第二十一章章末小结

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2022秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程小结习题课件新版新人教版

解得 x1＝2，x2＝4. (2)由题知 a＝3，b＝2 3，c＝－2.
则 x1,2＝－2
3± 6
12＋24＝－2 63±6＝－
3±3 3.
－ ∴x1＝
33＋3，x2＝－
3－3 3.
考点 4 一元二次方程的根的判别式 5. 已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－(2m－1)x＋m＋1＝0(m 为常数)有两个实数根，求 m 的取值范围．
解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2，原方程可化为 t2＋4t－5＝0.
解：(t＋5)(t－1)＝0， t＋5＝0 或 t－1＝0， ∴t1＝－5，t2＝1，当 t＝－5 时， x2＋2x＝－5，此方程无解；
当 t＝1 时， x2＋2x＝1，则 x2＋2x＝1，配方得(x＋1)2＝2，解得 x1＝－1＋ 2， x2＝－1－ 2. 经检验，原方程的解为 x1＝－1＋ 2，x2＝－1－ 2.
∴ax2＋bx＋c＝ax2－6ax＋8a.∴bc＝＝8－a.6a， ∴a，c 之间的关系是 a＝81c.
当两个根为 2 和 1 时，同理可得 a，c 之间的关系是 a＝12c. 综上所述，a，c 之间的关系是 a＝81c 或 a＝21c.
10. 已知 a，b，c 均为非零实数，关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 其中一个实数根为 2.
解：设点 P，Q 移动的时间为 x s，则由题意知 AP＝x cm，BP＝(5－x) cm，BQ＝2x cm，CQ＝(7－2x)cm.
(1)S△PBQ＝21PB·BQ＝21×(5－x)·2x＝4. 整理，得 x2－5x＋4＝0，解得 x1＝1，x2＝4. 当 x＝1 时，5－1>0,7－2×1>0，满足题意；当 x＝4 时，5－4>0,7－2×4<0，不满足题意，舍去．故 1 s 后，△PBQ 的面积为 4 cm2.

骆驼祥子21-24章内容概括

骆驼祥子21-24章内容概括骆驼祥子21-24章内容概括《骆驼祥子》是老舍的代表作之一，以现实主义的笔法与悲天悯人的情怀，塑造了祥子、虎妞等一批令人难忘的艺术形象，在中国现代文学史上拥有重要地位。

以下是小编整理的骆驼祥子21-24章内容概括，欢迎阅读！骆驼祥子21-24章概括第二十一章：祥子心里总想着夏太太的诱惑，仿佛她是欲擒故纵，又仿佛是她根本没有那意思，祥子在她身上越来越看出虎妞的意味，干脆逃了。

回到车厂，他大病一场，自此后身上的那点子正气再也没有了，祥子堕落，抽烟，耍坏，犯懒，对车也不再爱惜。

一次拉车，祥子又碰到了刘四爷，刘四爷问祥子女儿的下落，祥子说死了也没告诉埋在那里就这么甩头走了。

第二十二章：自从在胡同里恶言恶语地顶撞了刘四爷，祥子感到万分痛快。

他决心与过去告别，他身上重新有了活力，有了生机。

他找到曹先生家，请曹先生给他指点出路。

曹先生让他再到他家来拉包月，并答应让小福子也在他家吃住。

祥子立即赶到那个大杂院找小福子，却不见了小福子的踪影。

祥子上街到处找，找了整整一天，杳无音讯。

晚上，他回到车厂，烟酒又成了他的朋友。

第二十三章：祥子在街上失魂落魄地走，遇见了小马儿的祖父，老头子告诉他，小马儿病死了，他的车也卖掉了，现在就靠卖茶水等度日。

他还建议祥子到“白房子”去找小福子。

祥子找到“白房子”，得知小福子因为无法忍受屈辱已经上吊自杀，他的精神彻底崩溃了。

他开始吃、喝、嫖、赌、讹诈，以干坏事为乐趣。

第二十四章：阮明想利用祥子，不料却被祥子以六十元出卖而丢了性命。

祥子已经不能拉车，他靠给人送殡来度着残余的时日。

“体面的，要强的，好梦想的，利己的，个人的，健壮的，伟大的，祥子”堕落成为“自私的，不幸的，社会病胎里的产儿，个人主义的末路鬼”。

拓展：骆驼祥子1-20章概括内容第一章：介绍洋车夫祥子出场，也交代了祥子的背景和他的思想根源，他的梦想就是凭借自己的努力买上一辆属于自己的车，通过个人奋斗走向生命的成功。

沪教版八年级下册数学第二十一章《代数方程》全章复习与巩固知识讲解(提高)

《代数方程》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数.3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）.4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）.5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念.6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组.7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程.要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①nax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略.要点诠释：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次.用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解.要点二、分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程.2.分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点诠释：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.3.解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点三、无理方程1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.要点诠释：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．2.有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程.3.代数方程：有理方程和无理方程统称为代数方程.要点诠释：代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.4.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；③解整式方程；④验根；⑤写答案.要点诠释：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：5.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；以下与1步骤相同.要点诠释：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施.要点四、二元二次方程组1. 二元二次方程定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点诠释：22ax bxy cy dx ey f o +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中22,,ax bxy cy 叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，,dx ey 叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.3.二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.4. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.1. 代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得未知数的值；④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解.要点诠释：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2. 因式分解法(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.5.方程（组）的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.要点诠释：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、方程的判断1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.2222(1) 1 ; (2)320;1(3)20 ; (4)3 1.x y y y y x x y xy+=-+=+-=++= 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义.【答案与解析】（1）是，二次项2x 、一次项y ，常数项-1.（2）不是，因为只含一个未知数.（3）不是，因为不是整式方程.（4）不是，因为不含二次项.【总结升华】对于二元二次方程的定义要加深全面的理解．举一反三：【变式】（2015秋•黄浦区期中）在方程2x 2﹣3x=4，xy=1，x 2﹣4y 2=9，中，是二元二次方程的共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B.解：2x 2﹣3x=4是一元二次方程；xy=1，x 2﹣4y 2=9是二元二次方程；是分式方程．故是二元二次方程的只有：xy=1，x 2﹣4y 2=9．故选B ．2．（2016春•上海校级月考）下列关于x 的方程中，无理方程是（）A ．B ．C ．D ．+2x=7 【思路点拨】根号下含有未知数的方程是无理方程，依据定义即可作出判断．【答案】C ．【解析】解：A 、x 2+x+1=0是一元二次方程，选项错误；B 、x+1=0是一元一次方程，选项错误；C 、+=0是无理方程，选项正确；D 、+2x=7是关于x 的一元一次方程，选项错误．故选C ．【总结升华】本题考查了无理方程的定义，无理方程与整式方程的区别在于被开方数中是否含有未知数，理解定义是关键．举一反三：【变式】（2015春•闵行区期末）已知下列关于x 的方程：①；②+1=0；③+2x=7；④﹣7=0；⑤+=2；⑥﹣=．其中，是无理方程的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B.解：①根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；②根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；③根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；④根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑤根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑥根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；所以，②④⑤是无理方程；故选B．类型二、判断方程解的情况3．（2016春•上海校级月考）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（）A． B．x2+x+1=0 C． D．【思路点拨】根据表示a的算术平方根，一定是非负数，以及一元二次方程根的判别式即可作出判断．【答案】C．【解析】解：A、≥0，4＞0，则原式一定不成立，则方程没有实数根，选项错误；B、a=1，b=1，c=1，则△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，则方程无实数根，选项错误；C、当x=0时，=﹣x一定成立，即方程有实数根0，选项正确；D、≥0，≥0，则+≥0，因而+=﹣1一定不成立，没有实数根，选项错误．故选C．【总结升华】本题考查了算术平方根的定义以及一元二次方程根的判别式，理解任何非负数的算术平方根是非负数是关键．举一反三：【变式】（2016春•南京校级月考）下列方程中，有实数根的是（）A．x2﹣3x+5=0 B．C． D．【答案】C．解：A、△=9﹣20=﹣11＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、方程=﹣1没有实数解，所以B选项错误；C 、解得x=﹣1，正确；D 、去分母得x=1，经检验x=1是不是原方程的解，所以D 选项错误；故选C ．类型三、解方程4. 解关于x 的方程：1mx nx -=【思路点拨】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再考虑有解、无解、无穷多解的模式.然后进行分类讨论．【答案与解析】原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-；当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴ 40k -≠原方程的解为：64x k =-为正整数，∴4k -应为6的正约数，即4k -可为：1，2，3，6 ∴k 为：5，6，7，10答：自然数k 的值为：5，6，7，105.（2016春•长宁区期末）解方程：2220383x x x x +-=+．【思路点拨】根据换元法，设213u x x=+，可得关于u 的分式方程，根据解方程，可得答案．【答案与解析】解：设213u x x =+，则原方程化为：1208u u-=，解得：1211102u ,u ==-，当110u =时，2310x x +=，解得：1252x ,x =-=，经检验1252x ,x =-=是原分式方程的解；当12u =-时，232x x +=-，解得：12317317x -+--==，经检验12317317x ,x -+--==是原分式方程的解；所以原方程的解为：1252x ,x =-=，3431731722x ,x -+-==．【总结升华】本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度适中．6. 解方程 223152512x x x x ++++=【答案与解析】 251x x y ++=，则2222513153(1)x x y x x y ++=⇒+=-原方程可化为：23(1)22y y -+=，即23250y y +-=，解得：1y =或53y =-．(1)当1y =225115010x x x x x x ++=⇒+=⇒=-=或；(2)当53y =-2510x x y ++=≥，所以方程无解．检验：把1,0x x =-=分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是1,0x x =-=．【总结升华】本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)x x x x ++=++．因此，251x x y ++=，这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程进行处理．举一反三：【变式】解方程()223323532x x x x +-+=+ 【答案】解：原方程变形为，22352354022x x x x -++-+=， 2235x x -+，则23522x x -+=22y ，则方程可化为，22y +y-4=0, 整理得，2280y y +-=，解得，122,4,y y ==-当y=22235x x -+，解得，1211,2x x ==；当y=-42235x x -+=-4，无解. 经检验，1211,2x x ==都是原方程的解，所以原方程的解为1211,2x x ==. 7、解方程49324492x x x x +-=+. 【答案与解析】解：设494x y x +=，则214+9x x y=，原方程可化为，y-1y =32, 整理得，22320y y --=，解得，12,y =21,2y =-当y=2时，492,4x x +=解得，x=34；当y=－12时，491,42x x +=-无解；经检验，x=34是原方程的解，所以原方程的解为x=34. 【总结升华】本题中494x x +与24+9x x 之间互为倒数，采用倒数换元法是本题的最佳选择. 举一反三：【变式】（杨浦区校级期中）解方程：4x 2﹣10x+=17．【答案】解：方程变形为2（2x 2﹣5x+2）﹣﹣21=0 设=t ，则原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，（t ﹣3）（2t+7）=0，解得t 1=3，t2=﹣，当t=3时，=3，则2x 2﹣5x+2=9，整理得2x 2﹣5x ﹣7=0，解得x 1=，x 2=﹣1；当t=﹣时，=﹣，则方程无解，经检验原方程的解为x 1=，x 2=﹣1．类型四、解方程组 8. 解方程组【答案与解析】解：设1=+u x y ，1=-v x y，则原方程组可化为 80+42=7,40+70=7.u v u v ⎧⎨⎩解得 1=,201=.14u v ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 于是，得 11=,+2011=.-14x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 因此 +=20,-=14.x y x y ⎧⎨⎩解得 =17,=3.x y ⎧⎨⎩检验：把x=17，y=3代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值都不为零. 所以，原方程组的解是=17,=3.x y ⎧⎨⎩【总结升华】本题中直接去分母解比较麻烦，通过观察发现两个方程所含的分式的分母分别是x+y 和x-y ，所以想到“换元”，设1=+u x y ，1=-v x y，则原方程得以简化. 【变式】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩【答案与解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7．∴ 原方程组的解是：1147x y =⎧⎨=⎩或2274x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解． (1) 对于这种对称性的方程组x y a xy b+=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ． (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩． 9.（2016•黄浦区二模）解方程式：．【答案与解析】解：由②可得，（x+y ）（x ﹣5y ）=0，即x+y=0或x ﹣5y=0，∴x=﹣y 或x=5y ，当x=﹣y 时，把x=﹣y 代入①，得：2y 2=26，解得：y=±，故方程组的解为：或；当x=5y 时，把x=5y 代入①，得：25y 2+y 2=26，解得：y=±1，故方程组的解为：或；综上，该方程组的解为：或或或．【总结升华】本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次数较高可通过因式分解再代入等方法降幂求解即可．类型五、应用10.（2016•黄埔区模拟）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．【思路点拨】设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x 个、y 个，根据各加工30个零件甲比乙少用1小时完成任务，改进操作方法之后，乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时，列方程组求解．【答案与解析】解：设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x个、y个，由题意得，，解得：．经检验它是原方程的组解，且符合题意．答：甲乙两人原来每小时各加工零件分别为6个、5个．【总结升华】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解，注意检验．举一反三：【变式】甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？【答案与解析】解：设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，根据题意，得去分母，整理，得 x2+x-30=0．解这个方程，得 x1=5，x2=-6．经检验，x1=5，x2=-6都是原方程的根．但速度为负数不合题意，所以只取x=5，这时x+1=6．答：甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．【总结升华】本题当中要特别注意理解“甲结果比乙早到半小时”这句话，说明乙用的时间长，要在乙的时间上减去12小时，才和甲所用的时间相等.11.k为何值时，方程组.（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.【答案与解析】解：将(2)代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0 (3)（1）当时，方程(3)有两个相等的实数根.即解得：，∴k=1.∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根.（2）当时，方程(3)有两个不相等的实数根.即解得：，∴k<1且k ≠0.∴当k<1且k ≠0时，原方程组有两组不等实根.（3）①若方程(3)是一元二次方程，无解条件是，即解得：， ∴k ＞1.②若方程(3)不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根x=. 综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根.【总结升华】因为在（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在（3）问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需要分两种情况讨论.使用判别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ.12. 求直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标．【答案与解析】解：设满足题意的点为A(x,y)，由题意得，2222(15)15(9)15x y x y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得，93x y =⎧⎨=⎩或93x y =-⎧⎨=⎩，经检验，两组都是方程组的解，所以A （9,3）或A （-9,3）.答：直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标为（9,3）或（-9,3）.。

骆驼祥子21章概括

骆驼祥子21章概括第一节：祥子决定离开北京1.祥子感到无尽的绝望和悲凉2.他决定离开北京，去追求自由和尊严第二节：祥子倾尽所有买了一辆小推车1.祥子卖掉他的手推车和摊子，倾尽所有买了一辆小推车2.他决定用自己的努力改变命运第三节：祥子开始承包生意1.祥子用小推车承包运货生意2.他努力工作，从早到晚，希望能赚取更多的钱3.祥子对生意充满了热情和信心第四节：祥子遇到了刘四爷1.刘四爷是一个有钱的商人，他看中了祥子的能力和勤奋2.刘四爷邀请祥子为他工作，希望能与祥子合作扩大生意第五节：祥子遇到了王四爷1.祥子在生意上受到了王四爷的排挤和威胁2.祥子决定与王四爷展开斗争，维护自己的权益第六节：祥子与大福儿的友谊和决裂1.祥子与大福儿因为生意问题发生了摩擦2.两人之间的友谊破裂，祥子决定自立门户，摆脱贫苦的生活第七节：祥子的生意处理趋向稳定1.祥子在经营生意上渐渐稳定下来2.他学会了处理各种问题和人际关系3.祥子变得越来越自信和果断第八节：祥子的奋斗与坎坷1.祥子遇到了许多困难和挑战2.他不断努力，坚持自己的梦想和目标3.祥子的坚持和努力逐渐得到了回报第九节：祥子面临人生抉择1.祥子渐渐成为地主，拥有了一番事业和财富2.他面临着人生的抉择，是继续追求更高的目标，还是过上舒适的生活3.祥子经历了思想斗争，最终决定继续奋斗，追求更大的成功和成就第十节：祥子决定离开北京再次追求自由1.祥子决定离开北京，追求更高追求自由和尊严的机会2.他对北京充满了感激和不舍，但他相信自己将有更好的未来在《骆驼祥子》的第21章中，祥子经历了从绝望到希望，从努力到成功的转变。

他用自己的勇气和努力改变了自己的命运，成为了一个自信和坚强的人。

他面临着许多挑战和困难，但他从未放弃，始终坚持自己的梦想和目标。

最终，他决定离开北京，追求更高的自由和尊严。

这个决定充满了勇气和决心，显示了祥子对未来的无限期望。

他相信自己将能够创造属于自己的更好的未来。

人教版九年级上册数学精品教学课件第二十一章一元二次方程章末复习

6.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200 元/瓶，经过连续两次降价后，现仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．
解：设该种药品平均每次降价的百分率是x，由题意得，200(1 －x)2＝98，解得x1＝1.7(不合题意，舍去)，x2＝0.3＝30%.
答：该种药品平均每次降价的百分率是30%
Thank you!
解：由题意得：k＋1＝±2(k－1)，∴k＝3 或 k＝1 3
4.解下列方程： (1)．2(x－3)2＝x2－9.
解：x1＝3，x2＝9
(3)．(x－1)2－2(x－1)＝0. 解：x1＝3，x2＝1
(2)．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2. 解：x1＝－1＋2 6 ，x2＝－1－2 6
几种常见类型单(双)循环问题方案设计问题数字问题
随堂训练基础巩固
1．若代数式16x2＋kxy＋4y2是完全平方式，则k的值为( D ) A．8 B．16 C．－16 D．±16
2．已知4x2＋12x＋m2是完全平方式，则m＝_±__3_．
3．已知关于x的二次三项式x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是完全平方式，求k的值．
R·九年级上册
第二十一章一元二次方程章末复习
新课导入
导入课题
通过对一元二次方程这章的学习，你掌握了哪些知识？这些知识点间又有哪些联系呢？如何运用这些知识解决问题呢？
复习目标
（1）梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识. （2）能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题. （3）列一元二次方程解决实际问题. （4）进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.

海底两万里21-30章内容概括

海底两万里21-30章内容概括
第二十一章
我们再次踏上陆地，斋面包果踩水果打野味，却被土着人扔来的石头打断了。

第二十二章
野蛮人使我们撤回了“鹦鹉螺”号。

我担心我号会进入潜艇，可他们却被船长通的电驱走了。

第二十三章
离开托雷斯海峡号后，尼摩船长和他的大副用望远镜看到了远处的一个点，这使得尼摩船长变得非常严肃，他要求我们履行之前的约定，并在午餐中放了催眠药，把我们强制睡眠了。

第二十四章
沉睡一夜后，我被尼摩船长带到一个锤子的水手边，我也无法挽救。

又过了一天我们来到了珊瑚王国，尼摩船长将昨夜死难的水手安葬在了这里。

第二十五章
印度洋的富饶与美丽再次让我乐不思蜀。

在1月27日，我们又看到了惨烈的景象——来自印度城的浮尸。

第二十六章
尼摩船长提议道马奈尔湾参观采珠场。

我很高兴的答应了，却非常害怕可能遇到的鲨鱼。

第二十七章
尼摩船长带着我、康塞尔和尼德兰进入了采珠场，我们看到了价值连城的珍珠，目睹了，与黑鲨的厮杀——要不是尼德兰的出手相助，尼摩船长也险些丧命。

他们就下了一个采珠人，尼摩船长也对他进行了慷慨的施舍。

第二十八章
我们来到了红海，我们看到了许多海洋生物，以及讨论了“红海”名字的由来。

第二十九章
从红海到地中海，尼摩船长发现了“阿拉伯隧道”。

我们穿越了隧道，顺利来到地中海。

第三十章
来到地中海后，我们开始生意逃跑计划。

我们来到桑多林岛附近，目睹了海底喷火的情奇景。

新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十一章一元二次方程《小节：构建知识体系》

教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十一章一元二次方程《小节：构建知识体系》一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够全面回顾并总结一元二次方程的概念、解法及应用，构建完整的知识体系。

2.数学思维：培养学生的归纳总结能力、知识迁移能力和系统思维能力，通过构建知识体系，加深对一元二次方程整体框架的理解。

3.问题解决：引导学生运用构建的知识体系解决综合问题，提升问题解决的灵活性和深度。

4.情感态度：激发学生对数学学习的成就感和自信心，培养对数学知识体系的尊重与探索精神。

二、教学重点•一元二次方程的基本概念、解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）的回顾与总结。

•构建一元二次方程知识体系，明确各知识点之间的联系与区别。

三、教学难点•如何引导学生自主构建完整、清晰的一元二次方程知识体系。

•如何在构建知识体系的过程中，促进学生深入理解各知识点之间的内在联系。

四、教学资源•多媒体课件（包含一元二次方程知识点梳理图、例题解析等）•教材及章节复习资料•黑板及粉笔（或电子白板及触控笔）•学生预习笔记五、教学方法•讲授法与讨论法结合：教师讲授知识点，学生分组讨论构建知识体系的方法。

•思维导图法：引导学生使用思维导图工具，将一元二次方程的知识点进行梳理和归纳。

•案例分析法：通过典型例题的分析，加深学生对各知识点在解决实际问题中应用的理解。

六、教学过程1. 导入新课•复习回顾：快速回顾一元二次方程的基本概念、解法及应用，唤醒学生的记忆。

•引入主题：明确本节课的任务——构建一元二次方程的知识体系，激发学生参与的热情。

2. 新课教学•知识梳理：•教师引导学生从一元二次方程的定义出发，逐步梳理出直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解法。

•通过多媒体展示，展示一元二次方程知识点梳理图，帮助学生形成初步的知识框架。

•分组讨论：•学生分组，每组负责一个或多个知识点，深入讨论其在知识体系中的位置和作用。

红颜21到25章主要内容

红颜21到25章主要内容
第二十一章：郑克昌伪装进步记者被关进楼七室，骗取余新江信任，探查地下党线索，鼓动单纯青年学生唱啦啦词惹事露出马脚，余新江将计就计，除掉看守狗熊和郑克昌。

第二十二章：陆清收听时事广播，做最不幸的打算。

《挺进报》被发现，胡浩被拷打，齐晓轩挺身而出救同志，杨进兴哑口无言逃责任。

第二十三章：换牢房，了解华子良。

借图书，发现新事物。

第二十四章：齐晓轩、成岗商量越狱，华子良主动找组织，许云峰地窖挖暗道。

磁器口华子良传递密信，数帆楼老太婆接受任务。

第二十五章：严醉带特遣队从美国归来，传密令“分批密裁”。

渣滓洞女监绣红旗喜迎解放，李青竹江姐从容坚定别战友。

第二十一章信息的传递

第二十一章信息的传递教材解读信息的传递是既古老又现代的话题，从远古时期的“结绳记事”所传递的单一信息，到“烽火狼烟”所能传递较复杂信息，再到微波、光纤通信。

历史的长河见证了信息传递方式的进步，传递信息量的日趋增大，真正实现了“您所看到的，就是正在发生的”这样同步的效果，同时传输效果也越来越好。

章节的设置，按照从有线通信到无线通信再到卫星通信（光纤通信）的事物发展过程，依次安排了电话、广播、电视和移动通信，再到光纤通信和网络通信。

整章讲授过程中始终渗透一种思想，那就是辩证唯物主义思想，比如关于电磁波利用的利与弊；看电视的利与弊；网络通信的利与弊等，给学生充分的时间整理思路，发表自己的见解，如果有条件最好选择其中的一个问题为辩题，开展一场辩论赛。

本章的一些科技小资料也不容忽视。

“电磁波谱图”能使学生认识到哪部分电磁波分别用于哪些用途；“微波炉”“音频、视频、射频和频道”和“激光的应用”可用来激发学生学习兴趣，进行知识拓展；“我国光缆通信的发展”可对学生进行爱国主义教育，使学生自觉宣传科学知识，关注当今科技发展，了解科技与社会的关系。

课标要求2.3.7 知道波长、频率和波速。

2.4.6 知道电磁波。

知道电磁波在真空中的传播速度。

了解电磁波的应用及其对人类生活和社会发展的影响。

课时支配建议第1节现代顺风耳——电话1课时第2节电磁波的海洋1课时第3节广播、电视和移动通信1课时第4节越来越宽的信息之路1课时第1节现代顺风耳——电话教学目标1.了解电话是怎样把信息传递到远方的。

2.了解电话交换机的作用。

3.了解模拟通信和数字通信的基本区别。

教学重点电话的基本原理教学难点了解电话交换机的应用教学过程教案A一、引入课题提出问题：“5.12汶川大地震”给我们的国家和人民带来了巨大的损失。

请问，地震发生初期，人们要想问候四川的亲朋好友，打电话可不可以？学生思考后回答。

总结：地震发生后，所有的信号塔、基地台都被摧毁，不仅电话不能正常使用，手机、电脑也都不能正常工作了。

秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一

第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.重点：分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程来解决问题.难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系.一、知识1.解一元二次方程的四种解法是什么？2.列方程解应用题的一般步骤是什么？二、要点探究探究点1：传播问题与一元二次方程探究1有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?想一想如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?讨论1在分析探究1和例1中的数量关系时它们有何区别？讨论2解决这类传播问题有什么经验和方法？方法归纳：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．(2)“设”是指设未知数；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“验”就是对所得的解进行检验，得到实际问题的解．例2某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？练一练某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？方法总结：握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？方法总结：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.例3一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？方法总结：解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数.三、课堂小结1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980X，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A. x2=1980B. x(x+1)=1980C. 12x(x-1)=1980 D. x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A. 1+x+x(1+x)=73B. 1+x+x2=73C. 1+x2=73D. (1+x)2=733.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）A. 10B. 9C. 8D. 74.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.参考答案自主学习知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验作答.课堂探究二、要点探究探究点1：传播问题与一元二次方程探究1 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10, x2=-12（不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人.想一想第1种做法：以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）.第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.例1 解：设每个支干长出x个小分支，则 1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x1=11, x2=-12（不合题意，舍去）.答：每个支干长出11个小分支.讨论1 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.讨论2 （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.例2解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一场，故根据题意得(1)15,2x x解得x1=6, x2=-5（舍去）.∴x=6, 答：共有6个班级参赛．练一练解：设共有x人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得(1)10,2x x解得x1=5, x2=-4（舍去）.∴x=5.答：共有5个人参加聚会．【变式题】解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得(1)72,x x解得x 1=9, x2=-8（舍去）.∴x=9.答：共有9个班级参赛．例3解：设这个两位数个位数字为x，则十位数字为(x－3)，根据题意得x2=10(x-3)+x,解得x1=5, x2=6.∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.答：这个两位数是25或36.当堂检测1.D2.B3.D4.105.解：初三有x个班，根据题意列方程，得1(1)6,2x x化简，得x2-x-12=0,解得x1=4, x2=-3（舍去）.答：初三有4个班.6.解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌,60+60x+60(1+x)x=24000,∴x1=19, x2=-21（舍去）.∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.（2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.7.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736，解得x1=2, x2=x＝2时，5－x=3；当x＝3时，5－x=2.答：原来的两位数是23或32.。

人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》简介

第二十一章“一元二次方程〞简介课程教材研究所章建跃一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型。

一元二次方程的解法和实际应用是初中阶段的核心内容。

前面已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程等，本章学习一元二次方程的解法，讨论与方程的根有关的几个根本问题〔判别式与方程的根、根与系数的关系等〕，在此根底上学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。

本章的学习将为后续的勾股定理、二次函数等打下学习根底，在学生的“四基〞、“四能〞的开展，特别是在运算能力、推理能力、模型思想和应用意识的培养上可以发挥较大作用。

本章教学时间约需13课时，具体分配如下〔仅供参考〕：21．1 一元二次方程1课时21．2 解一元二次方程 7课时21．3 实际问题与一元二次方程 3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标1.本章知识构造现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。

因此，从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。

学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解。

学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程。

从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元〞上的推广。

自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程。

类比二〔三〕元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次〞降为“一次〞，这是本章学习的另一条主线。

与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进展求解。

这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机。

九年级数学上册第21章《第二十一章章末复习》名师教案(人教版)

第21章一元二次方程章末回顾一.本章思维导图.二.典型例题.例1.用适当方法解下列一元二次方程.1.（2x＋1）2=2x＋1．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：∵（2x＋1）2－（2x＋1）=0，∴（2x＋1）（2x＋1－1）=0，即2x（2x＋1）=0，则x=0或2x＋1=0，解得：x1=0或x2=12 -．【思路点拨】因式分解法求解可得．【答案】x1=0或x2=12 -．2. x2－4x＋1=0【知识点】解一元二次方程－配方法. 【解题过程】解：∵x2－4x＋1=0，∴x2－4x=－1，∴x 2－4x ＋4=4－1，⇒（x －2）2=3，⇒2x -=∴2x =±解得122x x ==【思路点拨】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【答案】122x x ==3. 4x 2－3=12x【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：原方程整理为：4x 2－12x －3=0，∵a=4，b=－12，c=－3，∴∆=144－4×4×（－3）=192＞0，则x=123=82±±．【思路点拨】利用公式法求解可得．【答案】32x ±= 4. x 2＋x －2=0．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：分解因式得：（x －1）（x ＋2）=0，可得x －1=0或x ＋2=0，解得：x 1=1，x 2=－2．【思路点拨】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】x 1=1，x 2=－2．例2.关于x 的一元二次方程（a ＋c ）x 2＋2bx ＋（a －c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【知识点】根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理.【解题过程】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2－4（a＋c）（a－c）=0，∴4b2－4a2＋4c2=0，∴a2=b2＋c2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵当△ABC是等边三角形，∴a=b=c，∵（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）=0，∴2ax2＋2ax=0，∴x1=0，x2=－1．【思路点拨】（1）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（2）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）x1=0，x2=－1．例3. 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；（2）设5月20日猪肉总销量为1，则5月21日两种猪肉的总销量为1+a%.根据题意得：40（1﹣a%）×34（1+a%）+40×14（1+a%）=40（1+110a%），令a%=y ，原方程化为：40（1﹣y ）×34（1+y ）+40×14（1+y ）=40（1+110y ），整理得：5y 2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；【思路点拨】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．【答案】（1）25元；（2）20.章末检测题一．选择题1．有下列关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c=0，②3x （x －4）=0，③x 2＋y －3=0，④21x ＋x=2，⑤x 3－3x ＋8=0，⑥12x 2－5x ＋7=0，⑦（x －2）（x ＋5）=x 2－1．其中是一元二次方程的有（） A ．2 B ．3 C ．4D ．5 【知识点】一元二次方程的定义.【解题过程】解：一元二次方程有②⑥，共2个，【思路点拨】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【答案】A ．2．若m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，则2014－m 2＋5m 的值是（）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，∴m 2－5m=2，∴2014－m 2＋5m=2014－（m 2－5m ）=2014－2=2012．【思路点拨】把m 代入方程得出m 2－5m=2，再代入到2014－m 2＋5m 即可求解．【答案】B ．3．一元二次方程4x2－2x＋14=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【知识点】根的判别式.【解题过程】解：在方程4x2－2x＋14=0中，∆=（－2）2－4×4×14=0，∴一元二次方程4x2－2x＋14=0有两个相等的实数根．【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出∆=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．【答案】B．4．一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为（）A．（x－3）2=15 B．（x－3）2=3 C．（x＋3）2=15 D．（x＋3）2=3【知识点】解一元二次方程－配方法.【解题过程】解：方程整理得：x2－6x=6，配方得：x2－6x＋9=15，即（x－3）2=15，【思路点拨】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【答案】A.5．已知x=2是关于x的方程x2－（m＋4）x＋4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【知识点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质.【解题过程】解：把x=2代入方程x2－（m＋4）x＋4m=0得4－2（m＋4）＋4m=0，解得m=2，方程化为x2－6x＋8=0，解得x1=4，x2=2，因为2＋2=4，所以三角形三边为4、4、2，所以△ABC的周长为10．【思路点拨】先利用一元二次方程解的定义把x=2代入方程x2－（m＋4）x＋4m=0得m=2，则方程化为x2－6x＋8=0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．【答案】C．6. 新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设这个小组有x人，则根据题意可列方程为：（x﹣1）x=72，解得：x1=9，x2=﹣8（舍去）．【思路点拨】设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x﹣1）个人贺卡，则共有（x ﹣1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程．【答案】C．7.如图，是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A．x+y=7 B．x﹣y=2 C．x2+y2=25 D．4xy+4=49【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故x+y=7正确；B、因为矩形长和宽的差为中间小正方形的边长，即x﹣y=2，故B选项是正确的；C、x2+y2=（x+y）2﹣2xy=49﹣2×454=532，故x2+y2=25是错误的；D、由B可知4xy+4=49．故选C．【思路点拨】本题中正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．【答案】C8．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）A．10.8（1＋x）=16.8 B．16.8（1－x）=10.8C．10.8（1＋x）2=16.8 D．10.8[（1＋x）＋（1＋x）2]=16.8【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：10.8（1＋x）2=16.8，【思路点拨】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1＋增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．【答案】C．9．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（）A．12步B．24步C．36步D．48步【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60－x）步，根据题意得：x（60－x）=864，整理得：x2－60x＋864=0，解得：x=36或x=24（舍去），∴x－（60－x）=12．【思路点拨】设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60－x）步，由矩形的面积=长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x－（60－x）中，即可求出结论．【答案】A．10．若关于x的方程kx2－3x－94=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥－1且k≠0C．k≥－1 D．k＞－1【知识点】根的判别式.【解题过程】解：当k=0时，方程化为－3x－94=0，解得x=34；当k≠0时，Δ=（－3）2－4k•（－94）≥0，解得k≥－1，所以k的范围为k≥－1．【思路点拨】讨论：当k=0时，方程化为－3x－94=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（－3）2－4k•（－94）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【答案】C．11．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，则a－b的值为（）. A．3 B.1 C .－1 D.2【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，∴b2－ab＋b=0，∵－b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b－a＋1=0，∴a－b=1．【思路点拨】由于关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，那么代入方程中即可得到b2－ab＋b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．【答案】B．12.若方程x2－4x＋1=0的两根是x1，x2，则x1（1＋x2）＋x2的值为（）．A．4 B.5 C .6 D.7【知识点】根与系数的关系.【解题过程】解：根据题意得x1＋x2=4，x1x2=1，所以x1（1＋x2）＋x2=x1＋x1x2＋x2=x1＋x2＋x1x2=4＋1=5．【思路点拨】先根据根与系数的关系得到x1＋x2=4，x1x2=1，然后把x1（1＋x2）＋x2展开得到x1＋x2＋x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．【答案】B．二．填空题13．一元二次方程－12x2＋4x=3的二次项系数、一次项系数和常数项的乘积为．【知识点】一元二次方程的一般形式.【解题过程】解：－12x2＋4x=3，－12x2＋4x－3=0，∵二次项系数是-12，一次项系数是4，常数项是-3，∴-12×4×（－3）=6，【思路点拨】移项，化成一元二次方程的一般形式，找出各个项系数，即可得出答案．【答案】6．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20－20×2x－30x＋2x•x=532，整理，得：x2－35x＋34=0．【思路点拨】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【答案】x2－35x＋34=0．15．若方程3x2－5x－2=0有一根是a，则6a2－10a=．【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：由题意，把是a的根代入3x2－5x－2=0，得：3a2－5a=2，∴2×（3a2－5a）=2×2，∴6a2－10a=4．【思路点拨】将a代入方程3x2－5x－2=0，得到3a2－5a=2，等式的两边都扩大为原来的2倍，问题可求．【答案】4.16．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－x＋8=0，则△ABC的周长是．【知识点】根的判别式；解一元二次方程－因式分解法；三角形三边关系.【解题过程】解：根据题意得k≥0且（）2－4×8≥0，解得k≥329，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．【思路点拨】根据题意得k≥0且（）2－4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．【答案】6或12或10．17．现定义运算“☆”，对于任意实数a、b，都有a☆b=a2－3a＋b，若x☆2=6，则实数x的值是．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：x☆2=6，x 2－3x ＋2=6，x 2－3x －4=0，（x －4）（x ＋1）=0，x －4=0，x ＋1=0，x 1=4，x 2=－1，【思路点拨】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．【答案】4或－1．18．已知x=2b -+（b 2－4c ＞0），则x 2＋bx ＋c 的值为．【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：∵b 2－4c ＞0）， ∴x 2＋bx ＋c=2＋b ＋c=22244b b c --＋22b -+ c=222242244b bc b c ---+ =0．【思路点拨】把x 的值代入代数式，再进行计算即可．【答案】0．三．解答题19.解下列方程：（1）（2x －1）2=25．【知识点】解一元二次方程－直接开平方法.【解题过程】解：（2x －1）2=25开方得：2x －1=5或2x －1=－5，解得：x 1=3或x 2=－2．【思路点拨】方程利用平方根定义开方即可求出解．【答案】x 1=3或x 2=－2．（2）2x 2－x=1【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】2x 2－x －1=0，（2x ＋1）（x －1）=0，2x ＋1=0或x －1=0，所以x 1=－12，x 2=1；【思路点拨】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；【答案】x 1=－12，x 2=1. （3）x 2＋4x ＋2=0．【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】∆=42－4×2=8，x=42-±=－，所以x 1=－2，x 2=－2．【思路点拨】利用求根公式法解方程．【答案】x 1=－2，x 2=－2．20.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm ，面积为24cm 2，求它的两条直角边的长．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设十位数字为x ，则个位数字为x+3，百位数字为x+2，根据题意得：[100（x+2）+10x+（x+3）]﹣9[（x+3）2+x 2+（x+2）2]=20，化简为27x 2-21x ﹣66=0；（2）设其中一条直角边的长为x ，则另一条直角边为（14﹣x ），根据题意得：12x （14﹣x ）=24，整理得：x2﹣14x+48=0．【思路点拨】（1）个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解；（2）设一边长为x，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可．【答案】（1）27x2-21x﹣66=0；（2）x2﹣14x+48=0．21. 如图，为美化环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：所以通道的宽为5米．【思路点拨】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可；【答案】（1）（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）通道的宽为5米．22.为创建和谐社会，大力发展民生工程，其中一项就是拓展市民视野，增加农民生活科技含量．为此市财政部门于2012年投资160万创建社区书屋和农村阅读室，并计划2014年投资360万元．若每年投资增长率不变，那么年投资增长率应为多少？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设年投资增长率为x，由题意得：160×（1+x）2=360，解得：x1==50%，x2=﹣2.2（不合题意舍去）．【思路点拨】首先设年投资增长率为x，2012年的投资×（1+增长率）2=2014年投资，把相关数值代入求解即可．【答案】年投资增长率为50%．23. 随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，60007500300x x=+，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+180050x-）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【思路点拨】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【答案】（1）1500元，1200元；（2）1600元.24.已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋2mx＋m＋3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【知识点】根的判别式.【解题过程】解：（1）根据题意得m－2≠0且△=4m2－4（m－2）（m＋3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2＋10x＋8=0，∴（3x＋4）（x＋2）=0，∴x1=－43，x2=－2．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m－2≠0且△=4m2－4（m－2）（m＋3）＞0，然后解不等式即可；（2）根据（1）的结论得到m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2＋10x＋8=0，然后利用因式分解法解方程．【答案】（1）m＜6且m≠2；（2）x1=－43，x2=－2．25. 某校初2018届学生会进行了爱心义卖活动，准备将义卖获得的利润全部用于易书吧购买图书，免费借阅给全校学生，首次购进的义卖商品单价为25元，共卖出120件，第二次购进的义卖商品的单价是20元，共卖出150件．已知首次义卖的每件售价比第二次多20元，但第二次比第一次少获得600元．（1）求第二次义卖的商品每件售价是多少元？（2）为了让全校更多同学借阅到图书，初2018届学生会决定再进行一次义卖活动，此次义卖购进的商品单价为15元，每件售价比第二次上调了a%，则卖出的件数比第二次减少2a%，若第三次获利4500元，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设第二次义卖的商品每件售价为x元，则第一次义卖的商品每件售价为（x+20）元，根据题意得：120（x+20﹣25）=150（x﹣20）+600，解得：x=60．答：第二次义卖的商品每件售价是60元．（2）第三次义卖的商品每件售价为60（1+a%）元，售出的件数为150（1-2a%），根据题意得：150（1﹣2a%）[60（1+a%）﹣15]=4500，解得：a=25或a=﹣50（舍去）．答：a的值为25．【思路点拨】（1）设第二次义卖的商品每件售价为x元，则第一次义卖的商品每件售价为（x+20）元，根据总利润=单件利润×销售数量结合第二次比第一次少获得600元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）第三次义卖的商品每件售价为60（1+a%）元，售出的件数为150（1+2a%），根据总利润=单件利润×销售数量即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【答案】（1）60元；（2）25.26. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1211，x2=211（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=421﹣1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x=21﹣1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x211．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，解得x1=﹣10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x﹣x=x2﹣3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．【思路点拨】（1）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．（2）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．（3）如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．【答案】（11；（2）x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）不能.。

新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十一章一元二次方程《小节：习题训练》

新听课记录：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十一章一元二次方程《小节：习题训练》教学目标（核心素养）1.数学运算：加强学生解决一元二次方程的运算能力。

2.逻辑推理：提升学生在解决方程问题时的逻辑分析和推理能力。

3.问题解决：培养学生将所学知识应用于解决各类习题的能力。

导入1.1教师行为：简要回顾一元二次方程的解法，强调习题训练的重要性。

1.2 学生活动：学生回顾已学解法，准备参与习题训练。

1.3 过程点评：通过回顾，激发学生对习题训练的积极性。

教学过程2.1 教师行为：介绍不同类型的一元二次方程习题，包括基础题和拓展题。

2.2学生活动：学生认真听讲，了解习题类型和解题策略。

2.3 过程点评：确保学生了解不同习题的特点，为解题做好准备。

2.4 教师行为：选择几道典型习题，进行详细的解题步骤演示。

2.5 学生活动：学生观察教师的解题过程，学习解题技巧。

2.6 过程点评：通过演示，帮助学生掌握解题步骤和方法。

2.7 教师行为：组织学生进行习题训练，鼓励学生独立思考和解题。

2.8 学生活动：学生独立解题，尝试应用不同的解法。

2.9 过程点评：通过独立解题，提高学生的解题能力和自信心。

2.10 教师行为：对学生的解题过程和结果进行点评，提供改进建议。

2.11 学生活动：学生听取点评，学习如何改进解题方法。

2.12 过程点评：通过点评，帮助学生发现问题并进行改进。

板书设计•习题类型：基础题、拓展题、应用题。

•解题步骤：o阅读理解题目，确定已知条件和未知数。

o根据条件建立一元二次方程。

o选择合适的解法求解方程。

o检验结果，确保符合题意。

作业布置3.1 教师行为：布置学生完成一定数量的一元二次方程习题，包括不同类型和难度。

3.2 学生活动：学生独立完成作业，运用所学知识解题。

3.3 过程点评：通过作业，巩固学生的解题技巧和应用能力。

课堂小结4.1 教师行为：总结习题训练的关键点，强调解题方法的多样性和重要性。

传输原理-第二十一章相间传质

对于球冠形气泡，其上浮速度，
2 gr 2 980 0.025 3.3cm / s 于是， t 0.025 0.076s
3
3
3.3
故， kd 2 传质流密度
5104 0.29cm / s 3.14 0.0076
n kd(s 0) 0.297.1(0.00011 0.00001) 2.06104g / (cm2/s)
21.2 相间对流传质基本模型
Nm
z0
1 t
t 0
D πt
(cw
cf
)dt
2
D πt
(cw
cf
)
传质系数为： kd 2
D πt
这时，传质系数与扩散系数的关系，不是像薄膜理论
那样的线性一次方关系，而是非线性的0.5次方关系。
[例题21-1] 在钢水底部鼓入氮气，设气泡为球冠形，其
曲率半径r为0.025cm。氮在钢水中的扩散系数D=5×10-4
cm2/s，若气-液界面氮的浓度为0.011%，钢水内部氮的
浓度为0.001%。试根据溶质渗透理论计算氮在钢水中的
传质流密度。设钢水密度为7.1g/cm3。
解：根据溶质渗透理论，传质系数可由 kd 2
D 求出； πt
21.2 相间对流传质基本模型
• 式中，t为气泡与钢液的平均接触时间， t d
其通解为： cw c
cw cf
erf
2
z Dt
通过界面的传质流密度为：
ei
N通解求导，并确定出z方向上在z=0处的浓度梯度，
并代入上式，得：
dc dz
z0
1 πDtc
(cf
cw )
N z0
D πtc
(cw

政治经济学知识要点第二十一章社会主义经济发展

2014政治经济学知识要点第二十一章社会主义经济发展1、简述二元经济结构对我国经济发展的影响？（一）二元经济结构一般是指发展中国家的国民经济中，现代经济部门和传统经济部门同时并存的状态。

（二）二元经济结构对发展中国家包括我国的经济发展，具有双重的影响：一方面，发展中国家的经济，从其历史发展进程来看，是在原有传统落后的经济基础上，随着技术的进步、社会分工的发展和机器大工业的产生，逐渐出现了城市的现代经济部门，从而形成了二元经济结构。

既然有一定程度和规模的现代经济，它对整个国民经济的发展，有其积极的促进作用：一是它可以为整个国民经济的技术改造和现代化建设创造技术和物质条件，为传统经济向现代经济发展提供科学技术和物资设备的支持；二是可以为国民经济的发展积累一定资金，支援传统部门的发展与开发，促进传统部门的现代化改造；三是它具有经济发展的导向和示范作用，吸引和推动传统部门的创新，引导传统部门走向现代化。

另一方面，二元经济结构如果长期存在和延续，特别是城乡二元经济差别长期不断扩大，就会产生极大的负面效应。

这种消极影响主要表现为：一是造成传统部门的长期落后，特别是传统农业落后，使农业的生产规模、技术水平、资金积累和农业收入低下，阻滞农业的现代化。

二是制约现代部门，特别是城市现代工业的发展。

三是导致城乡差别、工农差别的拉大，不利于整个国民经济持续、协调、稳定发展。

2、我国为什么要实现和如何实现经济结构的转型？（1）解决贫困和落后问题必须实现经济结构转型。

发展中国家的传统部门比重较大，现代部门发展不足，这种状态既是发展中国家的经济结构所存在的突出矛盾和发展中的严重约束，也是这些国家相对贫困和落后的重要原因。

发展中国家的现代化进程，在很大程度上就是要实现城乡二元经济经结构向一元的现代化经济转变，实现整个国民经济的现代化，这是包括我国在内的发展中国家所面临的重大历史任务。

（2）实现我国经济结构转型和现代化，必须实现农业、工业、服务业、科学技术和国防的现代化，其中重要的方面在于农业的现代化。

新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十一章一元二次方程《实际问题与一元二次方程》

教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十一章一元二次方程《实际问题与一元二次方程》一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并识别实际问题中隐含的一元二次方程关系，掌握将实际问题转化为数学模型的方法，熟练运用一元二次方程解决实际问题。

2.数学思维：培养学生的数学建模能力、问题分析能力和逻辑思维能力，通过解决实际问题，加深对一元二次方程的理解和应用。

3.问题解决：引导学生通过建立和求解一元二次方程解决实际问题，培养将数学知识应用于生活实践的能力。

4.情感态度：激发学生对数学学习的兴趣，培养解决实际问题的信心和耐心，增强数学学习的实用性和趣味性。

二、教学重点•理解实际问题与一元二次方程之间的转化关系。

•掌握将实际问题抽象为数学模型的步骤和方法。

•熟练运用一元二次方程解决实际问题。

三、教学难点•准确识别实际问题中的等量关系，建立恰当的一元二次方程。

•理解和处理实际问题中的复杂条件，确保数学模型的准确性。

四、教学资源•多媒体课件（包含实际问题的图片、视频、动画演示等）•教材及《实际问题与一元二次方程》相关阅读材料•黑板及粉笔（或电子白板及触控笔）•实物或模型（如面积、体积等问题的相关实物）五、教学方法•情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生进入学习状态。

•讲授法与讨论法结合：教师讲解建模步骤和解题技巧，学生分组讨论实际问题。

•示范引导法：教师示范如何建立数学模型并求解，学生模仿练习。

六、教学过程1. 导入新课•情境引入：展示一个与学生生活紧密相关的实际问题（如面积计算、增长率问题等），激发学生兴趣。

•提出问题：引导学生观察并思考问题中的等量关系，初步感受实际问题与数学模型的联系。

2. 新课教学•建模过程：•分析问题：详细分析问题的背景、条件和目标，明确需要求解的未知量。

•建立模型：引导学生根据等量关系，逐步推导出包含未知量的一元二次方程。

•示例：以面积问题为例，通过图形分析，列出边长与面积的关系式，进一步得到一元二次方程。

第二十一章 章末小结