三角形的四心及性质PPT课件

解：∵O是△ABC的重心，
∴AO∶OD=2∶1
∴S△AOB∶S△BOD=2∶1 即S△AOB=2 S△BOD=10 ∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15 又AD是△ABC的中线
S =2 S =30。 .
4
二.内心
定义：三角形内切圆的圆心就是三角形的 内心，也是三角形角平线的交点。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FE. B=∠FCB
11
.
12
.
13
三角形的四心 及性质
.
1
一.重心
定义：三角形三边中线的交点！ 性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边
中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个
三角形面积相等。即重心到三条边的 距离与三条边的长成反比。
.
2
2.三角形重心性质定理的应用
⑴求线段长
例1 如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜 边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心GE⊥AC于点E， 若BC=6cm，则GE= cm。
性质：1. 三角形的内心到三边的距离相等， 等于内切圆的半径。
.
5
.
6
.
7
三、外心
定义：三角形外接圆的圆心，也是三角形 三边中垂线的交点。
性质：1、外心到三角形各个顶点的距离相 等。
2、锐角三角形的外心在三角形内；直角 三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重 合；钝角三角形的外心在三角形外。
解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6
∴AB=BC=12，D是斜边AB的中点，
∴CD= AB=6
G是Rt△ABC的重心，∴CG= CD=4
由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°
Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，
∴GE= CG=2（cm）
.
3
⑵求面积
例2 在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若 △BOD的面积等于5，求△ABC的面积。
.
8
.Βιβλιοθήκη Baidu
9
.
10
四、垂心
定义：三角形三边高线的交点。
三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证： 它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE 于点E，CF^AB于点F，且 BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。 现在我们只要证明AD^BC即可。
因为CF^AB，BE
所以 四边形BFEC为圆内接四边形。