一次函数完美讲义

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一次函数

（一）函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vt

s=中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______.

在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个

确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1

x

(4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，

是一次函数的有

（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）

A．y=．

． D．

函数y=x的取值范围是___________.

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 1. 判定一次函数的方法：

1) 从表达式角度考虑：有三条件：自变量x 为一次；因变量为一次，系数k ≠0.

三、【考点知识梳理】

（一）一次函数的定义

一般地，如果y ＝kx ＋b(k 、b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx(k 是常数，k≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数．

1．由定义知：y 是x 的一次函数?它的解析式是y ＝kx ＋b ，其中k 、b 是常数，且k≠0.

2．一次函数解析式y ＝kx ＋b(k≠0)的结构特征：

(1)k ≠0；(2)x 的次数是1；(3)常数项b 可为任意实数．

它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

3．正比例函数解析式y ＝kx(k≠0)的结构特征：

(1)k ≠0；(2)x 的次数是1；(3)没有常数项或者说常数项为0.

温馨提示：

正比例函数是一次函数，但一次函数(0)y kx b k =+≠不一定是正比例函数，只有当b=0时，它才是正比例函数。

例1 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．

（二）一次函数的图象

1．一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(－b

k

，0)的一条直

线．

2．正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线． 3．一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象与k 、b 符号的关系： (1)k ＞0，b ＞0?图象经过第一、二、三象限． (2)k ＞0，b ＜0?图象经过第一、三、四象限． (3)k ＜0，b ＞0?图象经过第一、二、四象限． (4)k ＜0，b ＜0?图象经过第二、三、四象限． 温馨提示：

画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0,)b ，(,0)

b k

-

两点。

（三）一次函数图象的性质

一次函数y ＝kx ＋b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，

1) 图象一定经过第一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，图象一定经过第

二、四象限．

k 的正负决定直线的倾斜方向：

两直线k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们

是平行的．|k|=x y

∆∆

增减性：当k>0时，y 随x 值的增加而增加，当k<0时，y 随x 值的增加而减小，

|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；增加的快慢由两点的纵坐标之差和横坐标之差的比值来决定，即由k 值的大小决定。

点和直线的关系：点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系

（1）如果点P （x 0，y 0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足表达式y=kx+b ；

（2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （x 0，y 0）必在函数的图象上．

2) 直线和直线的关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，这两个函数解析式中k 1=k 2,且b 1≠b 2. 当平面直角坐标系中两直线重合时，这两个函数解析式中k 1=k 2,且b 1=b 2. 当平面直角坐标系中两直线相时，这两个函数解析式中k 1≠k 2,.

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K 值互为负倒数（即两个K 值的乘积为-1）

直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系： ① k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；其交点的横纵坐标分别是两直线表达式所联立的方程组的解。

② ⎩⎨⎧=≠2

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1b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）；