北师大版八年级数学同步练习题及答案
北师大版数学八年级上册同步练习附答案1 认识无理数
1认识无理数一．选择题（共10小题）1. 在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 五个数中：﹣，﹣1，0，，，是无理数的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 下列各数中，是无理数的（）A. πB. 0C.D. ﹣4. 下列各数中，无理数的是（）A. B. C. π D.5. 在实数﹣2，，，0.1122，π中，无理数的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. 下列各数中，属于无理数的是（）A. πB. 0C.D. ﹣7. 在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个8. 下列各数是无理数的是（）A. B. C. D. 169. 在，-，0，，3.1415，π这6个数中，无理数共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 下列说法正确的是（）A. 带有根号的数是无理数B. 无限小数是无理数C. 无理数是无限不循环小数D. 无理数是开方开不尽的数二．填空题（共10小题）11. 如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共______个．12. 下列各数：，，5.12，﹣，0，，3.1415926，，﹣，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）．其中是无理数的有__个．13. 若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1，请写出两个你熟悉的无理数：__．14. 在实数1.732，，-，，中，无理数的个数为__．15. 在，，，0.8888…，3π，0.262662666266662…，六个数中，无理数有__个．16. 下列实数中，0.13，π，﹣，，1.212212221…（两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有__ 个．17. 在实数、、中，无理数是__．18. 在，，0，，，0.010010001…，，﹣0.333…，，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有__个．19. 写出两个无理数，使它们的和为有理数__，__；写出两个无理数，使它们的积为有理数__，__．20. 下列各数：，，，，，0.010*********，，中，是无理数的有__个．三．解答题（共10小题）21. 把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，，0，，，，，3.1422. 在下列4×4各图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．表示：表示：表示：（注：横线上填入对应的无理数）23. 在：，，0，3.14，，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，整数集合{ …}，分数集合{ …}，无理数集合{ …}．24. 国涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是有理数？如果误差要求小于0.01米，那么边长x的最大取值是多少（精确到0.001）？25. 500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：（1）x是整数吗？为什么不是？（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？26. 下列数中：①﹣|﹣3|，②﹣0.3，③﹣，④，⑤，⑥，⑦0，⑧﹣，⑨1.2020020002…（每两个2之间依次多一个0）（请填序号）无理数是，整数是．负分数是．27. 已知长方体的体积是1620，它的长、宽、高的比是5：4：3，问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？28. 体积为3的正方体的边长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由．29. 有6个实数：﹣32，﹣，，0.313131…，，﹣，请计算这列数中所有无理数的和．30. 判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“√”，错误请在括号内打“×”，并各举一例说明理由．（1）有理数与无理数的积一定是无理数．（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数．．答案一．选择题1. 【答案】B【解析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．，0．343343334…是无理数，故选B．考点：无理数．2.【答案】B【解析】无理数有:，只有1个．故选B．考点：无理数．3. 【答案】A【解析】A选项中，π是无理数，故此选项正确；B选项中，0是有理数，故此选项错误；C选项中，=2，是有理数，故此选项错误；D选项中，是有理数，故此选项错误；故选A.4. 【答案】C【解析】A选项中，是分数，属于有理数，故A错误；B选项中，是有理数，故B错误；C选项中，是无理数，故C正确；D选项中，是有理数，故D错误；故选C．5. 【答案】C【解析】无理数为：，，共有2个．故选C．6. 【答案】A【解析】A选项中，π是无理数，故此选项正确；B选项中，0是有理数，故此选项错误；C选项中，=2，是有理数，故此选项错误；D选项中，是有理数，故此选项错误；故选A.7.【答案】C【解析】无理数有、共两个，故选C.8. 【答案】B【解析】A选项中，是分数，属于有理数，故A错误；B选项中，是无理数，故B正确；C选项中，是有理数，故C错误；D选项中，16是有理数，故D错误；故选B．9.【答案】B【解析】在上述6个数中，，，0，3.1415都属于有理数，属于无理数的是共2个.故选B. 10.【答案】C【解析】A选项中，带有根号的数不一定是无理数，如是有理数，故此选项错误；B选项中，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数才是无理数，而无限循环小数是有理数，故此选项错误；C选项中，无理数是无限不循环小数的说法是正确的；D选项中，开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方产生的，无是无理数，但它不是开方产生的数，故选项错误．故选C．二．填空题11.【答案】4【解析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．故答案为：8．12.【答案】4【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，、、及(每两个8之间1的个数依次多1)是无理数，其余的数都是有理数，即无理数共有4个.点睛：初中阶段所遇到的无理数主要有三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有π的数．13. 【答案】﹣，﹣π【解析】本题答案不唯一，这样的无理数很多，如：.14. 【答案】2【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，是无理数，其余的都是有理数，即上述各数中无理数共有2个.15. 【答案】4【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，，是无理数，其余的都是有理数，即上述各数中，无理数有4个.16. 【答案】3【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，(每两个1之间依次多一个2)是无理数，其余的都是有理数，即上述各数中，无理数有3个.17. 【答案】【解析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．根据无理数的三种形式可求出答案．需要注意的就是本题中=2．考点：无理数18. 【答案】4【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，是无理数，其余的都是有理数，即上述各数中，无理数有4个.19. 【答案】【解析】（1）两个无理数的和为有理数，这样的无理数很多，如：和；（2）两个无理数的积为有理数，这样的无理数很多，如：和.点睛：（1）两个无理数的和、差、积、商有可能是无理数，也有可能是有理数；（2）本题的两个小问，在解答时，可以先任写出一个无理数和一个不为0的有理数，再通过有理数减去无理数和有理数除以无理数可得对应的另一根无理数.20. 【答案】2【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，是无理数，其余的数都是有理数，即上述各数中，无理数有2个.点睛：带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，如是有理数中的整数；带有根号且开方开不尽的数就一定是无理数．三．解答题21. 【解析】本题考查的是实数的分类. 先把-化为-2的形式，-化为-2,化为2的形式，再根据实数分无理数及有理数进行解答即可．解：有理数集合: -,-,0,,,3.14 .无理数集合:,-,22. 【解析】连接任意正方形的对角线，根据勾股定理计算出其长度，再由无理数的定义进行解答即可．23.【解析】根据无理数、整数、分数的定义即可作答．24. 【答案】5.291.【解析】（1）根据正方形的面积是边长的平方，可得该正方形的边长为米，化简可知边长不是有理数；（2）把化简并按指定“精确度”取近似值可得答案.解：（1）由题意可得正方形边长为：，这个正方形客厅的边长x不是有理数；（2）由（1）可得这个正方形边长x的最大取值为：.25. 【答案】（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是.【解析】（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．解：（1）不是，∵1<2<4，而x2=2∴1<x2<4，若x>0，1<x<2，∴在1和2之间不存在另外的整数.（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数.考点：本题主要考查无理数和勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．26. 【答案】无理数是③④⑨，整数是①⑥⑦，负分数是②⑧．【解析】（1）由无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”可知，上述各数中，无理数是③④⑨；（2）根据有理数定义和有理数的分类可知：上述各数中，整数是①⑥⑦，负分数是②⑧．27.【答案】长、宽、高分别为15，12，9不是无理数．【解析】首先根据题中条件求出长方体的长、空、高的值，然后再根据无理数的定义判断这些值是否是无理数即可.解：该长方体的长、宽、高不是无理数，理由如下：设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x．由题意可得：60x3=1620，解得x=3，∴该长方体的长、宽、高分别为15，12，9，∵15，12，9都是整数，属于有理数，不属于无理数，∴该长方体的长、宽、高不是无理数.28.【答案】体积为3的正方形的边长不可能是整数、分数、有理数．【解析】先根据正方体的体积公式求出棱长，即可判断.解：由题意得，正方体的棱长为，不可能是整数，不可能是是分数，不可能是有理数.考点：本题考查的是正方体的体积公式,实数的分类点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．29. 【答案】【解析】首先根据“无理数的定义”，找出上述各数中的无理数，再把它们相加即可.解：∵上述各数中：﹣，，﹣是无理数，∴上述各数中，所有无理数的和为：==.30. 【答案】×，√．【解析】（1）“有理数与无理数的积一定是无理数．”这种说法是错误的，如是无理数，0是有理数，但它们的积是0，为有理数，故这种说法错误；（2）“若a+1是负数，则a必小于它的倒数．”这种说法正确.∵a+1是负数，∴a+1＜0，即a＜﹣1，∴a必小于它的倒数．如：a=-2，-2的倒数是，-2是小于的.。
北师大版数学八年级下册：4.3 公式法 同步练习(附答案)
3公式法第1课时运用平方差公式因式分解知识点1直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．2a－b2C．a2－b2D．－a2－b22．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于（）A．9 B．4 C．－1 D．－23．把多项式(x－1）2－4因式分解的结果是（）A．(x＋3）(x＋1）B．(x＋1）(x－3）C．(x－1）(x＋3）D．(x－5）(x＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x2＝；(2）(2020·张家界）x2－9＝；(3）(2019·黔东南）9x2－y2＝．5．把下列各式因式分解：(1）9m2－4n2；(2）－16＋a2b2；(3）964m2－n2；(4）(x－2y）2－4y2.知识点2先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a2b－b3因式分解，结果正确的是（）A．b(a＋b）(a－b）B．b(a－b）2C．b(a2－b2）D．b(a＋b）27．因式分解：(1）(2020·济宁）a 3－4a ＝ ；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝ ；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝ ．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝ ．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为 .易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝ ．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．(a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b ）＝a 2－abC ．(a －b ）2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b ）(a －b ）14．对于任意整数n ，多项式(n ＋7）2－(n －3）2的值都能（ ）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝；(2）－9x2＋(x－y）2＝；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；(2）0.36x2－49y2；(3）a3b－16ab；(4）3m4－48；(5）x n－x n＋2；(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是（）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是（）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝；(2）a2－2ab＋b2＝．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋14；(2）4x2＋y2－4xy；(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝．9．把下列各式因式分解：(1）－x2＋6xy－9y2；(2）a3＋9ab2－6a2b.易错点对完全平方式理解不透10．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为（）A．100 B．150C．10 000 D．22 50012．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有．①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.13．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a，b的多项式的因式分解：．15．把下列各式因式分解：(1）(a－b）2＋4ab；(2）－2a3b2＋8a2b2－8ab2；(3）4x2－(x2＋1）2；(4）25－30(x－y）＋9(x－y）2；(5）(x2－2xy＋y2）＋(－2x＋2y）＋1.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果 ；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x ）(x 2－2x ＋2）＋1进行因式分解．18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x 2＋4x ＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2）2＋1.∵(x ＋2）2≥0，∴当x ＝－2时，(x ＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x ＋2）2＋1≥1.∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x ＝ 时，代数式x 2－6x ＋12的最小值是 ；(2）知识运用：若y ＝－x 2＋2x －3，当x ＝1时，y 有最大值(填“大”或“小”），这个值是 ；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝；(2）x2－6x＋8＝；(3）x2＋2x－3＝；(4）x2－6x－27＝．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝；(2）3x2－5x＋2＝．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝；(2）2x2－10x－12＝．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋）－(b3＋）＝a2( ）－(a＋b）＝( ）(a＋b）＝．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；(2）a2＋b2－9＋2ab.4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是．参考答案：第1课时 运用平方差公式因式分解知识点1 直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C ）A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22．已知多项式x 2＋a 能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于(C ）A ．9B ．4C ．－1D ．－23．把多项式(x －1）2－4因式分解的结果是(B ）A ．(x ＋3）(x ＋1）B ．(x ＋1）(x －3）C ．(x －1）(x ＋3）D ．(x －5）(x ＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x 2＝(1－x ）(1＋x ）；(2）(2020·张家界）x 2－9＝(x ＋3）(x －3）；(3）(2019·黔东南）9x 2－y 2＝(3x ＋y ）(3x －y ）．5．把下列各式因式分解：(1）9m 2－4n 2；解：原式＝(3m ＋2n ）(3m －2n ）．(2）－16＋a 2b 2；解：原式＝(ab ＋4）(ab －4）．(3）964m 2－n 2； 解：原式＝(38m ＋n ）(38m －n ）．(4）(x －2y ）2－4y 2.解：原式＝(x －2y ＋2y ）(x －2y －2y ）＝x(x －4y ）．知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a 2b －b 3因式分解，结果正确的是(A ）A ．b(a ＋b ）(a －b ）B ．b(a －b ）2C ．b(a 2－b 2）D ．b(a ＋b ）27．因式分解： (1）(2020·济宁）a 3－4a ＝a(a ＋2）(a －2）；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝3(x ＋3y ）(x －3y ）；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝mn(m ＋n ）(m －n ）．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；解：原式＝m(4m ＋n ）(4m －n ）．(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．解：原式＝(a －b ）(a ＋2）(a －2）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为3a －4.易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －2）．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D ）A．(a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b）＝a2－abC．(a－b）2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b）(a－b）14．对于任意整数n，多项式(n＋7）2－(n－3）2的值都能(A）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝(x＋4）(x－4）；(2）－9x2＋(x－y）2＝－(4x－y）(2x＋y）；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝(a－2）(m＋1）(m－1）．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为12．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3）(x－3）．(2）0.36x2－49y2；解：原式＝(0.6x）2－(7y）2＝(0.6x＋7y）(0.6x－7y）．(3）a3b－16ab；解：原式＝ab(a2－16）＝ab(a＋4）(a－4）．(4）3m4－48；解：原式＝3(m4－16）＝3(m2＋4）(m2－4）＝3(m2＋4）(m＋2）(m－2）．(5）x n－x n＋2；解：原式＝x n(1－x2）＝x n(1＋x）(1－x）．(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；解：原式＝[(y＋2x）＋(x＋2y）][(y＋2x）－(x＋2y）]＝(y＋2x＋x＋2y）(y＋2x－x－2y）＝(3x＋3y）(x－y）＝3(x＋y）(x－y）．(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．解：原式＝a2(a－b）－b2(a－b）＝(a2－b2）(a－b）＝(a－b）2(a＋b）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？解：36和2 020都是和谐数．理由如下：设a＝(n＋2）2－n2＝(n＋2－n）(n＋2＋n）＝2(2n＋2）＝4(n＋1），令36＝4(n＋1），解得n＝8.∴36＝102－82.同理：令2 020＝4(n＋1），解得n＝504.∴2 020＝5062－5042.第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是(D）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝(m＋2）2；(2）a2－2ab＋b2＝(a－b）2．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋1 4；解：原式＝(y＋1 2）2.(2）4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x）2＋y2－2·2x·y＝(2x－y）2.(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.解：原式＝(m－n－3）2.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝12(2x－1）2；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝n(m＋n）2；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝3a(a－1）2．9．把下列各式因式分解：(1）－x 2＋6xy －9y 2；解：原式＝－(x 2－6xy ＋9y 2）＝－(x －3y ）2.(2）a 3＋9ab 2－6a 2b.解：原式＝a(a 2＋9b 2－6ab ）＝a(a －3b ）2.易错点 对完全平方式理解不透10．在多项式4x 2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是±4x 或4x 4.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为(C ）A ．100B ．150C ．10 000D ．22 500 12．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．①－a 2＋b 2；②4x 2＋4x ＋1；③－x 2－y 2；④－x 2＋8x －16；⑤x 4－1；⑥m 2＋4m －4.13．若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2的值是1．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a ，b 的多项式的因式分解：ab ＋12(a 2＋b 2）＝12(a ＋b ）2．15．把下列各式因式分解：(1）(a －b ）2＋4ab ；解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b ）2.(2）－2a 3b 2＋8a 2b 2－8ab 2；解：原式＝－2ab 2(a 2－4a ＋4）＝－2ab 2(a －2）2.(3）4x 2－(x 2＋1）2；解：原式＝(2x ＋x 2＋1）(2x －x 2－1）＝－(x ＋1）2(x －1）2.(4）25－30(x －y ）＋9(x －y ）2；解：原式＝52－2×5×3(x －y ）＋[3(x －y ）]2＝[5－3(x －y ）]2＝(5－3x ＋3y ）2.(5）(x 2－2xy ＋y 2）＋(－2x ＋2y ）＋1.解：原式＝(x －y ）2－2(x －y ）＋1＝(x －y －1）2.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：当a ＋b ＝－3，ab ＝1时，原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2） ＝12ab(a ＋b ）2 ＝12×1×(－3）2 ＝92.17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果(x－2）4；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x）(x2－2x＋2）＋1进行因式分解．解：原式＝(x2－2x）2＋2(x2－2x）＋1＝(x2－2x＋1）2＝(x－1）4.18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.∵(x＋2）2≥0，∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x＋2）2＋1≥1.∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是3；(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝1时，y有最大值(填“大”或“小”），这个值是－2；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝(x＋1）(x＋4）；(2）x2－6x＋8＝(x－2）(x－4）；(3）x2＋2x－3＝(x＋3）(x－1）；(4）x2－6x－27＝(x－9）(x＋3）．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝(2x＋1）(x＋1）；(2）3x2－5x＋2＝(x－1）(3x－2）．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝(x＋2）(x－4）；(2）2x2－10x－12＝2(x＋1）(x－6）．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b）－(b3＋ab2）＝a2(a＋b）－b2(a＋b）＝(a2－b2）(a＋b）＝(a－b）(a＋b）2．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；解：原式＝(4x2－y2）－(2x＋y）＝(2x－y）(2x＋y）－(2x＋y）＝(2x＋y）(2x－y－1）．(2）a2＋b2－9＋2ab.解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝(a＋b）2－32＝(a＋b＋3）(a＋b－3）．4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有(D）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；解：原式＝x(x2－7x－30）＝x(x＋3）(x－10）．(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；解：原式＝(a－1）2＋4(a－1）＝(a－1）(a－1＋4）＝(a－1）(a＋3）．(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；解：原式＝(m2＋2m－8）(m2＋2m＋1）＝(m＋4）(m－2）(m＋1）2.(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.解：原式＝[(a－b）－2(a＋b）][(a－b）＋5(a＋b）]＝(－a－3b）(6a＋4b）＝－2(a＋3b）(3a＋2b）．6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b）2＋(b－c）2＝0.∴(a－b）2＝0，(b－c）2＝0，得a＝b且b＝c，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是直角三角形．。
北师大版初中八年级数学上册第一章同步练习题(含答案解析)
第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．30，40，50B ．7，12，13C ．5，9，12D ．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（ ）A ．169B ．119C ．13D ．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ）A ．3 cm 2B ．4 cm 2C ．5 cm 2D ．6 cm 2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的为（ ）A ．∠A =∠B －∠C B ．∠A ∶∠B ∶∠C =1∶1∶2C ．b 2=a 2－c 2D ．a ∶b ∶c =2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口1.5 h 后，两轮船相距（ ）A ．30 n mileB ．35 n mileC ．40 n mileD ．45 n mile7．如图，在△ABC 中，AB =A C =13，BC =10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A.1013 B.1513 C.6013D.7513 8．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD 是底边上的高，若AB =5 cm ，BC =6 cm ，则AD =__________．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．c－b=0，则△ABC的形状14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||为__________________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=________．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是______．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____．18．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为____．三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD=BC=12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE..21．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点E在CD上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF，试利用此图说明勾股定理．22．如图，∠AOB=90°，OA=9 cm，OB=3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？23．如图，在长方形ABCD中，DC=5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求△ADE的面积．24．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD=8 cm，高AB=6 cm，水深为AE=4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG=6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．参考答案第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（B）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（A）A．30，40，50B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（A）A．169 B．119 C．13 D．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（C）A．3 cm2B．4 cm2C．5 cm2D．6 cm2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（D）A．∠A=∠B－∠C B．∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2C．b2=a2－c2D．a∶b∶c=2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5 h后，两轮船相距（D）A．30 n mile B．35 n mile C．40 n mile D．45 n mile7．如图，在△ABC中，AB=A C=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（C）A.1013B.1513C.6013D.75138．若△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（D）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【解析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（D）A．9 B．6 C．4 D．3【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，故选：D．二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，则AD=_____11.4 cm_____．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为____400 m____．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于___7 cm_____．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||c－b=0，则△ABC的形状为_________等腰直角三角形_________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=____4____．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是__130cm____．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为__3cm≤h≤4cm__．【解析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16-12=4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．解答：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4（cm）；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为5cm，高为12cm，由勾股定理可得杯里面管长为数学公式=13cm，则露在杯口外的长度最长为16-13=3cm；则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．18．在△ABC 中，若AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，则△ABC 的周长为__32或42__．【解析】∵AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，∴AD 2=AC 2－CD 2，即AD =9，BD 2=BC 2－CD 2，即BD =5.如图①，CD 在△ABC 内部时，AB =AD ＋BD =9＋5=14，此时，△ABC 的周长为14＋13＋15=42；如图②，CD 在△ABC 外部时，AB =AD －BD =9－5=4，此时，△ABC 的周长为4＋13＋15=32.综上所述，△ABC 的周长为32或42.三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m ，如图，即AD =BC =12 m ，此时建筑物中距地面12.8 m 高的P 处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB 是3.8 m ，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？解：因为CD =AB =3.8 m ，所以PD =PC －CD =9 m.在Rt △ADP 中，AP2=AD2＋PD2，得AP=15 m.所以此消防车的云梯至少应伸长15 m.20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB ，AE 分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB ⊥AE ..解：如图，连接BE .因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2.所以△ABE 是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB ⊥AE..21．如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点E 在CD 上，DE =b ，AE =c ，延长CB 至点F ，使BF =b ，连接AF ，试利用此图说明勾股定理．解：在△ADE 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ＝a ，∠D ＝∠ABF ，DE ＝BF ＝b ，所以△ADE ≌△ABF.所以AE=AF=c ，∠DAE=∠BAF ，S △ADE=S △ABF.所以∠EAF=∠EAB ＋∠BAF=∠EAB ＋∠DAE=∠DAB=90°，S 正方形ABCD=S 四边形AECF.连接EF ，易知S 四边形AECF=S △AEF ＋S △ECF=12[c2＋（a －b ）（a ＋b ）]=12（a2＋c2－b2），S 正方形ABCD=a2，所以12（a2＋c2－b2）=a2. 所以a2＋b2=c2.22．如图，∠AOB =90°，OA =9 cm ，OB =3 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿BC 方向匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？ 解：根据题意，BC =AC =OA －OC =9－OC .因为∠AOB=90°，所以在Rt △BOC 中，根据勾股定理，得OB2＋OC2=BC2，所以32＋OC2=（9－OC ）2，解得OC=4 cm.所以BC=5 cm.23．如图，在长方形ABCD 中，DC =5 cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设落点为F ，若△ABF 的面积为30 cm 2，求△ADE 的面积．解：由折叠可知AD=AF ，DE=EF.由S △ABF=12BF ·AB=30 cm2， AB=DC=5 cm ，得BF=12 cm.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AF=13 cm ，所以BC=AD=AF=13 cm.设DE=x cm ，则EC=（5－x ）cm ，EF=x cm ，FC=13－12=1（cm ）．在Rt △ECF 中，由勾股定理，得EC2＋FC2=EF2，即（5－x ）2＋12=x2，解得x=135. 所以S △ADE=12AD ·DE=12×13×135=16.9 （cm2）． 24．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，公路PQ 上点A 处有学校，点A 到公路MN 的距离为80m ，现有一拖拉机在公路MN 上以18km/h 的速度沿PN 方向行驶，拖拉机行驶时周围100m 以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？解：设拖拉机开到C 处学校刚好开始受到影响，行驶到D 处时，结束了噪声的影响，则有CA=DA=100m.在Rt △ABC 中，CB2=1002－802=602，∴CB=60m ，∴CD=2CB=120m.∵18km/h=5m/s ，∴该校受影响的时间为120÷5=24（s ）．答：该校受影响的时间为24s.25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD =8 cm ，高AB =6 cm ，水深为AE =4 cm ，在水面线EF 上紧贴内壁G 处有一粒食物，且EG =6 cm ，一只小虫想从水缸外的A 处沿水缸壁爬进水缸内的G 处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．解：（1）如图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′G 与BC 交于点Q ，则AQ ＋QG 为最短路线．（2）因为AE =4 cm ，AA ′=12 cm ，所以A ′E =8 cm.在Rt △A ′EG 中，EG =6 cm ，A ′E =8 cm ，A ′G 2=A ′E 2＋EG 2=102，所以A ′G =10 cm ，所以A Q ＋QG =A ′Q ＋QG =A ′G =10 cm.所以最短路线长为10 cm.。
北师大版初中数学八年级上册《3.1 确定位置》同步练习卷(含答案解析
北师大新版八年级上学期《3.1 确定位置》同步练习卷一．选择题（共25小题）1．小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（）A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3kmB．游船在的小艇A北萄东60°，且距游船3kmC．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2kmD．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km2．如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，2）黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标是（）A．（2，2）B．（0，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）3．中国象棋是中华名族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（3，﹣2），则“兵”位于点（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣2，1）4．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，1），棋子“马”的坐标为（3，﹣1），则棋子“炮”的坐标为（）A．（1，1）B．（2，1）C．（2，2）D．（3，1）5．北京市为了全民健身，举办“健步走“活动，活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园→玲珑塔→国家体育场→水立方）如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上标记玲珑塔的坐标为（﹣1，0），森林公园的坐标为（﹣2，3），则终点水立方的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）6．如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用（1，3）表示靠左边的眼睛，用（3，3）表示靠右边的眼睛，那么嘴的位置可以表示成（）A．（2，1）B．（1，2）C．（1，1）D．（3，1）7．雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息﹣距离和角度，目标的表示方法为（m，α），其中，m表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点A，B，C处有目标出现，其中，目标A的位置表示为A（5，30°），目标C的位置表示为C（3，300°）．用这种方法表示目标B的位置，正确的是（）A．（﹣4，150°）B．（4，150°）C．（﹣2，150°）D．（2，150°）8．小刚从学校出发往东走500m是一家书店，继续往东走1000m，再向南走1000m 即可到家，若选书店所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m长，若以点A表示小刚家的位置，则点A的坐标是（）A．（1500，﹣1000）B．（1500，1000）C．（1000，﹣1000）D．（﹣1000，1000）9．如图，表示甲、乙、丙三人在排练厅所站的3块地砖．若甲、乙所站的地砖分别记为（2，2），（4，3），则丙所站的地砖记为（）A．（5，6）B．（6，5）C．（7，6）D．（7，5）10．如图，象棋盘上，若“将”位于点（1，﹣1），“车”位于点（﹣3，﹣1），则“马”位于点（）A．（3，2）B．（2，3）C．（4，2）D．（2，4）11．如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“王府井”的点的坐标为（4，1），表示“人民大会堂”的点的坐标为（0，﹣1），则表示“天安门”的点的坐标为（）A．（0，0）B．（﹣1，0）C．（1，0）D．（1，1）12．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，若表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（3，2），（﹣3，0），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（2，1）D．（2，0）13．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）14．如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0，0）表示点A，（0，4）表示点B，那么点C的位置可表示为（）A．（0，3）B．（3，2）C．（2，3）D．（3，0）15．如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），则“兵”位于点（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣3，1）D．（1，﹣2）16．初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）17．小米家位于公园的正东100米处，从小米家出发向北走250米就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东，正北方向为x轴，y轴正方向建议平面直角坐标系，则公园的坐标是（）A．（﹣250，﹣100）B．（100，250）C．（﹣100，﹣250）D．（250，100）18．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（﹣3，3）B．（0，3）C．（3，2）D．（1，3）19．如图，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对（0，﹣1）表示，黑棋②的位置用有序数对（﹣3，0）表示，则白棋③的位置可用有序数对（）表示．A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（﹣4，2）20．如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A 的位置记作A（8，30°）．用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在（）A．点O1B．点O2C．点O3D．点O421．如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是（）A．（2，﹣1）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（2，0）22．如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（）A．（6，4）B．（4，6）C．（1，6）D．（6，1）23．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（﹣10，20）表示的位置是（）A．点A B．点B C．点C D．点D24．从学校向东走600米，再向南走500米到小伟家；从学校向南走500米，再向西走300米到小亮家，则下列结论正确的是（）A．小亮家在小伟家的正东600米处B．小亮家在小伟家的正南500米处C．小亮家在小伟家的正西900米处D．小亮家在小伟家的正北600米处25．如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0，0）表示A点，（0，4）表示B点，那么C点的位置可表示为（）A．（0，3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，0）二．填空题（共14小题）26．小聪出校门向东走100米，再向北走120米到达阳光文具店，若以学校校门所在的位置为原点，分别以向东、向北方向为x轴、y轴正方向，1个单位长度代表1米建立平面直角坐标系，则阳光文具店的坐标是．27．中国象棋在中国有着三千多年的历史，它难易适中，趣味性强，变化丰富细腻，棋盘棋子文字都体现了中国文化，如图，已知所在位置的坐标为（﹣3，2），所在位置的坐标为（﹣1，0），在中国象棋的规则中，“马走日，象（相）飞田”，若下一步移动，则下一步可能走到的位置的坐标为．28．象棋是一项益智游戏，如图，已知表示棋子“車”的点的坐标为（﹣2，1），棋子“炮”的点的坐标为（1，3），则表示棋子“馬”的点的坐标为．29．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系xOy，使“帥”的坐标为（﹣1，﹣2），“馬”的坐标为（2，﹣2），则“兵”的坐标为．30．中国象棋在中国有着三千多年的历史，它难易适中，趣味性强，变化丰富细腻，棋盘棋子文字都体现了中国文化，如图，如果士所在位置的坐标为（﹣1，﹣2），相所在位置的坐标为（2，﹣2），那么将棋子炮右移一格后的位置的坐标为．31．如图，若棋盘中表示“帥”的点可以用（0，1）表示，表示“卒“的点可以用（2，2）表示，则表示“馬”的点用坐标表示为．32．如图，若小红的位置可以用坐标（﹣7，﹣4）表示，小明的位置可以用坐标（﹣5，﹣8）表示，则小亮的位置可以用坐标表示为．33．在如图的方格纸上，若用（﹣1，1）表示点A的位置，（0，3）表示点B的位置，那么点C的位置可表示为．34．如图是城市中某区域的示意图，小聪同学从点O出发，先向西走100米，再向南走200米到达学校，如果学校的位置用（﹣100，﹣200）表示，那么（300，200）表示的地点是．35．五子棋的比赛规则是一人执黑子，一人执白子，两人轮流出棋，每次放一个棋子在棋盘的格点处，只要有同色的五个棋子先连成一条线（横、竖、斜均可）就获得胜利．如图是两人正在玩的一盘棋，若白棋A所在点的坐标是（﹣2，2），黑棋B所在点的坐标是（0，4），现在轮到黑棋走，黑棋放到点C的位置就获得胜利，点C的坐标是．36．如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是（﹣2，﹣2），“相”的坐标是（3，2），则“炮”的坐标是．37．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，﹣1），棋子“马”的坐标为（1，﹣1），则棋子“炮”的坐标为．38．如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1、1），则此“QQ”笑脸右眼B的坐标．39．如图是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是（﹣2，﹣1），白棋③的坐标是（﹣1，﹣3），则黑棋②的坐标是．三．解答题（共11小题）40．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若游乐场的坐标为（3，2），宠物店的坐标为（﹣1，﹣2），解答以下问题（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出汽车站的坐标；（2）若消防站的坐标为（3，﹣1），请在坐标系中标出消防站的位置．41．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA=2km，OB=3.5km，OP=4km，点C为OP的中点，回答下列问题：（1）图中距小明家距离相同的地方是哪个？（2）请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．42．如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是（﹣2，3），实验室的位置是（1，4）．（1）根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示食堂、图书馆的位置；（2）已知办公楼的位置是（﹣2，1），教学楼的位置是（2，2），在图中标出办公楼和教学楼的位置；（3）如果一个单位长度表示30米，请求出宿舍楼到教学楼的实际距离．43．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知学校位置坐标为A（1，2）．（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系；（2）写出图书馆B位置的坐标是．44．请你在图中建立直角坐标系，使汽车站的坐标是（3，1），并用坐标说明儿童公园、医院、李明家、水果店、宠物店和学校的位置．45．如图，已知火车站的坐标为（2，2），文化宫的坐标为（﹣1，3）．（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；（2）写出体育场、市场、超市的坐标；46．如图，这是某城市部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标．47．阅读材料：象棋在中国有近三千年的历史，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．（1）若点A位于点（﹣4，4），点B位于点（3，1），则“帅”所在点的坐标为；“马”所在点的坐标为；“兵”所在点的坐标为．（2）若“马”的位置在点A，为了到达点B，请按“马”走的规则，在图上画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示出来．48．这是一个动物园游览示意图，彤彤同学为了描述这个动物园图中每个景点位置建了一个平面直角坐标系，南门所在的点为坐标原点，回答下列问题：（1）分别用坐标表示狮子、飞禽、两栖动物，马所在的点．，，，．（2）动物园又新来了一位朋友大象，若它所在点的坐标为（3，﹣2），请直接在图中标出大象所在的位置．（描出点，并写出大象二字）（3）若丽丽同学建了一个和彤彤不一样的平面直角坐标系，在丽丽建立的平面直角坐标系下，飞禽所在的点的坐标是（﹣1，3）则此时坐标原点是所在的点，此时南门所在的点的坐标是．49．李老师到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），（1）你能帮李老师在下图中建立平面直角坐标系求出其他各景点的坐标吗？（2）若图中一个单位长度代表实际距离100米，请你求出其中某两点（已用字母标记）间的实际距离．50．如图是某市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），若光岳楼的坐标为（﹣3，1），请建立平面直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置：金凤广场（，）；动物园（，）；湖心岛（，）；山峡会馆（，）．北师大新版八年级上学期《3.1 确定位置》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（）A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3kmB．游船在的小艇A北萄东60°，且距游船3kmC．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2kmD．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km【分析】利用方向角的表示方法对各选项进行判断．【解答】解：小艇A在游船的北偏东30°，且距游船3km；小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km；游船在小艇的南偏西30°，且距游船3km；小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km．故选：D．【点评】本题考查了坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法．2．如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，2）黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标是（）A．（2，2）B．（0，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）【分析】先利用已知两点的坐标画出直角坐标系，然后可写出白棋（甲）的坐标．【解答】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系：由坐标系知白棋（甲）的坐标是（2，1），故选：D．【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．3．中国象棋是中华名族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（3，﹣2），则“兵”位于点（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣2，1）【分析】根据“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（3，﹣2），建立平面直角坐标系，结合坐标系可得答案．【解答】解：如图所示，根据题意可建立如图所示平面直角坐标系，则“兵”位于点（﹣2，1），故选：D．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．4．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，1），棋子“马”的坐标为（3，﹣1），则棋子“炮”的坐标为（）A．（1，1）B．（2，1）C．（2，2）D．（3，1）【分析】先根据棋子“车”的坐标和棋子“马”的坐标，画出直角坐标系，然后写出棋子“炮”的坐标．【解答】解：根据题意可建立如图所示的坐标系：则棋子“炮”的坐标为（2，1），故选：B．【点评】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．5．北京市为了全民健身，举办“健步走“活动，活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园→玲珑塔→国家体育场→水立方）如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上标记玲珑塔的坐标为（﹣1，0），森林公园的坐标为（﹣2，3），则终点水立方的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：终点水立方的坐标是（﹣2，﹣3）．故选：A．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．6．如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用（1，3）表示靠左边的眼睛，用（3，3）表示靠右边的眼睛，那么嘴的位置可以表示成（）A．（2，1）B．（1，2）C．（1，1）D．（3，1）【分析】根据已知两点位置，建立符合条件的坐标系，从而确定其它点的位置．【解答】解：根据题意：用（1，3）表示左眼，用（3，3）表示右眼，可以确定平面直角坐标系中的x轴为从下面数第一行向上为正方向，y轴为从左面数第一列向右为正方向．那么嘴的位置可以表示成（2，1）．故选：A．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．7．雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息﹣距离和角度，目标的表示方法为（m，α），其中，m表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点A，B，C处有目标出现，其中，目标A的位置表示为A（5，30°），目标C的位置表示为C（3，300°）．用这种方法表示目标B的位置，正确的是（）A．（﹣4，150°）B．（4，150°）C．（﹣2，150°）D．（2，150°）【分析】根据点A、C的位置结合其表示方法，可得出相邻同心圆的半径差为1，结合点B在第四个圆上且在150°射线上，即可表示出点B．【解答】解：∵A（5，30°），C（3，300°），∴B（4，150°）．故选：B．【点评】本题考查了坐标确定位置，根据点A、C的坐标找出点B的坐标是解题的关键．8．小刚从学校出发往东走500m是一家书店，继续往东走1000m，再向南走1000m 即可到家，若选书店所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m长，若以点A表示小刚家的位置，则点A的坐标是（）A．（1500，﹣1000）B．（1500，1000）C．（1000，﹣1000）D．（﹣1000，1000）【分析】由题意可知，小刚从学校出发往东走1500m，再向南走1000m即可到家，选书店所在的位置为原点建立坐标系，即可小刚家的坐标．【解答】解：选书店所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，所以书店的坐标是（0，0），小刚家的坐标是（1000，﹣1000），故选：C．【点评】主要考查了直角坐标系的建立和运用，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．9．如图，表示甲、乙、丙三人在排练厅所站的3块地砖．若甲、乙所站的地砖分别记为（2，2），（4，3），则丙所站的地砖记为（）A．（5，6）B．（6，5）C．（7，6）D．（7，5）【分析】直接利用甲、乙所站的地砖分别记为（2，2），（4，3），即可得出最后一个位置的坐标．【解答】解：∵甲、乙所站的地砖分别记为（2，2），（4，3），∴丙所站的地砖记为：（7，5）．故选：D．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确应用已知点位置是解题关键．10．如图，象棋盘上，若“将”位于点（1，﹣1），“车”位于点（﹣3，﹣1），则“马”位于点（）A．（3，2）B．（2，3）C．（4，2）D．（2，4）【分析】直接利用“将”位于点（1，﹣1），得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：“马”位于点（4，2）．故选：C．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．11．如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“王府井”的点的坐标为（4，1），表示“人民大会堂”的点的坐标为（0，﹣1），则表示“天安门”的点的坐标为（）A．（0，0）B．（﹣1，0）C．（1，0）D．（1，1）【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：“天安门”的点的坐标为：（1，0）．故选：C．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．12．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，若表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（3，2），（﹣3，0），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（2，1）D．（2，0）【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（0，2）．故选：B．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．13．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，∴BD=5，CD=50÷2﹣16=9，OA=OD﹣AD=40﹣30=10，∴P（9，10）；故选：C．【点评】此题考查了坐标确定位置，根据题意确定出CD=9，AD=10是解本题的关键．14．如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0，0）表示点A，（0，4）表示点B，那么点C的位置可表示为（）A．（0，3）B．（3，2）C．（2，3）D．（3，0）【分析】根据A点坐标，建立坐标系，可得C点坐标．【解答】解：点C的位置可表示为（3，2），故选：B．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系．15．如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），则“兵”位于点（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣3，1）D．（1，﹣2）【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．【解答】解：如图所示：兵”位于点为：（﹣3，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．16．初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）【分析】根据点的坐标的定义即可得．【解答】解：根据题意知小李所对应的坐标是（7，4），故选：C．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是掌握点的坐标的概念．17．小米家位于公园的正东100米处，从小米家出发向北走250米就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东，正北方向为x轴，y轴正方向建议平面直角坐标系，则公园的坐标是（）A．（﹣250，﹣100）B．（100，250）C．（﹣100，﹣250）D．（250，100）【分析】根据题意画出坐标系，进而确定公园的坐标．【解答】解：如图所示：公园的坐标是：（﹣100，﹣250）．故选：C．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解题意是解题关键．18．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（﹣3，3）B．（0，3）C．（3，2）D．（1，3）【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．【解答】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）．故选：D．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．19．如图，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对（0，﹣1）表示，黑棋②的位置用有序数对（﹣3，0）表示，则白棋③的位置可用有序数对（）表示．A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（﹣4，2）【分析】根据黑棋①的坐标向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋③的坐标即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如图，白棋③的坐标为（﹣4，2）．故选D．【点评】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．20．如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A 的位置记作A（8，30°）．用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在（）A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4【分析】根据点A的位置记作A（8，30°），B（8，60°），C（4，60°），进而得出观测点位置．【解答】解：如图所示：连接BC，并延长，即可得出，观测点的位置应在点O1．故选：A．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出观测点是解题关键．21．如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是（）A．（2，﹣1）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（2，0）【分析】根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系进行解答即可．【解答】解：因为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），所以建立如图所示的坐标系，可得点C的坐标为（2，﹣1），故选：A．【点评】此题考查坐标问题，关键是根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系解答．22．如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（）A．（6，4）B．（4，6）C．（1，6）D．（6，1）【分析】以帅的坐标向左两个单位，向上3个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出将的坐标即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，将（1，6）．故选C．【点评】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，准确确定出坐标原点是解题的关键．23．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（﹣10，20）表示的位置是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】根据点在平面直角坐标系中的确定方法解答即可．【解答】解：∵点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，∴（﹣10，20）表示的位置是点A．故选：A．【点评】本题考查了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系中点的位置的确定方法，是基础题．24．从学校向东走600米，再向南走500米到小伟家；从学校向南走500米，再向西走300米到小亮家，则下列结论正确的是（）A．小亮家在小伟家的正东600米处B．小亮家在小伟家的正南500米处C．小亮家在小伟家的正西900米处D．小亮家在小伟家的正北600米处【分析】根据题意，以学校为“观测点”画出路线图，再据具体的路线长度，即可得到问题的答案．【解答】解：如图：小亮家在小伟家的正西600+300=900米处．故选：C．【点评】此题考查根据方向和距离确定位置，画出线路图是解决问题的关键．25．如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0，0）表示A点，（0，4）表示B点，那么C点的位置可表示为（）A．（0，3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，0）【分析】根据已知两点坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．【解答】解：用（0，0）表示A点，（0，4）表示B点，则以点A为坐标原点，AB所在直线为y轴，向上为正方向，x轴是过点A的水平直线，向右为正方向．所以点C的坐标为（3，2）故选：C．【点评】考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．解题的关键是确定原点及x，y轴的位置和方向．二．填空题（共14小题）26．小聪出校门向东走100米，再向北走120米到达阳光文具店，若以学校校门所在的位置为原点，分别以向东、向北方向为x轴、y轴正方向，1个单位长度代表1米建立平面直角坐标系，则阳光文具店的坐标是（100，120）．【分析】根据描述得出阳光文具店在所建立直角坐标系的第一象限，再结合距离可得其坐标．【解答】解：由题意知阳光文具店在所建立直角坐标系的第一象限，其坐标为（100，120），故答案为：（100，120）．【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应，记住平面内特殊位置的点的坐标特征．27．中国象棋在中国有着三千多年的历史，它难易适中，趣味性强，变化丰富细腻，棋盘棋子文字都体现了中国文化，如图，已知所在位置的坐标为（﹣。
北师大版初中数学八年级上册 第3章位置与坐标 确定位置同步练习含解析
3.1 确定位置一、选择题1．电影院的第3排第6座表示为（3,6）．若某同学的座位号为（4,2）,那么该同学的位置是（）A．第2排第4座B．第4排第2座C．第4座第4排D．无法确定2．2013年04月20日08时02分在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震,震源深度13千米．能够准确表示芦山县这个地点位置的是（）A．北纬30.3°B．东经103.0°C．四川省雅安市D．北纬31°,东经103°3．如图是小刚的一张脸,他对妹妹说“如果我用（0,2）表示左眼,用（2,2）表示右眼,那么嘴的位置可以表示成（）A．（1,0）B．（﹣1,0）C．（﹣1,1）D．（1,﹣1）4．如图,学校在李老师家的南偏东30°方向,距离是500m,则李老师家在学校的（）A．北偏东30°方向,相距500m处B．北偏西30°方向,相距500m处C．北偏东60°方向,相距500m处D．北偏西60°方向,相距500m处5．根据下列表述,能确定位置的是（）A．红星电影院2排B．北京市四环路C．北偏东30°D．东经118°,北纬40°6．如图,雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法,目标C、F的位置表示为C（6,120°）、F（5,210°）．按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时,其中表示不正确的是（）A．A（5,30°）B．B（2,90°）C．D（4,240°）D．E（3,60°）7．如图是中国象棋的一盘残局,如果用（2,﹣3）表示“帅”的位置,用（1,6）表示的“将”位置,那么“炮”的位置应表示为（）A．（6,4）B．（4,6）C．（8,7）D．（7,8）8．如图是沈阳市地区简图的一部分,图中“故宫”、“鼓楼”所在的区域分别是（）A．D7,E6 B．D6,E7 C．E7,D6 D．E6,D79．如图所示,某班教室有9排5列座位．1号同学说：“小明在我的右后方．”2号同学说：“小明在我的左后方．”3号同学说：“小明在我的左前方．”4号同学说：“小明离1号同学和3号同学的距离一样远．”根据上面4位同学的描述,可知“5号”小明的位置在（）A．4排3列B．4排5列C．5排4列D．5排5列二、填空题10．如图,学校在小明家偏度的方向上,距离约是米．11．小明的座位是第5列第3个,表示为M（5,3）,他前面一个同学的座位可表示．12．如果电影院9排16号的座位用（9,16）表示,那么（10,2）表示排号．13．如图,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,如果用（0,0）表示A点的位置,用（3,4）表示B点的位置,那么用表示C点的位置．三、解答题14．（1）电影院在学校偏的方向上,距离是米．（2）书店在学校偏的方向上,距离是米．（3）图书馆在学校偏的方向上,距离是米．（4）李老师骑自行车从学校到邮局发邮件,每分钟走250米,需要多少分钟到达？15．如图,小王家在2街与2大道的十字路口,如果用（2,2）→（2,3）→（2,4）→（3,4）→（4,4）→（5,4）表示小王从家到工厂上班的一条路径,那么你能用同样的方式写出由家到工厂小王走的另一条路径吗？16．如图是小丽以学校为观测点,画出的一张平面图．（1）生源大酒店在学校偏方向米处．汽车站在学校偏方向米处；（2）中医院在邮电局东偏北60°方向400米处,请在上图中标出它的位置；（3）小丽以每分钟50米的速度步行,从汽车站经过学校、邮局再到中医院大约需要分钟．北师大新版八年级数学上册同步练习：3.1 确定位置参考答案与试题解析一、选择题1．电影院的第3排第6座表示为（3,6）．若某同学的座位号为（4,2）,那么该同学的位置是（）A．第2排第4座B．第4排第2座C．第4座第4排D．无法确定【考点】坐标确定位置．【分析】根据坐标确定位置,从有序数对的两个数的实际意义考虑解答．【解答】解：∵电影院的第3排第6座表示为（3,6）,∴某同学的座位号为（4,2）,该同学的位置是：第4排第2座．故选：B．【点评】本题考查了确定位置,理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．2．2013年04月20日08时02分在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震,震源深度13千米．能够准确表示芦山县这个地点位置的是（）A．北纬30.3°B．东经103.0°C．四川省雅安市D．北纬31°,东经103°【考点】坐标确定位置．【分析】根据题意结合四川省雅安市芦山县发生7.0级地震即可得出芦山县这个地点位置．【解答】解：∵2013年04月20日08时02分在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震,震源深度13千米,∴能够准确表示芦山县这个地点位置的是四川省雅安市．故选：C．【点评】此题主要考查了确定地理位置,正确理解题意是解题关键．3．如图是小刚的一张脸,他对妹妹说“如果我用（0,2）表示左眼,用（2,2）表示右眼,那么嘴的位置可以表示成（）A．（1,0）B．（﹣1,0）C．（﹣1,1）D．（1,﹣1）【考点】坐标确定位置．【分析】由“左眼”位置点的坐标为（0,2）,“右眼”点的坐标为（2,2）可以确定平面直角坐标系中x轴与y 轴的位置,从而可以确定“嘴”的坐标．【解答】解：根据题意,坐标原点是嘴所在的行和左眼所在的列的位置,所以嘴的坐标是（1,0）,故选A．【点评】由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键．4．如图,学校在李老师家的南偏东30°方向,距离是500m,则李老师家在学校的（）A．北偏东30°方向,相距500m处B．北偏西30°方向,相距500m处C．北偏东60°方向,相距500m处D．北偏西60°方向,相距500m处【考点】坐标确定位置；方向角．【分析】以学校为原点建立坐标系,确定李老师家的位置．【解答】解：学校在李老师家的南偏东30°方向,距离是500m,以正北方向为y轴正方向,正东方向为x轴的正方向,以李老师家为原点,则学校在第四象限；以学校为原点建立坐标系,则李老师家在第二象限,即北偏西30°方向,相距500m处．故选B．【点评】本题利用了平面直角坐标系来理解生活中的相对位置问题．5．根据下列表述,能确定位置的是（）A．红星电影院2排B．北京市四环路C．北偏东30°D．东经118°,北纬40°【考点】坐标确定位置．【分析】根据在平面内,要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置,即可得答案．【解答】解：在平面内,点的位置是由一对有序实数确定的,只有D能确定一个位置,故选：D．【点评】本题考查了在平面内,如何表示一个点的位置的知识点．6．如图,雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法,目标C、F的位置表示为C（6,120°）、F（5,210°）．按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时,其中表示不正确的是（）A．A（5,30°）B．B（2,90°）C．D（4,240°）D．E（3,60°）【考点】坐标确定位置．【分析】按已知可得,表示一个点,横坐标是自内向外的环数,纵坐标是所在列的度数,分别判断各选项即可得解．【解答】解：由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为：A（5,30°）,故A正确；B（2,90°）,故B正确；D（4,240°）,故C正确；E（3,300°）,故D错误．故选D．【点评】本题考查了学生的阅读理解能力,由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键．7．如图是中国象棋的一盘残局,如果用（2,﹣3）表示“帅”的位置,用（1,6）表示的“将”位置,那么“炮”的位置应表示为（）A．（6,4）B．（4,6）C．（8,7）D．（7,8）【考点】坐标确定位置．【分析】根据已知两点位置,建立符合条件的坐标系,从而确定其它点的位置．【解答】解：由“用（2,﹣3）表示“帅”的位置,向左移2个单位,向上移3个单位,那个点就是原点（0,0）,建立坐标系．可得“炮”的位置为（6,4）．故选A．【点评】本题解题的关键就是确定坐标原点和x,y轴的位置及方向．8．如图是沈阳市地区简图的一部分,图中“故宫”、“鼓楼”所在的区域分别是（）A．D7,E6 B．D6,E7 C．E7,D6 D．E6,D7【考点】坐标确定位置．【分析】读图可知：故宫所在位置是E竖排,7横行；鼓楼所在的位置是D竖排,6横行；故图中“故宫”、“鼓楼”所在的区域分别是E7,D6．【解答】解：故宫所在位置是E竖排,7横行；鼓楼所在的位置是D竖排,6横行．故图中“故宫”、“鼓楼”所在的区域分别是E7,D6．故选C．【点评】本题考查了类比点的坐标及学生的解决实际问题的能力和阅读理解能力．9．如图所示,某班教室有9排5列座位．1号同学说：“小明在我的右后方．”2号同学说：“小明在我的左后方．”3号同学说：“小明在我的左前方．”4号同学说：“小明离1号同学和3号同学的距离一样远．”根据上面4位同学的描述,可知“5号”小明的位置在（）A．4排3列B．4排5列C．5排4列D．5排5列【考点】坐标确定位置．【分析】在数轴上,用一个数据就能确定一个点的位置；在平面直角坐标系中,要用两个数据才能表示一个点的位置；在空间内要用三个数据才能表示一个点的位置．【解答】解：根据1号同学,2号同学,3号同学的说法,可知小明在第4列,再根据4号同学说：“小明离1号同学和3号同学的距离一样远”可得小明在第5排第4列．故选C．【点评】本题是数学在生活中应用,平面位置对应平面直角坐标系,空间位置对应空间直角坐标系,通过此题可以做到在生活中理解数学的意义．二、填空题10．如图,学校在小明家北偏西45 度的方向上,距离约是500 米．【考点】方向角．【分析】根据方向角的定义结合图例即可做出判断．【解答】解：学校在小明家北偏西45度的方向上,距离≈200×2.5=500米．故答案为：北；偏西45；500．【点评】本题主要考查的是方向角的定义,掌握方向角的定义是解题的关键．11．小明的座位是第5列第3个,表示为M（5,3）,他前面一个同学的座位可表示（5,2）．【考点】坐标确定位置．【专题】数形结合．【分析】由于他前面一个同学的座位为第5列第2个,然后可根据题中的表示方法用有序实数对表示他前面一个同学的座位．【解答】解：他前面一个同学的座位为第5列第2个,表示为（5,2）．故答案为（5,2）．【点评】本题考查了坐标确定位置：平面坐标系中的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．12．如果电影院9排16号的座位用（9,16）表示,那么（10,2）表示10 排 2 号．【考点】坐标确定位置．【专题】应用题．【分析】由“9排16号”记作（9,16）可知,有序数对与排号对应,（10,2）的意义为第10排2号．【解答】解：根据题意知：前一个数表示排数,后一个数表示号数,∴（10,2）的意义为第10排2号．故答案为10排2号．【点评】本题主要考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力,比较简单．13．如图,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,如果用（0,0）表示A点的位置,用（3,4）表示B点的位置,那么用（6,1）表示C点的位置．【考点】坐标确定位置．【专题】网格型．【分析】可根据平移规律解答；也可根据已知两点的坐标建立坐标系后解答．【解答】解：以原点（0,0）为基准点,则C点为（0+6,0+1）,即（6,1）．故答案填：（6,1）．【点评】本题考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置,再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减,上加下减”来确定坐标．三、解答题14．（1）电影院在学校南偏东70°的方向上,距离是400 米．（2）书店在学校北偏西60°的方向上,距离是800 米．（3）图书馆在学校南偏西15°的方向上,距离是400 米．（4）李老师骑自行车从学校到邮局发邮件,每分钟走250米,需要多少分钟到达？【考点】方向角．【分析】（1）、（2）、（3）根据方向角的定义和图例即可做出判断；（4）根据时间=路程÷速度计算即可．【解答】解：（1）电影院在学校南偏东70°的方向上,距离是400米．（2）书店在学校北偏西60°的方向上,距离是800米．（3）图书馆在学校南偏西15°的方向上,距离是400米．故答案为：（1）南；偏东70°；400；（2）北；偏西60°；800（3）南；偏西15°400．（4）5×200÷250=4．答：需要4分钟到达．【点评】本题主要考查的是方向角的定义,掌握方向角的定义是解题的关键．15．如图,小王家在2街与2大道的十字路口,如果用（2,2）→（2,3）→（2,4）→（3,4）→（4,4）→（5,4）表示小王从家到工厂上班的一条路径,那么你能用同样的方式写出由家到工厂小王走的另一条路径吗？【考点】坐标确定位置．【专题】数形结合．【分析】每个十字路口用有序实数对表示,然后表示出第2大道与第2、3、4、5街的路口,再表示第5街与第3、4大道的路口,从而得到由家到工厂小王走的另一条路径．【解答】解：小王从家到工厂上班的另一条路径可为：（2,2）→（3,2）→（4,2）→（5,2）→（5,3）→（5,4）．【点评】本题考查了坐标确定位置：平面坐标系中的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．16．如图是小丽以学校为观测点,画出的一张平面图．（1）生源大酒店在学校北偏西30°方向400 米处．汽车站在学校南偏西50°方向600 米处；（2）中医院在邮电局东偏北60°方向400米处,请在上图中标出它的位置；（3）小丽以每分钟50米的速度步行,从汽车站经过学校、邮局再到中医院大约需要24 分钟．【考点】方向角．【分析】（1）由图意可知：生源大酒店在学校北偏西30°处,汽车站在学校南偏西50°方向,再据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求得学校到生源大酒店的距离,以及学校到汽车站的距离；（2）依据“图上距离=实际距离×比例尺”即可求得中医院到邮电局的图上距离,再据方向和角度,即可标出中医院的位置；（3）先求出从汽车站经过学校、邮局再到中医院的实际距离,再据“路程÷速度=时间”即可求得小丽需要的时间．【解答】解：（1）生源大酒店在学校在学校北偏西30°处,汽车站在学校南偏西50°方向,量得学校到生源大酒店的距离是2厘米,则学校到生源大酒店的实际距离是：2÷=40000（厘米）=400（米）；量得学校到汽车站的距离是3厘米,则学校到汽车站的实际距离是：3÷=60000（厘米）=600（米）；故答案为：北、西30°、400、南、西50°、600；（2）因为400米=40000厘米,则中医院到邮电局的图上距离是：40000×=2（厘米）；如图所示,即为中医院的位置：（3）量得学校到邮电局的图上距离为1厘米,则学校到邮电局的实际距离为：1÷=20000（厘米）=200（米）；所以小丽需要的时间为：（600+200+400）÷50,=1200÷50,=24（分钟）；答：小丽以每分钟50米的速度步行,从汽车站经过学校、邮局再到中医院大约需要24分钟．故答案为：24．【点评】此题考查了方向角,用到的知识点是比例尺的意义、方向角、“路程÷速度=时间”,关键是根据所给出的图形量准图上的距离．。
新版北师大版八年级上册数学全册同步练习(全套)
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理※课时达标1.△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c =_______．2.△ABC，AC=6，BC=8,当AB=________时，∠C=90°．3.等边三角形的边长为6 cm，则它的高为 __________．4.直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为__________．5.等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为__________．6.若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________．7.若一个三角形的三边长分别为3，4， x，则使此三角形是直角三角形的x的值是_________．8.在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC 的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=32 km，请根据上述数据，求出隧道BC的长(精确到0.1 km)．※课后作业★基础巩固1.△ABC中，∠C=90°，若a∶b=3∶4，c=10，则a=__________，b=__________．2.△ABC中∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则中线BD=__________．3.如图，将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC=6，AB=10，则DB=__________．3cm，c=3 cm，则△ABC中最小的角为______度．4.△ABC中，三边长分别为a=6 cm，b=35.如图，AB⊥BC，且AB=3，BC=2，CD=5，AD=42，则∠ACD=__________，图形ABCD的面积为__________．6.等腰三角形的两边长为 2 和5，则它的面积为__________．7.有一根7 cm 木棒，要放在长，宽，高分别为5 cm ，4 cm ，3 cm 的木箱中，__________(填“能”或“不能”)放进去．8.直角三角形有一条直角边为11，另外两条边长是自然数，则周长为__________． 9.如图，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1， 则AC 等于( ).A.6B.6C.5D.4☆能力提升10.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长( ). A.4 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm11.如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，则AC 等于 ( ).A.3B.4C.5D.1312.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BD ⊥AC 于D ，CD=2，则BC 等于( ).A.210B.6C.8D.513.ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边长为2，斜边上的高为( ). A.1 B.3C.23 D.43 14.直角三角形的一条直角边是另一条直角边的31，斜边长为10,它的面积为( ). A.10B.15C.20D.30●中考在线15.在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶ b ＝3∶4，则直角三角形的面积是＝ ． 16.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
北师大版八年级数学上册同步练习附答案
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为.4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.FC参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8． 2．2.5m ． 3．1360cm ． 4．D ． 5．25km ． 6．4． 7．3 cm ．1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, ∠BAC = 90︒, AD ⊥BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证：BC AB AC AB AD 2222=++⋅。
D CO ABD AB C5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：BD CD AD 2222+=。
北师大版八年级下册数学 1.1---1.3基础同步练 (含答案)
1.1等腰三角形一．选择题1．用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（）A．8cm B．12cm C．8cm或14cm D．14cm2．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．84．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对5．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE 的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．10°6．满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝α，则∠EDF等于（）A．90°﹣αB．45°+αC．90°﹣αD．45°+α8．如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.89．如图，E为△ABC的边AB上一点，AC＝BC＝BE，AE＝EC，BD⊥AC的延长线于点D，则∠CBD的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．15°10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二．填空题11．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝．12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是．13．等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC 的大小为度．15．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠A n+1B n B n+1＝θn，则θn＝．（用含α的式子表示）三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．17．如图，在△ABC中，点D在AC的垂直平分线上．（1）若AB＝AD，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数；（2）若AB＝AD，AC＝BC，求∠C的度数；（3）若AC＝8cm，△ABD的周长为15cm，求△ABC的周长．18．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD＝α，求∠ACD的度数．（2）在（1）的条件下，求∠BCF的大小；（用含α的式子表示）（3）判断△ACF的形状，并说明理由．参考答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．D6．B 7．A 8．A 9．A 10．A11．312．∠1＝2∠2．13．12cm．14．72．15．．16．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAE＝∠BAD＝28°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．17．（1）∵点D在AC的垂直平分线上，∴AD＝DC，在三角形ABD中，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣24°）×＝78°，在三角形ADC中，AD＝DC，∴∠C＝78°×＝39°；（2）设∠B＝x°．∵CA＝CB，∴∠A＝∠CAB＝x°，∵AB＝AD＝DC，∴∠B＝∠ABD＝x°，∠C＝x°，在△ABC中，x+x+x＝180，解得：x＝72，∴∠C＝×72°＝36°．故∠C的度数是36°；（3）如图，∵DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，∴DA＝DC，CE＝AE＝4（cm），∵△ABD的周长为15cm∴AB+BD+AD＝15（cm），即AB+BD+DC＝15（cm），∴AB+BC+AC＝15+8＝23（cm），∴△ABC的周长为23cm．18．（1）∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠CAD＝α，∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝90；（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：∴∠DAG+∠ADG＝90°，∵AD＝AC，∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，∵CF⊥AD于点E，∴∠DCE+∠ADG＝90°，∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，即∠BCF＝α；（3）△ACF是等腰三角形．理由：∵∠B＝45°，AG⊥BC，∴∠BAG＝45°，∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，∴∠BAC＝∠AFC，∴AC＝FC，∴△ACF是等腰三角形．1.2 勾股定理及其逆定理1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为( )A．40° B．30° C．20° D．10°3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )A ．48B ．60C ．76D ．80 5. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A ．30,40,50B ．7,12,13C ．5,9,12D ．3,4,6 6. 如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53 B ．52C ．4D ．5 7. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 8. 下列命题的逆命题是真命题的有( )①对顶角相等；②在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边的对角也相等；③不相交的两条直线叫做平行线；④有三个角对应相等的两个三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和10. 直角三角形两个锐角 (互余；互补)；有两个角互余的三角形是三角形．11. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；若三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是三角形．12. 下列命题中，其逆命题成立的是 (只填写序号)．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．13．命题“两个全等直角三角形的面积相等”的逆命题是．，这个命题是．14．命题“对顶角相等”的逆命题是，该逆命题是(填“真”或“假”)命题．15．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为或 cm2.16．有一个三角形两边长为4和5，若使三角形为直角三角形，则第三边长为或 .17. 写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a 是偶数，b 是偶数，那么a ＋b 是偶数．18. 如图所示，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC ＝14BC.求证：∠EFA ＝90°.19. 如图，∠MAN ＝60°，若△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，求BC 的取值范围.20. 如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h.问：多长时间后这个人距B送奶站最近？答案：1---9 BCDCA CCCC10. 互余直角11. 斜边平方直角12. ①④13. 如果两个直角三角形的面积相等 那么它们全等 假命题14. 相等的角是对顶角 假15. 126 66 16. 3 4117. 解：(1)逆命题为：同位角相等，两直线平行(真命题)；(2)逆命题为：如果a ＋b 是偶数，那么a 为偶数，b 为偶数(假命题)．18. 证明：设正方形边长为4a ，则有AE 2＝AB 2＋BE 2，EF 2＝EC 2＋CF 2，AF 2＝DF 2＋AD 2，即AE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a 2，EF 2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，AF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a 2，∴AE 2＝AF 2＋EF 2，∴∠AFE＝90°.19. 解：3＜BC ＜2320. 解：过B 作BD⊥CD 于D ，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝15，AB ＝17， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形．∵∠1＝30°，∴∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝12BC ＝7.5km ，∴时间为7.5÷2.5＝3h.1.3《线段的垂直平分线》一．选择题1．到△ABC 三个顶点的距离相等的点是△ABC （ ）A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条高的交点2．如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处3．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm5．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠BCE 等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°6．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°7．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB 于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对二．填空题8．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝cm．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝20°，则∠C＝．10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，AB+AC＝20cm，则△ABD的周长为cm．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为．三．解答题13．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．14．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，添加什么条件可得AD垂直平分BC？证明你的判断．15．已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点P．求证：点P在BC 的垂直平分线上．16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．18．在△ABC中，DE，HG分别为AB、AC的垂直平分线，与BC交于E、G两点，D、H 分别为垂足，直线DE、HG交于点F．（1）若BC＝12，求△AEG的周长；（2）若∠DFH＝80°，求∠EAG的度数．参考答案一．选择题1．解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点．故选：C．2．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC 的垂直平分线上，故选：B．3．解：连接CE，∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，∵DE垂直平分BC，∴∠BCE＝∠B＝15°，BE＝CE，∴∠ACE＝∠BCA﹣∠BCE＝75°﹣15°＝60°，∵Rt△AEC中，∠ACE＝∠BCA＝60°，AC＝8cm，∴∠AEC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝2AC＝16cm，∵BE＝CE，∴BE＝16cm．故选：C．4．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），∵△ADC的周长为9cm，∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），故选：D．5．解：∵∠A＝30°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠ECA＝∠A＝30°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝80°﹣30°＝50°，故选：C．6．解：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣35°＝60°，故选：A．7．解：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，又∵OE＝OE，∴Rt△AOE≌Rt△COE，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD轴对称，∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，综上所述，全等三角形共有4对．故选：D．二．填空题8．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA，∵PA＝4cm，∴PB＝4cm．故答案为4cm．9．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，∴∠AEB＝70°，∴∠C+∠CAE＝70°，故答案为：35°．10．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．11．解：∵l是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20（cm），故答案为：20cm．12．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，连接AM，AN，∵ME是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，∴CM＝2AM＝2BM，∴3BM＝BC＝12cm，∵BM＝4cm，同理可得，CN＝4，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案为：4cm．三．解答题13．解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．14．解：添加：AB＝AC，理由：∵∠1＝∠2，∴BD＝CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴当A在线段垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．15．证明：连接PA、PB、PC，∵l1是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∵l2是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，∴PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上．16．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，∵△ABC的周长为21cm，∴AB+BC+AC＝21cm，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，∴AC＝8cm，∴AE＝4cm．17．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．18．解：（1）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC＝12，∴△AEG的周长是12．（2）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴∠DAE＝∠B，∠HAG＝∠C，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠DFH＝80°，∴∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠DAE+∠HAG＝80°，∵∠DAE+∠HAG+∠EAG＝∠BAC＝100°，∴∠EAG＝40°．。
北师大版八年级数学 上册 第一章一节 同步课时练习题(附参考答案)
北师八上数学测试题第一章一节1.有一个角为角的三角形是直角三角形,直角三角形的两锐角.2.我国古代称直角三角形中较短的直角边为,较长的直角边为,斜边为.3.如图1-1-1,求直角三角形中未知边的长度:b=,c=.图1-1-14.已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则第三边的平方为( )A.25B.7C.25或7D.55.已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边的平方为( )A.169B.119C.169或119D.不能确定6.如图1-1-2,三个正方形中有两个的面积分别为S1=169,S2=144,则S3等于( )图1-1-2A.50B.25C.100D.307.如图1-1-3,已知勾为2,股为3,则以弦为边长的正方形的面积是( )图1-1-3A.4B.16C.5D.138.在Rt△ABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.9.如图1-1-4,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草.图1-1-410.如图1-1-5,在△ABC中,已知∠B=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a=6,b=11,求c2.图1-1-511.课堂上,老师给同学们出了一道题:“有一直角三角形的两边长分别为6和8,你们知道第三边长的平方吗?”刘飞立刻回答:“第三边长的平方是100.”你认为第三边长的平方应该是多少呢?12.如图1-1-6,有两个全等的直角三角形,它们的直角边长分别为3和4,把这两个直角三角形拼成一个三角形或一个四边形.在这些图形中,周长最小值是( )图1-1-6A.14B.16C.18D.2013.已知等腰三角形的一条腰长是5,底边长是6,则它底边上的高为.14.某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏,它的高为2米,宽为1.5米,如图1-1-7.现需要在相对的顶点间用一块木板加固,则木板的长为米.图1-1-715.如图1-1-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.图1-1-816.如图1-1-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若AC=4,BC=3,则CD的长为.图1-1-917.如图1-1-10,一架长2.5 m的梯子AB斜靠在一面竖直的墙上,这时梯子底端B距离墙根0.8 m.为了安装壁灯,梯子顶端A需离地面2 m(即A’C=2 m),请你计算一下,此时梯子的底端B应向远离墙根的方向拉多远?图1-1-1018.如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么有,即直角三角形两的平方和等于的平方.19.勾股定理的验证.(1)图1-1-11中大正方形的面积为.(2)计算图1-1-11中大正方形的面积时,可以将大正方形的每个边上补一个边长分别是a,b,c的直角三角形,得到一个更大的正方形,如图1-1-12,此时大正方形的面积为(a+b)2-==c2,因此,勾股定理得以验证.(3)也可以将大正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形,如图1-1-13.图1-1-11图1-1-12图1-1-1320.如图1-1-14,隔湖有两点A,B,为了测得A,B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50米,CB=40米,则A,B两点间的距离是米.图1-1-1421.一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图1-1-15,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B间的距离为mm.图1-1-1522.观察图1-1-16,大正方形被分成四个全等直角三角形和一个小正方形.你能验证c2=a2+b2吗?把你的验证过程写下来,并与同伴进行交流.图1-1-1623.如图1-1-17,将两个直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形,从图中可以得到什么样的数学结论?图1-1-1724.如图1-1-18,直线l上有三个正方形A,B,C.若A,C的面积分别为5和11,则B的面积为( )图1-1-18A.4B.6C.16D.5525.2.如图1-1-19,利用图1-1-19①或图1-1-19②两个图形中的有关面积的等量关系都能验证数学中一个十分著名的定理,这个定理结论的数学表达式是.图1-1-1926.如图1-1-20,为了修铁路,需凿通隧道AC,现测量出∠ACB=90°,AB=5 km,BC=4 km.若每天凿隧道0.2 km,问几天才能把隧道AC凿通?图1-1-2027.如图1-1-21,校园内有两棵树,相距12 m,一棵树高13 m,另一棵树高8 m.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多少米?图1-1-21参考答案1.直互余2.勾股弦3.12254.A5.C6.B7.D8.89.410.解:由∠B=90°知,b是Rt△ABC的斜边.由勾股定理,得c2=b2-a2=112-62=85.11.解:分类讨论.①当8是斜边长时,第三边长的平方为82-62=28;②当8是直角边长时,第三边长的平方为62+82=100.故第三边长的平方应该是28或100.12.A13.414.2.515.2π16. 12 17.解:∵B’C2=A’B’2-A’C2=2.52-22=2.25=1.52,∴B’C=1.5(m).∴BB’=1.5-0.8=0.7(m).因此,梯子的底端B应向远离墙根的方向拉0.7 m.18.a2+b2=c2直角边斜边19.(1)c2(2)2ab a2+b220.3021.15022.解:由图可知,S大正方形=4×1ab+(b-a)2=2ab+b2+a2-2ab=a2+b2,S大正方形=c2,所以a2+b2=c2. 23.解:因为S梯形ABCD=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2),又S梯形ABCD=ab + ab + c2,所以a2+b2=c2. 24.C 25.a2+b2=c226.解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,即52=AC2+42.解得AC=3. 因为每天凿隧道0.2 km,所以凿隧道用的时间为3÷0.2=15(天). 答:15天才能把隧道AC凿通.27.解:如图所示:作DE⊥AB于点E.因为AB=13 m,CD=8 m, 所以AE=5 m.由BC=12 m,得DE=12 m.在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2=52+122=132, 所以AD=13 m.所以小鸟至少要飞13 m.。
北师大版八年级初二数学下册《图形的平移》专题同步试题试卷含答案解析
3.1图形的平移练习卷一．选择题（共6小题）1．（•邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）A ． 甲种方案所用铁丝最长B ． 乙种方案所用铁丝最长C ． 丙种方案所用铁丝最长D ． 三种方案所用铁丝一样长2．（•呼伦贝尔）将点A （﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 所处的象限是（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3．（•南昌）如图，△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC 的方向平移，得到△A ′B ′C ′，再将△A ′B ′C ′绕点A ′逆时针旋转一定角度后，点B ′恰好与点C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）A ． 4，30°B ． 2，60°C ． 1，30°D ． 3，60°4．（•舟山）如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）A ． 16cmB ． 18cmC ． 20cm ．22cm5．（•滨州）如图，如果把△ABC 的顶点A 先向下平移3格，再向左平移1格到达A ′点，连接A ′B ，则线段A ′B 与线段AC 的关系是（ ）A ． 垂直B ． 相等C ． 平分D ．平分且垂直6．（•呼和浩特）已知线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A （﹣1，4）的对应点为C （4，7），则点B （﹣4，﹣1）的对应点D 的坐标为（ ）A ． （1，2）B ． （2，9）C ． （5，3）D ． （﹣9，﹣4）二．填空题（共10小题）7．（•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于_________．8．（•江西）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为_________．9．（•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是_________．10．（•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是_________，A1的坐标是_________．11．（•仙桃）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣3，0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为_________．12．（•钦州）如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为_________．13．（•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′，则平移后点B的对应点B′的坐标为_________．14．（•河西区二模）已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为_________．15．（•吉林）如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE．如果CB=1，那么OE的长为_________．16．（•武汉）（北师大版）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣2，2），右图中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是_________．三．解答题（共6小题）17．（•茂名）如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣3，0），B（0，4）．（1）画出线段AB先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的线段CD，并写出A的对应点D的坐标，B的对应点C的坐标；（2）连接AD、BC，判断所得图形的形状．（直接回答，不必证明）18．（•北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是_________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_________；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是_________．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．19．（•巴中）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD＜BC，画出线段AB平移后的线段，其平移方向为射线AD的方向，平移距离为AD的长，平移后所得的线段与BC相交于E．线段DE 与线段DC相等吗？∠DEC与∠C相等吗？∠DEC与∠B相等吗？∠C与∠B相等吗？试说明理由．21．（•南海区二模）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：△ABC A（a，0）B（3，0）C（5，5）△A′B′C′A′（4，2）B′（7，b）C′（c，7）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a=_________，b=_________，c=_________；（2）在平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；（3）直接写出△A′B′C′的面积是_________．22．（•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为_________，点B关于x轴的对称点B′的坐标为_________，点C关于y轴的对称点C的坐标为_________．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．3.1图形的平移练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（•邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（D）2．（•呼伦贝尔）将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（D）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（•舟山）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（C）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm5．（•滨州）如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是（D）A．垂直B．相等C．平分D．平分且垂直6．（•呼和浩特）已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（A）A．（1，2）B．（2，9）C．（5，3）D．（﹣9，﹣4）二．填空题（共10小题）7．（•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于4或8．8．（•江西）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为12．9．（•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2）．10．（•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是（3，0），A1的坐标是（4，3）．11．（•仙桃）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），点C的坐标为（﹣3，0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为（1，﹣3）．12．（•钦州）如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为（a+5，﹣2）．13．（•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′，则平移后点B的对应点B′的坐标为（﹣2，1）．14．（•河西区二模）已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为18．15．（•吉林）如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE．如果CB=1，那么OE的长为7．16．（•武汉）（北师大版）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣2，2），右图中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是（5，4）．三．解答题（共6小题）17．（•茂名）如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣3，0），B（0，4）．（1）画出线段AB先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的线段CD，并写出A的对应点D的坐标，B的对应点C的坐标；（2）连接AD、BC，判断所得图形的形状．（直接回答，不必证明）解答：解：（1）如图所示，CD即为所求作的线段，D（0，﹣4），C（3，0）；（2）∵AC、BD互相垂直平分，∴四边形ABCD是菱形．18．（•北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是0；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是3；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．解答：解：（1）点A′：﹣3×+1=﹣1+1=0，设点B表示的数为a，则a+1=2，解得a=3，设点E表示的数为b，则b+1=b，解得b=；故答案为：0，3，；（2）根据题意得，，解得，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴x+=x，y+2=y，解得x=1，y=4，所以，点F的坐标为（1，4）．19．（•巴中）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）解答：解；（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，可得P点坐标为：（，0）．20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD＜BC，画出线段AB平移后的线段，其平移方向为射线AD的方向，平移距离为AD的长，平移后所得的线段与BC相交于E．线段DE 与线段DC相等吗？∠DEC与∠C相等吗？∠DEC与∠B相等吗？∠C与∠B相等吗？试说明理由．解答：解：平移后的图形如下所示：由题意可知：四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C，又DE是由AB平移得到的，故DE=AB，∠DEC=∠B，∴DE=DC．∠DEC=∠C21．（•南海区二模）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：△ABC A（a，0）B（3，0）C（5，5）△A′B′C′A′（4，2）B′（7，b）C′（c，7）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a=0，b=2，c=9；（2）在平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；（3）直接写出△A′B′C′的面积是．解答：解：（1）由表格得出：∵利用对应点坐标特点：A（a，0），A′（4，2）；B（3，0），B′（7，b）；C（5，5），C′（c，7）∴横坐标加4，纵坐标加2，∴a=0，b=2，c=9．故答案为：0，2，9；（2）平移后，如图所示．（3）△A′B′C′的面积为：×3×5=．故答案为：．22．（•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5），点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2），点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．解答：解：（1）∵A（﹣1，5），∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．∵B（4，2），∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．∵C（﹣1，0），∴点C关于y轴的对称点C′的坐标为（1，0）．故答案分别是：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）．∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，∴S△A′B′C′=A′C′•B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．第11页共11页。
北师大版数学八年级下册：3.2 图形的旋转 同步练习(附答案)
2图形的旋转第1课时旋转的认识知识点1旋转的有关概念1．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为．第2题图第3题图3．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE 的位置，那么：（1）旋转中心是点；（2）点B，D的对应点分别是点；（3）线段AB，BD，DA的对应线段分别是；（4）∠B的对应角是；（5）旋转的角度为．知识点2旋转的性质4．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB＝5 cm，BC＝8 cm，∠BAC ＝130°，则AD＝＝cm，DE＝＝cm，∠EAC＝∠＝，∠DAC＝．5．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC.已知AB＝1.5，BC＝4，AC ＝5，则DE的长为（）A．1.5 B．3 C．4 D．5第5题图第6题图6．（2019·湘潭）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置．若∠AOB ＝40°，则∠AOD＝（）A．45°B．40°C．35°D．30°7．（2020·天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝DEB．BC＝EFC．∠AEF＝∠DD．AB⊥DF知识点3确定旋转中心8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格线的格点上，将△ABC 绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（0，1）C．（－1，1）D．（1，1）9．（2020·赤峰）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正八边形D．圆及其一条弦10．（2020·齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°11．（2019·内江）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6第11题图变式图【变式】如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C.连接AA′，若∠1＝27°，则∠B的度数是（）A．84°B．72°C．63°D．54°12．（2020·聊城）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A．2（33＋1）B.33＋1C.3－1D.3＋113．（2019·苏州）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．14．（2019·河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（－3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（－3，10）C．（10，－3）D．（3，－10）错误!第2课时旋转作图知识点旋转作图1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是．第2题图第3题图3．如图，它可以看作“◇”通过连续平移3次得到，也可以看作“◇”绕中心旋转3次，每次旋转度得到．4．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.5．（教材P78做一做变式）如图，△ABC 绕点O 旋转后，顶点A 的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．易错点 旋转方向不确定导致漏解6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，4），将OA 绕坐标原点O 旋转90°到OA′，则点A′的坐标是 ．7．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图看到的是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的平行四边形AEFG 可以看成是将平行四边形ABCD 以A 为中心（ ）A ．顺时针旋转60°得到B ．顺时针旋转120°得到C ．逆时针旋转60°得到D ．逆时针旋转120°得到8．如图，已知Rt △ABC 和三角形外一点P ，按要求完成图形． （1）将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转90°，得△A ′B ′C ′； （2ABC 绕点P 逆时针方向旋转60°，得△A ″B ″C ″.ABC·P9．（2020·江西改编）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′.参考答案：第1课时旋转的认识知识点1旋转的有关概念1．下面生活中的实例，不是旋转的是（A）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为90°．第2题图第3题图3．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE 的位置，那么：（1）旋转中心是点A；（2）点B，D的对应点分别是点C，E；（3）线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段AC，CE，EA；（4）∠B的对应角是∠ACE；（5）旋转的角度为60°．知识点2旋转的性质4．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB＝5 cm，BC＝8 cm，∠BAC ＝130°，则AD＝AB＝5cm，DE＝BC＝8cm，∠EAC＝∠BAD＝30°，∠DAC＝100°．5．如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC.已知AB＝1.5，BC＝4，AC ＝5，则DE的长为（A）A．1.5 B．3 C．4 D．5第5题图第6题图6．（2019·湘潭）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置．若∠AOB ＝40°，则∠AOD＝（D）A．45°B．40°C．35°D．30°7．（2020·天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（D）A．AC＝DEB．BC＝EFC．∠AEF＝∠DD．AB⊥DF知识点3确定旋转中心8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格线的格点上，将△ABC 绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（C）A．（0，0）B．（0，1）C．（－1，1）D．（1，1）9．（2020·赤峰）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（C）A．等边三角形B．平行四边形C．正八边形D．圆及其一条弦10．（2020·齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为（B）A．15°B．30°C．45°D．60°11．（2019·内江）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（A）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6第11题图变式图【变式】如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C.连接AA′，若∠1＝27°，则∠B的度数是（B）A．84°B．72°C．63°D．54°12．（2020·聊城）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（D）A．2（33＋1）B.33＋1C.3－1D.3＋113．（2019·苏州）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC ＝65°，∠ACB ＝28°，求∠FGC 的度数．解：（1）证明：∵∠CAF ＝∠BAE ， ∴∠BAC ＝∠EAF.∵线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，∴AC ＝AF.在△ABC 和△AEF 中，⎩⎨⎧AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAF ，AC ＝AF ，∴△ABC ≌△AEF （SAS ）． ∴EF ＝BC.（2）∵AB ＝AE ，∠ABC ＝65°， ∴∠BAE ＝180°－65°×2＝50°. ∴∠FAG ＝∠BAE ＝50°.∵△ABC ≌△AEF ，∴∠F ＝∠C ＝28°. ∴∠FGC ＝∠FAG ＋∠F ＝50°＋28°＝78°.14．（2019·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4），将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（D ）A ．（10，3）B ．（－3，10）C ．（10，－3）D ．（3，－10）错误!模型展示条件：OA绕原点O逆时针旋转90°至OA′.结论：△AOB≌△A′OB′.条件：AB绕点A顺时针旋转90°至AB′.结论：△ABD≌△B′AC.第2课时旋转作图知识点旋转作图1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（C）2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是点B．第2题图第3题图3．如图，它可以看作“◇”通过连续平移3次得到，也可以看作“◇”绕中心旋转3次，每次旋转90度得到．4．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.解：如图所示．5．（教材P78做一做变式）如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．解：如图所示．易错点旋转方向不确定导致漏解6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O旋转90°到OA′，则点A′的坐标是（－4，3）或（4，－3）．02中档题7．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图看到的是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的平行四边形AEFG可以看成是将平行四边形ABCD以A为中心（D）A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到8．如图，已知Rt△ABC和三角形外一点P，按要求完成图形．（1）将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转90°，得△A′B′C′；（2）将△ABC绕点P逆时针方向旋转60°，得△A″B″C″.解：（1）△A′B′C′如图所示．（2）△A″B″C″如图所示．9．（2020·江西改编）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′.解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）如图，△AB′C′即为所求．。
北师大版数学八年级下册全册同步练习附答案
3．已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（ ）
A．60°B．70°C．75°D．80°
22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：
①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）
（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．
23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？
∴BD=CD，
在△A BD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．
（其他正确证法同样给分）…（4分）
21、解：OE⊥AB．
22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO ；③BD=CE；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角 形？
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm 2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长（）A．B．1C．2D．5．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM的长为（）A．4B．5C．6D．5.56．如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB．若AE＝10，则DF等于（）A．5B．4C．3D．27．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（）A．AC＞BC B．AC＜BC C．∠A＝∠B D．AC＝BC8．如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点共有（）个．A．8B．7C．6D．59．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．60°B．80°C．70°D．100°10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°二．填空题11．等腰三角形一底角平分线与其对边所成的锐角为84°，则等腰三角形的顶角大小为．12．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为．13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝3cm，DE＝4cm，则CD＝cm．14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连结DC，则∠DCB的度数是．15．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AB＝6，CD＝1，则BC的长为．16．如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，则∠A＝度；（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为．三．解答题17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）若∠E＝24°，求∠B；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE面积．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形；（2）若∠BAD＝140°，求∠ACD的度数．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．20．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．（1）如图1，求∠BAC的度数；（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC 于点E，DF⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BE＝DE；（2）若DE＝2，，求BD的长．22．如图，在△ABC中，D点是AB的中点，OD⊥AB于D，O点在AC的垂直平分线，（1）求证：△BOC是等腰三角形；（2）若∠BAC＝80°，求∠BCO的度数．23．动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为ts．（1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？（2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t．24．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，9cm．而3+3＜9，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是6cm，6cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．2．解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，故选：C．3．解：设∠C＝α，∵∠A＝∠B＝2∠C，∴∠A＝∠B＝2α，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2α+2α+α＝180°，∴α＝36°，∴∠A＝∠B＝72°，∴该三角形是等腰三角形．故选：A．4．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE＝2，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，CE＝2，∴AE＝CE＝1．故选：B．5．解：过点P作PD⊥OB于点D，∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝13，∴∠OPD＝30°，∴DO＝＝6.5，∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1，∴MO＝DO﹣MD＝6.5﹣1＝5.5．故选：D．6．解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠DAE＝∠ADE＝15°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠BAD＝15°，∴∠DEG＝15°×2＝30°，∴ED＝AE＝10，∴在Rt△DEG中，DG＝ED＝×10＝5，∴DF＝DG＝5．故选：A．7．解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，先假设AC＝BC．8．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故选：C．9．解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠1＝50°，∴∠3＝∠1+∠A＝50°+60°＝110°，∵直线l1∥l2，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝70°，故选：C．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．二．填空题11．解：设∠ABC＝∠C＝2x°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠A＝180°﹣4x°，①当∠ADB＝84°时，在△ABD中，x+180﹣4x+84＝180，解得：x＝28，∴∠A＝180°﹣4×28°＝68°；②当∠CDB＝84°时，∵∠CDB＝∠A+∠ABD，∴84＝180﹣4x+x，解得：x＝32，∴∠A＝180°﹣4×32°＝52°；综上所述：∠A的度数为52°或68°，故答案为：52°或68°．12．解：∵AB＝AC，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∴∠BAC＝100°，∵∠ADE＝40°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°；③DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，综上，∠BAD的度数为60°或30°，故答案为：60°或30°．13．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．同理∠ADE＝∠AED，∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，即∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE＝3cm，∴CD＝DE+CE＝4+3＝7（cm），故答案为：7．14．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠A＝60°，由作图可知AD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠DCB＝90°﹣60°＝30°．故答案为：30°．15．解：分两种情况：当高AD在△ABC内时，如图：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝30°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵CD＝1，∴BC＝BD+CD＝4；当高AD在△ABC外时，如图：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝30°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵CD＝1，∴BC＝BD﹣CD＝2；综上所述：BC的长为4或2，故答案为：4或2．16．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，可得2x＝，解得：x＝36°，则∠A＝36°；故答案为：36；（2）设∠C＝x．①当AD＝AE时，∵2x+x＝27°+27°，∴x＝18°．②当AD＝DE时，∵27°+27°+2x+x＝180°，∴x＝42°．所以∠C的度数是18°或42°．故答案为：18°或42°．三．解答题17．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝24°，∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝48°；（2）在Rt△ADB中，，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，∴．18．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°，∴∠ADC＝70°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°．19．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分线∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①证明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：结论：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．20．（1）解：设∠ABD＝x°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°，又∵BD＝AD，∴∠A＝x°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，∴∠BDC＝∠C＝2x°，∴BD＝BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°，∴∠BAC的度数为36°；（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，∴EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FBA＝∠F AB＝72°，∴∠AFB＝∠F AC＝36°，∴CA＝CF，∴AB＝AC＝CF，∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．21．（1）证明：∵BD分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠EDB．∴DE＝EB．（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC．又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，∴CD＝DF＝．在Rt△CDE中，CE＝＝1．∵DE＝EB＝2，∴BC＝CE+EB＝3．在Rt△CDB中，BD＝＝＝2．22．（1）证明：∵D点是AB的中点，OD⊥AB于D，∴OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∵O点在AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OB＝OC，∴△BOC是等腰三角形；（2）解：∵OA＝OB，OA＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠OAC＝∠OCA，∴∠ABO+∠ACO＝∠BAO+∠CAO＝∠BAC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∵∠OBC＝∠OCB，∴∠BCO＝10°．23．解：（1）∵点P运动的速度为2cm/s，点Q运动的速度为3cm/s，∴BP＝2t（cm），BQ＝（6﹣3t）（cm），当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形，∴2t＝6﹣3t，∴t＝1.2，∴在点P，Q运动过程中，经过1.2秒时△PBQ为等边三角形．（2）①当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴PB＝BQ，∴2t＝（6﹣3t），∴t＝，②当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BQ＝PB，∴6﹣3t＝×2t，∴t＝1.5，∴在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，t＝s或t＝1.5s．24．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x；（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠BAC＝180°﹣2y，∵∠BAD＝x，∴∠AED＝y+x，∴x．25．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．。
北师大版数学八年级下册：1.2 直角三角形 同步练习(附答案)
2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为（）A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．9．下列定理中，没有逆定理的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为．12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（）A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是（）A．HL B．ASAC．AAS D．SAS第1题图第2题图2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．75°第3题图第4题图4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：∠ABC＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（）11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长为．第12题图第13题图13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝时，△ABC和△PQA全等．14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.(1)求证：AE＝CF，MD＝MB；(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．参考答案：2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.又∵在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE，∴∠AED＝∠CFE.又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，∵AD＝13，BD＝12，AB＝5，∴AB2＋BD2＝AD2.∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°.∴S阴影＝S△ABD－S△ABC＝12AB·BD－12BC·AC＝30－6＝24.9．下列定理中，没有逆定理的是(C)A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是(B)A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB 于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.∴b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k ＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS第1题图 第2题图2．如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是(A) A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝ACD ．∠B ＝45°3．如图，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝(B) A ．40° B ．50° C ．60°D ．75°第3题图 第4题图4．如图，点D ，A ，E 在直线l 上，AB ＝AC ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，且BD ＝AE.若BD ＝3，CE ＝5，则DE ＝8．5．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC ＝BD.求证：∠ABC ＝∠BAD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠ACB ＝∠BDA ＝90°. 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)． ∴∠ABC ＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是(A)A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC＝90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB第12题图 第13题图13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，线段PQ ＝AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP ＝5或10时，△ABC 和△PQA 全等．14．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF.(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ； (2)若∠CAE ＝30°，求∠ACF 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，⎩⎨⎧AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)． (2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°.∴∠BAE ＝∠CAB －∠CAE ＝45°－30°＝15°. 由(1)知Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝15°＋45°＝60°.15．如图1，E ，F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F.若AB ＝CD ，BF ＝DE ，BD 交AC 于点M.(1)求证：AE ＝CF ，MD ＝MB ；(2)当E ，F 两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF －EF ＝CE －EF ，即AE ＝CF. ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEM ＝∠BFM ＝90°.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.(2)AE ＝CF ，MD ＝MB 仍然成立．证明： 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.。
《4 角平分线》(同步训练)初中数学八年级下册_北师大版_2024-2025学年
《4 角平分线》同步训练(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是边BC上的任意一点，若AD平分∠BAC，则以下说法正确的是（）A. ∠BAD = ∠CADB. ∠BAD = ∠BC. ∠BAD = ∠CAD/2D. ∠BAD = ∠B/22、在等边三角形ABC中，点D是边AB上的任意一点，若DE是∠BAC的角平分线，则以下说法正确的是（）A. ∠ADE = ∠BB. ∠ADE = ∠CC. ∠ADE = (∠B + ∠C)/2D. ∠ADE = (∠B - ∠C)/23、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边AC上，且AD=BD。
若∠ABC的度数为50°，则∠ADB的度数为：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4、在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO。
如果∠AOD 的度数为60°，则下列说法正确的是：A. 四边形ABCD是菱形B. 四边形ABCD是矩形C. 四边形ABCD是等腰梯形D. 四边形ABCD是平行四边形5、在△ABC中，若∠BAC=50°，点D在BC边上，且∠ADB=40°，∠ADC=30°，则∠BDC的度数是：A. 30°B. 40°C. 50°D. 70°6、已知点P是等腰三角形ABC的底边BC的中点，点D在AB上，且∠APD=60°，∠B=70°，则∠A的度数是：A. 30°B. 40°C. 70°D. 80°7、在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD的延长线上的一点，且AE=AD。
那么下列说法正确的是：A. BE=ECB. ∠B=∠CC. ∠AED=∠BEAD. ∠BEC=∠BDE8、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。
北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习(含答案)
北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线 同步练习一、单选题（共 10 题；共 20 分）1.如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为 A，B。
下列结论中不一定成立的是（ ）A.PA=PBB.PO 平分∠AOBC.OA=OBD.AB 垂直平分 OP )2.如图， AB∥CD,AP， CP 分别平分∠BAC 和∠ACD， PE⊥AC 于点 E， 且 PE＝3cm， 则 AB 与 CD 之间的距离为(A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定3.如图，以∠AOB 的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D，再分别以点 C，D 为圆 心，大于 CD 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 E，作射线 OE，连接 CD，以下说法错误的是（ ）A. △ OCD 是等腰三角形 C. CD 垂直平分 OEB. 点 E 到 OA，OB 的距离相等 D. 证明射线 OE 是角平分线的依据是 SSS4.如图,在△ ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 G,过点 G 作 EF∥BC 交 AB 于 E， 交 AC 于 F， 过点 G 作 GD⊥AC 于 D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ AE+AF=n,则△∠A；③点 G 到△ ABC 各边的距离相等；④设 GD=m，=mn.其中正确的结论有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.如图，在△ ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F，交 AC 于 E，过点 O 作 OD⊥BC 于 D，下列四个结论：① ∠AOB=90°+∠②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F 分别是 AC，BC 的中点；④若 OD=a，CE+CF=2b， ) C. ①②④ D. ①③④则 S△ CEF=ab 其中正确的是( A. ①② 则可供选择的地点有（ ）B. ③④6.如图，直线 l1 ， l2 ， l3 表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，A.四处B.三处C.两处D.一处7.如图，△ ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 20、30、40，其三条角平分线将△ ABC 分为三个三角形，则 S△ ABO ︰S△ BCO︰S△ CAO 等于（ ）A. 1︰1︰1 则 DQ 的最小值（ ）B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4D. 3︰4︰58.如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，若 CD=3，点 Q 是线段 AB 上的一个动点，A. 5B. 4C. 3D. 29.∠AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离为 4，Q 是 OB 上任一点，则（ ） B. PQ＞4 D. PQ＜4A. PQ≥4C. PQ≤410.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平 分线．如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等D. 以上均不正确二、填空题（共 6 题；共 8 分）11.如图，要在河流的南边，公路的左侧 M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流 与公路交叉 A 处的距离为 1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在________.12.如图，△ ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AE 是∠BAC 的平分线，点 E 到 AB 的距离等于 3cm，则 CF=________cm.13.如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，AD 是△ ABC 的角平分线，若 CD=4，AC=12，BC=9，则 S△ ABD =________．14.如图， △ ABC 中， ∠A=100°， BI、 CI 分别平分∠ABC， ∠ACB， CM 分别平分∠ABC， 则∠BIC=________， 若 BM、 ∠ACB 的外角平分线，则∠M=________．15.如图，已知相交直线 AB 和 CD 及另一直线 MN，如果要在 MN 上找出与 AB，CD 距离相等的点，则这样的点 至少有________个，最多有________个．16.如图，在△ ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1 ， ∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线 交于点 A2 ， 依此类推…．已知∠A=α，则∠An 的度数为________（用含 n、α 的代数式表示）．三、解答题（共 6 题；共 55 分）17.如图，直线 l 及 A、B 两点（保留作图痕迹，不写作法）。
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八年级数学同步练习题及答案：因式分解
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 下列等式中成立的是（ ）
A. （x－y）3＝（－x－y）3
B. （a－b）4＝－（b－a）4
C. （m－n）2＝m2－n2
D. （x＋y）（x－y）＝（－x－y）（－x＋y）
2.下列分解因式正确的是（ ）
A. 2x2－xy－x＝2x（x－y－1）
B. －xy＋2xy－3y＝－y（xy－2x－3）
C. x（x－y）－y（x－y）＝（x－y）2
D. x2－x－3＝x（x－1）－3
3.因式分解（x－1）2－9的结果是（ ）
A. （x＋8）（x＋1）
B. （x＋2）（x－4）
C. （x－2）（x＋4）
D. （x－10）（x＋8）
4.下列各式中，与（a－1）2相等的是（ ）
A. a2－1
B. a2－2a＋1
C. a2－2a－1
D. a2＋1
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
7. （2007年北京）把代数式ax2－4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A. a（x－2）2
B. a（x＋2）2
C. a（x－4）2
D. a（x＋2）（x－2）
*8. 若x2－2（k＋1）x＋4是完全平方式，则k的值为（ ）
A. ±1
B. ±3
C. －1或3
D. 1或－3
9. 设一个正方形的边长为a厘米，若边长增加3厘米，则新正方形的面积增加了（ ）
A. 9平方厘米
B. 6a平方厘米
C. （6a＋9）平方厘米
D. 无法确定
*10. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B. （a－b）2＝a2－2ab＋b2
C. a2－b2＝（a＋b）（a－b）
D. （a＋2b）（a－b）＝a2＋ab－2b2
二. 填空题
1. （2007年海南）分解因式：a2－9＝__________．
2. （2008年上海）分解因式xy－x－y＋1＝__________．
3. （2008年河北）若m、n互为相反数，则5m＋5n－5＝__________．
4. （2008年浙江金华）如果x＋y＝－4，x－y＝8，那么代数式x2－y2的值是________．
5. （2007年武汉）一个长方形的面积是（x2－9）平方米，其长为（x＋3）米，用含有x
的整式表示它的宽为__________米．
7. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积为__________．
*8. 若整式4x2＋Q＋1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是__________．
*10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：__________（写出一个即可）．
三. 解答题
1. 将下列各式分解因式
（1）4x3－8x2＋4x
（2）9（x＋y＋z）2－（x－y－z）2 （3）m2－n2＋2m－2n
2. 利用因式分解计算：1－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002＋1012
**四. 综合应用题
体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下： 甲班：全班同学“引体向上”总次数为n2；
乙班：全班同学“引体向上”总次数为50n－625．
请比较一下两班学生“引体向上”总次数哪个班的次数多？多多少？
【试题答案】
一、选择题
1. D
2. C
3. B
4. B
5. B
6. B
7. A
8. D
9. C 10. C
二、填空题
1. （a＋3）（a－3）
2. （x－1）（y－1）
3. －5
4. －32
5. x－3
6. 500
7. 110cm2
8. ±4x
10. 101030，或103010，或301010
三、解答题
1. （1）4x（x－1）2（2）4（2x＋y＋z）（x＋2y＋2z）（3）（m－n）（m＋n＋2）
2. 5151
4. 4a2－9b2＝（2a＋3b）（2a－3b），答案不唯一
四、实际应用题
当n＝25时，甲、乙两班次数相同；当n＞25时，甲班比乙班次数多（n－25）2次。