高等代数 讲义 第二章 (1)
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当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时, 原方程组有唯一解
x1 = b1a22 − a12b2 , a11a22 − a12a21 x2 = b2a11 − a21b1 . a11a22 − a12a21
(1) × a22 : (2 ) × a12 :
a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 , a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 ,
§2.3 n阶行列式
∑
表示对所有1、2、… 、 n的n级排列求和.
§2.3 n阶行列式
1
注:
a11 a12 L a1n 1) 行列式 a21 a22 L a2 n 常简记为 det(aij ) 或 aij . LLLLL an1 an 2 L ann
副对角线 a11 a12 L a1n a a L a 21 22 2 n 2) D = 中的数 aij 称为行列式D处于 LLLLL an1 an 2 L ann
例1
计算行列式
主对角线
2 −1 = 2 × ( −3) −(−1) × 4= −2 4 −3
1 2 3 2 1 3 = 1 +18 +12 −9 −4 −6 = 12 3 2 1
第 i 行第 j 列的元素, i 称为行指标, j 称为列指标.
3) n级行列式定义展开式中共有n!项.
§2.1 引言
当 k 为奇数时为奇排列.
§2.1 引言
3
四 、对换
定义 把一个排列中某两个数的位置互换,而
其余的数不动,得到另一个排列,这一变换 称为一个对换. 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.
定理1
对换改变排列的奇偶性.即经过一次对换, 奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列.
证明 1) 特殊情形:作相邻对换
3.自然科学与工程技术中,我们会碰到未知数的
个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , ⎪ a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , ⎨LLL ⎪a x + a x + L + a x = b . n2 2 nn n n ⎩ n1 1
§2.1 引言
§2.1 引言
5
本堂课的教学内容:
第三节:n级行列式 第四节:n级行列式的性质
§2.3 n 级行列式
一、 行列式定义 二、n 级行列式的等价定义
本堂课的要求:
1.掌握和理解n阶行列式的定义。 2.会利用定义计算一些特殊的行列式。 3.掌握和理解行列式的性质。 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。
m 次相邻对换
a1 L al ab b1 L bmc1 Lcn
b的逆序减少1个. 经对换后 a 所成逆序不变 ,
因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.
2)
一般情形
m + 1 次相邻对换 a La b a c1 Lcn 1 l b b1 Lbm a
∴ a1 Lal ab1 Lbm bc1 Lcn ,
2m + 1次相邻对换 a La bb Lb ac Lc , 1 l 1 m 1 n
两式相减消去 x2,得
(a11a22 − a12a21)x1 = b1a22 − a12b2 ;
§2.1 引言 §2.1 引言
由方程组的四个系数确定
1
若记 a11a22 − a12a21 = a11 a12 = D , 21 22
b a b1a22 − a12b2 = 1 12 = D1 , b2 a22 a11b2 − b1a21 = a11 b1 = D2 , a21 b2
+ +
沙路法
−
−
= a11a22a33 + a12a23a31 + a a a 13 21 32
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
2. 三级行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a31 a32 a33 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
主要知识点:
(1)排列与对换的相关定义与性质; (2)行列式的定义与性质; (3)行列式的求法(按行按列展开); (4)行列式的Laplace定理; (5)Cramer法则
本堂课的教学内容:
第一节:引言 第二节:排列
本堂课的要求:
了解行列式的引出问题; 了解排列、反序、对换的定义;
重点:
n阶行列式的性质,按行(列)展开定理,Cramer法则,Laplace定理
§2.1 引言
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0), 因此知结论成立.
§2.1 引言
4
思考题
如果排列 x1 x2 L xn−1 xn 的逆序数为 k ,则排列
xn xn−1 L x2 x1 的逆序数是多少?
小结
本堂课主要引出了行列式计算问题的必要性, 给出了行列式定义的基础概念-排列及排列的 基本性质,需要掌握逆序的概念,并掌握求逆 序的方法。
x1 = D1 , D x2 = D2 , D x3 = D3 D
则当 D ≠ 0 时该方程组的解为
x1 =
§2.1 引言
D1 , D
x2 =
D2 . D
§2.1 引言
其中
b1 a12 a13 D1 = b2 a22 a23 , b3 a32 a33 a11 b1 a13 D2 = a21 b2 a23 , a31 b3 a33 a11 a12 b1 D3 = a21 a22 b2 . a31 a32 b3
重点难点 难点:
n阶行列式的性质的计算方法。 求反序数
§2.1 引言
1.用消元法解二元线性方程组 (1) ⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ (2) ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
类似地,消去 x1,得
(a11a22 − a12a21)x2 = a11b2 − b1a21 ,
第二章 行列式
§1 引言 §2 排列 §3 n 级行列式 §4 n 级行列式的性质 §5 行列式的计算 §6 行列式按行(列)展开 §7 Cramer法则 §8 Laplace定理 行列式乘法法则
第二章:行列式
教学目标和要求:
(1) 了解排列、对换的性质及与行列式一般定义之间的关系。 (2) 熟练掌握行列式性质及求行列式的方法。 (3) 会求一些常见的n阶含参数行列式的值。 (4) 会用Laplace定理求行列式。 (5) 熟练掌握用Cramer法则解线性方程组。 (6) 了解行列式的乘法。
§2.3 n阶行列式
− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
对角线法
§2.3 n阶行列式
3. n 级行列式
n 级行列式
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n LLLLL an1 an 2 L ann
(1)
即
等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
a1 j1 a2 j2 L anjn
(∗ )
它的解是否也有类似的结论呢?
§2.1 引言
§2.1 引言
为此,本章依次解决如下问题:
1)怎样定义n级行列式? 2)n级行列式的性质与计算? 3)方程组(*)在什么情况下有解? 有解的情况下,如何表示此解?
§2.2 排列
一、排列 二、逆序 逆序数 三、奇排列 偶排列 四、对换
§2.1 引言
§2.1 引言
§2.1 引言
三 、奇排列、偶排列
定义
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
答案:
方法一
(1) τ = (n − 1) + (n − 2) + L + 2 + 1 =
当 n = 4k , 4k + 1 时为偶排列;
n(n − 1) 2
方法二
当 n = 4k + 2, 4k + 3 时为奇排列.
证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
证明 设在全部 n 阶排列中,有 s 个奇排列, t 个
s=t 偶排列,下证. 将 s 个奇排列的前两个数对换,则这 s 个奇排列
全变成偶排列,并且它们彼此不同, ∴ s ≤ t . 同理,将 t 个偶排列的前两个数对换,则这 t 个 偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同, ∴ t ≤ s . n! 故 s=t= . 2
设排列为
a1 Lal ab b1 Lbm 对换 a 与 b a1 Lal ba b1 Lbm
除 a , b 外,其它元素所成逆序不改变.
§2.1 引言 §2.1 引言
当 a < b时, 经对换后 a 的逆序增加1个 , 当 a > b时,
a1 Lal a b1 Lbm b c1 Lcn
b 所成逆序不变;
所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变 奇偶性.
§2.1 引言
设排列为 a1 L a l ab1 L bm bc1 L c n 现来对换 a 与 b .
§2.1 引言
推论
所有 n 级排列中,奇、偶排列各半, 均为
n! 个. 2
定理2
任意一个排列与标准排列 123L n 都可经过 一系列对换互换,并且所作对换的次数与这个 排列的奇偶性相同.
或 τ ( j1 j2 L jn ) = j2 前面比 j 2大的数的个数
+ j3 前面比 j3 大的数的个数 + jn 前面比 jn 大的数的个数.
§2.1 引言
解:135L (2n − 1)(2n )(2n − 2)L 42
12
n−1
+L
n−1
1
τ = 1 + 2 + L + (n − 1) + (n − 1) + L + 2 + 1 = n(n − 1)
2
一、排列
定义
由1,2,…,n 组成的一个有序数组 称为一个 n 级排列.
二、逆序
逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数,规定由小到大为标准次序.
注: 所有不同 n 级排列的总数是
n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ L ( n − 1) n = Pn
定义 在一个排列中,如果一对数的前后位置
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n = LLLLL an1 an 2 L ann
这里
j1 j2L jn
j1 j2L jn
∑
( −1)τ ( j1L jn ) a1 j1 a2 j2 L anjn
的代数和,这里 j1 j2 L jn 为 1,2,L , n 的排列. 每一项(1)都按下列规则带有符号: 当 j1 j2 L jn 为奇排列时(1)带负号; 当 j1 j2 L jn 为偶排列时(1)带正号;
重点难点
利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式。
一、行列式的定义
1. 二级行列式
a11 a12 = a a − a a 11 22 12 21 a21 a22
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
−
a13 a23 a33
a 11 a 21 a 31
+
a 12 a 22 a 32
+ jn−1 后面比 jn−1 小的数的个数.
方法一
例1.排列 31542 中,逆序有
31, 32, 54, 52, 42
∴ τ (31542) = 5
例2.求 n 级排列 135L (2n − 1)(2n)(2n − 2)L 42 的逆序数.
方法一
+ j2 后面比 j2 小的数的个数 + L
方法二
与标准次序相反,即前面的数大于后面的数, 则称这对数为一个逆序; 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.
§2.1 引言
( n 阶乘)
如,所有的3级排列是
123,132,213,231,312Leabharlann Baidu321.
——共6=3!个.
§2.1 引言
注:
① 排列 123 L n 称为标准排列,其逆序数为0. ② 排列 j1 j2 L jn 的逆序数常记为 τ ( j1 j2 L jn ). ③ τ ( j1 j2 L jn ) = j1 后面比 j 1小的数的个数
τ = 1 + 2 + L + n + ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 (2) n( n + 1) n( n − 1) = + = n2 2 2 当 k 为偶数时为偶排列,
注: 标准排列 123 L n 为偶排列. 练习:求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性.
(1) n( n − 1)L 321 (2) (2n)1(2n − 1)2(2n − 2)3L ( n + 1)n
a
a
2.在三元一次线形方程组求解时有类似结果
即有方程组
⎧ ⎪ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ⎨ a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ⎪ ⎩ a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 a11 a12 a13 当 D = a21 a22 a23 ≠ 0 时,有唯一解 a31 a32 a33