2017-2018学年高中物理 第二章 匀速圆周运动 第2节 匀速圆周运动的向心力和向心加速度教学案

第2节 匀速圆周运动的向心力和向心加速度1.向心力是做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力，是按力的作用效果命名的，其作用是改变物体速度的方向。

2．向心力始终指向圆心，与速度方向垂直，其大小为F ＝m ω2r ＝m v 2r 。

3．向心加速度是物体在向心力作用下产生的，其方向一定指向圆心，大小为a ＝2r＝ω2r ，描述物体速度方向变化的快慢。

一、向心力 1．定义：做匀速圆周运动的物体受到的始终指向圆心的合力。

2．方向：始终指向圆心，总是与运动方向垂直。

3．作用效果：只改变速度方向，不改变速度大小。

4．向心力的大小(1)实验探究①探究目的：探究向心力大小F 与质量m 、角速度ω和半径r 之间的关系。

②实验方法：控制变量法。

③实验过程a ．保持ω、r 相同，研究向心力F 与小球质量之间的关系。

b ．保持m 、r 相同，研究向心力F 与角速度ω之间的关系。

c ．保持ω、m 相同，研究向心力F 与半径r 之间的关系。

④实验结论：做匀速圆周运动所需向心力的大小，在质量和角速度一定时，与半径成正比；在质量和半径一定时，与角速度的平方成正比；在半径和角速度一定时，与质量成正比。

(2)向心力的公式：F ＝m ω2r 或F ＝m v 2r 。

二、向心加速度1．定义做匀速圆周运动的物体，在向心力作用下产生的加速度。

2．大小a ＝v 2r＝ω2r 。

3．方向与向心力的方向相同，总是沿着半径指向圆心，即始终与运动方向垂直。

4．物理意义描述速度方向改变快慢的物理量。

向心加速度越大，表示速度方向改变的越快。

由于向心加速度始终与速度垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

1．自主思考——判一判(1)向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。

(×)(2)物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大。

(×)(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。

(×)(4)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。

(×)(5)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。

(√)(6)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。

(×)2．合作探究——议一议(1)如图2­2­1所示，用长短不同、材料和粗细均相同的两根绳子各拴着一个质量相同在光滑的水平面上做匀速圆周运动，若两个小球以相同的角速度运动，长绳容易断图2­2­1＝m ω2r 可知，长绳中张力大，长绳易断。

＝r知向心加速度a 与运动半径r 成反比；而乙同学认为由公式a ＝ω2r 知向心加速度a 与运动半径r 成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点。

提示：他们两人的观点都不准确。

当v 一定时，a 与r 成反比；当ω一定时，a 与r成正比。

(3)如图2­2­2所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几个力作用？向心力由什么力提供？图2­2­2提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。

物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力提供。

1．大小：F ＝ma ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m ωv ＝m 4π2T2r (1)匀速圆周运动中向心力的大小始终不变。

(2)非匀速圆周运动中向心力的大小随速率v 的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。

2．方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。

3．向心力是效果力(1)向心力因其方向时刻指向圆心而得名，是效果力。

(2)它的作用效果是只改变速度方向不改变速度大小。

(3)不是因为物体做圆周运动才产生向心力，而是向心力作用迫使物体不断改变速度方向而做圆周运动。

4．向心力的来源物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。

可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力。

小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合[典例] 如图2­2­3所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。

当转盘逆时针匀速转动时，下列说法正确的是( )图2­2­3A．P受的摩擦力方向为aB．P受的摩擦力方向为bC．P受的摩擦力方向为cD．P受的摩擦力方向可能为d[思路点拨][解析] 物块P在水平转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，必须有向心力作用，而重力、支持力合力为零，故物块P的向心力应由指向圆心的静摩擦力来提供，故选C。

[答案] C向心力与合外力的辨析(1)“一定”关系：无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和一定为向心力。

(2)“不一定”关系：匀速圆周运动中，向心力就是合外力；非匀速圆周运动中，向心力不是合外力，向心力是合外力沿半径方向的分力，合外力不指向圆心。

(3)“一定不”关系：对物体进行受力分析时，一定不要在分析完重力、弹力、摩擦力等性质力后，又多出一个“向心力”，向心力只是上述性质力合成或分解得到的一个效果力。

1．(多选)关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是( )A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B．因向心力指向圆心，且与线速度的方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C．它是物体所受的合力D．向心力和向心加速度的方向都是不变的解析：选BC 做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确。

2．如图2­2­4所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )图2­2­4A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用B．老鹰受重力和空气对它的作用力C．老鹰受重力和向心力的作用D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用解析：选B 老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。

向心力是根据力的作用效果命名的，不是物体实际受到的力，在分析物体的受力时，不能将其作为物体受到的力。

选项B正确。

3. (多选)如图2­2­5所示，一小球用轻绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )图2­2­5A．绳的拉力B．重力和绳的拉力的合力C．重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力D．绳的拉力和重力沿绳方向的分力的合力解析：选CD 小球受重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。

因此，可以说向心力是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说向心力是各力沿绳方向的分力的合力，C 、D 正确。

1．公式拓展a ＝v 2r ＝ω2r ＝4π2T 2r ＝ωv 2．a 与r 的关系图像如图2­2­6甲、乙所示。

图2­2­6由a ­r 图像可以看出：a 与r 成正比还是反比，要看是ω恒定还是v 恒定。

3．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动，在变速圆周运动(速度大小变化)中，物体的加速度不指向圆心，该加速度沿圆心方向的分量是向心加速度。

[典例] 图2­2­7所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S 与转动轴的距离是半径的13，当大轮边缘上P 点的向心加速度是12 m/s 2时，大轮上的S 点和小轮边缘上的Q 点的向心加速度分别为多大？图2­2­7[思路点拨] 轮上P 点和S 点属同轴转动，角速度相同，由a ＝ω2r 可建立联系。

轮上P 点和Q 点属皮带传动，线速度相同，由a ＝v 2r可建立联系。

[解析] 设S 和P 到大轮轴心的距离分别为r S 和r P ，由向心加速度公式a ＝r ω2，且ωS ＝ωP 可知，S 与P 两点的向心加速度之比为a S a P ＝r S r P解得a S ＝r S r P a P ＝4 m/s 2设小轮半径为r Q ，由向心加速度公式a ＝v 2r，且v P ＝v Q ，可得P 与Q 两点的向心加速度之比为a Q a P ＝r Pr Q解得a Q ＝r P r Q a P ＝24 m/s 2。

[答案] 4 m/s 2 24 m/s 2常用向心加速度的计算公式及关系1．关于向心加速度，下列说法中正确的是( )A ．向心加速度是描述线速度变化快慢的物理量B ．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C ．向心加速度大小恒定，方向时刻改变D ．向心加速度的大小也可以用a ＝v t －v 0t来计算 解析：选B 加速度是描述速度变化快慢的物理量，而向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故A 错误，B 正确。

根据向心加速度的计算公式a ＝v 2r可知，只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C 错误。

圆周运动的加速度是时刻改变的，向心加速度是瞬时加速度而不是平均加速度，故不能用a ＝v t －v 0t 来计算，只能用a ＝v 2r或a ＝ω2r ＝(2πf )2r ＝π2T 2r 来计算，故D 错误。

2.2016年1月29日，第十三届全国冬季运动会花样滑冰双人滑自由滑比赛在新疆冰上运动中心短道花样馆结束，哈尔滨队的隋文静和韩聪夺得冠军。

如图2­2­8所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。

若运动员的转速为30 r/min ，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s ，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度的大小。

图2­2­8解析：男女运动员的转速、角速度是相同的，由ω＝2πn 得ω＝2×3.14×3060rad/s ＝3.14 rad/s由v ＝ωr ，得r ＝v ω＝4.83.14m≈1.53 m 由a ＝ω2r ，得a ＝3.142×1.53 m/s 2≈15.1 m/s 2。

答案：3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s 2[典例] 所示，水平转盘上放有质量为r 时，。

已知物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k 倍，当绳中张力达到8kmg 时，绳子将被拉断。

求：T 1； T 2；kmg ＝m ω02r (1)当转盘的角速度为ω1＝kg 2r 时，因为ω1<ω0，物块所受静摩擦力足以提供物块随转盘做圆周运动所需向心力，绳子张力为零，即：T 1＝0。