巧用数轴解题1

巧用数轴解题

数轴是沟通数与形，研究数学问题的一个重要工具．巧用数轴解题，直观、简明，常能化繁为简，化难为易．下面举例说明．

一、求值或化简

例1 已知a＜0，b＞0，且｜a｜＜｜b｜，求｜a＋b｜＋｜a－b｜的值．

解根据已知条件作出数轴，如图1．

∴｜a＋b｜＋｜a－b｜＝a＋b－(a－b)＝2b．

例2 已知b＜a＜0，c＞0，｜a｜＜｜c｜＜｜b｜．

解根据已知条件作出数轴，如图2可知a＋b＜0，c－a＞0，b＋c＜0．

∴原式＝｜a｜－｜a＋b｜＋｜c－a｜＋｜b＋c｜

＝－a＋(a＋b)＋(c－a)－(b＋c)

＝－a．

二、比较大小

例3 比较实数x2与x的大小．

分析当x＝0或1时，有x2＝x，于是作数轴，借数轴分区间讨论．

解作数轴，如图3．

当x＜0时，x2＞0，故x2＞x．

当x＝0时，x2＝0，故x2＝x．

当0＜x＜1时，x·x＜x·1，故x2＜x．

当x＝1时，x2＝1，故x2＝x．

当x＞1时，x·x＞x·1，故x2＞x．

三、求未知数的取值范围

例4 已知｜x－1｜＋｜x－5｜＝4，则x的取值范围是[ ]．

A．1≤x≤5 B．x≤1

C．1＜x＜5 D．x≥5

解作数轴，如图4．由图可知1≤x≤5，故选(A)．

四、解方程

例5 解方程｜x－1｜＋｜x－3｜＝4．

解作数轴，如图5，方程表示动点x到两定点A(1)，B(3)的距离之和等于4，由图5可知，只有点x1(0)，x2(4)才满足方程，所以方程的解为x1＝0，x2＝4．

例6 解方程｜x＋2｜－｜x－4｜＝4．

解作数轴，如图6．

方程表示动点x到定点A(－2)的距离与到定点B(4)的距离之差为4，由图6可知，只有x(3)才满足方程，所以方程的解为x＝3．

五、解不等式

例7 解不等式｜y－7｜－｜y＋3｜＞8．

解作数轴，如图7．不等式可视为数轴上的点y到7与到－3的距离之差要大于8．由

图7可知y＜－2．

例8 解不等式｜x＋3｜＋｜x－4｜＞8．

解作数轴，如图8．不等式可视为数轴上的点x到－3与到4的距离之和要大于8，由图8可知x＞4.5或x＜－3.5．

六、求参数的取值范围

A．m＜2 B．m＞2

C．m＜1 D．1≤m＜2

解作数轴，如图9可知m＜2，故选(A)．

七、求最值

例10｜x－1｜＋｜x－2｜＋｜x－3｜的最小值是 [ ]．

A．1 B．2 C．3 D．4

解作数轴，如图10．根据绝对值的几何意义，本题就是在数轴上求一点x，使它到A、B、C三个点的距离之和最小，从数轴上易见，这个点x应取在B的位置，此时最小值为2，故选B．

八、解数字整除问题

例11 从1到1000这1000个自然数中，有______个数既不能被4也不能被6整除． [ ]

A．416 B．584 C．625 D．667

解作数轴，如图11．

从数轴上可看出，能被4或6整除的数可分成四个一组，每一组的最后一个数正好是12的倍数，每相邻两组之间的间隔为4，而1000＝83×12＋4，故从1到1000这1000个自然数中能被4或6整除的数共有83×4＋1＝333个．从而既不能被4也不能被6整除的数共有(1000－333＝)667个，选D．

九、解几何问题

例12 如图12，M是AB中点，N是BC中点，O是AC中点，则 [ ]．

A．CN＜OM B．CN＝OM

C．CN＞OM D．CN与OM的大小关系不能确定

解以O为原点，OC(或OA)长为一个单位，作数轴，如图13．设B点坐标为a（0

则M点坐标为a1

2

，N点坐标为a+1

2

，从而有

得 CN＝OM，故选(B)．

十、解应用问题

例13 父亲是儿子现在年龄时，儿子已10岁，而当儿子是父亲现在年龄时，父亲将82岁，问父子两人相差几岁？

解作数轴，如图14．

设A、B两点分别表示儿子和父亲现在的年龄，并设两人的年龄差为x，注意到父子两人相差的年龄不变，可将题目的条件在数轴上表示出来，从数轴上可直观地看出3x＝82－10＝72，所以x＝24．