高考数学 高频考点归类分析 逻辑推理(真题为例)
高考数学高频考点归纳与分析_上_
例１ （１）已知 集 合 Ａ＝ ｛ｘ｜ｙ＝ 槡４－ｘ｝，
Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ２＋１｝，则 Ａ∩Ｂ＝
．
（２）已知集合 Ａ＝｛１，３，ａ｝，集 合 Ｂ＝｛１，ａ２
－ａ＋１｝，若 ＢＡ，则ａ＝
．
解 析：（１）集 合 Ａ 表 示 的 是 函 数 ｙ ＝
槡４－ｘ的定义域，集 合 Ｂ 表 示 的 是 函 数ｙ＝ｘ２
０ 时 ，０２＋０２１＋１＝１，因 此 ④ 正 确 ．故 填 ③ ④ ．
考点 ８ 含 有 逻 辑 联 结 词 的 命 题 的 真 假
判断
判断含有逻 辑 联 结 词 的 命 题 的 真 假 时，应
首先判断组成这个命题的每个简单命题的真
假 ，然 后 根 据 真 值 表 判 断 这 个 命 题 的 真 假 ．对 于
认清集合的 本 质 特 征，准 确 地 转 化 为 图 形
关 系 ，是 解 决 集 合 运 算 中 的 重 要 数 学 思 想 ．一 定
要 牢 固 掌 握 两 个 重 要 工 具 ：韦 恩 图 和 数 轴 ，连 续
取 值 的 数 集 运 算 ，一 般 借 助 数 轴 处 理 ，而 列 举 法
表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理．
② 当 Ｂ≠ 时，有烅ｍ＋１≥－２， 解 得 ２
烆２ｍ－１≤５．
≤ｍ≤３．
综合（１）（２），得 ｍ 的取值范围是ｍ≤３．
考 点 ５ 集 合 的 交 汇 题 将集合问题 与 其 他 知 识 交 汇 命 题，既 可 以
考 查 集 合 知 识 ，又 可 以 考 查 相 关 问 题 ．
例５ 已知 Ω＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ≤６，ｘ≥０，ｙ ≥０｝，Ｈ＝ ｛（ｘ，ｙ）｜ｘ≤４，ｙ≥０，ｘ－２ｙ≥０｝，若 向区域 Ω 内随机投一点Ｐ，则点 Ｐ 落入区域 Ｈ 的 概 率 为 （ ）．
数学高频考点归类分析(真题为例)：应用配方法求最值
应用配方法求最值典型例题：例1. （2012年浙江省文5分)若正数x ，y 满足x +3y =5xy ,则34x y +的最小值是【 】A 。
245B 。
285C.5D.6【答案】C.【考点】基本不等式或配方法的应用。
【解析】∵x +3y =5xy ，∴135yx+=,11315y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
∴2113131213113(34)()()5555555x y x y yxyx+⋅+=++=++≥。
（或由基本不等式得）∴34x y +≥5，即34x y +的最小值是5。
故选C.例2.（2012年上海市理14分)海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图。
现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向;（6分）（2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？(8分）【答案】解：（1)5.0=t 时,P 的横坐标P 77=2x t =，代入抛物线方程21249y x =得P 的纵坐标P 3y =.∵A（0，12)， ∴()227949AP =+3+122⎛⎫=⎪⎝⎭。
949/时。
由tan∠OAP=72tan OAP 3+12730∠==，得OAP arc 30tan 7∠=，∴救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度。
(2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t 。
由222)1212()7(++=t t vt ，整理得222211144()337144()625625v t t tt=++=-+≤。
∵当1t t=即t =1时2v 最小，即25≥v 。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 程序框图(真题为例)
程序框图典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则【 】()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【答案】C 。
【考点】程序框图的结构。
【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是：A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数。
故选C 。
例2. （2012年北京市理5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为【 】A. 2 B .4 C.8 D. 16【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，程序的运行过程中各变量值变化如下表：-时，输出x 例3. （2012年天津市理5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25的值为【】-（Ｂ）1（Ｃ）3（Ｄ）9（A）1【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：例4. （2012年天津市文5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为【】（A）8 （B）18 （C）26 （D）80【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：例5. （2012年安徽省理5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是【】C5()D8()A3()B4()【答案】B。
【考点】程序框图的结构。
【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满x≤的最小项数：足4根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：y。
历年(2019-2023)高考数学真题分类(集合、常用逻辑用语与不等式)练习(附答案)
[答案解析]因为
1 ，所以
|
2
C. |3
16
|0
16 ；因为
4 ，所以
}.所以 ∩
|
A.
1 ,2
|0
B. 1 ,2
1|
1 ，得 1
2 ，所以 ∩
9. [2022 北京，4 分]已知全集
1 ，则∁
A.
2,1
16
|3
| |
1|
(B)
[答案解析]由|
历年（2019-2023）高考数学真题分类（集合、常用逻辑用语与不等式）练习
考点： 集合
一、选择题
2 , 1 ,0,1,2 ，
1. [2023 新高考卷Ⅰ，5 分]已知集合
6
A.
0 ，则 ∩
(C)
2 , 1 ,0,1
B. 0 ,1,2
2
C.
|
[答案解析]解法一因为
∩
|
6
0
1 ,3 ,
1 ,2,4 ，则
C. 1 ,2,4
D. 1 ,2,4,5
1 ,2,4 ，所以∁
3 ,5 ,又
1 ,3 ，
1 ,3,5 .故选A .
4. [2023 全国卷甲，5 分]设全集
∪
0 .当
(A)
A. 1 ,3,5
|
2
1 ,0,1 ，满足 ⊆ .所以
3. [2023 天津，5 分]已知集合
2 ，故选A .
2 ,4,6 ，则 ∪
B. 1 ,2
C. 2 ,4,6
[答案解析]由集合并集的定义，得 ∪
7. [2022 新高考卷Ⅰ，5 分]若集合
2019全国各地高考数学重点试题分类解析汇编2：简易逻辑
2019全国各地高考数学重点试题分类解析汇编2：简易逻辑 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！第2部分：简易逻辑〔1〕命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分又不必要条件【答案】C【解析】：:sin sin sin a b c p B C A ==⇔a b c b c a==⇔a b c ==⇔q:△ABC 是等边三角形 【2018浙江宁波市期末文】∈b a ,R ，那么“b a =”是“ab b a =+2”的〔〕 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】B【解析】假设,a b 一正一负，那么得不到ab b a =+2，但假设ab b a =+2，必有b a =，应选B 。
【2018金华十校高三上学期期末联考文】a R ∈，那么“2a >”是“22a a >”成立的〔〕A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】此题主要考查充要条件的概念和一元二次不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.2a >可以推出22a a >；22a a >可以推出2a >或0a <不一定推出2a >。
“2a >”是“22a a >”充分不必要条件【2018三明市普通高中高三上学期联考文】以下选项表达错误的选项是A.命题“假设1x ≠，那么2320x x -+≠”的逆否命题是“假设2320x x -+=，那么1x =”B.假设命题p ：2,10x R x x ∀∈++≠，那么p ⌝：2,10x R x x ∃∈++=C.假设p q ∨为真命题，那么p ，q 均为真命题D.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】C【解析】此题主要考查命题及其判断真假的方法、全称命题、特称命题及其否定、充要条件的概念.属于基础知识、基本概念的考查.A,B,D 正确，假设p q ∨为真命题，那么p ，q 中至少有一个真即可，C 错误。
2020年新高考III卷数学逻辑推理题及答案
2020年新高考III卷数学逻辑推理题及答案1. 题目分析与答案解析第一题：以下是一组数字序列: 1, 3, 6, 10, 15, 21...请问下一个数字是多少？解析：从第一项开始，每一项都比前一项多1，所以下一个数字是21 + 6 = 27。
答案：27第二题：某商场正在进行打折促销活动，折扣力度为7折（即商品价格打7折），购物满200元再减40元。
小明购买了一部手机，原价300元。
请问他实际需要支付多少钱？解析：首先，将商品价格打7折：300元 * 0.7 = 210元。
接着，考虑满200元再减40元的优惠。
由于小明购买的商品价格并没达到200元，所以无法再享受这个优惠。
因此，小明需要支付的金额是210元。
答案：210元第三题：某书店正在进行促销活动，原价为160元的教材打8折，折上折，再减30元。
小红购买了这本教材，请问她实际需要支付多少钱？解析：首先，将教材原价打8折：160元 * 0.8 = 128元。
接着，考虑再减30元的优惠。
小红可以享受折上折的优惠，所以需要使用优惠后的价格来计算。
128元 - 30元 = 98元。
因此，小红需要支付的金额是98元。
答案：98元2. 数学逻辑推理题讨论本卷共有三道数学逻辑推理题，涉及到计算和推论等方面的技能。
题目的答案解析已经给出，并且给出了具体计算过程，使读者能够理解和掌握解题方法。
数学逻辑推理题在高考中占有重要的一部分，考察学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
通过做这些题目，可以培养学生的思维灵活性和解决问题的能力，同时也能提高他们的数学水平。
3. 结语通过解析2020年新高考III卷数学逻辑推理题，我们可以看到这一类题目涉及到数学计算和逻辑推理，需要学生掌握一定的数学知识和解题技巧。
希望本文的分析能对读者有所帮助，提高他们在数学逻辑推理题上的应试能力。
数学高频考点归类分析(真题为例)：集合中的元素和个数
集合中的元素和个数典型例题：例1. （2012年江西省理5分）若集合{1,1}A =-,{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为【 】A ．5B 。
4 C.3D.2【答案】C 。
【考点】集合的元素，分类讨论。
【解析】分类讨论：当=1x -时，=0y 或2，=1z x y =+-或1;当=1x 时,=0y 或2，=1z x y =+或3。
根据集合的互异性,{|1,1,3}z z =-中的元素的个数为3.故选C 。
例2. （2012年全国大纲卷理5分）已知集合{{}1,3,1,A B m A B A ===，,则m =【 】A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3【答案】B 。
【考点】集合的概念和并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用。
【解析】∵AB A =，∴B A ⊂。
∵{{}1,3,1A B m ==，,∴m A ∈。
∴m =3m =，解得0m =或3m =或1m =。
根据集合元素的互异性1m ≠，∴ 0m =或3m =.故选B.例3。
(2012年湖北省文5分)已知集合{}2|320,A x x x x =-+=∈R ，{}|05,B x x x =<<∈N ，则满足条件⊆⊆A C B 的集合C 的个数为【 】A 1B 2C 3D 4【答案】D 。
【考点】集合的子集。
【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x 。
∵⊆⊆A C B ,∴根据子集的定义，集合C 必须含有元素1， 2，且可能含有元素3,4。
∴原题转换为求集合{}3,4的子集个数，即有224=个。
故选D 。
高考数学推理真题及解析
高考数学推理真题及解析高考数学是每一位考生所必须面对的考试科目之一，在考试中，推理题占据了一定的比重。
推理题要求考生具有较强的逻辑思维能力和分析问题的能力。
下面就给大家介绍一些历年高考数学推理题的真题及解析，供大家参考。
真题一：已知命题p：如果a>0，则a^2>0，记为p：a>0→a^2>0。
命题q：如果a^2>0，则a>0，记为q：a^2>0→a>0。
现在给出三个命题：1. p∧q2. p∨q3. q→p请判断以上三个命题的真假。
解析：首先要弄清楚∧、∨和→的含义：∧表示“与”，两个命题均为真，整体为真；∨表示“或”，两个命题中有一个为真，整体为真；→表示“蕴含”，前件为真而后件为假，整体为假。
否则整体为真。
1. p∧q：根据p和q的定义，a>0→a^2>0且a^2>0→a>0均成立。
所以p∧q为真。
2. p∨q：a>0→a^2>0、a^2>0→a>0至少有一个成立，所以p∨q为真。
3. q→p：a^2>0→a>0成立，所以q→p为真。
综上所述，1、2、3命题均为真。
真题二：已知A、B、C、D四种颜色，每个字母代表一种颜色，且颜色之间满足以下条件：1. A和C不同色；2. B和D不同色；3. C和D同色或者A和B同色。
那么，请问ABCDD这五个字母分别代表什么颜色？解析：根据题意，根据第3个条件，C和D同色或者A和B同色。
假设C和D同色，由于A和C不同色，故A和B同色，即A和B同色，所以B和D同时不同色，与已知条件冲突。
所以C和D不同色，那么A和B同色。
综上所述，ABCDD分别代表同色。
以上就是历年高考数学推理题的部分真题及解析，希木对大家备考高考数学推理题有所帮助。
考生们在备考过程中一定要注重理论知识的掌握和解题技巧的训练，相信大家一定可以在考试中取得优异的成绩。
加油！。
2020高考数学 热点考点精析 简易逻辑 精品
考点2 简易逻辑一、选择题1.（2020·湖北高考理科·T9）若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记22(,)a b a b a b ϕ=+--，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【思路点拨】寻求(),0a b ϕ=和a 与b 互补之间的推出关系.【精讲精析】选C. 当(),0a b ϕ=时，即22a b a b +=+∴222()a b a b +=+，即ab=0，又a+b 0≥，故a=0,b 0≥或b=0,a 0≥；当a 与b 互补时，0,0,a b ≥≥且0ab =， ∴222(,)()0.a b a b a b a b a b a b a b ϕ=+--=+--=+--=因此(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.2.（2020·四川高考理科·Ｔ5）函数()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的（ ）.（A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件【思路点拨】充分性，必要性的判断.【精讲精析】选B ， 由函数0,()10.x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩可知函数在0x =处有定义，而函数在0x =处不连续.即函数()f x 在0x x =处有定义函数()f x 在点0x x =；若函数在某点连续，则必然有定义，即函数()f x 在点0x x =⇒函数()f x 在0x x =处有定义.故为必要不充分条件.故选B. 3.（2020·四川高考文科·Ｔ5）“3x =”是“29x =”的（ ）.（A ）充分而不必要的条件 （B ）必要而不充分的条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件【思路点拨】293 3.x x x =⇔==-或【精讲精析】选A. 23=9；x x =⇒ 29x =3x =. 故“3x =”是“29x =”的充分不必要条件.故选A.4. (2020·重庆高考理科·T2)“1x <-”是“210x ->”的 ( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件【思路点拨】化简210x ->然后根据集合之间的关系进行判断.【精讲精析】选A. 解210x ->得1>x 或1x <-,因为集合{}1-<x x 是集合 {}11>-<x x x 或的真子集,所以“1x <-”是“210x->”的充分不必要条件.。
最新高中数学简单逻辑专题解析(精编版)
全国高考数学试题分类解析——简单逻辑1.(安徽理科第7题）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（ ） （A ）所有不能被2整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的数是偶数（D ）存在一个不能被2整除的数不是偶数解析：全称命题的否定是特称命题，选D2.（北京文科第4题）若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题(C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命题答案: D3.（福建理科第2题）若R a ∈，则2=a 是0)2)(1(=--a a 的（ ）A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：A4.（福建文科3）若a ∈R ，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件答案：A5.（湖北理科9、文科10）若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补（ ）A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 答案：C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a a b a ϕ，反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ 则022≥+=+b a b a ，两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.6.（湖南理科2）设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
2025届新高考数学一轮复习精讲精练：常用逻辑用语(知识+真题+6类高频考点) ( 精讲)
常用逻辑用语目录第一部分：基础知识 (2)第二部分：高考真题回顾 (3)第三部分：高频考点一遍过 (5)高频考点一：充分条件与必要条件的判断 (5)高频考点二：充分条件与必要条件的应用 (7)高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 (10)高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (12)高频考点五：含有一个量词的命题的否定 (15)高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数 (16)第四部分：典型易错题型 (18)注意：“的”字结构倒装 (18)注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0 (18)注意：给定的区间是非R区间，不能用 判别法 (19)注意：给定的区间是R区间，可用 判别法 (19)第五部分：新定义题（解答题） (20)第一部分：基础知识1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）若p q ⇒且q p ¿，则p 是q 的充分不必要条件；（3）若p q ¿且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（4）若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；（5）若p q ¿且q p ¿，则p 是q 的既不充分也不必要条件.拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件（1）p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件；（2）p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件；（3）p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；（4）p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件.拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：{|()}A x p x =，q ：{|()}B x q x =，则（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件；（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件；（3）若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件；（4）若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件；（5）若A B =，则p 是q 的充要条件；（6）若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件.拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构（1）p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p ¿（注意标志性词：“是”，此时p 与q 正常顺序）（2）p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q ¿（注意标志性词：“的”，此时p 与q 倒装顺序）2、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.（2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.（3）全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对M 中的任意一个x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∀∈.②全称量词命题的否定：,()x M p x ∃∈⌝.（4）存在量词命题及其否定（高频考点）第二部分：高考真题回顾第三部分：高频考点一遍过高频考点一：充分条件与必要条件的判断高频考点二：充分条件与必要条件的应用高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断典型例题例题1．（多选）（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高级中学校联考期中）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.71=，[]1.72-=-，[]y x =又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A ．[]y x =是奇函数B ．x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则1x y -<高频考点五：含有一个量词的命题的否定典型例题例题1．（2024上·山东潍坊·高一统考期末）设m ∈R ，命题“存在0m ≥，使210mx mx --=有实根”的否定是（）A ．任意0m ≥，使210mx --=无实根B ．任意0m <，使210mx mx --=有实根C ．存在0m ≥，使210mx mx --=无实根D ．存在0m <，使210mx mx --=有实根【答案】A【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.【详解】由题意知命题“存在0m ≥，使210mx mx --=有实根”为存在量词命题，其否定为：任意0m ≥，使210mx mx --=无实根，故选：A高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数第四部分：典型易错题型注意：“的”字结构倒装注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0综上可得，实数m 的取值范围为31m -<≤，所以31m -<<是()()21110m x m x -+--<对任意的x ∈R 恒成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.注意：给定的区间是非R 区间，不能用 判别法注意：给定的区间是R 区间，可用 判别法故答案为：(]1,0-.第五部分：新定义题（解答题）。
[精品]三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题30 推理与证明 理(含解析)
![[精品]三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题30 推理与证明 理(含解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/bf6bf00a482fb4daa58d4b5f.png)
专题30 推理与证明考纲解读明方向考纲解读分析解读 1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳—猜想—证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一般以填空题形式出现,分值约为5分,属中档题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.2017年高考全景展示1. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。
看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。
根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。
数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。
而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。
2.(2017北京,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案①Q1②p23.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.4.(2017北京,20,13分)设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(1)若a n=n,b n=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.解析本题考查等差数列,不等式,合情推理等知识,考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力.(1)c1=b1-a1=1-1=0,c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k-na k)=(b k+1-b k)-n(a k+1-a k)=2-n<0,所以b k-na k关于k∈N*单调递减.所以c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}=b1-a1n=1-n.所以对任意n≥1,c n=1-n,于是c n+1-c n=-1,所以{c n}是等差数列.(2)设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2,则b k-na k=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).所以c n=①当d1>0时,取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此c n=b1-a1n.此时,c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d1=0时,对任意n≥1,c n=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).此时,c1,c2,c3,…,c n,…是等差数列.③当d1<0时,当n>时,有nd1<d2.所以==n(-d1)+d1-a1+d2+≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.对任意正数M,取正整数m>max,故当n≥m时,>M.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．【答案】1和3考点：逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.。
数学高频考点归类分析(真题为例)：统计量的分析和计算
统计量的分析和计算典型例题：例1. （2012年全国课标卷文5分）在一组样本数据（x1，y1）,（x2，y2），…，（x n,y n）（n≥2，x1,x2，…，x n不全相等）的散点图中,若所有样本点（x i,y i）（i=1,2,…,n)都在直线y=错误!x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为【】（A）－1 (B）0 (C）错误!（D）1【答案】D。
【考点】样本相关系数。
【解析】根据样本相关系数的概念，因为所有样本点(x i，y i）(i=1，2,…，n)都在直线y=错误!x+1上，即两变量为完全线性相关，且完全正相关,因此这组样本数据的样本相关系数为1.故选D。
例2。
（2012年安徽省理5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则【】()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数()B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差()D甲的成绩的极差小()于乙的成绩的极差【答案】C。
【考点】平均数,中位数，方差,极差。
【解析】∵11(45678)6, (5369)655xx =++++==⨯++=乙甲， ∴甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数。
∵甲的成绩的中位数=6，乙的成绩的中位数=5,∴甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数。
∵甲的成绩的方差为221(2212)25⨯+⨯=，乙的成绩的方差为221(1331) 2.45⨯+⨯=， ∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。
∵甲的成绩的极差=8－4=4,乙的成绩的极差=9－5=4， ∴甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差。
因此，正确的表述是：甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。
故选C 。
例3. （2012年山东省文5分）在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88。
若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的 是【 】A 众数B 平均数C 中位数D 标准差 【答案】D.【考点】统计量的特征.【解析】设A 样本数据为变量X ，B 样本数据为变量Y,则依题意，Y=X ＋2。
(完整版)高考数学简易逻辑知识点+例题+练习(学生),推荐文档
简 易 逻 辑逻辑联结词和四种命题一、命题的概念1. 可以 的语句叫做命题．2. 命题由 两部分构成；3. 命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题．二、命题的分类 （一）四种命题1. 四种命题：原命题：若p 则q ；逆命题： ； 否命题： ； 逆否命题： .2. 四种命题的关系：结论：互为逆否命题的两个命题真假性相同。
（二）简单命题与复合命题 1. 逻辑联结词有 . 2. 不含 的命题是简单命题． 3. 的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种： .(其中p ，q 都是简单命题)．4. 判断复合命题的真假的方法—真值表：(三)全称命题与存在命题1.全称量词：，用表示；2.存在量词：，用表示。
3.全称命题：，；4. 存在命题：，。
三、区分“命题的否定”和“否命题”1.命题的否定只否定结论：；2.否命题条件、结论都否定：。
例1. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；(3) 若x2＋y2＝0，则x、y全为零.变式训练：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.例2：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（）A.命题p和命题q都是假命题B.命题p和命题q都是真命题C．命题p和命题“非q”真值不同D．命题q和命题p的真值不同变式训练：下列结论中正确的是（）（A）命题p是真命题时，命题“P且q”一定是真命题。
（B）命题“P且q”是真命题时，命题P一定是真命题（C）命题“P且q”是假命题时，命题P一定是假命题（D）命题P是假命题时，命题“P且q”不一定是假命题例3.已知p：x2 +mx + 1 = 0 有两个不等的负根，q：4x2 + 4(m - 2)x + 1 = 0 无实根．若p或q为真，p且q 为假，求m的取值范围．分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．变式训练：已知下列三个方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2 ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.充要条件p ⇒q 则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的条件． 2. 必要条件：如果q ⇒ p 则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的条件．p ⇒q 且q ⇒ p 则p 叫做q 的条件．例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的 p 是q 的充分条件？（1）若x = 1，则x 2 - 4x + 3 = 0;（2） 若f (x ) = x ，则 f ( x )为增函数; （3） 若x 为无理数,则x 2为无理数.例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1） 若x = y ，则x 2 = y 2 ;（2） 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等;(3) 若a > b ,则ac > bc .例3．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由． 1． A ： p ≥ 2, p ∈ R ，B ：方程 x 2 + px + p + 3 = 0 有实根； 2．A ： 2x - 3 > 1 ；B ：1x 2+ x - 6> 0 ；变式训练：指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1） 对于实数x 、y ，p ：x+y≠8,q:x≠2或y≠6; （2） 非空集合A 、B 中，p ：x∈A∪B，q ：x∈B； 例4.已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.变式训练：证明一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.简易逻辑章节测试题一、选择题1. 下列语句中是命题的是（ ） （A ）语文和数学 （B ）sin45°=1 (C)x 2+2x-1 （D ）集合与元素2. 已知下列三个命题 1 方程x 2-x+2=0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（）（A）①和②（B）①和③（C）②和③（D）只有①3.下列结论中正确的是（）（A）命题p是真命题时，命题“P且q”一定是真命题。
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目
高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目数学推理与证明题是高考数学中的一种重要题型，对学生的逻辑思维和推理能力提出了较高的要求。
在高考中，这类题目常常考查学生的分析和推理能力，对于学生而言，掌握一定的解题技巧和方法是非常重要的。
本文将为大家介绍一些经典的高考数学推理与证明题，帮助大家加深对这一题型的理解和应对能力。
一、数列推导与证明题数列是高考数学中经常出现的题型，其推导与证明题目主要考查学生的数学归纳法和推理能力。
下面我们来看一个经典的数列推导与证明题。
例题1: 已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1/n，证明该数列单调递增。
解析: 首先我们将证明该数列是递增的，即an+1≥an。
当n=1时，根据题目条件有a2=a1+1/1=3/1=3，显然3≥2，满足条件。
假设当n=k时，an+1≥an成立，即ak+1≥ak。
当n=k+1时，根据题目条件有a(k+1)+1=a(k+1)+1/(k+1)=ak+1+1/(k+1)。
由假设条件可得a(k+1)+1≥ak+1+1/(k+1)≥ak+1。
综上所述，根据数学归纳法，可证明该数列是递增的。
通过这个例子，我们可以看到数学归纳法在数列推导与证明题中的重要性。
在解这类题目时，我们要善于利用归纳法的思想，合理运用数学推理的方法。
二、平面几何推理与证明题平面几何推理与证明题是高考数学中的又一个重要考点，其解题过程需要注意严谨的逻辑推理和几何图形的分析。
下面我们来看一个经典的平面几何推理与证明题。
例题2: 在平面直角坐标系xOy中，点A(a，0)，B(b，0)与C(0，c)所构成的三角形ABC为正三角形，证明ab=3c²。
解析: 首先我们知道如果三角形ABC为正三角形，则其三个内角均为60°。
利用点A、B和C的坐标可以得到三条边的长度分别为√((a-b)²+c²)，|a-b|和√(a²+b²)。
专题1-2 简易逻辑题型归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)
【题型一】判断命题的真假
【典例分析】
对于实数 a，b，m，下列说法：①若 a b ，则 am2 bm2 ；②若 a b ，则 a | a | b | b | ；③若 b a 0, m 0 ，
则
a b
m m
a b
；④若
a
b
0
，且 |
ln
a
||
ln b
|
，则
2a
b
的最小值为
2
2 ．其中是真命题的为（
③ PQ
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
( x1 x2 y1 y2 )2 x1 x2 y1 y2 2 d (P,Q) ，③正确；
2
2
2
④ P,Q 是椭圆 x2 y2 1 上的任意两点，要使 d(P,Q) 最大， 54
当 P,Q 关于原点对称时，可保证 d(P,Q) 最大，
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】根据已知可知，直线系 M 都为以 0, 2 为圆心，以 1 为半径的圆的切线，即可根据相关知识，逐个
判断各命题的真假．
【详解】根据直线系 M : x cos y 2 sin 1 （ 0 2 ）得到，
所有直线都为圆心为 0, 2 ，半径为 1 的圆的切线．
①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④ M 中所有直线均经过一个定点； ⑤不存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上；
⑥对于任意整数 n n 3 ，存在正 n 边形，其所有边均在 M 中的直线上；
⑦ M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
2
2
2，
又由
高考数学复习点拨 例析高考中的推理
例析高考中的推理推理主要指演绎推理及合情推理，而合情推理主要形式有归纳推理和类比推理。
下面例析在高考中的考查方式．一、考查归纳推理例1将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10。
。
。
。
。
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为分析：解决本题的关键是找出每一行个数的规律，以及每一行最后一个数的特征，这样就可解决下一行第一个数．解：前n －1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n －1)个，即22n n -，因此第n 行第3个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即262n n -+． 点评：运用归纳推理需要考查部分对象的情形，从而归纳猜想出一般规律，这样往往有时计算量大，易出偏差，且内部潜在的规律性有时难于看出来，还可用探求递推关系，最后用初始值及递推关系来寻找一般规律。
二、考查类比推理例2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）分析：本题是平面向空间的类比，对应的类比对象分别是：直线——→平面，四边形——→四棱柱，平行四边形——→平行六面体，等等．解：通过对平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件：⑴两组对边分别平行；⑵一组对边相等且平行；⑶两条对角线互相平分，等．进行类比分别可得到：⑴两组相对侧面分别平行；⑵一组相对侧面平行且全等；⑶对角线交于一点；⑷底面是平行四边形．等．评注：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出（猜想出）一个明确的命题．三、考查演绎推理例3设a ，b ，c 为正实数，求证：333111abc a b c +++≥ 分析：本题可用演绎推理来解决，主要是“三段论推理”及“关系推理”．证明：因为a ，b ，c 为正数，由平均不等式，可得333111a b c ++≥ 即3331113a b c abc++≥． ① 所以3331113abc abc a b c abc +++≥+． ②而3abc abc +≥= ③∴ 333111abc a b c+++≥ ④ 评注：为了方便，在运用三段论推理时，常省略大前提或小前提的表达方式．其中①、③ “三段论推理”的大前提“n 个正数的算术平均值不小于几何平均值”，小前提“333111,,a b c”等都是正数；而②的大前提是“不等式两边同加上一个数或式，不等式仍成立”，小前提“abc 是一个代数式”．④是“关系推理”，即“a ≥b ，b ≥c ，则a ≥c “．。
2021高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化专题17 常用逻辑用语附真题体验及解析
2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化专题17 常用逻辑用语附真题体验及解析【高频考点及备考策略】复习备考时明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的区别；掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用、考向预测：常用逻辑用语常与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查、必备知识1、命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真、的语句叫做真命题, 判断为假的语句叫做假命题、2、四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性;②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系、3、充分条件、必要条件与充要条件的概念设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满中条件q}，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p)ABp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q)BAp是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q 的既不充分也不必要条件(p⇒/ q，q⇒/ p)A与B互不包含4、简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；p和p为真假对立的命题、(2)命题p∨q的否定是(p)∧(q)；命题p∧q的否定是(p)∨(q)、5、全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)、它的否定p：∃x0∈M，p(x0)、(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)、它的否定p：∀x∈M，p(x)、【重要结论】1、否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论、2、(1)互为逆否命题的两个命题等价,注意转化思想的活用、(2)A是B的充分不必要条件⇔﹁B是﹁A的充分不必要条件、3、充要关系与集合的子集之间的关系,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}、(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件、(2)若A B,则p是q的充分不必要条件,q 是p的必要不充分条件、(3)若A=B,则p是q的充要条件、4、逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”,可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题、5、含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与﹁p→真假相反、6、含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”、7、“p∨q”的否定是“(﹁p)∧(﹁q)”;“p∧q”的否定是“(﹁p)∨(﹁q)”、【易错警示】混淆命题的否定与否命题：真题体验在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定、1、（2020新课标Ⅱ卷理科T16）同（2020新课标Ⅱ卷文科T16）设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内、p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面、p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行、p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l、则下述命题中所有真命题的序号是__________、①②③④【答案】①③④【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，所以，，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题、综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题、故答案为：①③④、2、（2020北京卷T9）已知，则“存在使得”是“”的（）、A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，，即或，亦即存在使得、所以，“存使得”是“”的充要条件、故选：C、【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题、3、（2020天津卷T3）设，则“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件、故选：A、【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题、4、（2020浙江卷T6）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交、当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面、综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件、故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题、5、【xx年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件、故选A、6、【xx年高考天津理数】设，则“”是“”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件、故选B、7、【xx年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A、α内有无数条直线与β平行B、α内有两条相交直线与β平行C、α，β平行于同一条直线D、α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件、故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行、故选B、8、【xx年高考北京理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A､B､C三点不共线，∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2>0与的夹角为锐角，故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件、故选C、9、(xx天津卷，4)设x∈R，则“<”是“x3<1”的( )A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件[解析] 由“＜”得0＜x＜1，则0<x3＜1，即“＜”⇒“x3＜1”；由“x3＜1”得x＜1，当x≤0时，≥，即“x3＜1”/⇒“＜”、所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件、故选A、10、(xx浙江卷，6)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件[解析] ∵ 若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n 有可能异面，∴ “m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件、故选A、11、(xx北京卷，6)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件[解析] 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6ab＝9a2＋b2＋6ab、又a，b 均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以ab＝0，能推出a⊥b、由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件、故选C、12、(xx山东卷，3)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2、下列命题为真命题的是( )A、p∧qB、p∧(q)C、(p)∧qD、(p)∧(q)[解析] ∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln1＝0、∴命题p为真命题，∴p为假命题、∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴q 为真命题、∴p∧q为假命题，p∧(q)为真命题，(p)∧q为假命题，(p)∧(q)为假命题、故选B、高频考点、热点题型强化考点一命题及逻辑联结词【典例1】(1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A、真，假，真B、假，假，真C、真，真，假D、假，假，假[解析] 若z1＝a＋bi，则z2＝a－bi、∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确、其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数，若z1＝a＋bi，z2＝－a＋bi，则|z1|＝|z2|，而z1，z2不为共轭复数、∴逆命题为假，否命题也为假、(2)已知命题p：∃x∈R，使sinx＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0、给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(q)”是假命题；③命题“(p)∨q”是真命题；④命题“(p)∨(q)”是假命题、其中正确的结论是( )A、②③C、③④D、①②③[解析] ∵>1，∴命题p是假命题、∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥>0，∴命题q是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧(q)”为假，“(p)∨q”为真，“(p)∨(q)”为真，所以只有②③正确，故选A、【备考策略】(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别、(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关、(3)形如p∨q，p∧q，p命题的真假根据真值表判定、(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题、【类比演练】1、设a，b，c是非零向量、已知命题p：若ab＝0，bc＝0，则ac＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c、则下列命题中真命题是( )A、p∨qC、(p)∧(q)D、p∨(q)[解析] 由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题、故选A、2、以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要条件、A、0B、1C、2D、3[解析] 对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lga＋lgb，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A<B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2RsinA<2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA<sinB，故A<B是sinA<sinB的充要条件，故④是假命题，选充要条件的判断【典例2】(1)设θ∈R，则“|θ－|<”是“sinθ<”的( )A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件[解析] ∵|θ－|<，∴－<θ－<，即0<θ<、显然0<θ<时，sinθ<成立、但sinθ<时，由周期函数的性质知0<θ<不一定成立、故0<θ<是sinθ<的充分而不必要条件、故选A、(2)若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是( )A、p是q的必要不充分条件B、q是p的必要不充分条件C、p是q的必要不充分条件D、q是p的必要不充分条件[解析] 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，q⇒ / p，由互为逆否命题的两命题等价可得q⇒p，p⇒ / q，∴p是q的必要不充分条件，故选C、(3)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )A、充要条件B、充分而不必要条件C、必要而不充分条件D、既不充分也不必要条件[解析] 设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，故q<0是q<－1的必要而不充分条件、故选C、(4)已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )A、[2，＋∞)B、[1，＋∞)C、(2，＋∞)D、(－∞，－1][解析] 由<1，可得－1＝<0，所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2、【备考策略】判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)、(2)集合法：利用集合间的包含关系、例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)：若A＝B，则是B 的充要条件、(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题、【类比训练】1、“a2＝1”是“函数f(x)＝lg(＋a)为奇函数”的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件[解析] a2＝1⇒a＝1，f(x)＝lg(＋a)为奇函数等价于f(x)＋f(－x)＝0，即lg(＋a)＋lg(＋a)＝0⇔(＋a)(＋a)＝1化简得a＝－1，故选B、2、设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( )A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件[解析] 由3a>3b>3，知a>b>1，所以log3a>log3b>0，所以<，即loga3<logb3，所以“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分条件；但是取a＝，b＝3也满足loga3<logb3，不符合a>b>1、所以“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件、【强化训练】1、命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )A、∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B、∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C、∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0D、∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0[解析] 全称命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是特称命题“∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”、2、设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则∈R、其中的真命题为( )A、p1，p3B、p1，p4C、p2，p3D、p2，p4[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)、对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题、对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0、当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题、对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0、而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2、因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题、对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题、3、已知命题p：在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，则有m＋n＝p＋q，命题q：∃x0>0,2－x0＝ex0，则下列命题是真命题的是( )A、p∧qB、p∧qC、p∨qD、p∨q[解析] 命题p是假命题，因为当等差数列{an}是常数列时显然不成立，根据两个函数的图象可得命题q是真命题，∴p∨q是真命题，故选C、4、下列四个命题中正确命题的个数是( )①对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1>0；②m ＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为1、23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为＝1、23x＋0、08；④若实数x，y∈[－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为、A、1B、2C、3D、4[解析] ①错，应当是p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x，y∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x2＋y2≥1的概率为、5、下列命题的否定为假命题的是( )A、∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B、任意一个四边形的四顶点共圆C、所有能被3整除的整数都是奇数D、∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1[解析] 设命题p：∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1，则p：∃x∈R，sin2x＋cos2x≠1，显然p是假命题、6、给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q：函数y＝为偶函数，下列说法正确的是( )A、p∨q是假命题B、(p)∧q是假命题C、p∧q是真命题D、(p)∨q是真命题[解析] 对于命题p：y＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，令(1－x)(1＋x)>0，得－1<x<1、所以函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，因为f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以命题p为真命题；对于命题q：y＝f(x)＝，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以命题q为假命题，所以(p)∧q是假命题、7、已知命题p：x≥1，命题q：<1，则p是q的条件、[解析] 由题意，得p为x<1，由<1，得x>1或x<0，故q为x>1或x<0，所以p是q的既不充分也不必要条件、8、设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则p：。
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典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上， 37AE BF ==，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为【 】 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【答案】A 。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点E ,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E 点时，需要碰撞14次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，为便是于计算，将正方形ABCD 的边长扩大7倍，这样边长为7，3AE BF ==，4BE CF ==。
∴这些三角形相似的两边长之比43BE BF =。
∴431616574333CF GC DG GC GC ==⇒=⇒=-=；355443DH DH DH DG ==⇒=； 531313147774222CI CI DH CI BI --==⇒=⇒=-=； 132219274333BI BJ AJ BJ BJ ==⇒=⇒=-=； 31919971944443AK AK AK DK AJ ==⇒=⇒=-=；93434DK DL DL DL ==⇒=。
∴经过7次碰撞，到达与点E 成轴对称的点L 处，根据正方形的对称性，再经过7次碰撞，到达点E ，共14次碰撞。
故选A 。
例2. （2012年全国大纲卷文5分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，13AE BF==，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为【】A 8B 6C 4D 3【答案】B。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞6次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，为便是于计算，将正方形ABCD的边长扩大3倍，这样边长为7，1AE BF==，2BE CF==。
∴这些三角形相似的两边长之比21BEBF=。
∴32331311222GKFK DGFK FK==⇒=⇒=--=；21112DH DHDHDG==⇒=；∴经过3次碰撞，到达与点E成轴对称的点H处，根据正方形的对称性，再经过3次碰撞，到达点E，共6次碰撞。
故选B。
例 3. （2012年江西省理5分）观察下列各式：221,3,a b a b+=+=3344554,7,11,a b a b a b+=+=+=则1010a b+=【】A．28 B．76 C．123 D．199【答案】C。
【考点】归纳推理的思想方法。
【解析】观察各等式的右边,它们分别为1，3，4，7，11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,…，故1010123a b +=。
故选C 。
例4. （2012年福建省文5分）数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于【 】A ．1006B ．2012C ．503D ．0【答案】A 。
【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律：a 1＝1cos π2＝0，a 2＝2cosπ＝－2，a 3＝3cos 3π2＝0，a 4＝4cos2π＝4； a 5＝5cos 5π2＝0，a 6＝6cos3π＝－6，a 7＝7cos 7π2＝0，a 8＝8cos 8π2＝8； ······∴该数列每四项的和()+1+2+3+++=2=1,59,4+1k k k k a a a a k r r N *⋅⋅∈，，，。
∵2012÷4=503，∴S 2 012＝2×503＝1006。
故选A 。
例5. （2012年北京市理5分）已知()()x f x m(x 2m)x m 3,g x 22=-++=-（），若同时满足条件：()()()()x R f x 0g x 0x (,4),f x g x 0∀∈∃∈∞⋅ ，＜或＜，--＜①②，则m 的取值范围是 ▲【答案】()4,2-- 。
【考点】简易逻辑，函数的性质。
【解析】由()x g x 220<=-得x 1<。
∵条件()()x R f x 0g x 0∀∈，＜或＜①，∴当x 1≥时，()f x 0＜。
当m=0时，()f x =0，不能做到()f x 在x 1≥时，()f x 0＜，所以舍去。
∵()f x 作为二次函数开口只能向下，∴m <0，且此时两个根为12x =2m x =m 3--，。
为保证条件①成立，必须12m 0m 01x =2m 1m 4m 02x =m 31m 4<<<<<<<>⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪--⎩-⎪⎩。
又由条件()()x (,4),f x g x 0∃∈∞⋅ --＜②的限制，可分析得出x (,4)∈∞ --时，()f x 恒负。
∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比12x x ，两根中小的那个大。
由2m=m 3--得m=1-，∴当()m 1,0∈- 时，m 34<---，解得交集为空集，舍去。
当m=1-时，两根同为－2＞－4，舍去。
当()m 4,1∈-- 时，2m 4m 2<<-⇒-。
综上所述，()m 4,2∈-- 。
例6. （2012年湖北省文5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。
他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：（Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第 ▲ 项；（Ⅱ）12k b - = ▲ 。
（用k 表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -。
【考点】归纳规律。
【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为(1)2n n n a +=，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110。
故142539*********,,,,,b a b a b a b a b a b a ======。
从而由上述规律可猜想：255(51)2k k k k b a +==（k 为正整数）， 2151(51)(511)5(51)22k k k k k k b a ----+-===。
故201221006510065030b a a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项。
例7. （2012年湖南省理5分）设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N -1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n -2时，将P i 分成2i 段，每段2i N 个数，并对每段C 变换，得到P i +1，例如，当N =8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.（1）当N =16时，x 7位于P 2中的第 ▲ 个位置；（2）当N =2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第 ▲ 个位置.【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+。
【考点】演绎推理的基本方法，进行简单的演绎推理。
【解析】（1）当N =16时,012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,,16),113571524616P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16), x 7位于P 2中的第6个位置。
（2）考察C 变换的定义及（1）计算可发现：第一次C 变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C 变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以为4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项；依此类推可得出P 4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x 173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N =2n （n ≥8）故每段的数字有2n -4个，以13为首项的是第四段，故x 173位于第43211n -⨯+个位置。
例8. （2012年福建省理4分）数列{a n }的通项公式=cos +12n n a n π，前n 项和为S n ，则S 2 012＝ ▲ .【答案】3018。
【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律：a 1＝1cos π2＋1＝1，a 2＝2cosπ＋1＝－1，a 3＝3cos 3π2＋1＝1，a 4＝4cos2π＋1＝5；a 5＝5cos5π2＋1＝1，a 6＝6cos3π＋1＝－5，a 7＝7cos 7π2＋1＝1，a 8＝8cos 8π2＋1＝9； ······∴该数列每四项的和()+1+2+3+++=6=1,59,4k k k k a a a a k r r N *⋅⋅∈，，，。
∵2012÷4=503，∴S 2 012＝6×503＝3018。
例9. （2012年福建省文4分）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用．要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为 ▲ ．【答案】16。