南京理工大学数字信号处理DSP复习

复习

目录

1 一些基础 (1)

1.1 卷积、环形卷积 (1)

1.2 X cs/X ca、X ev/X od (2)

1.3 周期、抽样率、抽样定理、ω0与Ω的关系 (2)

1.4 线性、时不变、因果、稳定 (3)

1.5 时域频域信号对应关系 (4)

1.6 全通系统极点关于单位圆镜像对称 (4)

2 三种变换 (4)

2.1 DTFT (4)

2.1.1 定义 (4)

2.1.2 性质 (5)

2.1.3 常用 (5)

2.2 Z变换 (6)

2.2.1 定义 (6)

2.2.2 性质 (8)

2.2.3 常用 (8)

2.3 DFT (9)

2.3.1 定义 (9)

2.3.2 性质 (11)

2.3.3 FFT算法：蝶形图、指标 (12)

3 两套系统 (13)

3.1 差分方程Y（n）——时域描述 (13)

3.1.1 建立/解差分方程 (13)

3.2 系统函数H（z）——频域描述 (14)

3.2.1 IIR滤波器——信号流图结构、低通IIR设计、脉冲响应/双线性不变法 (14)

3.2.2 FIR滤波器——信号流图结构、线性相位系统、窗函数法、四种类型 (18)

1 一些基础

1.1 卷积、环形卷积

卷积：y （n ）=

()()m x m h n m ∞

=-∞

-∑=x （n ）*h （n ）

Eg:卷积 x[n]={1,2,3,4,5} h[n]={1,1,1,1}

h 【n 】 x 【n 】

1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 1

1

2

3

4

5

环形卷积：

1）设序列h (n )和x (n )的长度分别为N 和M 。h (n )与x (n )的L 点循环卷积定义为

1

()[()(())]()L c L L m y n h m x n m R n -==-∑

式中，L 称为循环卷积区间长度，L ≥max ［N ，M ］。 2)

循环卷积矩阵

Eg:环形卷积 （1）计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。

h[n]={1,1,1,1}与x[n]={1,2,3,4}的循环卷积：注意，h[x]位置在前，且循环卷积的长度与循环卷积区间长度L 相同 解： 4点循环卷积矩阵形式为 8点循环卷积矩阵形式为

矩阵计算：行X 列，8点第一行X 第一列：1x1+0x1+0x1+0x1+0x0+4x0+3x0+2x0=1

第二行X 第一列：2x1+1x1+0x1+0x1+0x0+0x0+4x0+3x0=3

c c c c (0)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(0)(1)y x x L x L x h y x x x L x h y x x x x h y L x L x L x L x h L --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L M M M M O M M L ＝c c c c (0)14

32110(1)2143110(2)3214110(3)4

32

1110y y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎣⎦c c c c c c c c (0)1110

000432(1)1321000043(2)1632100004(3)110432100000904321000(4)0043210007(5)00043210(6)040000432

1(7)0y y y y y y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2）x[n]=3n ,h[n]=2+(−2)n ,0≤n ≤3.求6点圆周卷积 x[n]={1,3,9,27} h[n]={3,0,6,6} 1 0 0 27 9 3 3 -159 3 1 0 0 27 9 0 9 9 3 1 0 0 27 6 33 27 9 3 1 0 0 -6 36 0 27 9 3 1 0 0 93 0 0 27 9 3 1 0 108

1.2 X cs /X ca 、X ev /X od

X[n]：对象序列 X *：共轭运算——实不变，虚取反 X[n] = X cs + X ca = X ev + X od

X cs 共轭对称序列：X cs 满足X[n]=X *[-n] 若X[n]无虚部，则X[n]为偶序列X ev

X cs =1

2

（X [n ]+X ∗[−n]） X ev =1

2

（X [n ]+X[−n]）

X ca 共轭反对称序列：X ca 满足X[n]=-X *[-n]

若X[n]无虚部，则X[n]为奇序列X od

X ca =1

2（X [n ]−X ∗[−n]） X od =1

2（X [n ]−X[−n]）

Eg:共轭对称，共轭反对称，偶序列，奇序列 X[n]={ -1+j3 , 2-j7 , 4-j5 , 3+5j , -2-j } , -2≤n ≤2，求X cs 、X ca 、X ev 、X od X cs = X ca = X ev = X od =

1.3 周期、抽样率、抽样定理、ω0与Ω的关系

周期：若正弦序列x(n)= sin(ωn)=sin(30n π/120)是周期的,则周期N =2πω

，

抽样率：R =F T ’

F T

抽样定理：一个限带模拟信号X a (t)，若其频谱的最高频率为F 0，对它进行等间隔抽样而得X(n)，抽样周期为T ，

或抽样频率为F s =1/T ；只有在抽样频率F s ≥2F 0时，才可由X a (t)准确恢复X(n)。

ω0与Ω的关系：ω0=Ω0×T ，ω0：离散时间信号归一化角频率，Ω0：连续时间型号角频率，T ：抽样周期

Eg:抽样相关 (1)The sequence X[n]=cos(π

4n ) is obtained by sampling an analog signal x(t)=cos(Ω0t) at a sampling rate of 1000 samples/sec.Two possible value of Ω0 are 250π，1750πthat could have resulted in the sequence X[n].

π

4

×1000=250π，(-π

4+2π)×1000=1750π