《平行四边形的性质》典型例题

《平行四边形的性质》典型例题

例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？

例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长.

例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，

过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由.

例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F .求证：.DC AF =

例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ∆的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ∆与OAB ∆的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______.

D C

A B O

例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积.

例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，

若︒=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=.

求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.

参考答案

例1 分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数.

解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x

∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°.

例2 分析 由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长.

解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB ===

60=+++BC AD CD AB ，∴.30=+BC AB

8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB

∴.11,19====AD BC CD AB

答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm.

说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.

例3 分析 观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ∆≅∆∆≅∆∆≅∆,,，从而可说明.OF OE =

证明 在ABCD 中，BD AC 、 交于O ，∴.OC AO =

CD AB // ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,，

∴)(AAS CFO AEO ∆≅∆，∴.OF OE =

例4 分析 观察图形，AFD ∆与DCE ∆都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE ，则ABE ∆与AFE ∆全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。

证明 ∵四边形ABCD 是矩形，∴︒=∠90,//C BC AD ，∴.DEC ADE ∠=∠ DE AF ⊥ ，∴︒=∠=∠90C AFD ，

又DE AD =，∴DCE AFD ∆≅∆。∴.DC AF =

例5 解答 ABCD 中，AC OC OA 21==，BD OD OB 2

1==. ∴ OBC ∆的周长BC AC BD BC OC OB ++=++=2121 591219=++=BC

∴ 28=BC .

在ABCD 中，AD BC =. ∴28=AD

OBC ∆的周长－OAB ∆的周长)()(AB OB OA BC OC OB ++-++=

AB BC -=15=

∴ 13=AB

∴ ABCD 的周长82)2813(2)(2=+=+=+++=BC AB AD CD BC AB

说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将OBC ∆与OAB ∆的周长的差转化为两条线段的差.

例6 解答 设ycm BC xcm AB ==,.

∵ 四边形ABCD 为平行四边形，

∴ BC AD CD AB ==,.

又∵四边形ABCD 的周长为36，∴3622=+y x ①

∵ BC DF AB DE ⊥⊥,，

∴

∴ y x 3534= ②

解由①，②组成的方程组，得8,10==y x .

∴)(34034102cm DE AB =⨯=⋅=. 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.

例7 分析 由已知条件︒=∠60EAF ，在四边形AECF 中，可求出︒=∠120C . 从而可知︒=∠=∠60D B ，所以︒=∠=∠30DAF BAE . 因此，在直角三角形ABE 和直角三角形ADF 中，可分别求出AB 、AD 长，从而也可求出AE 、AF 的长，

则容易求出ABCD 的面积.

解答 在四边形AECF 中，

︒=∠=∠90AFC AEC （垂直定义）

，︒=∠60EAF （已知）， ∴ ︒=︒-︒-︒-︒=∠120609090360C . 在ABCD 中，

∵BC AD CD AB //,//，

∴︒=∠+∠180C B ，︒=∠+∠180C D ∴︒=∠=∠60D B

在ABE Rt ∆中，︒=∠60B ，2=BE ， ∴42==BE AB ，

∴4==AB CD

同理，可求出6==BC AD . 在ABE Rt ∆中，根据勾股定理， 32242222=-=-=BE AB AE ∴2)(312326cm AE BC =⋅=⋅=