高三数学 几何概型复习课件 新人教A版

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要点点拨
1．几何概型的特点 几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结 果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分 布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置 无关，只与该区域的大小有关．
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2．几何概型的常见类型 在几何概型中，当基本事件只受一个连续的变量控制 时，这类几何概型是线型的；当基本事件受两个连续的变 量控制时，这类几何概型是面型的，一般是把两个变量分 别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了 平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
5．已知函数f(x)＝log2x，x∈[12，2]，在区间[12，2]上任 取一点x0，使f(x0)≥0的概率为__________．
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解析：由f(x0)≥0，得log2x0≥0， ∴x0≥1，即使f(x0)≥0的区域为[1,2]， 故所求概率为P＝22－ －112＝23. 答案：23
[答案] A
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[规律总结] 1.解答本题的关键是确定x的取值范围， 这需要用到三角函数的奇偶性与单调性．
2．几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能 性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它 们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解 几何概型的概率．
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2．几何概型的两个基本特点
3．几何概型的概率公式
P(A)＝ 构成事件A的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
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基础自测
1．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点
的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是
()
3
4
A.5
B.5
2
1
C.5
D.5
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[答案]
4 5
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热点题型二
与面积有关的几何概型
[例2] 设有一个等边三角形网格，其中各个最小等 边三角形的边长都是4 3cm.现用直径为2 cm的硬币投掷 到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为 __________．
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[思路点拨] 硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币 中心到三角形各边(格线)的距离都大于1，在等边三角形内 作三条与等边三角形三边距离均为1的直线构成小等边三角 形，当硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交 点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小 等边三角形内的问题．
答案：C
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3．如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在 图中阴影部分所示的正三角形上的概率是( )
3 A. 4
3 B. 2
3 C. 4π
33 D. 4π
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解析：∵S圆＝πR2，S正三角形＝3×12R2sin120°＝3 43R2，
3 3R2
∴所求的概率P＝
4 πR2
＝34π3.
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变式训练2
如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个
角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为
a 2
的扇
形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木
取值范围．
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[解析] 在区间[－1,1]上随机取一个数x，试验的全部 结果构成的区域长度为2；
又－1≤x≤1，∴－2π≤π2x≤π2. 由0≤cos2πx≤12， 得π3≤2πx≤2π或－π2≤2πx≤－3π， ∴23≤x≤1或－1≤x≤－23.
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设事件A为cos2πx的值介于0到12之间． 则事件A发生的区域长度为23，∴P(A)＝13.
变式训练1
在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋
3 4
m＋1＝0无实根}
中随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为
________．
[思路点拨] 转化条件与结论，用几何概型求解．
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[解析] 由Δ＝m2－4(34m＋1)<0得－1<m<4. 即A＝{m|－1＜m＜4}． 由lgm有意义知m>0，即使lgm有意义的范围是(0,4)故所 求概率为P＝4－4－－01＝45.
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解析：试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件 的区域长度为2，故所求概率为P＝25.
答案：C
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2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从
水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )
A．0.01
B．0.02
C．0.05
D．0.1
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解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事 件的区域体积为0.1升，故所求概率为P＝02.1＝210＝0.05.
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[解析] 记E＝“硬币落下后与格线没有公共点”，如 图所示．小三角形的边长为2 3.
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∴P(E)＝S△SA△′ABB′CC′＝
43×2 43×4
3322＝14.
[答案]
1 4
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[规律总结] 对于几何图形中的几何概型问题，寻求事 件构成区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例 中“在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1的 直线构成小等边三角形”．
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热点题型一
与长度有关的几何概型
[例1]
在区间[－1,1]上随机取一个数x，cos
πx 2
的值
介于0到12之间的概率为( )
1
2
A.3
B.π
1
2
C.2
D.3
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[思路点拨]
先判断
π 2
x的范围，然后根据y＝cosx的图
象寻找π2x满足的条件，从而确定使cos2πx的值介于0到12的x的
必考部分
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1
第十章
概率
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2
第三节 几何概型
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3
考 纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 点 2．了解几何概型的意义. 击
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4
理基础 明考向
悟题型 课时作业
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5
研
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知识梳理
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何 概率模型，简称几何概型．
答案：D
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4．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的 终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率 为__________．
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解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布 的，则OA落在∠xOT内的概率为36600＝16.
答案：16
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