微分及其计算
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若f (x)在(a,b)内处处可微,则称f (x)在(a,b)内可微,此时有
dy df (x) A(x)x
【3-4-2】
二、可微与可导的关系
1、结论 f (x)在x0可微 f (x)在x0可导,且有A f (x0 )
2、证明 :Q f (x)在x0可微 y Ax o(x)(x 0)
四、微分运Hale Waihona Puke Baidu法则 依微分与导数的关系及求导法则有
1.d (C) 0(C为常数) 2.d(Cf (x)) Cdf (x)(C为常数)
3.d[ f (x) g(x)] df (x) dg(x)
4.d[ f (x) • g(x)] g(x)df (x) f (x)dg(x)
f (x) g(x)df (x) f (x)dg(x)
5.d
g(x)
[ g ( x)]2
(g(x) 0)
【3-4-6】
五、复合函数的微分
1、法则 设y f [g(x)]是由可微函数y f (u)和u g(x)复合而成, 则y f [g(x)]关于x可微,且有
d f [g(x)] f [g(x)]g(x)dx f [g(x)]dg(x) 注： 上述结论中的等式 dy f (g(x) dx f (u)du
【3-4-4】
三、微分近似计算
1、公式
Q y f (x0 x) f (x0) f (x0)x o(x)(x 0)
当 x 1时有f (x0 x) f (x0) f (x0)x
2、应用举例
例1 求 5 0.99的近似值
解： 取f (x) 5 x, x0 1, x 0.01,则有
2 f (2x 1)dx
(2) y f (x2 1) 解： dy d f (x2 1) f (x2 1)d (x2 1)
2xf (x2 1)dx
【3-4-9】
(3) y f (sin x)
解： dy d f (sin x) f (sin x)d sin x
解： Q dy y(t)dt, dx x(t)dt, x(t) 0
dy y(t)dt y(t) ,t [, ]
dx x(t)dt x(t)
【3-4-8】
例4 设y f (u)可微,求下列函数的微分
(1) y f (2x 1)
解： dy d f (2x 1) f (2x 1)d(2x 1)
2x0x为S的主部
【3-4-1】
2、微分
设y f (x)在x0的某一邻域内有定义, 若有 y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)(x 0),其中A与x无关,
则称y f (x)在x0可微,且称Ax为f (x)在x0的微分,记作
dy xx0 df xx0 Ax
3.4 微分及其计算
一、概念
1、引入实例 正方形边长改变时面积的改变量
设正方形边长为x0 ,则其面积为S x02
x
若边长改变x,则其面积变为S (x0 x)2
S S S (x0 x)2 x02 x0 S
2x0x (x)2
x0
当 x 1时,(x)2就更小,此时有 S 2x0x
cos xf (sin x)dx
(4) y f (ex )
解：dy d f (ex ) f (ex )dex ex f (ex )dx
本节作业：P78 27
【3-4-10】
称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量， 还是中间变量，微分的形式是一样的，都有
dy f (x)dx
【3-4-7】
六、理解举例 例3 （参数方程函数求导法则） 设参数方程
x x(t) y y(t)
t [, ]
其中x(t), y(t)关于t可导,且有x(t) 0,求 dy dx
y A o(x) (x 0)
x
x
f
(x0 )
lim
x0
y x
A
:Q f (x)在x0可导
y f (x0 )x o(x)(有限增量公式)
f (x)在x0可微
【3-4-3】
3、应注意的问题 （1）等价并不意味着完全相同
f (x)只与x有关,而df (x)则与x和x都有关
5 0.99 f (1 0.01) f (1) f (1)(0.01)
1 0.01 0.998 5
【3-4-5】
例2 设y x2,求dy, dy x1 , dy x0
解： dy d (x2 ) (x2 )dx 2xdx
dy x1 2dx, dy x0 0
(2)df (x) f (x)x 因此微分的计算实质上就是导数计算
（3）一般表示形式 令y f (x) x,则有y f (x) 1,
dx df (x) f (x)x x dy f (x)dx
dy f (x)也称为微商,即是微分的商 dx
dy df (x) A(x)x
【3-4-2】
二、可微与可导的关系
1、结论 f (x)在x0可微 f (x)在x0可导,且有A f (x0 )
2、证明 :Q f (x)在x0可微 y Ax o(x)(x 0)
四、微分运Hale Waihona Puke Baidu法则 依微分与导数的关系及求导法则有
1.d (C) 0(C为常数) 2.d(Cf (x)) Cdf (x)(C为常数)
3.d[ f (x) g(x)] df (x) dg(x)
4.d[ f (x) • g(x)] g(x)df (x) f (x)dg(x)
f (x) g(x)df (x) f (x)dg(x)
5.d
g(x)
[ g ( x)]2
(g(x) 0)
【3-4-6】
五、复合函数的微分
1、法则 设y f [g(x)]是由可微函数y f (u)和u g(x)复合而成, 则y f [g(x)]关于x可微,且有
d f [g(x)] f [g(x)]g(x)dx f [g(x)]dg(x) 注： 上述结论中的等式 dy f (g(x) dx f (u)du
【3-4-4】
三、微分近似计算
1、公式
Q y f (x0 x) f (x0) f (x0)x o(x)(x 0)
当 x 1时有f (x0 x) f (x0) f (x0)x
2、应用举例
例1 求 5 0.99的近似值
解： 取f (x) 5 x, x0 1, x 0.01,则有
2 f (2x 1)dx
(2) y f (x2 1) 解： dy d f (x2 1) f (x2 1)d (x2 1)
2xf (x2 1)dx
【3-4-9】
(3) y f (sin x)
解： dy d f (sin x) f (sin x)d sin x
解： Q dy y(t)dt, dx x(t)dt, x(t) 0
dy y(t)dt y(t) ,t [, ]
dx x(t)dt x(t)
【3-4-8】
例4 设y f (u)可微,求下列函数的微分
(1) y f (2x 1)
解： dy d f (2x 1) f (2x 1)d(2x 1)
2x0x为S的主部
【3-4-1】
2、微分
设y f (x)在x0的某一邻域内有定义, 若有 y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)(x 0),其中A与x无关,
则称y f (x)在x0可微,且称Ax为f (x)在x0的微分,记作
dy xx0 df xx0 Ax
3.4 微分及其计算
一、概念
1、引入实例 正方形边长改变时面积的改变量
设正方形边长为x0 ,则其面积为S x02
x
若边长改变x,则其面积变为S (x0 x)2
S S S (x0 x)2 x02 x0 S
2x0x (x)2
x0
当 x 1时,(x)2就更小,此时有 S 2x0x
cos xf (sin x)dx
(4) y f (ex )
解：dy d f (ex ) f (ex )dex ex f (ex )dx
本节作业：P78 27
【3-4-10】
称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量， 还是中间变量，微分的形式是一样的，都有
dy f (x)dx
【3-4-7】
六、理解举例 例3 （参数方程函数求导法则） 设参数方程
x x(t) y y(t)
t [, ]
其中x(t), y(t)关于t可导,且有x(t) 0,求 dy dx
y A o(x) (x 0)
x
x
f
(x0 )
lim
x0
y x
A
:Q f (x)在x0可导
y f (x0 )x o(x)(有限增量公式)
f (x)在x0可微
【3-4-3】
3、应注意的问题 （1）等价并不意味着完全相同
f (x)只与x有关,而df (x)则与x和x都有关
5 0.99 f (1 0.01) f (1) f (1)(0.01)
1 0.01 0.998 5
【3-4-5】
例2 设y x2,求dy, dy x1 , dy x0
解： dy d (x2 ) (x2 )dx 2xdx
dy x1 2dx, dy x0 0
(2)df (x) f (x)x 因此微分的计算实质上就是导数计算
（3）一般表示形式 令y f (x) x,则有y f (x) 1,
dx df (x) f (x)x x dy f (x)dx
dy f (x)也称为微商,即是微分的商 dx