第一章+杆系结构有限元

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图 1.1 结构的两种几何离散过程 杆系结构的共同点是它们本身含有有限个自然结点。对于桁架结构，这些结点就是二力杆端部 的铰接点，对于刚架结构，这些自然结点或是结构的转折点，或者是集中载荷作用点。全结构被这 些自然结点离散化为有限个单元，桁架可以视为仅能承受轴向拉压的杆单元的集合，刚架可视为既 承受弯、剪，又承受轴力及扭转的梁单元的集合。 杆单元和梁单元是有限元法中最简单的单元，对这些单元进行分析，有较清晰的物理意义，其 结论在很大意义上反映了有限元法的本质．本着先简后繁，先易后难的原则，先从杆元、梁元进行 分析，其目的是得出有限元法共同的、规律性的东西。
第一章 杆系结构有限元
对于弹性变形体的三大类变量和三大类方程，采用试函数的求解方法可以大大降低求解难度， 并且具有很好的规范性和可操作性。而基于试函数的最小势能原理，其试函数只要求满足位移边界 条件(BC(优))， 对函数连续性要求相对较低， 但需要定义一个描述其系统的能量泛函， 对于弹性问题， 该能量泛函就是已给出表达式的势能。这些原理和方法很早就有学者提出，但都还是局限于比较简 单问题的应用，不能处理复杂的实际问题，其原因之一就是寻找定义在整个对象几何域中的试函数 往往很困难。 20 世纪 50 年代，随着现代航空事业的发展，对复杂结构进行较精确的设计和分析已是一个必 须解决的问题，一些学者和工程师开始就杆梁结构进行离散分解，研究相应的力学表达，如波音公 司的 Turner，Clough 和 Martin 在分析飞机结构时首先研究了离散杆、梁的单元刚度表达式，这种将 复杂结构进行离散的作法开创了有限元分析的先河。有限元分析的基本原理实际上就是最小势能原 理，不同之处，即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是 直接寻找全场上的试函数，往往这种分段表达的试函数很简单，但又带来数值计算量大的麻烦，随 着计算机技术的发展，这已不是什么困难，因此，有限元方法的真正发展和广泛应用一定是和现代 计算机技术的发展紧密相关的。 有限元分析：finite element analysis(FEA)。 有限元方法：finite element method(FEM)。 下面先从简单的杆梁结构入手全面介绍有限元方法，接着在后几章对连续体问题进行研究。 杆梁结构由于有自然的连接关系，可以凭一种直觉将其进行自然的离散，而连续体则不同，它 的内部由于没有自然的连接节点，必须完全通过人工的方法进行离散。有人说有限元方法的真正魅 力在于它成功地处理了连续体(场)问题，人们公认的有限元方法的鼻祖之一 Courant，就是在 1943 年使用三角形区域的分片连续函数和最小势能原理处理了连续体问题。 杆梁结构由于本身存在有自然的连接关系即自然节点，所以它们的离散化叫做自然离散，这样 的计算模型对原始结构具有很好的描述。而连续体则不同，它本身内部不存在自然的连接关系，而 是以连续介质的形式给出物质问的相互关联，所以，必须人为地在连续体内部和边界上划分节点， 以分片(单元)连续的形式来逼近原来复杂的几何形状，这种离散过程叫做逼近性离散(approximated discretization)，如图 1．1 所示。
a1 = ui a2 =
将式(1.1.3)代入式(1.1.1)得
u j − ui l
(1.1.3)
u ( x ) =+ ui
或写成
u j − ui l
x x x =− 1 ui + u j l l
ui x x ui e Ni N j = [ N ]{δ } u ( x) = 1 − l l u = j u j
e
d dx
或写成
{ε } = [ B ]{δ }
其中，[ B= ]
(1.1.5)
1 [ −1 1] 叫做几何矩阵或单元应变矩阵．几何矩阵[B]把单元的结点位移 {δ }e 和应变列 l
阵 {ε }联系起来．对于拉(压)杆，应力与应变之间的关系有
σ x = Eε x
用矩阵表示为
{σ } = [ D ]{ε }
1．1．3 几何关系及物理关系
有了位移函数，就可分析单元的应变及应力，根据应变定义
εx =
将位移函数(1.1.4)式代入有
du dx x l d x 1 e e [ −1 1]{δ } {δ } = dx l l
e
{ε } = {ε x } = [ N ]{δ } = 1 − d dx
u ( x= ) a1 + a2 x
(1.1.1)
这就是二力杆单元的位移函数．式中 a1 , a 2 是两个待定常数，可由 i，j 两结点的位移惟一确定． 当
= x 0= u ( 0 ) ui x l= u (l ) u j =
(1.1.2)
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将式(1.1.2)代入式(1.1.1)有： u i = a1 ,u j = a1 + a 2 l ,从而可得
图 1.1.4 阶梯形状的二杆结构 该结构的右端受有 F3=10N 的外载，分析该结构的应力状态和形变状态。 解：该问题的求解思路为 ①用标准化的分段小单元来逼近原结构； ②寻找能够满足位移边界条件 BC(u)的许可位移场； ③用基于位移场的最小势能原理来求解。 基本变量为：节点位移 位移场 应变场 应力场 完整的有限元分析过程如下。 ⑴ 离散化 该结构由两根杆件组成，作为一种直觉，可自然离散为两个杆单元(bar element)(见图 1.1.5)。
(1.1.6)
在杆单元中 { σ }是应力列阵，只有一个元素，[D]叫弹性矩阵，是 1×1 阶的．将式(1.1.5)代入式(1.1.6) 得
= {σ }
D ]{ε } [ D ][ B = [= ]{δ } [ S ]{δ }
e
e
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其中[S]=[D][B]叫应力矩阵，对于杆单元 [ S = ]
E [ −1 1] 。 l
e
= 0 ，则 ∂Π e ∂ {δ }
e
= [ k ] {δ } − { R} =0
e e e
故
e e [ k ] {δ } = {R} e
(1.1.9)
式(1.1.9)即杆单元的平衡方程．其中杆单元在局部坐标系下单元刚度矩阵的显式为
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= [k ]
e
V
[ D ][ B ] dV ∫ ∫ [ B]=
T
1 −1 1 E [ −1 1] Adx 0 l 1 l
l
=
EA 1 −1 l −1 1
(1.1.9a)
而对于整体结构来说，其总势能
Π= U − W= ∑ (U e − W e ) =
也可用整体结构的位移表示
1 {δ } [ k ] {δ } − {δ } {R} ∑ 2
{δ } = ∑ {δ }e
{R} = ∑ {R}e
例 1．1 阶梯杆结构的有限元分析 一个阶梯状的二杆结构如图 1.1.4 所示，这是一个一维问题，材料的弹性模量和结构尺寸如下：
E (1) = E ( 2) = 2 ×107 Pa, A(1) = 2 A( 2) = 2cm 2 , L(1) = L( 2) = 10cm 。
e } [ K ] {δ } − {δ } {R} ， 2
其中 {δ } , [ K ] , { R} 分别是整体结构的节点位移列阵，总体刚度矩阵和整体结构的节点载荷列阵，它 们由单元的节点位移列阵，单元刚度矩阵和单元的节点载荷列阵装配而成。
[K ] = ∑ [k ]e
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图 1.1.3 形状函数和位移函数 当结构变形之后，i、j 点的位移通常都不为零，这时单元内位移按式（1.1.4）由结点位移和相应 的形状函数线性组合求得， 正因为形状函数反映了单元的位移分布形态， 矩阵[N]及其元素 N i , N j 也 由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。 再分析式(1.1.4)可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移 u i ,u j 化为连续函数 u ( x ) ，数学上 讲，就是已知函数在闭区间两个端点上的值 u i ,u j ，构成一个连续函数 u ( x ) ，它在端点应保证等于 这样的计算步骤就是内插， 形状函数 N i , N j 就是实现内插的两个函数， 所以 N i ( x ), N j ( x ) 又 u i ,u j ， 叫内插函数，形状函数矩阵[N]又叫内插函数矩阵，而式 u ( x ) = N i u i + N j u j 又叫内插多项式。 形状函数除上面所谈的力学意义之外，还有更重要的数学意义．如果说结构被自然结点离散化为 有限元的集合，实现了结构模型离散化，那么，形状函数完成了数学模型离散化，这两个离散化的 步骤构成了有限元法的理论基础．在用有限元法解连续介质问题时，这个离散化就显得格外重要。
图 1.1.1 杆单元结点位移、结点力分量
1．1．2 位移函数(形状函数)
对于铰接杆单元，在小变形假设的前提下，与杆垂直方向的位移并不使杆产生应变和应力．于 是，对每一个结点只需考虑一个结点位移及结点力，因而只需研究如图 1.1.2 所示的杆单元即可．
图 1.1.2 二力杆单元 单元在结点力作用下各点的位移叫内位移，描绘内位移的函数叫位移函数．由材料力学知道： 仅受轴向作用的二力杆，其应力及应变在轴线各点处均是恒定常数，因而位移沿杆子轴线呈线性变 化，即
通常用 {u}代表单元内位移
u ( x ) = [ N ]{δ = } Niui + N j u j
e
(1.1.4)
x x 其中， N i = 。 Nj = 1− , l l
在有限元法中， N i , N j 叫做 i 点、j 点的形状函数或插值函数，[N]叫形状函数矩阵。形状函数 矩阵十分重要，它把单元的结点位移和单元的内位移连接起来了。显然形状函数矩阵中的每一个元 素都是坐标的函数。 下面分析式(1.1.4)：当 u i = 1,u j = 0 时，杆单元的位移 u ( x ) 就是 N i ，当 u i = 0 ,u j = 1 时杆单元 所以形状函数的力学含义是当单元的一个结点位移为单位值， 其他结点的位移 的位移分布就是 N j ， 为零时，单元内位移的分布规律。杆单元形状函数 N i , N j 如图 1.1.3 所示。