2013年高等数学a1期末考试试卷及答案

2013～2014学年度第一学期

《高等数学AI 》期末考试参考答案及评分标准

课程代码： 1590116 试卷编号： 1-A

一、单项选择题（2分×10小题=20分）

1、函数21sin 0()00x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0=x 处( A )

A 、连续且可导；

B 、连续且不可导；

C 、为第一类间断点；

D 、为第二类间断点

2、摆线0t =(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-，从0t =到t π=的一段弧的长度为（D ）

A 、⎰π 0 23dt at ；

B 、⎰π 0 cos sin tdt t a ；

C 、⎰π 0 atdt ； D

、 0

π⎰.

3、设5()[()]f x x φ'=，其中)(x ϕ在),(+∞-∞连续、可导，且0)(>'x ϕ，则必有（C ）

A. )(x f 在),(+∞-∞上单调增；

B. )(x f 在),(+∞-∞上单调减；

C. )(x f 在),(+∞-∞上是凹的；

D. )(x f 在),(+∞-∞上是凸的.

4、设函数)(x f y =对任意x 满足[]

1 )()(25'''+=+x x f x x f ，若,0)(0='x f 则以下结果正确的是（ B ）

A 、)()(0x f x f 是的极大值；

B 、)()(0x f x f 是的极小值；

C 、)( ))(,(00x f y x f x =是曲线的拐点；

D 、0x 不是)(x f 的驻点。

5、函数()y f x =在[,]a b 上有界且只有有限个间断点是()y f x =在[,]a b 上可积的（Ａ ）

A 、充分不必要条件

B 、必要但不充分条件

C 、充要条件

D 、无关条件

6、函数2

01(),1x t f x dt t -=+⎰在区间（ A ）单调增加； A 、[ 1 , ) +∞； B 、[ -1 , ) +∞； C 、 ) , (-∞+∞； D 、(- , 1) ∞.

7、设)(x f 是区间I 内的连续函数，0)(≠x f ，)(1x F ，)(2x F 是)(x f 在区间I 内的两个不同的原函数，则在区间I 内必有（ D ）

A 、)(1x F 12)(C x F =+；

B 、)(1x F 22)(

C x F =⋅；

C 、)(1x F )(23x F C =；

D 、)(1x F 42)(C x F =-.

8、设函数()y f x =在0x x =处的某一邻域内具有四阶连续的导数，且

''''''000()()()0f x f x f x

===，(4)0()0f x >，则函数()y f x =在0x x =处（ B ） A 、有极大值 B 、有极小值 C 、有拐点 D 、无极值也无拐点

9、 设()F x 在(,)-∞+∞内连续，且'()()F x f x =，则2(arctan )1

f x dx x =+⎰（ B ） A 、(arctan )F x ， B 、(arctan )F x C + C 、2(1)F x +， D 、2(1)F x C ++

10、 平面0x z -=是（ C ）.

A 、与oy 轴垂直的平面；

B 、与xoz 平面平行的平面；

C 、通过oy 轴的平面；

D 、不是前三种平面.

二、填空题（3分×10小题=30分）

1、设()2ln sin y x =，则dy =2sin x

sin d x 2、 若)(x f 为可导的偶函数，且0()7f x '=，则)(0x f -'= -7 .

3、 若sin sin ()x x f x e dx e C =+⎰， 则()f x =x cos .

4、201

cos

lim 1x x x x e →=-0 . 5、20x xe dx +∞-=⎰

21 6、31tan(1)d x dx dx

+=⎰0 . 7、若直线⎩

⎨⎧=-+-=+-+06222032z y x D z y x 与x 轴有交点，则=D -6 . 8、设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=0

,10,2

1)(2x e x ax x f x ，已知)(x f 在0=x 处可导，则常数a = 3 . 9、设函数)4)(3)(2)(1(----=x x x x x y ，则

0=x dx dy = 24 . 10、设)(x f 满足0

()2()x f x x f t dt =+⎰，则()f x =1x -

三、计算题（7分×4小题=28分）

1、求011lim()1x x x e →--

解：原式=)1(1lim 0---→x x x e x x e ………2分 = 2

01lim x x e x x --→ ………3分 =x

e x x 21lim 0-→ ………5分 =2

1； ………7分 2、求曲线x y e =， 直线y e =，和y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积.

解：⎩

⎨⎧==x e y e y 先求交点 得 （1 ，e ） ………2分（只画出图给1分） 1220

[()]x V e e dx π=-⎰ ………5分 1220[]x e e dx π=-⎰21(1)2

e π=+ ………7分 3、已知)(x

f 的一个原函数为x x cos e ，求dx x f x )('⎰

解： )(x f ')cos (e x x ==x x cos e -x x sin e ………2分

⎰⎰⎰-=='dx x f x xf x xdf dx x f x )()()()( ………5分

=c x x x x x x x +--cos e )sin e cos e ( ………7分

(没有C 扣一分)

4、已知函数()y y x =由方程1y y xe =+所确定的隐函数，求函数曲线)(x y y =在点(0,1)M 的切线方程.

解 两边对x 求导，得

dx dy xe e dx dy y y += ………2分