第4章测验参考答案

第4章测验题（共3题，时间：30分钟）

1、若系统的齐次状态方程为),(t x f x

= ，若存在状态矢量x e ，对于所有t ，都使

x e 称为系统的平衡状态。

2、若二次型标量函数V (X )=V (x 1，x 2)=22

212125x x x x ++, 若写成V (X )= X T PX 的形式（P 为对称阵），则P

P 的符号性质为：。 3、系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=013502 ，[]

x y 11-=， （1）利用李亚普诺夫第二方法判断系统平衡状态的稳定性。

（2）分析系统的输入输出稳定性。

解：（1）令0=x ，易知该系统具有唯一一个平衡点为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00e x 。设⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=22121211p p p p P ，取Q=I ，解李亚普诺夫方程PA+A T P=－I ，可得：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=61656537P 易知矩阵P 的符号性质为不定，所以系统在平衡点处不是渐近稳定的。

也可取⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=1000Q 为半正定阵，则22)(x Qx x x V T =-= ，易证明仅当x=0时0)(≡x V

，因此Q 的选取合理。解李亚普诺夫方程PA+A T P= －Q 求出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=616

5651225P ，P 阵符号也为不定，故系统在平衡点处不是渐近稳定的，但无法判断系统是李亚普诺夫意义稳定还是不稳定。

说明：通过第一方法可求得系统的特征值为2和－3，存在具有正实部的特征值，因此系统是不稳定的。此外，通过求解该系统的自由解可知

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=-t t t

e x x e x e x t x 31020210210)()(，易知系统的状态是发散的，故系统是不稳定的。 （2）对于系统的输入输出稳定性分析：系统传递函数为

3

1)3)(2()2()()(1+=+--=-=-s s s s B A sI C s G ， 唯一极点为-3，位于s 平面左半平面，因此系统为输出稳定。