微分及其计算
微分计算公式
微分计算公式
微分是数学的一个分支，是一个重要而基础的概念。
微分的概念可以用来描述物理力学、经济学、生态学等领域中的许多现象。
微分运算的最基本公式就是微分的定义——对于一个函数y=f(x)，在点x 处的微分dy是在x处的函数f的导数f’，乘以变化量dx：
dy=f'(x)dx。
在实际计算中，我们常常用一些基本公式来计算微分：- 常数的微分公式：如果f(x)=C是一个常数，则dy=0。
- 幂函数的微分公式：如果f(x)=x^n，则dy=nx^{n-1}dx。
- 指数函数的微分公式：如果f(x)=a^x，则dy=a^x \cdot
\ln{a}\cdot dx。
- 对数函数的微分公式：如果f(x)=\log_ax，则
dy=\frac{1}{x\ln{a}}dx。
- 三角函数的微分公式：如果f(x)=\sin{x}，则dy=\cos{x}dx，而如果f(x)=\cos{x}，则dy=-\sin{x}dx。
以上是微分运算中的几个基本公式，它们是微分计算不可或缺的工具。
微分的应用十分广泛，例如在微积分、物理学、经济学、工程学、统计学等领域中都有着广泛的应用。
微分可以用来求函数的最大值、最小值、极值、变化率等问题，在数值计算、最优化、控制理论等领域中也有着重要的作用。
同时，微分还可以帮助我们更好地了解自然和社会现象的本质规律，是现代科学和技术发展中不可或缺的一部分。
3.3 微分及其在近似计算中的应用
即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、 求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)
微分概念及其运算
微分概念及其运算§2微分概念及其运算设y=f(x)在x点可导，即下面的极限存在：∆yf(x+∆x)-f(x)f'(x)＝li＝lim∆x→0∆x→0∆x∆x因此∆y＝f'(x)＋α，其中α→0（∆x→0），∆x)x+α∆x=f'(x∆)x+o(∆x)∆x→0于是∆y＝f'(x∆，（函数的增量∆y=（∆x的线性函数）+o(∆x)）物理意义：如果把y=f(x)视作时间x时所走到的路程，∆x时间内所走到的路程∆y=以匀速f'(x)运动所走过的路程f'(x)∆x+因为加速度的促进作用而产生的额外路程o(∆x)定义4.2设y=f(x)在(a,b)有定义，如果对给定的x∈(a,b)，有∆y＝f(x+∆x)－f(x)＝a∆x＋o(∆x)，(∆x→0)其中a与∆x无关，则称f(x)在x点可微，并称a∆x为函数f(x)在x点的微分，记为dy＝a∆x或df(x)＝a∆x由前面的讨论得微分具备两小关键特征：2)微分是自变量的增量的线性函数；微分与函数增量∆y之差∆y-dy，是比∆x高阶的无穷小量.因此，称微分dy为增量∆y的线性主要部分。
事实上当dy≠0时o(∆x)∆ydy+o(∆x))＝1＝lim＝lim(1+∆x→0∆x→0∆x→0dya∆xdylim即为∆y与dy就是等价无穷小量。
注1系数a是依赖于x的，它是x的函数，备注2微分dy既与x有关，又与∆x有关，而x和∆x就是两个互相单一制的变量，但它对∆x的依赖是线性的．基准1自由落体运动中，s(t)=12gt211g(t+∆t)2-gt222∆s＝s(t+∆t)-s(t)＝==11g(2t+(∆t2))=gt∆t+g(∆t)222即∆s可表为∆t的线性函数和∆t的高阶无穷小量之和，由微分定义知，s(t)在t点可微，且微分ds=gt∆t它等于以匀速s'(t)＝gt运动，在∆t时间内走过的路程．基准2圆面积y=πr2，∆y＝π(r+∆r)2一πr2＝2πr∆r+π(∆r)2．∆y可以则表示为∆r的线性函数与∆r的高阶无穷小之和，故函数在r连续函数，且微分dy=2πr∆r从几何来看，微分可以这样认知：2πr是圆周长，当半径r变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大∆r 所引起的圆面积变化就是2πr∆r。
3.4 微分及其计算
例、设函数 y = x 3 ,求 dy , dy
解
x=3
, dy
x = 1 , ∆ x = 0 .2
.
dy = f ′( x )dx = ( x 3 )′dx = 3 x 2 dx
dy x = 3 = 27dx
dy
x = 1 , ∆ x = 0 .2
= 3 ⋅ 1 2 ⋅ 0 .2 = 0 .6
见 求 数 微 ， 般 出 数 数 可 可 ， 函 的 分 一 求 函 导 即 。
2、 设 、 求
解 利用一阶微分形式不变性 ,方程两边同时求微分 有 方程两边同时求微分 d ys x)−d(c s x− y)) =0 ( in o( in − ( s xd + yd inx +s (x− y)d x−y) =0 in y s in − s xd + yc sxdx+s (x− y)(dx−dy) =0 in y o yc sx+s (x− y) o in dy = dx s (x− y)−s x in in
练习:1、 练习 、求下列函数的微分
1）y = arctan e x ;2) y 2 = x 4 − 2 ln y;3) y = f (e x + x e )( f ( u)可微 )
e k y:(1 d = e )y d x 2x 1+e
x
2x y d = 2 d y x y +1
3
(3 d = f′(ex +xe)(ex +e e−1)d )y x x
2 2
∆ S = S ( x 0 + ∆ x ) − S ( x0 ) = ( x 0 + ∆ x ) − x0
2
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式d y=f′(x)d x可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以⾃变量的微分.因此，可得如下的微分公式和微分运算法则. 1.基本初等函数的微分公式由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式.为了便于对照，列表于下：2.函数和、差、积、商的微分法则由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则.为了便于对照，列成下表（表中u=u（x），v=v（x）都可导）.再根据乘积的求导法则，有(uv )′=u ′v +uv ′现在我们以乘积的微分法则为例加以证明.根据函数微分的表达式，有d(uv )=(uv )′d x于是: d(uv )=u ′v +uv ′d x =u ′v d x +uv ′d x由于: u ′d x =d u ,v ′d x =d v 所以: d(uv )=v d u +u d v其他法则都可以⽤类似⽅法证明。
3.复合函数的微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设 y =f (u )及u =g (x )都可导，则复合函数y =f [g (x )]的微分为d y =y ′x d x =f ′(u )g ′(x )d x由于g ′(x )dx =du ，所以，复合函数y =f [g (x )]微分公式也可以写成d y =f ′(u )d u 或 d y =y ′u d u由此可见，⽆论u 是⾃变量还是中间变量，微分形式dy =f ′(u )du 保持不变.这⼀性质称为微分形式不变性.这性质表⽰，当变换⾃变量时，微分形式dy =f ′(u )du 并不改变.参考： 《⾼等数学》同济六版 -> P116()Processing math: 100%。
《微分及其计算》课件
投入产出分析中的微分方程建模
微分方程：描述经 济系统中的动态变 化
投入产出模型：描 述经济系统中的生 产和消费关系
微分方程建模：将 投入产出模型转化 为微分方程形式
求解微分方程：得 到经济系统的动态 变化规律
微分在社会科学中 的应用
社会学中的演化模型
社会演化模型：描 述社会变迁的动态 过程
微分方程：描述社 会演化模型的数学 工具
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微分及其计算
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PART One添加目录标题PAR Three微分的计算方法
PART Two
微分的定义
PART Four
微分的应用
PART Five
微分在物理中的应 用
PART Six
微分在经济学中的 应用
单击添加章节标题
微分的定义
微分的概念
微分是函数在某一点的切线斜率 微分是函数在某一点的增量 微分是函数在某一点的变化率 微分是函数在某一点的导数
社会演化模型的应 用：预测社会变迁 、分析社会现象
微分方程在社会演 化模型中的应用： 求解社会演化模型 的动态过程
心理学中的认知过程建模
微分在认知心理学中的应用：用于描述认知过程的动态变化
微分在认知心理学中的作用：帮助理解认知过程的复杂性和动态性
微分在认知心理学中的具体应用：用于建模认知过程中的信息处理、决 策制定等过程 微分在认知心理学中的挑战：如何将微分方法与心理学理论相结合，以 更好地描述认知过程
微分在物理、工程等领域中的应用
误差估计
微分在误差估计中的应用 误差估计的方法和步骤 误差估计的准确性和可靠性 误差估计在实际问题中的应用
函数的单调性判断
微分定义：函数在某点处的微分是函数在该点处的切线斜率
微分概念及其计算
微分概念及其计算微分是微积分的一个重要概念，指的是在数学中研究函数局部变化的方法。
微分的计算方法主要通过求导来实现。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是函数在其中一点的变化量与自变量的变化量的比率。
对于一个函数y=f(x)，如果在其中一点x0处存在一个常数A，使得当x在x0附近变化时，函数f(x)与直线y=f(x0)+A(x-x0)之间的差异可以忽略不计，那么这个常数A就是函数f(x)在点x0处的微分，记作dy。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处可导，则其微分dy满足以下等式：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，dx表示自变量x的变化量。
二、微分的计算计算微分的方法有很多种，根据函数的不同形式和求导规则，可以使用以下几种常见的求导方法。
1.基本求导法则基本求导法则是求导的基本规则，包括常数微分法、幂函数微分法、指数函数微分法、对数函数微分法、三角函数微分法等。
根据不同的函数类型和导数规则，可以迅速求出函数的导数。
2.高阶导数与迭代法对于函数的高阶导数，可以使用迭代法进行求解。
迭代法的基本思想是通过对导数的连续求导来得到高阶导数。
例如，若f'(x)存在且可导，则f"(x)=(f'(x))'，f"'(x)=(f"(x))'，以此类推。
3.复合函数的导数对于复合函数，即由两个或多个函数经过运算得到的函数，可以根据链式法则求导。
链式法则指出，若y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过两者的导数相乘得到：dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
4.隐函数的求导对于隐函数，即由一个方程所定义的函数，可以通过求导的方式进行计算。
隐函数的求导主要利用了导数的局部线性近似性质，将方程两边同时对自变量求导。
5.参数方程的求导参数方程指的是自变量和因变量都由参数t决定的函数形式。
微积分微分及其计算
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x), (∆x → 0).
其中A与∆x无关,则称y = f (x)在点x0可微,且称A∆x为f (x)在点x0处的微分,
记为dy = df (x) = A∆x.
x= x0
x= x0
因此当A ≠ 0时,微分dy 是函数值改变量∆y 的主部.
例: 求5 0.99的近似值. 解 : 设y = f (x) = 5 x. 由于f (x)在x = 1点可导,故f (x)在x = 1点可微且f ′(1) = 1 .
5 那么有5 0.99 = f (1− 0.01) ≈ f (1) + f ′(1)(−0.01) = 1+ 1 (−0.01) = 0.998.
即dy = f ′(u)du = df (u) du = df (u) du dx ⇒ dy = df (u) du .
du
du dx
dx du dx
因此复合函数求导的链式法则 : dy = df (u) du 不仅具有(3 − 6)式中的含义, dx du dx
而且还具有导数可以作为微分的商进行运算.
令x = x0 + ∆x,则x → x0时, ∆x → 0. 故∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′(x0 )∆x + o(∆x), (∆x → 0). ⇒ f (x)在点x0可微.
"⇒"若f (x)在点x0可微,则∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x), (∆x → 0).
dt,
故 dy = 6at − 3at4 = 2t − t4 .
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
微分的计算法则
微分的计算法则
微分是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
微分的计算法则包括以下几个方面：
1. 常数微分法则：对于一个常数c，其微分为0。
2. 基本初等函数微分法则：对于基本初等函数，可以通过求导公式来计算微分。
3. 和差法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和的微分等于它们各自的微分之和，即(f+g)'=f'+g'，差的微分等于它们各自的微分之差，即(f-g)'=f'-g'。
4. 积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的积的微分等于
f(x)的微分乘以g(x)加上g(x)的微分乘以f(x)，即(fg)'=f'g+g'f。
5. 商法则：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的商的微分等于
f(x)的微分乘以g(x)减去g(x)的微分乘以f(x)，再除以g(x)的平方，即(f/g)'=(f'g-g'f)/g^2。
6. 复合函数微分法则：对于一个复合函数f(g(x))，可以使用链式法则来计算微分，即(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)。
通过掌握微分的计算法则，可以更加方便地求解一些复杂的微积分问题，为深入研究微积分学打下坚实的基础。
- 1 -。
微分的基本概念与计算方法
微分的基本概念与计算方法微分是微积分学中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
微分的概念包括函数的导数、导函数以及微分的计算方法。
本文将介绍微分的基本概念和计算方法。
一、微分的基本概念微分的基本概念是描述函数在某一点处的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的微分可以表示为 df(x) = f'(x)dx，其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，dx表示自变量x的增量。
微分可以理解为函数f(x)在点x处的线性逼近。
当dx趋近于0时，微分趋近于函数在该点的切线斜率。
二、微分的计算方法微分的计算方法主要有以下两种：几何法和代数法。
1. 几何法几何法是一种直观的计算微分方法，它通过绘制函数的图形和切线来计算微分。
具体步骤如下：（1）确定函数f(x)在点x处的切线；（2）切线与x轴的交点为(x, f(x))，将x的增量表示为dx，函数的增量表示为df(x)；（3）根据切线的斜率计算导数f'(x)；（4）得到微分df(x) = f'(x)dx。
2. 代数法代数法是一种通过运用导数的性质和规则来计算微分的方法。
具体方法如下：（1）根据函数f(x)的定义，求导数f'(x)；（2）将dx看作一个无穷小量，将f'(x)dx作为微分df(x)；（3）得到微分df(x) = f'(x)dx。
三、微分的应用微分在数学和其他应用领域中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 极值问题通过微分可以求解函数的极值问题。
根据函数的导数和微分的性质，可以求解函数的最大值和最小值，并找到极值点的坐标。
2. 曲线的切线与法线微分的概念可以用来求解曲线在不同点处的切线和法线。
通过计算函数在给定点处的导数和微分，可以确定曲线在该点处的切线和法线的斜率和方程。
3. 速度和加速度微分的概念可以用来描述物体在运动过程中的速度和加速度。
通过求解位置函数的导数和微分，可以得到物体在某一时刻的速度和加速度。
微分的概念和计算
微分的概念和计算微分在数学中是一个重要的概念，它是微积分的基础之一。
微分的概念和计算是求导数的过程，通过微分，我们可以研究函数在某一点的变化率和曲线的斜率。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是数学中一个基本的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，我们可以将其在某一点处的微分表示为df(x)或者dy。
微分可以表示函数在该点附近的线性逼近。
在微分的概念中，有一个非常重要的概念叫做导数。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，可以用来表示函数图像上某一点的切线的斜率。
导数是微分的计算结果。
二、微分的计算方法微分的计算方法主要包括两种，一种是基于极限的方法，另一种是基于公式的方法。
1. 基于极限的方法基于极限的方法是微分的基本思想，通过求极限来计算微分。
对于一个函数f(x)，它在x点的导数可以表示为f'(x)，即f(x)在x点的瞬时变化率。
导数的计算公式如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h在计算导数时，我们可以根据具体的函数形式进行具体的计算方式，如常见的幂函数、指数函数、对数函数等等。
2. 基于公式的方法基于公式的方法是一种更加简单和快捷的计算微分的方法，它利用了一些函数的特定规律和性质。
对于常见的函数，我们可以利用一些已知的微分公式进行计算。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，它的导数可以表示为f'(x) =nax^(n-1)。
这是一个常用的微分公式，可以简化我们的计算过程。
三、微分的应用微分作为微积分的基本概念，被广泛应用于各个领域。
以下是微分的一些常见应用：1. 曲线的切线和法线：通过微分，我们可以准确地求得曲线在某一点处的切线和法线。
这在物理学、工程学等领域中是非常重要的应用。
2. 极值问题：通过导数的计算，我们可以找到函数的极值点，即函数的最大值和最小值。
这在经济学、物理学等领域中有着广泛的应用。
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则
dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v , u , v可微， 且有
微分计算方法和技巧
微分计算方法和技巧微分是微积分中的一个重要概念，是指函数在一点上的变化率。
微分计算是数学中的一项基本技能，对于解决各类实际问题、研究函数的性质具有重要的作用。
下面将简要介绍一些常用的微分计算方法和技巧。
首先，我们先来看一下微分的定义。
对于一个函数y=f(x)，在某一点x0处的微分可以通过求函数在该点的导数来得到。
导数可以理解为函数在该点的瞬时变化率，可以用极限的概念表示。
即dy/dx= lim(h->0)(f(x0+h)-f(x0))/h。
这个公式可以用来求函数在任意一点的导数。
其次，当我们要计算某个函数在某一点的导数时，可以利用一些常用的微分法则。
常用的微分法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则、商法则和复合函数法则。
这些法则可以帮助我们更快地计算函数的导数，提高计算效率。
此外，对于一些特殊的函数，我们可以使用一些特殊的方法来计算微分。
例如，对于指数函数y=e^x，它的导数等于它本身，即dy/dx =e^x。
对于对数函数y=logx，它的导数等于1/x，即dy/dx= 1/x。
这些特殊函数的导数计算方法可以帮助我们更好地理解并应用微分。
还有一些常用函数的微分需要掌握，如三角函数、反三角函数、指数函数和对数函数等。
这些函数的导数计算方法是微分计算的基础，熟练掌握它们对于解决实际问题至关重要。
此外，微分计算还可以应用于曲线的切线和法线问题。
当我们需要求曲线在某一点的切线或法线时，可以利用微分的概念来解决。
切线的斜率等于曲线在该点的导数值，而法线的斜率等于切线斜率的相反数。
综上所述，微分计算方法和技巧是数学中的一项基本技能，对于解决实际问题、研究函数的性质具有重要的作用。
熟练掌握微分的计算方法和技巧，可以帮助我们更好地理解和应用微分，提高数学问题的解决能力。
全微分的定义及计算
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
2e2
例2. 计算函数
du
的全微分.
(
1 2
cos
y 2
ze
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yz
)
d
y
内容小结
1. 微分定义:
定义
z
o()
(x)2 (y)2
d z fx (x, y)dx f y (x, y)dy
2. 重要关系: 函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
思考与练习
1. 选择题
函数 z f (x, y)在 (x0, y0 ) 可微的充分条件是( D )
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
题目
作业
P76 1 (3) , (4) ; 3.
P69 :1(2),(4),(8); 5；6（3）；7.
第四节
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量 .
2.证明
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因 xy sin 1
xy
x2 y2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
lim
微分总结归纳
微分总结归纳微分是微积分的基础概念之一，是研究函数局部变化的工具。
通过微分运算，我们能够获得函数在某一点的斜率，进而揭示函数的特点和规律。
本文将对微分的基本概念、计算方法以及应用进行总结归纳。
一、微分的基本概念微分的基本概念可以用极限的思想来解释。
对于函数y=f(x)，在点x处的微分记作dy，表示函数在该点附近的一个小区间内的增量。
微分dy与自变量增量dx之间的关系可以用以下式子表示：dy = f'(x)dx其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数值，也称为函数的斜率或变化率。
微分的概念意味着我们可以用导数来描述函数在某一点的变化情况。
二、微分的计算方法微分的计算方法是微积分的重点之一。
根据函数的不同形式，我们可以采用不同的方法来进行微分计算。
1. 基本函数微分对于常见的基本函数，我们可以直接利用导数的定义和常用的导数公式进行微分计算。
例如，对于幂函数y=x^n，我们有如下的微分公式：dy/dx = nx^(n-1)2. 复合函数微分当函数是由多个基本函数复合而成时，我们需要运用链式法则进行微分计算。
链式法则告诉我们，复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
通过链式法则，我们可以逐步求解复杂函数的微分。
3. 隐函数微分当函数表达式中含有隐含的关系时，我们需要借助隐函数微分来求解函数的导数。
隐函数微分要求我们将含有导数的各项分离，并利用导数间的关系进行计算。
隐函数微分的思想在实际问题中具有广泛的应用。
三、微分的应用微分不仅是一种数学工具，同时也具有广泛的应用价值。
微分在物理学、经济学、生物学等领域都发挥着重要作用，以下是微分在几个典型应用中的体现。
1. 极值问题微分可以帮助我们判断函数的极值点。
通过求解导数为0的方程，我们可以找到函数取得极大值或极小值的点。
在实际问题中，极值问题是一类常见的优化问题，微分的方法为我们提供了寻找最优解的思路。
2. 斜率问题微分可以描述函数在某一点的斜率，从而帮助我们研究函数的变化趋势。
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用
1 0.02 3
y dy
1 1.02 1 0.02 （3）套y dy 3
3
1.02 1.0067
练习
插入视频中间
运用微分计算 9998 的近似值可得，9998 99.99.
A. √
B. ×
参考答案：A
第五节 小结
一.函数的微分
微分的定义、公式、几何意义
我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量 时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形 式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为 函数的微分形式不变性 .
例1
已知函数y ln(2 x )，求dy.
方法一
3
解
利用dy ydx可得 :
3
3 dy ln(2 x ) dx 3 (2 x ) 3 6 x dx dx x 2x 2x
所以, 球的体积增量大约为62.8 厘米。
立方
例3
求3 1.02的近似值
解
y
3
x
x 0.02
（1）设函数
x0 1
y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.02) f (1) （2）算y与dy
3 1.02 3 1
dy
1 1 2 3 yx 3 x x 3 2 x 3 x
二.微分的运算法则
1.微分基本公式
导数的基本公式
1 (x ) x
微分的基本公式
dx x 1dx
da x a x ln adx
1 d loga x dx x ln a
(a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a
微分计算公式
微分计算公式
微分计算公式是数学中一种重要的计算方法，是用来求函数中变化率的工具。
它是通过求函数极限来定义，可以用来求曲线特点、局部极值、最大最小值以及函数的求导等。
一、基本概念
首先，我们来看微分计算公式的基本概念。
微分概念源于微积分，它也是经过高等数学研究而发展出来的公式，它的核心思想是“近似求解”，以解决具有一定复杂度的问题。
二、微分计算公式
微分计算公式有以下几种：
（1）基本微分计算公式：
dv / dx = (v (x + h) - v (x)) / h
（2）复合微分计算公式：
d2v / dx2 = (v (x + h) + v (x - h) - 2v (x)) / h2 （3）指数型微分公式：
de / dx = (e (x + h) - e (x)) / h
（4）多项式微分公式：
dP / dx = (PX2 - PX1) / (X2 - X1)
三、应用
微分计算公式可以用于求解函数中特定点及其周围点的函数变
化率，从而确定局部最大最小值，以及函数求导等问题。
例如，用复合微分公式可以计算出圆的曲率。
此外，微分计算公式还可以用于在数值计算中，求函数的根和极值，以及分析复杂的不确定性问题。
四、结论
微分计算公式是理解数学中概念的重要工具，可以用于求解函数中变化率、局部极值、函数极值、函数求导等问题。
它不仅可以用于理论研究，也可以用于实际应用，帮助人们解决复杂的数学问题。
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1.d (C) 0(C为常数) 2.d(Cf (x)) Cdf (x)(C为常数)
3.d[ f (x) g(x)] df (x) dg(x)
4.d[ f (x) • g(x)] g(x)df (x) f (x)dg(x)
f (x) g(x)df (x) f (x)dg(x)
2x0x为S的主部
【3-4-1】
2、微分
设y f (x)在x0的某一邻域内有定义, 若有 y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)(x 0),其中A与x无关,
则称y f (x)在x0可微,且称Ax为f (x)在x0的微分,记作
dy xx0 df xx0 Ax
称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量， 还是中间变量，微分的形式是一样的，都有
dy f (x)dx
【3-4-7】
六、理解举例 例3 （参数方程函数求导法则） 设参数方程
x x(t) y y(t)
t [, ]
其中x(t), y(t)关于t可导,且有x(t) 0,求 dy dx
cos xf (sin x)dx
(4) y f (ex )
解：dy d f (ex ) f (ex )dex ex f (ex )dx
本节作业：P78 27
【3-4-10】
(2)df (x) f (x)x 因此微分的计算实质上就是导数计算
（3）一般表示形式 令y f (x) x,则有y f (x) 1,
dx df (x) f (x)x x dy f (x)dx
dy f (x)也称为微商,即是微分的商 dx
5.d
)]2
(g(x) 0)
【3-4-6】
五、复合函数的微分
1、法则 设y f [g(x)]是由可微函数y f (u)和u g(x)复合而成, 则y f [g(x)]关于x可微,且有
d f [g(x)] f [g(x)]g(x)dx f [g(x)]dg(x) 注： 上述结论中的等式 dy f (g(x) dx f (u)du
【3-4-4】
三、微分近似计算
1、公式
Q y f (x0 x) f (x0) f (x0)x o(x)(x 0)
当 x 1时有f (x0 x) f (x0) f (x0)x
2、应用举例
例1 求 5 0.99的近似值
解： 取f (x) 5 x, x0 1, x 0.01,则有
5 0.99 f (1 0.01) f (1) f (1)(0.01)
1 0.01 0.998 5
【3-4-5】
例2 设y x2,求dy, dy x1 , dy x0
解： dy d (x2 ) (x2 )dx 2xdx
dy x1 2dx, dy x0 0
3.4 微分及其计算
一、概念
1、引入实例 正方形边长改变时面积的改变量
设正方形边长为x0 ,则其面积为S x02
x
若边长改变x,则其面积变为S (x0 x)2
S S S (x0 x)2 x02 x0 S
2x0x (x)2
x0
当 x 1时,(x)2就更小,此时有 S 2x0x
若f (x)在(a,b)内处处可微,则称f (x)在(a,b)内可微,此时有
dy df (x) A(x)x
【3-4-2】
二、可微与可导的关系
1、结论 f (x)在x0可微 f (x)在x0可导,且有A f (x0 )
2、证明 :Q f (x)在x0可微 y Ax o(x)(x 0)
2 f (2x 1)dx
(2) y f (x2 1) 解： dy d f (x2 1) f (x2 1)d (x2 1)
2xf (x2 1)dx
【3-4-9】
(3) y f (sin x)
解： dy d f (sin x) f (sin x)d sin x
y A o(x) (x 0)
x
x
f
(x0 )
lim
x0
y x
A
:Q f (x)在x0可导
y f (x0 )x o(x)(有限增量公式)
f (x)在x0可微
【3-4-3】
3、应注意的问题 （1）等价并不意味着完全相同
f (x)只与x有关,而df (x)则与x和x都有关
解： Q dy y(t)dt, dx x(t)dt, x(t) 0
dy y(t)dt y(t) ,t [, ]
dx x(t)dt x(t)
【3-4-8】
例4 设y f (u)可微,求下列函数的微分
(1) y f (2x 1)
解： dy d f (2x 1) f (2x 1)d(2x 1)