第八章 平面解析几何8-8曲线与方程(理)

第8章 第8节

一、选择题

1．若M 、N 为两个定点且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →

＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线

D ．抛物线

[答案] A

[解析] 以MN 的中点为原点，直线MN 为x 轴建立直角坐标系．并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )，

则PM →·PN →＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9.

2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O )和一个定点F (F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD .设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为( )

A ．双曲线

B ．椭圆

C ．圆

D ．抛物线

[答案] A

[解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO |－|PF |＝|PO |－|PM |＝|OM |<|OF |(F 在圆外)，∴P 点的轨迹为双曲线，故选A.

3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π

[答案] B

[解析] 设P (x ，y )，由知有：(x ＋2)2

＋y 2

＝4[(x －1)2

＋y 2

]，整理得x 2

－4x ＋y 2

＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.

4．已知点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点A 到F 1的距离是23，线段AF 2的垂直平分线交AF 1于点P ，则点P 的轨迹方程是( )

A.x 2

9＋y

2

4＝1 B.x 2

12＋y

2

8＝1 C.x 2

3＋y

22＝1

D.x 2

12＋y

2

10

＝1 [答案] C

[解析] 依题意得，|P A |＝|PF 2|， 又|PA |＋|PF 1|＝|AF 1|＝23，

故|PF 1|＋|PF 2|＝23，点P 的轨迹为椭圆， 方程为x 23＋y 2

2

＝1.

5．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )

A ．一条直线

B ．一个圆

C ．一个椭圆

D ．双曲线的一支

[答案] A

[解析] 过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β内，直线l 与α的交点C 也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．

6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )

[答案] A

[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2

＝4x (x >0，y >0)，故选A.

7．过椭圆x 29＋y 2

4

＝1内一点R (1,0)作动弦MN ，则弦MN 中点P 的轨迹是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

[答案] B

[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，则4x 12＋9y 12＝36,4x 22＋9y 22＝36， 相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，

y 1－y 2x 1－x 2＝y

x －1

代入可知轨迹为椭圆． 8．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )

A ．线段

B 1

C B ．线段BC 1

C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段

D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A

[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，则AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ， ∴直线AP 1与AP 2确定一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α， ∴P 1P 2⊥BD 1，

又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C .

9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆

B ．椭圆的一部分

C ．双曲线的一部分

D ．抛物线的一部分

[答案] D

[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )．

设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧

x 1＝x

y 1＝2ax

，消去x 得，

y 12＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，

故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.

10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是( )

A ．a 1－c 1＝a 2－c 2

B ．a 1＋c 1>a 2＋c 2

C ．a 1c 2>a 2c 1

D ．a 1c 2

[答案] C

[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O 1，O 2，公共左顶点为A ，如图，则a 1－c 1＝|AO 1|－|FO 1|＝|AF |，a 2－c 2＝|AO 2|－|FO 2|＝|AF |，故A 对；又a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，故B 对；由图知e 1>e 2，即c 1a 1>c

2a 2

，∴a 1c 2

二、填空题

11．F 1、F 2为椭圆x 2

4＋y

2

31的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2

的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．

[答案] x 2＋y 2＝4

[解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝1

2(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，∴

动点D 的轨迹方程为x 2

＋y 2＝4.

12．(2010·哈师大附中)已知曲线C 1的方程为x 2

－y 2

8

＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x

－3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与双曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，则直线AB 的斜率为________．

[答案]

33

[解析] 设B (a ，b )，则由题意可得

⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2－

b 2

81(a －3)2＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1

b ＝0，