三角形的四心及性质PPT课件
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《三角形的四心》课件
三角形的中线和垂线
中线
探讨三角形中线的定义和 性质。
垂线
探索三角形垂线的概念以 及与三角形边的关系。
垂线定理
研究垂心以及和垂线定理 的应用。
三角形的重心和质心
1
重心
了解三角形的重心是如何定义的，并探索其性质。
2
质心
讨论质心和质心定理在实际问题中的应用。
3
重心与重心定理
研究重心与重心定理对三角形的性质的关系。
1角平分线的应用2源自讨论角平分线在实际问题中的应用。
3
定理介绍
了解角平分线定理的表述及其重要 性。
常见三角形中心位置关系
探索内心、外心、重心、垂心在三 角形中的相对位置关系。
勾股定理与三角形
勾股定理
学习勾股定理的表述和证明方法。
勾股定理的应用
探讨勾股定理在解决实际问题中的应用。
闵可夫斯基不等式
介绍闵可夫斯基不等式，了解其应用和重要性。
带权重心的应用
1 带权重心的定义
研究带权重心的概念及其性质。
2 带权重心的应用
探索带权重心在解决实际问题中的应用。
三角形的性质及应用
三角形的性质
总结三角形的各种性质 和特点。
三角形的应用
讨论三角形在几何学和 实际生活中的广泛应用。
例题和练习
通过例题和练习来巩固 学习的知识。
总结和展望
回顾三角形的各个重要概念和定理，展望将来继续研究和探索三角形的更多 奥秘。
三角形的外心及外心定理
外心的定义
介绍三角形的外心及其相关 定理。
外心定理
了解外心定理在三角形中的 应用。
外心与周长关系
探索外心与三角形周长的关 联。
《三角形的四心》课件
三角形的四心定理
三角形的四心定理是指三角形四心之 间的关系定理，它是几何学中的重要 定理之一。
三角形的重心、垂心和内心之间的关 系定理是GAI定理，即重心到顶点的 距离等于2倍的垂心到对边的距离。
三角形的内心和外心之间的距离等于 三角形半周长乘以tan(A/2)和 tan(B/2)的几何平均值，其中A和B是 三角形的两个内角。
内心到三角形三个角的距离相等，且等于内切圆半径。
内心与三角形高的关系
内心到三角形三条高的距离相等，且等于内切圆半径。
内心定理
内心定理
三角形的内心到三角形三边的距离相 等，且等于内切圆半径。
应用
利用内心定理可以求出三角形的面积 ，也可以求出三角形的周长和内切圆 半径。
Part
05
三角形的外心
外心定义
01
三角形外心是三角形外接圆的圆 心，也是三角形三边的垂直平分 线的交点。
02
外心到三角形三个顶点的距离相 等，即外接圆的半径。
外心性质
STEP 01
STEP 02
STEP 03
外心到三角形三个垂足的 距离相等。
外心到三角形三边的垂直 平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的 距离相等。
外心定理
外心定理
三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点。
外心定理的应用
利用外心到三角形三个顶点的距离相等，可以解决与三角形外接圆相关的问题。
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重心定理
重心定理
三角形的三条中线交于一点，该 点为三角形的重心，且重心到顶 点的距离是中线长度的一半。
应用
利用重心定理可以快速找到三角 形的重心，并利用重心性质解决 一些几何问题。
三角形四心的简单性质课件-2023年初升高衔接-
与内切圆半径之比为 2:1
2.边长为3,4,5的三角形外 接圆半径与内切圆半径之
比为 5:2
四、垂心： 三角形的三条高所在直线相交于一点，该 点称为三角形的垂心 .
锐角三角形的垂心一定在三角形的内部， 直角三角形的垂心为他的直角顶点， 钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图）
巩固训练：
13
2 13
4
小结： 三角形的“四心” 及简单性质
1.三角形的三条中线相交于一点， 这个交点称为三 角形的重心。
2.三角形的三条内角平分线相交于一点，叫做三角形 的内心，即内切圆圆心。
3.三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心，即外 接圆的圆心。
4.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三 角形的垂心。
作业
巩固练习：
你们推导出更简单的直角三角形内切圆的半径计算公式吗？
a
c
b
r abc 2
D
三、外心
三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心，即 外接圆的圆心,它到三个顶点的距离相等.
锐角三角形的外心在三角形内， 直角三角形的外心是斜边的中点， 钝角三角形的外心在三角形外。
外心的性质：(如图)
巩固练习： 1.等边三角形的外接圆半径
O
AG AE 2 AG : DG 2 :1
AD AH 3
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
G
SGAB SGBC SGAC
怎样 证明？
巩固练习：
二、内心：
三角形的三条内角平分线相交于一点，叫做三角 形的内心， 即内切圆圆心。
三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的 三边的距离相等.
重心简单性质
1.三角形的重心在三角形的内部，恰好是 每条中线的三等分点.
2.边长为3,4,5的三角形外 接圆半径与内切圆半径之
比为 5:2
四、垂心： 三角形的三条高所在直线相交于一点，该 点称为三角形的垂心 .
锐角三角形的垂心一定在三角形的内部， 直角三角形的垂心为他的直角顶点， 钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图）
巩固训练：
13
2 13
4
小结： 三角形的“四心” 及简单性质
1.三角形的三条中线相交于一点， 这个交点称为三 角形的重心。
2.三角形的三条内角平分线相交于一点，叫做三角形 的内心，即内切圆圆心。
3.三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心，即外 接圆的圆心。
4.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三 角形的垂心。
作业
巩固练习：
你们推导出更简单的直角三角形内切圆的半径计算公式吗？
a
c
b
r abc 2
D
三、外心
三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心，即 外接圆的圆心,它到三个顶点的距离相等.
锐角三角形的外心在三角形内， 直角三角形的外心是斜边的中点， 钝角三角形的外心在三角形外。
外心的性质：(如图)
巩固练习： 1.等边三角形的外接圆半径
O
AG AE 2 AG : DG 2 :1
AD AH 3
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
G
SGAB SGBC SGAC
怎样 证明？
巩固练习：
二、内心：
三角形的三条内角平分线相交于一点，叫做三角 形的内心， 即内切圆圆心。
三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的 三边的距离相等.
重心简单性质
1.三角形的重心在三角形的内部，恰好是 每条中线的三等分点.
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(四大题型)(课件)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
5
又 = 12 + 2 = 3，∴ = 9 ，
1
2
5
9
5
9
∵ = + = + ，∴ = = +
5
5
5
∴ + = 9 + 18 = 6．
5
，∴
18
5
5
= ， = 18，
9
典型例题
题型三：外心定理
【典例3-1】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知点 O是△ABC的外心，AB＝4，AC
2
1
则 × 4 × = × 6 × 4 × 2 + 16 ，得3 + 4 = 2②，
4
1
4
1
11
①②联立解得 = 9， = 6，所以 + = 9 + 6 = 18．故选：C．
典型例题
题型三：外心定理
【变式3-1】（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点 O是△ABC
，
+ ��
sin
= || ( + ) = 2|| ，
所以点在三角形的中线 上，则动点P的轨迹一定经过△ 的重心．故选：D．
典型例题
题型二：内心定理
【典例2-1】（2024·高一课时练习）已知点O是边长为 6的等边△ABC的内心，
则 + ⋅ + ＝
1
2
1
1
1
+ 3 ⋅ = 2 ⋅ + 3 2 = 30；
所以 2 = 45，由 = 30 2可得 = 2 10，即2 = 40；
三角形的“四心”课件-2025届高三数学一轮复习
⋅ = + ⋅ ⇒ = − ， ①
同理,由 ⋅ = + ⋅ ⇒ = − + , ②
联立①②以及 = = 即可解得
+ = = ×
故答案为
−
.
−
=
−
（2） OA
2
+ BC
2
= OB
（3）若动点P满足AP = λ
2
+ CA
2
AB
AB cos B
2
2
= OC + AB ；
+
AC
AC cos C
λ ∈ 0, +∞ ，则动点P经过三角形的垂心.
或OP = OA + λ
AB
AB cos B
+
AC
AC cos C
,
3.设P是△ ABC的内心，则有以下结论:
（1） AB PC + BC PA + CA PB = （或aPA + bPB + cPC = ），其中a,b,c分别
是△ ABC的三边BC，AC，AB的长；
（2）若动点P满足AP = λ
AB
AB
+
AC
AC
或OP = OA + λ
AB
AB
+
AC
AC
,λ ∈ 0, +∞ ，则动
点P经过三角形的内心.
故选B.
题型四 垂心问题
例4（1） 已知△ ABC的外接圆的圆心是M，若PA + PB + PC = 2PM，则P是△ ABC
的( D )
A.内心
同理,由 ⋅ = + ⋅ ⇒ = − + , ②
联立①②以及 = = 即可解得
+ = = ×
故答案为
−
.
−
=
−
（2） OA
2
+ BC
2
= OB
（3）若动点P满足AP = λ
2
+ CA
2
AB
AB cos B
2
2
= OC + AB ；
+
AC
AC cos C
λ ∈ 0, +∞ ，则动点P经过三角形的垂心.
或OP = OA + λ
AB
AB cos B
+
AC
AC cos C
,
3.设P是△ ABC的内心，则有以下结论:
（1） AB PC + BC PA + CA PB = （或aPA + bPB + cPC = ），其中a,b,c分别
是△ ABC的三边BC，AC，AB的长；
（2）若动点P满足AP = λ
AB
AB
+
AC
AC
或OP = OA + λ
AB
AB
+
AC
AC
,λ ∈ 0, +∞ ，则动
点P经过三角形的内心.
故选B.
题型四 垂心问题
例4（1） 已知△ ABC的外接圆的圆心是M，若PA + PB + PC = 2PM，则P是△ ABC
的( D )
A.内心
数学竞赛辅导三角形的五心ppt课件
△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心. 证明OE丄CD.
17
Example seven
18
Proof one
19
Proof one
五点共圆
20
Second try
21
Example eight
22
Example eight
23
Example nine
24
25
（2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三 角形的垂心；
（3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理
14
15
16
Example six
Exercise one
26
Exercise ten
27
A
M
F
E
K I
DH
C
8
9
四、重心的性质
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心
三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2
空间直角坐标系：
横坐标：(X1+X2+X3)/3
B
纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3
竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
A
F G
DE C10 Nhomakorabea1五、旁心的性质
数学竞赛辅导
三角形的五心
1
Preview one
2
一、外心的性质
A
O
B
C
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． ∠BOC=2∠BAC 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心) 欧拉线
17
Example seven
18
Proof one
19
Proof one
五点共圆
20
Second try
21
Example eight
22
Example eight
23
Example nine
24
25
（2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三 角形的垂心；
（3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理
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Example six
Exercise one
26
Exercise ten
27
A
M
F
E
K I
DH
C
8
9
四、重心的性质
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心
三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2
空间直角坐标系：
横坐标：(X1+X2+X3)/3
B
纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3
竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
A
F G
DE C10 Nhomakorabea1五、旁心的性质
数学竞赛辅导
三角形的五心
1
Preview one
2
一、外心的性质
A
O
B
C
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． ∠BOC=2∠BAC 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心) 欧拉线
三角形的四心及其简单性质ppt课件
1
三角形的“四心”及简单性质
精选版课件ppt
二一、、内外心心
定理：三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点是三角
形的外接圆的圆心，简称2 外心
A
如图，O为△ABC的外心
性质：(1) 外心到三个顶点的距离相等 (2) 锐角△的外心在三角形的内部 直角△的外心在斜边的中点处 钝角△的外心在三角形的外部
ID=IE=IF
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二三、、内垂心心
定理：三角形的三条高线必交于一点，这个点叫做三角形
的垂心
4
如图，H为△ABC的垂心
性质：(1) 垂心与顶点的连线垂直于对边 (2) 垂心分每条高的两部 分乘积相等
AH⊥BC，BH ⊥ AC,CH ⊥ AB
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二四、、内重心心
定理：三角形的三边中线必交于一点，这个点叫做三角形
O C
B
OA=OB=OC
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二二、、内内心心
定理：三角形的内角的角平分线必交于一点，这个点是三角 形的内切圆的圆心，简称3 内心
如图，I为△ABC的内心
性质：(1) 内心到三条边的距离相等
(2) 内心一定在三角形的内部
(3) 在Rt△中，内心到边的距 离等于两直角边的和与斜边的 差的一半
的心
A
性质：(1) 重心到顶点的距离与到对边 中点的距离之比为2:1
(2) 重心的坐标是三个顶点的坐 标的算术平均数
(3) 以重心为起点，以三顶点为 终点的三个向量之和等于零 向量
F G
E
B
D
C
AG BG CG 2 GD GE GF
G( xA xB xC , yA yB yC )
精选版课件ppt
三角形的“四心”及简单性质
精选版课件ppt
二一、、内外心心
定理：三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点是三角
形的外接圆的圆心，简称2 外心
A
如图，O为△ABC的外心
性质：(1) 外心到三个顶点的距离相等 (2) 锐角△的外心在三角形的内部 直角△的外心在斜边的中点处 钝角△的外心在三角形的外部
ID=IE=IF
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二三、、内垂心心
定理：三角形的三条高线必交于一点，这个点叫做三角形
的垂心
4
如图，H为△ABC的垂心
性质：(1) 垂心与顶点的连线垂直于对边 (2) 垂心分每条高的两部 分乘积相等
AH⊥BC，BH ⊥ AC,CH ⊥ AB
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二四、、内重心心
定理：三角形的三边中线必交于一点，这个点叫做三角形
O C
B
OA=OB=OC
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二二、、内内心心
定理：三角形的内角的角平分线必交于一点，这个点是三角 形的内切圆的圆心，简称3 内心
如图，I为△ABC的内心
性质：(1) 内心到三条边的距离相等
(2) 内心一定在三角形的内部
(3) 在Rt△中，内心到边的距 离等于两直角边的和与斜边的 差的一半
的心
A
性质：(1) 重心到顶点的距离与到对边 中点的距离之比为2:1
(2) 重心的坐标是三个顶点的坐 标的算术平均数
(3) 以重心为起点，以三顶点为 终点的三个向量之和等于零 向量
F G
E
B
D
C
AG BG CG 2 GD GE GF
G( xA xB xC , yA yB yC )
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三角形的四心
2、垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线 垂直于对边．
在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则
3、内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内 切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．
在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有
ห้องสมุดไป่ตู้
A E
B
D
C
4、外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形 外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．
三角形“四心”的概念与性质
1、重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到 对边中点距离之比为2∶1.
（1）在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是 △ABC的重心时，
（2）在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三 个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
AB CA
BA CB
CA BC
则O为三角形ABC的 心.
（3）设点O在三角形ABC的内部，且
OA 2OB 3OC 0, 则 SABC : SAOC
.
在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则
例6 （1）若点O为三角形ABC所在平面内的 一定点，P是面ABC呢一动点，若
(PB PC) (OB OC) (PC PA) (OA OC) 0
则O为三角形ABC的 心.
（2）三个不共线的向量OA,OB,OC 满足
OA ( AB CA ) OB ( BA CB ) OC ( CA BC ) 0,
三角形的四心（重心，垂心，外心，内心）轨迹
三⾓形的四⼼（重⼼，垂⼼，外⼼，内⼼）轨迹四⼼定义
·重⼼
三⾓形的重⼼是指三⾓形三条中线的交点。
三⾓形重⼼定义
·垂⼼
三⾓形垂⼼是指三⾓形的三条⾼或其延长线的交点。
三⾓形垂⼼定义
·外⼼
三⾓形外⼼是指三⾓形三条垂直平分线（中垂线）的交点，也是外接圆的圆⼼。
三⾓形外⼼定义
·内⼼
三⾓形内⼼是指三个内⾓的⾓平分线的交点，也是内接圆的圆⼼。
三⾓形内⼼定义
动点做直线运动时的四⼼轨迹
·重⼼
重⼼轨迹之动点直线运动
·垂⼼
垂⼼轨迹之动点直线运动
·外⼼
外⼼轨迹之动点直线运动
·内⼼
内⼼轨迹之动点直线运动
动点做圆周运动时的四⼼轨迹
·重⼼
重⼼轨迹之动点圆周运动
·垂⼼
垂⼼轨迹之动点圆周运动
·外⼼
外⼼轨迹之动点圆周运动
·内⼼
内⼼轨迹之动点圆周运动
欧拉线
感兴趣的朋友可以⾃⾏证得垂⼼-重⼼-外⼼三点共线，⽽且当三⾓形为等腰三⾓形时，内⼼也共线。
此线称为欧拉线。
三⼼共线之欧拉线。
平面几何(3)三角形的四心
平面几何（3）三角形的四心上期回顾说明本文中的定理性质内容较多，后续会给出证明，当然笔者遇到有趣的性质也会随时补充一、内心内心（Incenter），三角形三条内角角平分线的交点叫三角形的内心，即内切圆的圆心。
2.如何证明三角形的三条平分线相交于一点？三角形的内心I过I作三边的垂线分别交于A',B',C'.由角平分线性质可知：IA'=IB'=IC'(斯霍腾定理)，易证 IC'\bot AB,IB'\bot AC,IA'\bot BC .综上所述易得I为内切圆的圆心1.三角形的三个角的平分线相交于一点，这一点就是三角形的心。
2、三角形的内心与三角形位置关系：现有AI交BC于点D；BI交CA于点E；CI交AB于点F,三角形内接圆分别交BC,CA,AB于X,Y,Z。
（1） IX=IY=IZ（2） \frac{BD}{CD}=\frac{b}{c} (角平分线定理)（3） \frac{BX}{CX}=\frac{p-b}{p-c} ,其中 p=\frac{a+b+c}{2} 为半周长（4）\color{Blue}{AI:BI:CI=\frac{1}{sin\frac{A}{2}}:\frac{1 }{sin\frac{B}{2}}:\frac{1}{sin\frac{C}{2}}}（5） \color{Blue}{S_\Delta IBC:S_\Delta ICA:S_\Delta IAB=a:b:c}3、 r=\frac{p}{3}4、若C=90°，则 r=\frac{a+b-c}25、对于4、有更普遍的结论\color{Blue}{ r=\frac{tan\frac A2 (b+c-a)}2}6、（O是平面ABC上任意一点） O是\Delta ABC的内心\Leftrightarrow \color{Blue}{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} }7. (点O是平面ABC上任意一点)点O是△ABC内心\Leftrightarrow \overrightarrow{OI}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrig htarrow{OC}}{a+b+c}8、 I_x=\frac{A_x+B_x+C_x}{3},I_y=\frac{A_y+B_y+C_y}{3}9、(欧拉定理) \bigtriangleup ABC中,R,r分别为外接圆\odot O半径和内接圆\odot I半径 ,则\color{Blue}{OI^2=R^2-2Rr}二、外心外心定义：指三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
三角形的四心
谢谢观看
欧拉线
证法1
证法2
证法3
作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC ∵ CH⊥AB，AH⊥BC ∴ DA‖CH，DC‖AH ∴四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点，O是BD的中点 ∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3 5.重心和三角形任意一顶点的连线所在直线将三角形面积平分。 6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF， ∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又 GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
三角形的四心
平面几何术语
目录
01 三角形的外心
03 三角形的内心
02 外心性质 04 三角形的垂心
目录
05 三角形的重心
07 欧拉线
《角形“四心”》课件
垂心
垂心是指，三角形三边上到对边的垂线所交的点。
外心
外心是指，三角形三边上垂直平分线的交点。
内心
内心是指，三角形三边的角平分线交点的中心。
应用实例
1
垂心应用实例
2
垂心可用于寻找三角形中垂线的交点，
例如用于计算平面图形的重心与外接
圆心。
3
内心应用实例4Fra bibliotek内心可用于计算圆的切线，例如在光 学设计中计算镜片的曲率半径。
重心应用实例
平面图形的重心可用于计算平衡点， 例如建筑物、船只和挂钟的平衡点。
外心应用实例
外心可用于构建外接圆，例如建筑工 地上随处可见的塔吊。
总结
角形“四心”的共同特点
四心的位置均能够在三角形形心轴线上。
角形“四心”的应用价值
在工程设计、数学研究、航空制造、计算机图形学等领域具有重要应用。
未来角形研究的发展方向
《角形“四心”》PPT课件
本课件旨在介绍不同分类的角形和其四心，以及它们在几何学中的应用实例。
介绍角形
定义
角形是指由三条线段围成的图形，其中每条线段都与后面的线段有一个交点。
分类
根据角的大小和性质，角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
常见的四心
重心
平面图形的重心是指，该图形中所有小块的质心 所形成的线段的交点。
深入研究四心的变形性质和不对称分布，以及应用四心求解几何问题的方法。
参考文献
• 《数学之美》——吴军 • 《初等几何选讲》——康钊良 • Wikipedia: Triangle Centers
高考复习三角形的四心重心内心外心垂心PPT课件
OE
C
OD与OE共线且2|OD || OE |, SCOE 2SCOD ,
SAOC
2SCOE
2
2 3
SCDE
2
2 3
1 4
SABC
1 3
SABC
第22页/共25页
思考: 如图，设点O在 ABC 内部，且有OA 2OB 3OC 0,
则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比为_____3______．
例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
另证: 连结EF,则EF为ABC的中位线,EF//BC, 且EF:BC=1:2,由平行线分线段成比例
得 FG:GC=1:2,同样可得 EG:GB=1:2, DG:GA=1:2. A
F E
G
B
D
C
第13页/共25页
重心
四、内心
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
| AB | cos B | AC | cosC
则P的轨迹一定通过△ABC的 _______
解: ∵ BC ( AB AC ) BC AB BC AC
| AB | cos B | AC | cosC | AB | cos B | AC | cosC
| BC | | AB | cos( B) | BC | | AC | cosC | BC | | BC | 0
垂心
同理可得O在CB边的高线上.
5. P是△ABC所在平面上一点，若
PA PB PB PC PC PA, 则P是△ABC的（ D ）
A．外心 B．内心 第C8．页/重共2心5页 D．垂心
三、重心
三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
9三角形四心问题课件-江苏省宝应县氾水高级中学2021年初高中衔接数学
一定位于三角形外部。
对旁心不作要求，理解即可！
课堂检测
3、关于三角形的“四心”的补充说明
(1)等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一，
因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、
垂心 H 必然在一条直线上；
(2)正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、
重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心。
且相似比为 1：2， AG 2GD, BG 2GE .
设 AD、CF 交于点 G ' ，同理可得，
AG ' 2G ' D，CG ' 2G ' F 则 G 与 G ' 重合，
AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2 :1
数学应用
例 2、求证：三角形的三条高交于一点。
已知： ABC 中， AD
BE
边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部；
③内心： 三角形的三条内角平分线的交点(内切圆圆
心)，它到三边的距离相等，内心一定在三角
形内部；
知识梳理
2、三角形的“四心”
④垂心：三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，
三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的
垂心在三角形内部，直角三角形的垂心为直角顶
心，若 = , = ,则OG＝
(6)如图，AB=BC，CD=DE，若∆ABF的面积为18，则∆BCE
的面积为______
课堂检测
AB AC
2、如图，在△ABC中，已知
，
AD AE
AD AE
求证：
。
DB EC
课堂检测
3、如图，在∆中， D, E 为边 AB，AC 上的点，
对旁心不作要求，理解即可！
课堂检测
3、关于三角形的“四心”的补充说明
(1)等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一，
因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、
垂心 H 必然在一条直线上；
(2)正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、
重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心。
且相似比为 1：2， AG 2GD, BG 2GE .
设 AD、CF 交于点 G ' ，同理可得，
AG ' 2G ' D，CG ' 2G ' F 则 G 与 G ' 重合，
AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2 :1
数学应用
例 2、求证：三角形的三条高交于一点。
已知： ABC 中， AD
BE
边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部；
③内心： 三角形的三条内角平分线的交点(内切圆圆
心)，它到三边的距离相等，内心一定在三角
形内部；
知识梳理
2、三角形的“四心”
④垂心：三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，
三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的
垂心在三角形内部，直角三角形的垂心为直角顶
心，若 = , = ,则OG＝
(6)如图，AB=BC，CD=DE，若∆ABF的面积为18，则∆BCE
的面积为______
课堂检测
AB AC
2、如图，在△ABC中，已知
，
AD AE
AD AE
求证：
。
DB EC
课堂检测
3、如图，在∆中， D, E 为边 AB，AC 上的点，
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四、垂心
定义：三角形三边高线的交点。
三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证： 它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE 于点E，CF^AB于点F，且 BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。 现在我们只要证明AD^BC即可。
因为CF^AB，BE
所以 四边形BFEC为圆内接四边形。
解：∵O是△ABC的重心，
∴AO∶OD=2∶1
∴S△AOB∶S△BOD=2∶1 即S△AOB=2 S△BOD=10 ∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15 又AD是△ABC的中线
S =2 S =30。 .
4
二.内心
定义：三角形内切圆的圆心就是三角形的 内心，也是三角形角平线的交点。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FE. B=∠FCB
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12
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性质：1. 三角形的内心到三边的距离相等， 等于内切圆的半径。
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5、外心
定义：三角形外接圆的圆心，也是三角形 三边中垂线的交点。
性质：1、外心到三角形各个顶点的距离相 等。
2、锐角三角形的外心在三角形内；直角 三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重 合；钝角三角形的外心在三角形外。
解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6
∴AB=BC=12，D是斜边AB的中点，
∴CD= AB=6
G是Rt△ABC的重心，∴CG= CD=4
由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°
Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，
∴GE= CG=2（cm）
.
3
⑵求面积
例2 在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若 △BOD的面积等于5，求△ABC的面积。
三角形的四心 及性质
.
1
一.重心
定义：三角形三边中线的交点！ 性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边
中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个
三角形面积相等。即重心到三条边的 距离与三条边的长成反比。
.
2
2.三角形重心性质定理的应用
⑴求线段长
例1 如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜 边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心GE⊥AC于点E， 若BC=6cm，则GE= cm。