖ ｌ ｍｅ ｅｅ ｎ ， ｒ ｏ ｓ ｉ
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流体仿真与应用
第八讲
对流-扩散问题的有限体积法
◆一维无源项的稳态对流-扩散
◆流动过程同时必须满足连续性方程
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛Γ=dx d dx d u dx d φρφ()0=u dx
d ρ
◆中心差分格式（例子）
◆离散格式的性质
在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。
在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。
通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。
然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。
因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。
主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。
◆离散格式的性质——守恒性
满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。
◆离散格式的性质——迁移性
x
u D F Pe δρ/Γ=
=在对流-扩散问题中，引入一个控制容积的Peclet 数，它表征对流与扩散的相对大小
◆离散格式的性质——迁移性
③当Pe 为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。
随着Pe 的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。
① ，即纯扩散，无对流。
②
，即纯对流，无扩散。
0=Pe ∞=Pe
◆迎风格式
迎风格式（Upw ind Differencing Scheme ）在确定控制容积界面上
的
值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的
值，称之为第二类迎风格式。
中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上 的值取相邻上、下游节点的平均值。
当对流作用较强时，这样的处理就与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。
φφφ
◆迎风格式
◆迎风格式
在控制容积界面上对流项的取其 上游节点处的值
E
W →φW
w φφ=P
e φφ=()()
W P w P E e W w P e D D F F φφφφφφ---=-()()[]()E
e W w w P w e e w w D F D F F D F D φφφ++=-+++W
E →P
w φφ=E
e φφ=()()[]()E
e e W w P w e e e w F D D F F F D D φφφ-+=-+-+
◆迎风格式
通用形式
W
W E E P P a a a φφφ+=()
w e E W P F F a a a -++=E
W →w
w W F D a +=e
E D a =W E →w W D a =e
e E F D a -=
◆迎风格式的特点
迎风格式满足守恒性。
离散方程的系数均为正，满足有界性条件，同时也满足迁移性要求。
因此，它能够取得比较好的解。
其主要缺点是精度较低，为一阶截断误差格式。
当流动方向和网格线不一致时计算误差较大，此时它的解类似于扩散问题，因而被称为伪扩散。
◆混合格式
中心差分格式精度较高，但不具有迁移性。
迎风格式满足离散方程的3个性质要求，但精度较低。
Spalding （1972）把这2种格式结合起来，提出了混合格式（Hybrid Differencing Scheme ）：
在
时应用具有二阶精度的中心差分格式，在
时应用迎风格式。
2<Pe 2≥Pe
◆混合格式的特点
混合格式兼具中心差分格式和迎风差分格式的优点，具
有守恒性、有界性和迁移性。
其缺点是按Taylor级数展开后截断误差为一阶，精度不高。
◆幂指数格式
Patankar （1981）提出了一种幂指数格式（Pow er-law Differencing Scheme ）对一维问题，它比混合格式精度高。
扩散项取0
10>Pe 10
0<<Pe 用一个多项式计算穿过控制容积界面的通
量，如左侧单位面积的净通量计算 ()[]W P w W w w F q φφβφ-+=10
0<<Pe ()w w w Pe Pe /1.015
-=βW w w F q φ=10
>Pe
◆对流-扩散问题的高阶差分格式——QUICK 格式
QUICK （Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics ）格式，它采用了上游三点加权的二次插值来计算控制界面容积界面上的
值，即界面上的 值由界面两侧的2个节点及其上游的另一个节点的二次插值来计算。
对于均匀网格，节点i 和i-1之间的界面处（记作i-1/2）的值可按下式计算
φφ212/18
18386----+=i i i i φφφφ
◆QUICK格式的特点
QUICK格式满足守恒性，因为它在计算控制容积界面上的值都采用了相同形式的二次插值表达式。
它的Taylor级数截断误差具有三阶精度。
此外，满足迁移性和有界性的充分条件。
对于有界性的必要条件它有条件地满足
由于QUICK格式涉及4个相邻节点，因此它离散后的线性方程组的
系数矩阵不是三角阵，TDM A算法不能应用。
◆QUICK 格式改进
它满足守恒性、迁移性和有界性。
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=W d c c
P u c c u E d c c P d c d e S S S S S S S S S S S S S φφθφφθφ211
=θ0
=θ8
/1=θ中心差分 二阶迎风格式 标准QUICK 格式。