固体物理教学中联接正格子和倒格子空间的傅里叶变换过程浅议

其 中 的关键 步骤 也 给 出 了 凸显 物 理 内涵 的解 释 ， 使
相 关 内容 更 容易 被掌 握 ຫໍສະໝຸດ Baidu
１ 晶体 结构 的周 期 性 特 征
鉴 于联 接正格 子 和倒格 子 空 问的傅 里叶变 换过 程 是基 于 晶体结 构 的周 期 性 特 征 ， 我 们 先 对 晶体 结
构 的周期 性 特征进 行 说 明．
叶于 １ ８ ０ ７年 提 出 ， 目的是 为 了解 决 热 传 递 问题 ． 傅
相 关知 识 出发 ， 详细分 析 了傅里 叶变换过 程 ， 而且 对
里 叶认 为 ， 任何 连续 周 期 信 号 可 以 由一 组 适 当的 正
弦 曲线组 合 而 成． 这 一 开 创 性 的想 法 在 当 时饱 受 争 议， 甚至 遭 到 了著名 数学 家拉 格 朗 日的强 烈反 对 ， 但 最终 被科 学 界接 受 ， 并被 广泛 应 用于各 个 学科 ， 特 别 是通 信领 域 的信 号处 理方 面 ． 在 固体 物理 学 中 ， 为 了解 释 “ ｘ射 线 衍 射 ” 得 到
的关 键 步 骤 给 出 了 凸显 物 理 内 涵 的 解 释 ． 关键词 ： 固体物理 ； 正格 子空间 ； 倒格子空 间 ； 周期性 ； 傅 里 叶 变 换
中图分类号 ： Ｏ ４ ８ １ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ０ — ０ ７ １ ２ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ７ — ０ ０ ７ ７ — ０ ５
（ １ ． 上海大学 材料科学与工程学院 ， 上海 ２ ０ ０ ４ ４ ４ ；２ ． 上海大学 材料基因组５ １ ２ 程研究院 ， 上海 ２ ０ ０ ４ ４ ４ ）
摘要 ： 在 固体物理学课程 中， 由于 涉 及 到 一 些 高 等 数 学 知 识 ， 理 解 联 接 正 格 子 和倒 格 子 空 间 的傅 里 叶 变 换 过 程 一 直 是 教 学难 点之一． 本 文 从 晶体 结 构 的 周 期 性 特 征 出发 ， 并结合简易的数学 推导 ， 对 傅 里 叶 变 换 过 程 进 行 了详 细 的解 读 ， 并 且 对 其 中
程 的物理 内涵 显 得 更 加 困难 ． 现 行 的 固体 物 理 学 教
材更 偏 向 于在数 学 上 对 这 个 问题 进 行解 释 ， 学 生 很
沿 三个 方 向的单 位平 移矢 量 为 ａ 、 ａ 。 和ａ ． 于是 ， 将 基元 。沿 着平 移矢 量按 一定 的组合 方 式平 移得 到一
的结果 ， 即如 何用 二 维 衍 射 图 谱 推 断 晶 体 的三 维 结
构， 研 究人 员 引入 了“ 傅 里 叶 变换 ” ． 固体 物 理 学 中 ， 晶体 的三 维结 构 与 正 格 子 空 间相 关 ， 二维 衍 射 图谱 与 晶体 的倒 格 子空 问相 关 ． “ 傅 里 叶 变换 ” 成 功 解 决 了如何 联 接正 格子 空 间 和倒 格 子 空 间 的问 题 ， 使 得
ｕ ３ ａ ， 进 行 平 移 形 成 晶格 （ ｕ ， “ ， １ ２ 为 整 数 ） ． 例如 ，
系 列基元 ， 进 而形 成 晶 格 ， 即 。点 按 Ｔ：Ｕ １ ａ 】 ＋ ｕ ： ａ ２ 十
难在 繁复 的数学公 式 面前 对 其 中的物 理 内涵进 行深
刻 的理解 ¨ ． 考虑 到 理 解 倒 格 子 空 间及 其 与正 格 子
空 间的关 系 是学 习 固体物 理 学和半 导 体物 理学 等后
第３ ６卷第 ７期
２ ０１ ７年 ７月
大
学
物
理
Ｖ０ Ｉ ． ３ ６ Ｎｏ． ７
Ｊ ｕ ｌ ｙ ２ ０１ ７
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固体 物 理 教 学 中联 接 正 格 子 和 倒 格 子 空 间 的 傅 里 叶 变 换 过 程 浅 议
许 富宗 ， 施 思 齐
元． 在许 多 问 题 中 ， 基 元 的 内 部 作 用 不 影 响 研 究 结
果， 所以 ， 我 们 只需 要 关 注 基 元 呈 现 出 的 整 体 性 质． 与“ 质点 ” 模 型类 似 ， 可 以将 基元 抽 象 为具 有 一 定 性 质 的点 ， 被 称为格 点 ， 晶体 的模 型是 一 系列按 照一 定 方 式排 列 的格点 ， 被 称为 晶格 ． 如图 １ 所 示．
晶体 （ 本 文 指 单 晶 ）由完 全 相 同 的原 子 基 团经 过一 定方 式重 复排 列构 成 ． 其中， 最 小 的原 子 基 团被 称 为 固体 物理 学原胞 ． 为 了 研究 方便 ， 由数 个 固体 物 理 学 原胞 组 成 的原 子 集 团 也 可 作 为 晶体 的基 本 单 位， 被 称 为晶胞 ． 固体物 理学 原胞 和 晶 胞被 统称 为 基
为 方便 应 用 ， 我 们 用 数 学表 达 式 对 晶体 周 期性 特 征进行 表 述 ． 假 定 三 维空 间 中存 在 一个 基元 Ｏ ， 其
数学 知识 和大学 阶 段 的“ 高等数学” 内容 是 脱节 的 ，
增 加 了理解 难度 ． 另 一方 面 ， 由于倒 格 子 空 间等 相 关 物理 概念 本 身 比较抽 象 ， 导 致 理解 “ 傅 里 叶变 换 ” 过
【 Ｄ Ｏ Ｉ 】 １ ０ ． １ ６ ８ ５ ４ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． １ ０ ０ ０ — ０ ７ １ ２ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ７ ． ０ ２ ０
“ 傅里 叶变 换 ” 是 由法 国数 学 家 、 物 理学 家 傅 里
续 课程 的基 础 ， 本文 不仅 从 大 学 阶段 的 “ 高 等数 学 ”
“ ｘ射 线 衍 射 ” 能 够 被广 泛 应 用 于 晶体 学研 究 ， 极 大
推 动 了 固体 物 理学 的发 展 ， 但 也 给 固体 物 理 教 学 提 出了更 高 的要 求 ． 一方面 ， 理 解 固体 物 理 学 中 的 “ 傅
里 叶变换 ” 本 身 需 要 一 定 的数 学 基 础 ， 且 其 中 有 些